Teoría de la Integración

Licenciatura en Matemáticas y Física Universidad de Antioquia

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Introducción Para toda persona con formación matemática superior, es conocida la teoría de la integración de Riemann. Sin embargo, no es común el conocimiento de otras teorías, como la de Stieltjes o la de Lebesgue. Cuando se profundiza en la teoría Riemanniana, se comprenden sus limitaciones y se descubre que hay otras más generales. Teniendo esto como punto de partida, se pretende hacer una introducción a estas dos teorías, planteando su necesidad e importancia, así como los casos en los que las distintas teorías coinciden.

Partición Una partición P de un intervalo compacto [a, b] es un conjunto de puntos, P = {x 0, x 1,..., x n } tal que a = x 0 < x 1 <... < x n = b. La norma de P es el mayor de los números x k = x k x k 1, y se representa por P. Es decir, P = máx 1 k n { x k }. La partición P de [a, b] es un refinamiento de P, si P P. De este modo, P P. Finalmente, el conjunto de todas las particiones posibles de [a, b] se denota por: P([a, b]).

En lo sucesivo se trabajará sobre un intervalo compacto [a, b] y mientras no se diga lo contrario, todas las funciones designadas por α, β, f, g se supondrán definidas y acotadas en [a, b]. Función escalonada Una función s sobre un intervalo compacto [a, b] se dice escalonada si existe una partición P = {x 0, x 1,..., x n } de [a, b] tal que s es constante en cada uno de los subintervalos abiertos determinados por la partición, es decir, para cada k = 1,, n existe c k R tal que si x (x k 1, x k ), entonces f (x) = c k.

Sucesión de funciones Sea A R y supongamos que para cada n N existe una función f n : A R. Decimos que ( f n ) n N es una sucesión de funciones de A a R. Una sucesión de funciones reales ( f n ) n N definidas en un conjunto S es creciente en S si f n (x) f n+1 (x) para todo x S y para todo n N.

Convergencia simple Se dice que la sucesión de funciones ( f n ) n N converge simplemente a la función f si y solo si ε > 0 x A n 0 (ε, x) N tal que n n 0, se tiene f n (x) f (x) < ε. Si este es el caso escribimos f n f. Notemos que n 0 N depende tanto de ε > 0 como de x A. Convergencia uniforme Se dice que la sucesión de funciones ( f n ) n N converge uniformemente a la función f si y solo si ε > 0 n 0 (ε) N tal que x A n n 0, se tiene f n (x) f (x) < ε. Si este es el caso escribimos f n f. Notemos que n 0 N depende exclusivamente de ε > 0 y es independiente de x A.

Conjunto de medida cero Diremos que un conjunto T R tiene medida cero y escribimos µ(t) = 0 si para cada ε > 0 existe una colección numerable (I n ) n N de intervalos abiertos tal que T n=1 I n y n=1 L(I n ) < ε, donde L(I n ) representa la longitud del n-ésimo, intervalo, esto es L(I n ) = b n a n, con a n = ínf I n y b n = sup I n. Decimos que una propiedad se verifica casi en todo un conjunto S y escribimos c.e.t S si se cumple en todo S salvo en un conjunto A S de medida cero.

Introducción Definición Sean P P([a, b]) y t k un punto del subintervalo [x k 1, x k ]. Una suma de la forma S (P, f, α) = n f (t k ) α k donde el símbolo α k representa la diferencia α(x k ) α(x k 1 ), se denomina suma de Stieltjes de f respecto a α. Decimos que f es Stieltjes-integrable con respecto a α en [a, b] y escribimos f S(α) en [a, b], si existe un número A que goza de la propiedad siguiente: ε > 0 P ε P([a, b]) tal que para toda partición P más fina que P ε se tiene S (P, f, α) A < ε. k=1

Introducción Definición Cuando un tal número A existe, es único y se representa por b a f dα o por b a f (x)dα(x). Entonces se dice que exise la integral de Stieltjes. Las funciones f y α se denominan respectivamente integrando e integrador. En el caso particular en que α(x) = x escribimos S (P, f ) en lugar de S (P, f, α) y f R en lugar de f S(α). La integral se llama entonces integral de Riemann y se representa por b a f o por b a f (x)dx.

