PROBLEMAS DE MÓVILES Problema 4: Dos móviles A Y B marchan con velocidad consane; A con velocidad V= km/h y B con velocidad V=5 km/h. Paren simuláneamene de M hacia N y en ese mismo insane pare de N hacia M un ercer móvil C con velocidad V= km/h y MRU. Desde M a N hay 90 km. Deerminar cuáno iempo debe ranscurrir para que: a)a equidise de B y C b)b equidise de A y C c) A se cruce con C. Solución Problema 4: Paso 1: Hacer un croquis de la preguna A) 90 km M B M A M C M Y D X E X F 90-Y-2X N MÓVIL A: M A V A = KM/H MÓVIL B: M B V B =5 KM/H MÓVIL C: M C V C = KM/H Paso 2: planeamieno preguna A: Que M a equidise de M b y M c quiere decir que se encuenra en un puno E al que la disancia ED (donde esá M b ) es igual EF (donde esá M c ) Sea ME la disancia que recorre M a : x+y Sea MD la disancia que recorre M b : y PROBLEMAS DE MÓVILES: Problema 4 Página 1
Sea NF la disancia que recorre M c : 90-y-2x Aplicamos la fórmula v=e/ Móvil A: = x+y = x+y Móvil B: ó 1 = y 5 = y ó 2 Móvil C: = y 5 = 90 y 2x ó Despejamos en las ecuaciones: = x +y ó 4 = y 5 ó 5 = 90 2x y ó Los res móviles recorren esas disancias en el mismo iempo Igualamos ecuación 4 y 5; y ecuación 4 y : x+y = y 5 ó 7 PROBLEMAS DE MÓVILES: Problema 4 Página 2
x+y = 90 2x y ó 8 Operamos sobre la ecuación 7: x+y = y 5 5(x+y) = y 5x+5y = y 5x = y 5y = y 5x = y ecuación 9 Operamos sobre la ecuación 8: x+y x+y 2 = 90 2x y = 90 2x y x+y = 2(90 2x y) x+y = 180 4x 2y ó 9 Susiuimos el valor de y de la ecuación 8 en la ecuación 9 x+5x = 180 4x 2(5x) x+5x = 180 4x 10x = 180 14x x+5x +14% = 180 20x = 180 % = 180 20 = 9&' Para x= 9; y valdrá: 5x = y ecuación 9 y = 5x = 5.9 = 45 km PROBLEMAS DE MÓVILES: Problema 4 Página
Por ano calculamos el iempo que debe discurrir para que A equidise de B: = y 5 ó 5 + = 45 5 =, -./01 Preguna B) iempo que debe ranscurrir para que B equidise de A y C: Ese aparado lo he resuelo de dos formas por inenar clarificarlo más. Esa 1º forma es más rápida e inuiiva. 90 km M C M B M A y x x z M D E F N Sea MF la disancia que recorre A: y+2x Sea ME la disancia que recorre B: y+x Sea ND la disancia que recorre C: z+2x Esas disancias las recorren en el mismo iempo, PROBLEMAS DE MÓVILES: Problema 4 Página 4
Aplicando la fórmula: v=e/, enemos: Móvil A: = y+2x = y+2x = y +2x Móvil B: = y +x 5 = y+x = y +x 5 Móvil C: = z +2x = z +2x = z +2x ó 1 ó 2 ó Por ano, ahora igualamos la ecuación 1 con la 2; y con la y +2x = y+x ó 4 5 y +2x = z +2x ó 5 Operando sobre la ecuación 4 enemos. 5(y+2x) = (y+x) PROBLEMAS DE MÓVILES: Problema 4 Página 5
10x+5y = x+y 10x x = y 5y 4x = y ecuación Operando sobre la ecuación 5 enemos: y +2x.2 = z +2x y +2x 2 = z +2x y +2x = 2(z+2x) y +2x = 2 +4% y = 2 +4% 2% y = 2 +2% ó 7 Igualando las ecuaciones y 7: 4x = 2 +2% 4x 2x = 2 2x = 2 x = ó 8 Por ora pare, sabemos que: 90 = 2% +4+ ó 9 Susiuyendo el valor de y de la ecuación, y el valor de z de la ecuación 8 por el valor de x en la ecuación 9, enemos: 90 = 2% +4% +% 7x = 90 x = 90 7 &' PROBLEMAS DE MÓVILES: Problema 4 Página
