TEMA 12. ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD ESTADÍSTICA Prcedimient estadístic Variables Estadísticas Pblación y Muestra Es la relación entre ds magnitudes de manera que a cada valr de la primera le crrespnde un únic valr de la segunda Tablas de frecuencias Gráfics Estadístics Parámetrs Estadístics PROBABILIDAD Experiments aleatris Prbabilidad de un suces Espaci muestral. Sucess. Tips de sucess Sucess equiprbables Prbabilidad en sucess equiprbables: Regla de Laplace
1 ESTADÍSTICA POBLACIÓN Y MUESTRA En un estudi estadístic, la pblación es el cnjunt frmad pr tds ls elements del estudi. La muestra es una parte de la pblación que estudiams. El númer de individus que cmpnen una muestra se llama tamañ de la muestra, que debe ser un valr representativ de tda la pblación. VARIABLES ESTADÍSTICAS Una variable estadística es cualquier cualidad que estudiams en ls individus de una pblación de una muestra. Según sean sus valres, las variables estadísticas pueden ser: Cualitativas: Si ls valres que tman sn cualidades. Cuantitativas: Si ls valres que tman sn númers. A su vez, pueden ser: Discretas: cuand en cada tram sl pueden tmar un númer determinad de valres. Cntinuas: cuand en cada tram puede tmar infinits valres. Ejempls: Clr de rpa preferid es una variable cualitativa. Númer de hermans es una variable cuantitativa discreta. Estatura de una persna es una variable cuantitativa cntinua. FRECUENCIAS. TABLAS DE FRECUENCIAS Después de recger ls dats para un estudi estadístic, es cnveniente rdenarls y agruparls en tablas que permitan manejarls mejr. Si la variable es cuantitativa, ls valres se rdenan de frma creciente y se anta el númer de veces que aparece cada un Si la variable es cualitativa, se escribe cada valr y se anta el númer de veces que aparece cada un de ells. Llamams frecuencia absluta de cada dat, f i, al númer de veces que se repite. Pr tant, la suma de las frecuencias abslutas es el númer ttal de dats. La frecuencia relativa de un dat, f i, es el cciente entre la frecuencia absluta y el númer ttal de dats. Ls dats y las frecuencias se rganizan en una tabla de frecuencias, cn ls dats en la primera clumna y las frecuencias en las siguientes. Dats (x i) f i h i... GRÁFICOS ESTADÍSTICOS Además de las tablas de frecuencias, para rganizar ls dats, cnviene utilizar también gráfics estadístics adecuads al tip de variable que se estudia. Cuand las variables que estudiams sn cualitativas cuantitativas discretas, pdems utilizar un diagrama de barras: Se utilizan ls ejes cartesians, clcand en el eje hrizntal ls valres de la variable y en el eje vertical, las frecuencias. Así btenems barras cuya altura es prprcinal a la frecuencia que representa.
2 Sbre el diagrama de barras, pdems realizar un plígn de frecuencias, uniend ls extrems superires de las barras mediante una línea plignal. También pdems representar ls dats gráficamente mediante un diagrama de sectres: se btiene dividiend un círcul en sectres que representan a cada un de ls valres de la variable. La amplitud de cada sectr, su ángul, es prprcinal a la frecuencia del dat que representa. Cuand la variable es cuantitativa cntinua, se utilizará un gráfic llamad histgrama. PARÁMETROS ESTADÍSTICOS Sn valres representativs de td el cnjunt de dats. Ns permiten valrar la tendencia y la dispersión. Parámetrs de centralización: Indican valres cn respect a ls que ls dats parecen agruparse. Entre ells, destacan la media aritmética, la mediana y la mda. Media aritmética,x, es el resultad de dividir la suma de tds ls dats entre el númer ttal de dats. Mediana, M, es el valr central; es decir, el númer de dats que hay menres que él cincide cn el númer de dats que hay mayres. Para calcularla, se rdenan ls dats de menr a mayr y la mediana es el dat que cupa el centr ( la media aritmética de ls ds valres centrales si el númer de dats es par) Mda, M, es el valr de la variable que tiene mayr frecuencia. Parámetrs de dispersión: Indican la mayr menr cncentración de ls dats cn respect a las medidas de centralización. Entre ells tenems: rang, varianza y desviación típica. El rang es la diferencia entre el mayr y el menr de ls valres que tma la variable. La varianza, σ 2, es la media de ls cuadrads de las desviacines de ls dats respect a la media. (Se utilizan ls cuadrads para evitar que las desviacines psitivas y negativas se cmpensen). La desviación típica, σ, es la raíz cuadrada psitiva de la varianza. (Así la variable y este valr están expresads en las mismas unidades, l que n curre cn la varianza) PROBABILIDAD Un experiment es aleatri cuand n pdems predecir el resultad que se btendrá al realizarl; es decir, depende del azar. (Si se cnce el resultad, se denmina determinista) El espaci muestral en un experiment aleatri es el cnjunt frmad pr tds ls psibles resultads del experiment. Un suces es cualquier subcnjunt del espaci muestral. Llamams sucess elementales a cada un de ls resultads del experiment. Sn sucess cmpuests ls que están frmads pr ds más sucess elementales. Suces segur es el que curre siempre. Suces impsible es el que n puede currir nunca en ese experiment.