Introducción Observaciones Como se puede observar, la integral de Riemann se obtiene como caso particular de la integral de Stieltjes en el caso en que el integrador es la función identidad. Si la función α(x) es diferenciable, la integral de Stieltjes se calcula como una integral de Riemann así: b a f (x)dα(x) = f (x)α (x)d(x). b a La integral de Stieltjes tiene sentido cuando α no es diferenciable y aun si no es continua. De hecho, es al tratar con funciones discontinuas cuando se hace patente la importancia de utilizar integrales de Stieltjes.

Introducción Criterio de Lebesgue para la existencia de integrales de Riemann Una función f : [a, b] R es Riemann-integrable si y solo si el conjunto de puntos de discontinuidad tiene medida cero. La función de Dirichlet ϕ : R R definida por { 1, si x Q ϕ(x) = 0, si x Q no es integrable Riemann, porque es discontinua en todo R y es claro que µ(r) 0.

Introducción Convergencia uniforme e integración de Riemann Sea ( f n ) n N una sucesión de funciones Riemann-integrables en [a, b] tal que f n f en [a, b]. Entonces la función límite f es Riemannintegrable en [a, b] y se verifica la igualdad: ˆ b lím n f n (x)dx = a ˆ b a f (x)dx Cabe anotar que la condición de convergencia uniforme es forzosa. En el caso de convergencia simple, la conclusión del teorema puede no ser cierta.

Integral de una función escalonada Definimos la integral de una función escalonada por la suma b a s(x)dx = n k=1 c k (x k x k 1 ). Notemos que la integral está bien definida, pues no depende de la partición elegida de [a, b]. Además coincide con su integral de Riemann. Función superior Una función real f definida en un intervalo I se llama superior en I, y se escribe f U(I), si existe una sucesión creciente de funciones escalonadas (s n ) n N tal que s n f c.e.t I y lím n I s n es finito.

Definición Designaremos por L(I) al conjunto de todas las funciones f : I R de la forma f = u v, donde u U(I) y v U(I). Cada función f L(I) se llamará función integrable Lebesgue en I, y su integral se definirá por medio de la ecuación ˆ ˆ ˆ f = u v I I I

Lema Sean f y g funciones definidas en I. Si f L(I) y f = g c.e.t I, entonces g L(I) y f = I g. I Teorema de convergencia dominada de Lebesgue Sea ( f n ) n N una sucesión de funciones integrables de Lebesgue en un intervalo I. Supongamos que ( f n ) converge c.e.t I hacia una función f y que existe una función no negativa g L(I) tal que para todo n N, f n (x) g(x) c.e.t I. Entonces f L(I), la sucesión ( I f n) n N converge e ˆ ˆ f = lím n I f n I

Introducción Es importante que los estudiantes de matemáticas en el ámbito de la educación superior conozcan los diferentes desarrollos que se dan en una teoría matemática, en particular, la teoría de la integración. A pesar de lo cercana e intuitiva que resulta la teoría de la integración de Riemann, en algunos aspectos, se hace necesario generalizarla, pues el enfoque Riemanniano tiene algunas limitaciones, que conducen a teorías más fuertes como la de Stieltjes y la de Lebesgue. Las teorías de la integración de Stieltjes y Lebesgue contienen como casos particulares la teoría de Riemann.

Bibliografía Introducción Apostol, T. (1976) Análisis Matemático. Barcelona: Reverté S.A. Bartle, R y Sherbert, D. (2005). Introducción al Análisis Matemático de un variable. México, D.F.: Limusa S.A. Ulayánov, P y Dyachenko, M. (2000). Análisis Real: Medida e Integración. Madrid: Addison Wesley Iberoamericana.