Semana 2 [1/29] Matrices. 31 de julio de Matrices

Semana 2 [1/29] 31 de julio de 2007

elementales Semana 2 [2/29] Matriz de permutación Matriz de permutación Una matriz elemental de permutación tiene la siguiente estructura: 1 0 0 1 0 1 fila p 1 I pq = 1 1 1 0 1 fila q 0 0 1 La matriz I pq se construye a partir de la identidad, permutando el orden de las filas p y q

elementales Semana 2 [3/29] de permutación Proposición Dadas I pq M nn (Ã), A M ns (Ã) y B M qn (Ã): 1 I pq A corresponde a la matriz A con las filas p y q permutadas 2 BI pq corresponde a las matriz B con las columnas p y q permutadas

elementales Semana 2 [4/29] de permutación Proposición Dadas I pq M nn (Ã), A M ns (Ã) y B M qn (Ã): 1 I pq A corresponde a la matriz A con las filas p y q permutadas 2 BI pq corresponde a las matriz B con las columnas p y q permutadas

elementales Semana 2 [5/29] Matriz de suma Matriz elemental Definimos la matriz elemental E pq (λ, β) M nn (Ã) como: E pq (λ, β) = col p col q 1 0 1 1 0 λ β 1 0 0 0 1 λ, β Ã β 0 p < q

elementales Semana 2 [6/29] Matriz de suma Proposición Dada una matriz A M ns (Ã); se tiene: a 11 a 1s a q 11 a q 1s C = E pq (λ, β) A = λa p1 + βa q1 λa ps + βa qs q a n1 a ns

elementales Semana 2 [7/29] Matriz de suma Proposición E pq (λ, β) es invertible Su inversa es la siguiente: 1 0 1 (E pq (λ, β)) 1 = 1 λ 1 0 β β 1 0 0 0 1 p q

elementales Semana 2 [8/29] Sistema de ecuaciones Sistema de ecuaciones Un sistema de m ecuaciones y n incógnitas consiste en el siguiente conjunto de ecuaciones en las variables x 1,, x n Ã: a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a m1 x 1 + + a mn x n = b m en donde los coeficientes, a ij, y el lado derecho, b j, son elementos del cuerpo Ã

elementales Semana 2 [9/29] Forma matricial Tomando, a 11 a 1n A = M mn (Ã) a m1 a mn la m-tupla (lado derecho) y la n tupla de incógnitas b = b 1 Ã m, x = b m x 1 Ã n x n Podemos escribir el sistema matricialmente: Ax = b,

elementales Semana 2 [12/29] Ejemplo Consideremos: x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 = 2 (1) 2x 1 + 3x 2 x 3 = 1 (2) x 1 + x 3 + x 4 = 1 (3) Definimos la matrix aumentada del sistema como: 1 2 1 1 2 (A b) = 2 3 1 0 1 1 0 1 1 1 Eliminar x 1 de la segunda ecuación es equivalente a producir un cero en la posición (2,1) de (A b) Para ello se multiplica la primera fila por 2 y se suma a la segunda fila Para eliminar x 1 de la tercera ecuación se multiplica la primera fila por 1 y se suma a la tercera (A b) 1 2 1 1 2 0 7 1 2 3 1 0 1 1 1 1 2 1 1 2 0 7 1 2 3 0 2 0 0 1

elementales Semana 2 [15/29] Ejemplo Eliminar x 2 en la tercera ecuación a partir de la segunda es equivalente a multiplicar la segunda fila por 2 y sumarla a la tercera: 7 1 2 1 1 2 0 7 1 2 3 = (Ã b) 0 0 2 7 4 7 1 7 Así, el sistema inicial es equivalente al sistema Ãx = b En el procedimiento anterior la operación de base ha sido: Sumar a una fila q, la fila p ponderada por un número λ Ã

elementales Semana 2 [18/29] Ejemplo Ahora, en términos de matrices elementales: Producir un cero en la posición (2,1) de (A b): 1 0 0 1 2 1 1 2 E 12 (2, 1)(A b) = 2 1 0 2 3 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 = 1 2 1 1 2 0 7 1 2 3 1 0 1 1 1 Producir un cero en la posición (3,1): 1 0 0 1 2 1 1 2 E 13 ( 1, 1)E 12 (2, 1)(A b) = 0 1 0 0 7 1 2 3 1 0 1 1 0 1 1 1 = 1 2 1 1 1 0 7 1 2 3 0 2 0 0 1

elementales Semana 2 [19/29] Ejemplo Ahora, en términos de matrices elementales: Producir un cero en la posición (2,1) de (A b): 1 0 0 1 2 1 1 2 E 12 (2, 1)(A b) = 2 1 0 2 3 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 = 1 2 1 1 2 0 7 1 2 3 1 0 1 1 1 Producir un cero en la posición (3,1): 1 0 0 1 2 1 1 2 E 13 ( 1, 1)E 12 (2, 1)(A b) = 0 1 0 0 7 1 2 3 1 0 1 1 0 1 1 1 = 1 2 1 1 1 0 7 1 2 3 0 2 0 0 1

elementales Semana 2 [20/29] Ejemplo Producir un cero en la posición (3,2) desde la posición (2,2): E 23 ( 2 7, 1)E 13( 1, 1)E 12 (2, 1)(A b) = = 1 0 0 1 2 1 1 2 0 1 0 0 7 1 2 3 0 2 7 1 0 2 0 0 1 1 2 1 1 2 0 7 1 2 3 0 0 2 4 7 7 1 7

elementales Semana 2 [21/29] Ejemplo Producir un cero en la posición (3,2) desde la posición (2,2): E 23 ( 2 7, 1)E 13( 1, 1)E 12 (2, 1)(A b) = = 1 0 0 1 2 1 1 2 0 1 0 0 7 1 2 3 0 2 7 1 0 2 0 0 1 1 2 1 1 2 0 7 1 2 3 0 0 2 4 7 7 1 7

elementales Semana 2 [22/29] Observación Hay casos en que también es necesario utilizar matrices de permutación de filas Por ejemplo, si se tiene: 1 1 1 1 (A b) = 0 0 1 1 0 1 0 1 0 2 0 1 Como a 22 = 0, no es posible producir ceros en la segunda columna, a partir de a 22 Intercambiamos el orden de las filas (claramente esto no cambia el sistema de ecuaciones asociado) I 24 (A b) = 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 2 0 1 = 1 1 1 1 0 2 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1,

elementales Semana 2 [26/29] Matriz escalonada Consideremos ahora A M mn (Ã), definimos la matriz escalonada asociada a la matriz A, como Ã M mn(ã), tal que: Ã = ã 11 ã 12 ã 1i2 ã 1n ã 2i2 ã 2n ã sis ã sn 0 0 donde los elementos ã 11 0, ã 2i2 0,, ã sis 0, se denominan pivotes

elementales Semana 2 [29/29] Equivalencia de sistemas Como (Ã b) se obtiene al multiplicar (A b) por matrices invertibles, se tiene: Proposición Dada una matriz C, invertible entonces: a K n es solución de Ax = b a es solución de (CA)x = Cb

elementales Semana 2 [30/29] Equivalencia de sistemas Como (Ã b) se obtiene al multiplicar (A b) por matrices invertibles, se tiene: Proposición Dada una matriz C, invertible entonces: a K n es solución de Ax = b a es solución de (CA)x = Cb