Ecuacione Diferenciale Lineale y Epacio Vecoriale Reumen El conjuno de la funcione coninua obre un inervalo forman un epacio vecorial, e decir que la combinación lineal de olucione a la ecuacione diferenciale lineale homogénea conforma al conjuno olución que a u vez e un epacio vecorial, e argumena ea idea morando lo concepo de combinación lineal, bae, dimenión para lo vecore olución a la EDO lineale homogénea y al final e preena la ranformada de Laplace como una aplicación lineal y má epecíficamene como un iomorfimo Inroducción: El conjuno olución a una ecuación diferencial lineal homogénea iene la caraceríica de que la combinación lineal de lo y n y ecalare del campo forman a odo el conjuno olución, y ambién la olucione pariculare on linealmene independiene, eo da la idea de que forman un epacio vecorial, dado que on funcione coninua obre un inervalo (inervalo de olución) en efeco forman un epacio vecorial, olo e verifican que cumpla la 8propiedade de un epacio vecorial. Aimimo e muera que ela ranformada de Laplace e una aplicación lineal biyeciva, e decir, e un iomorfimo enre epacio vecoriale, al final e preena un ejemplo con un ocilador armónico forzado reuelo por el iomorfimo de la ranformada de Laplace y ambién que la ecuación homogénea aociada forma un epacio vecorial. #1. Ecuación Diferencial Ordinaria: Son ecuacione que conienen una o má derivada de una función deconocida (primera, egunda,, derivada de orden n) y no coniene derivada parciale. #2.EDO lineal: Se dice que e lineal i iene la forma: a n x dn y dx n + a n 1 x dn 1 y dx n 1 + + a x y = g(x) 2.1. La ecuacione diferenciale pueden ecribire en forma de un operador lineal de la forma:l y = g x, i g x = e dice que e EDO homogénea. Si g x e no homogénea. #3.Solución a una EDO: Cualquier función φ definida en el inervalo I y que iene al meno n derivada coninua en I, la cuale cuando e uiuyen en una ecuación diferencial ordinaria de n-éimo orden reducen la ecuación a una idenidad, e dice que e una olución de la ecuación en el inervalo. (1) #4. Familia de Solucione: Cuando e reuelve ecuacione diferenciale de orden n, F x, y, y, y y n = e buca una familia de olucione n-paramérica G x, y, c 1, c 2 c n = cuando una olución no perenece a la familia de olucione e dice que e una olución ingular. 4.1. Teorema; Principio de Superpoición: Sean y 1, y 2,, y k olucione de la ecuacione homogénea de n-éimo orden en un inervalo I. Enonce la combinación lineal y = c 1 y 1 + c 2 y 2 + + c k y k dondec i, i = 1,2,3, k on conane arbiraria, ambién e una olución en el inervalo. (1) 4.2 Corolario:a. Un múliplo conane y = c 1 y 1 de la olución c 1 y 1 e olución de la EDO. b. Una ecuación diferencial lineal homogénea iene iempre la olución rivial y=. #5. Wronkiano:Sean f 1 x, f 2 x f n x funcione con n-1 derivada, el wronkiano e:
W f 1, f 2 f n = f 1 f n f 1 n 1 f n n 1 5.1. Crierio: Sean y 1, y 2 y n, n olucione a una EDO lineal homogénea de n-éimo orden en el inervalo I. El conjuno de olucione e linealmene independiene en I iw y 1, y 2 y n para oda x en el inervalo. (1) Dearrollo De una ecuación diferencial ordinaria (EDO) lineal homogénea de la forma: F x, y, y, y y n = o bien dn y dx n = f x, y, y, y y n 1 Se puede reecribir como L y = g x, y i e homogénea L y =. Demorar que el conjuno olución (y(x)) de una ecuación diferencial lineal homogénea e un epacio