IES STER DJOZ PRUE DE ESO (OGSE) UNIVERSIDD DE EXTREMDUR JUNIO (GENER) (RESUETOS po ntonio Menguiano) MTEMÁTIS II Tiempo máimo: hoa y minutos Instucciones: El alumno elegiá una de las dos opciones popuestas ada una de las cuato cuestiones de la opción elegida puntuaá 5 puntos como máimo uando la solución de una cuestión se base en un cálculo, éste debeá incluise en la espuesta dada OPIÓN y z a º) Discuta, en función del paámeto α, el sistema de ecuaciones y az ay ( a) z (No hay que esolvelo en ningún caso) a ) as matices de coeficientes y ampliada son las siguientes: a a y a a a a a El ango de en función del paámeto α es el siguiente: ( a) a a a ( a) a a a a a a a ± 8 ± a a ;; a a ;; a Paa a a M M nº incógnitas ompatible det e min ado Menguiano
{ } Paa α ado e in ompatible incógnitas n a Paa min det º < { },, Paa α 9 Incompatible a Paa ;;
º) alcule todos los vectoes de módulo que son otogonales a los vectoes u (,, ) y v (,, ) Sabiendo que el poducto vectoial de dos vectoes es oto vecto pependicula a ambos, el vecto z u v es pependicula a y v u : i j k z u v i k j k i j i k (,, ) z Se llama veso de un vecto a al vecto unitaio que tiene la misma diección que a ; pueden se dos, que son opuestos y se obtienen teniendo en cuenta que un vecto dividido po su módulo esulta un veso del vecto; los vesoes de a son los siguientes: a,, y a,, os vectoes pedidos son linealmente dependientes de los vesoes y módulo : z,, y z z,,, que son equivalente a los siguientes: (,, ) y (,, ) z
º) a ) Detemine el punto P(, y) de la paábola y en el que la suma y alcanza su mínimo valo b ) Eplique poqué dicho mínimo es absoluto a ) os puntos de la paábola y son de la foma P (, ) po lo cual la suma y es S y Paa que la suma S sea mínima es necesaio que se anule su pimea deivada y que la se- Y gunda deivada sea positiva paa ese valo y S P(, ) S > Mínimo paa El punto P pedido es el siguiente: O X ( y ) P, b ) a pimea deivada tiene solución única, lo que implica que el punto cítico (máimo o mínimo) es único; como quiea que la segunda deivada es positiva sin depende de, el punto hallado es único y po lo tanto mínimo absoluto
º) a ) alcule los puntos de cote de la ecta y y de la ecta y con la ama hipebólica y, > b ) Dibuje el ecinto plano limitado po las tes cuvas del apatado anteio c ) alcule el áea de dicho ecinto a ) os puntos de cote de la cuva con cada una de las ectas son los siguientes: y y y > y ;; ;; ± 9 6 ± 5 ± 5 < ( no (, ) int eesa paa el ejecicio) y y > ;; (, ) y y El punto de cote de las ectas es: ;; (, ) b ) a epesentación gáfica de la situación es la que indica la figua Y y y y S - - O X c ) De la obsevación de la figua se deduce el valo del áea pedida, que es la siguiente:
[ ] d d d d S ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) S u u 9 8 8
OPIÓN º) alcule la matiz invesa de, siendo y Paa halla la matiz invesa de pocedemos po el método de Gauss-Jodan ( ) { } { } / I { } { } { }
y z º) alcule la distancia del punto P(, -, ) a la ecta z a distancia d del punto P a la ecta puede deteminase teniendo en cuenta que Q es un punto de y v es el vecto diecto de la ecta Paa facilita la compensión del ejecicio hacemos un gáfico apoimado de la situación Teniendo en cuenta que S d v y que P QP también puede se distancia es: S v QP, se deduce que la v QP d v Un punto de es Q(, -, ) Un vecto diecto de es cualquiea que sea linealmente dependiente del poducto vectoial de los vectoes nomales de los planos que la deteminan, que son π y z y π z ; los vectoes nomales son, espectivamente, n (,, ) y n (,, ) n d Q S i v j k (,, ) n i j k j i k v El vecto QP es: P Q (,, ) (,, ) (,, ) QP plicando la fómula de la distancia: d ( P, ) v QP v i j k ( ) j j 5 j 5 5 u d ( P, )
º) onsidee la función ( ) f a ) Epese f() como una función definida a tozos b ) Dibuje la gáfica de f() c ) Esciba el intevalo abieto de la ecta eal fomada po los puntos en los que f() es deivable y se anula su deivada a ) Sean las funciones g ( ) y h ( ) ; pueden epesase como funciones definidas a tozos de la foma siguiente: si < g ( ) y ( ) si si < h si Teniendo en cuenta lo anteio, la función f ( ) puede edefinise a tozos de la siguiente foma: Paa < es f ( ) ( ) Paa < es f ( ) ( ) Paa es ( ) ( ) f f ( ) si < si < si b ) Y f ( ) O - - X a epesentación gáfica es la indicada en la figua
c ) omo puede obsevase po su gáfica, la función f ( ) es continua y deivable en su dominio, que es R, ecepto paa y, que no es deivable po se difeentes sus deivadas lateales en los puntos y a deivada (que es la pendiente) se anula en el intevalo donde la ecta es hoizontal f ( ) (, )
º) alcule la siguiente integal de una función acional: d I (*) I I d d d I Paa esolve la integal I descomponemos factoialmente el denominado: ( )( ) d d d d I ( ) ( ) ;; d I K K d I Sustituyendo el valo de I en la epesión (*), queda finalmente: k I