Para calcular el iempo susiuimos el valor de x en la ecuación = z +2x = z +2x ó = 90 7 +290 90 7 = 7 +180 7 5 = 12,857 h89: = ;<- =; > <= = 90+180 21 = 270 21 Por ano, el móvil B esará equidisane de A y C a las ;<- =; > <= de iniciar los res móviles el movimieno. Esa segunda forma es algo más compleja, pero ineresane por ser ora manera de resolverlo. Paso 1: Vamos a calcular primero siuación del Móvil A cuando B y C se encuenran; y el iempo empleado en llegar a esas posición y que después nos servirá de base para calcular el iempo que debe ranscurrir para que B equidise de A y C como pide la preguna B. d 90 km z M A M B y M C 90-y M E F N Sea ME la disancia que recorre el móvil B hasa que llega a coincidir con el móvil C: y Sea NE la disancia que recorre el móvil C hasa que llega a coincidir con el móvil B: 90-y Sea MF la disancia que recorre el móvil A cuando el B y C n coincidido PROBLEMAS DE MÓVILES: Problema 4 Página 7
Aplicamos la fórmula v=e/ Móvil B: = y 5 = y ó 1 Móvil C: = 90 y = 90 y ó 2 Los dos móviles recorren esas disancias en el mismo iempo Despejamos, e igualamos la ecuación 1 y 2: = y 5 = 90 y Igualamos en y 5 = 90 y Operando: y = 5(90 y) y = 450 5y y+5y = 450 8y = 450 4 = 450 8 = 5,25 &' El iempo empleado será: PROBLEMAS DE MÓVILES: Problema 4 Página 8
= y 5 = 5,25 5 = 11,25 h89: Por ano, el móvil B y C coinciden a las 11, 25 horas Para ese iempo el móvil A habrá recorrido la disancia MF: d = y @ = =.11,25 = 7,5 &' Por ano respeco del puno E donde coinciden B y C, A lo habrá sobre pasado una disancia z: z = 7,5 5,25 = 11,25 km Ahora vamos a calcular la preguna B; el iempo que debe ranscurrir para que B equidise de A y C. Eso quiere decir que B debe esar enre A y C y a la misma disancia de ambos, veamos el croquis pariendo, en ese caso del puno de coincidencia de B y C, puno P M A 11,25 x M B y M C z d T P S W R Para que B sea equidisane de C y A, iene que cumplirse que: La disancia ST: y+z Sea igual a la disancia: SR: 11,25+x-y, luego: PROBLEMAS DE MÓVILES: Problema 4 Página 9
y +z = 11,25+x y 11,25+x = z +2y ó 1 Por ora pare, el iempo que el móvil A emplea en recorrer la disancia x (WR) es el mismo que el móvil B emplea en recorrer la disancia y (PS); y el móvil C la disancia z (PT), por ano; Móvil A: = x = x x = ó 2 Móvil B: = y 5 = y y = 5 ecuación Móvil C: = z = z z = ó 4 Susiuyendo los valores de x, y, z de las ecuaciones 2, y 4 en la ecuación 1, enemos: 11,25+x = z +2y ó 1 11,25+ = +2(5) 11,25+ = +10 PROBLEMAS DE MÓVILES: Problema 4 Página 10
1 = 11,25 7 = 11,25 = 11,25 7 = 1,07 h89: Como llevaban recorridas 11,25 desde que salieron de sus respecivos punos de origen, B se enconrará equidisane de A y C a las: A = 11,25+1,07 = 12,857 h89: = ;< - =; <= 0B/.C Preguna c) iempo que ranscurre cuando A se cruce con C: Paso 1: Hacer un croquis de la preguna C) 90 km M A x M C 90-x M Planeamieno: Sea MF la disancia que recorre el móvil A: x Sea NF la disancia que recorre el móvil B: 90-x F N Ambas disancias MF y NF, la recorren en el mismo iempo : Aplicando: v=e/; endremos: Móvil A = x = x PROBLEMAS DE MÓVILES: Problema 4 Página 11
= x ó 1 Móvil C = 90 x = 90 x = 90 x ó 2 Como el iempo empleado es el mismo, igualamos las ecuaciones 1 y 2: x = 90 x x 2 = 90 x x = 2(90 x) x = 180 2% x+2x = 180 x = 180 % = 180 = 0 &' Susiuimos su valor en la ecuación 1, y endremos el iempo que ha pasado hasa que se encuenran: = x ó 1 + = 0 = ;D -./01 50E1FG//H/áE B0/0 JGK L M N 1K KEFGKE5/KE PROBLEMAS DE MÓVILES: Problema 4 Página 12