vecorial. Denoado con y(x) con fine prácico. Para ello demoraremo cerradura y la 8 propiedade que caracerizan a un epacio vecorial. (2) *Cerradura: Sean y 1, y 2 ε y(x) por el principio de uperpoición (4.1 de lo fundameno) la combinación y 1 + y 2 (omando c 1 = c 2 = 1) e ambién olución, por lo ano y (x) e cerrada. * Campo: Lo número reale (R). Propiedade bajo la uma de vecore (uilizando propiedade de uma de funcione definida en el inervalo de olución) Propiedad 1.Aociaividad. Sean y 1, y 2, y 3 ε y(x) y 1 + y 2 + y 3 = y 1 + y 2 + y 3 = y 1 + y 2 + y 3 y 1 + y 2 + y 3 = y 1 + y 2 + y 3 Propiedad 2. Elemeno Neuro Sean y, y 1 ε y(x) de al forma que y + y 1 = y 1 + y Donde y repreena al vecor cero que e preciamene y= y por el corolario 4.2.b. y ε y(x) Propiedad 3. Simérico con repeco a la uma
Sea y 1 ε y(x) exie el elemeno y 1 ε y(x), al que y 1 + y 1 = y Propiedad 4.Conmuaividad Sean y 1, y 2 ε y(x), e iene que y 1 + y 2 = y 2 + y 1 Produco por un ecalar del campo (uilizando propiedade de produco por un ecalar de funcione definida obre el inervalo de olución) Propiedad 5.Diribuividad del produco de do vecore por un ecalar con repeco a la uma. Sean y 1, y 2 ε y x y k R, e iene que k y 1 + y 2 = ky 1 + ky 2 Propiedad 6.Diribuividad del produco de do ecalare por un vecor con repeco a la uma. Sean k 1, k 2 ε R y y 1 y(x), e iene que y 1 k 1 + k 2 = y 1 k 1 + y 1 k 2 Propiedad 7.Aociaividad del produco de do ecalare y un vecor. Sean k 1, k 2 ε R y y 1 y(x), enonce k 1 k 2 y 1 = k 1 k 2 y 1 Propiedad 8. Ecalar neuro. Sean 1 ε R (1 e el número 1) y y 1 y(x), enonce 1 y 1 = y 1 Por 1-8 el conjuno olución de la EDO lineal homogénea e un epacio vecorial. ** Para la argumenación e omó en cuena que la olucione y n on funcione coninua en el inervalo de olución y la propiedade de funcione aifacen 1-8 de un epacio vecorial, de hecho por demoracione aneriore e moró que la funcione coninua obre un inervalo forma un epacio vecorial. Si el conjuno olución forma un epacio vecorial enonce iene dimenión, bae, ec.
* Combinación Lineal: Lo elemeno del conjuno olución ienen la forma: y = c 1 y 1 + c 2 y 2 + + c n y n Son una combinación lineal y generan a odo el epacio vecorial. * Bae: Por el argumeno anerior la combinación lineal genera a odo el epacio y por definición de olucione a la ED lo y 1, y 2,, y n on linealmene independiene, por lo ano y 1, y 2,, y n forman una bae de n elemeno. * Dimenión: Como y 1, y 2,, y n forman una bae de n elemeno, enonce la olucione a la EDO lineal homogénea on de dimenión n, e decir un conjuno olución con do funcione en la bae e de dimenión do aimimo el orden de la EDO lineal homogénea indica lo érmino LI que forman la bae y por lo ano indican la dimenión del epacio olución. a n x dn y dx n + a n 1 x dn 1 y dx n 1 + + a x y = el conjuno olución e de dimenión "n" Ane de dar un ejemplo e muera que la ranformada de laplace e una aplicación lineal. La ranformada de laplace como una aplicación lineal y un iomorfimo. Se define la ranformada de laplace como: Sea f una función definida para >. Enonce e dice que la inegral L f = e f d E la ranformada de laplace de f, iempre que la inegral converja. Enonce e iene una aplicación de la forma: L: F F f L f = F () Demorar que L e un iomorfimo. (a) Primero moramo que L e una aplicación lineal, morando que: L af +bg = al f + bl g Para odo lo a,b pereneciene al campo.
L af +bg = e af + bg d = e af d + e bg d = a e f d + b e g d Por definición. Por propiedade de la inegral. = al f + bl g Por lo ano L e una aplicación lineal. (b) Ahora e muera que L e un iomorfimo morando que e inyeciva y obreyeciva. Inyecividad: Moramo que el ker(l) e olo el vecor cero (y=) Sea y ε y(x) u ranformada e: L = e d = d = Por definición la imagen del vecor cero bajo L e el vecor cero en el conjuno imagen. Lo cual e cumple olo para el vecor cero (en cualquier oro cao la inegral reula en una función repeco a ) en el conjuno de parida, ningún oro valor vuelve a la expreión e f e decir e f = Si f = = y (vecor cero), por lo ano L e inyeciva. Sobreyecividad: por definición del laplaciano, i la inegral converge exie una ranformada de laplace, e decir que para cada ranformación de laplace exiió una función (preimagen) que volvía la inegral convergene, enonce L e obreyecivo. Siendo inyecivo y obreyecivo enonce L e biyecivo, e decir exiel 1 enre epacio vecoriale. y L e un iomorfimo *Tranformada de una derivada: Sea f al que exia el laplaciano, enonce. L f = e f d = e f + e f d Al inegrar por pare y reolver. L f = f + F () L f = e f d = e f + e f d L f = f + L f
L f = f f + 2 F () En general: L f n = f n 1 f n 2 2 f n 1 n 1 f + n F () Ejemplo: (3) Suponga que un reore iene una maa m y conane de reore k y ea ω = k/m. Suponga que la conane de amoriguamieno e an pequeña que la fuerza de amoriguamieno e inignificane. Si e aplica una fuerza exerna F = FoCo ω, demorar que la ecuación del movimieno eá dada por x = c 1 coω + c 2 enω + Fo/2mω enω Planeando la EDO lineal no homogénea m d2 x + kx = FoCo ω d2 En lugar de reolverla por coeficiene indeerminado, anuladore, variación de parámero e ejemplificará el iomorfimo del laplaciano llevándolo al epacio imagen del laplaciano (ranformada de laplace) y regreando al epacio original con la aplicación invera. Aplicando la ranformada de laplace: d 2 x d 2 + ω2 x = Fo Co ω m Por linealidad: L d 2 x Tranformando (al reolver la inegrale) Depejando F() y umando la fraccione: = L d 2 +ω 2 x Fo m Co ω L d 2 x d 2 + ω2 L x = Fo m L Co ω x x + 2 F () + ω 2 F () = Fo m 2 + ω 2 F = Fo m 2 +ω 2 + x + x 2 + ω 2 = Fo m 2 + ω 2 + x 2 2 + ω 2 + x 2 + ω 2
Aplicando ranformada invera y por linealidad. L 1 F = Fo m L 1 + x L 1 1 + x 2 +ω 2 2 2 +ω 2 L 1 Uilizando ranformacione conocida y abla de ranformada invera. Por lo ano: 2 +ω 2 x = Fo m 1 2ω enω + x 1 ω enω + x coω x = c 1 coω + c 2 enω + Fo/2mω enω Eo muera un ejemplo del uo de ranformada de laplace en la reolución de EDO lineal, en ee cao no e homogénea pero i e homogénea la olucione formaría un epacio vecorial, aí: m d2 x d 2 + kx = iene como olución a x = c 1coω + c 2 enω Por el principio de uperpoición y veremo u relación con lo epacio vecoriale. Su inervalo de olución e odo R y la conane n-paramérica perenecen al campo. Se demoró que x() cumple 1-8 propiedade de un epacio vecorial, moraremo u independencia lineal uilizando el wronkiano. W coω, enω = coω ωenω enω ωcoω W = ωco 2 ω + ωen 2 ω = ω Con eo x() neceia do bae para generar odo el epacio (y on LI) por lo ano ee epacio e de dimenión 2, en general una EDO lineal homogénea de orden n e de dimenión n. y algo inereane ambién e que una ola bae formaría un ubepacio (EDO de primer orden cuya olución ea cow y oro epacio generado por enw) y la uma de eo ubepacio e uma direca porque generan a odo el epacio y olo ienen en común a y=. Referencia: (1) Zill, Denni. Cullen Michael. Ecuacione Diferenciale con problema de valore en la fronera, épima edición. CENGAGE Learning. (2) SergeLang. Algebra Lineal, egunda edición. Yale Univeriy. Addion-Weley Iberoamericana. (3) Sewar, Jame. Cálculo de una variable, Tracendene Temprana. Sexa edición.