3 Sn sucess equiprbables ls que, en un determinad experiment, tienen la misma psibilidad de currir. La prbabilidad de un suces, p, indica la psibilidad de que éste curra. Es un númer cmprendid entre 0 y 1, y cuant mayr es, mayr será la psibilidad de que el suces curra. Representa el númer al que se aprxima la frecuencia relativa del suces al repetir el experiment indefinidamente. Cuand en el experiment realizad ls sucess elementales sn equiprbables, la prbabilidad de un suces A se puede calcular utilizand la regla de Laplace: p(a) = númer de cass favrables al suces A númer de cass psibles 1. El siguiente cnjunt de dats representa el númer de librs que han leíd durante un añ un grup de estudiantes encuestads: 3 4 7 8 2 1 5 0 7 2 6 3 5 4 6 3 3 5 2 3 5 4 7 6 3 3 1 5 4 3 5 4 9 5 7 4 a) Indica qué tip de variable estadística se está estudiand. b) Realiza una tabla de frecuencias abslutas y relativas. c) Realiza ds representacines gráficas distintas de ls dats. d) Halla ls tres valres de centralización estudiads. 2. La duración, en minuts, de 10 llamadas telefónicas ha sid: 8 4 7 4 8 6 5 4 7 8 Elabra una tabla estadística y calcula la media, la mediana y la mda. 3. Representa ls dats de la tabla en un diagrama de sectres: Edad (añs) 15 16 17 18 19 Frec. absluta 5 8 2 20 5 4. Las edades de uns alumns que intervienen en cmpeticines deprtivas sn: 12 14 15 16 14 13 12 14 15 13 12 12 14 13 14 12 13 15 16 12 14 14 13 16 14 12 13 14 14 15 15 12 14 14 16 12 a) Efectúa el recuent de dats, frma la tabla de frecuencias b) Representa gráficamente ls dats mediante un diagrama de barras y un de sectres. Dibuja el plígn de frecuencias c) Halla la media aritmética y la mda 5. El númer de hijs de 18 familias seleccinadas al azar es el siguiente: 1 2 3 0 2 1 1 0 5 2 1 0 2 2 1 4 1 6 a) Efectúa el recuent y frma la tabla estadística b) Representa mediante ds diagramas esta situación c) Calcula la media aritmética y la mda
4 6. Calcula la media aritmética de ls siguientes dats: a) 6, 7, 8, 8, 9 b) 9, 11, 12, 13, 14, 18, 20 c) 13, 15, 6, 7, 7, 3, 13 7. Lanzams al aire un dad de seis caras, numeradas cn 1, 2, 3, 4, 5 y 6 y bservams la puntuación btenida. a) Escribe el espaci muestral. b) Escribe ls siguientes sucess: A = Obtener un númer par = B = Obtener más de tres = C = Obtener mens de tres = D = Obtener más de ch = Ø (cnjunt vací) F = Obtener mens de ch = c) Entre ls sucess B y C cuál es el más prbable? d) Cuál de ls sucess anterires es un suces impsible? e) Cuál de ls sucess anterires es un suces segur? 8. Se lanzan ds mnedas distintas y se antan ls resultads. a) Escribe el espaci muestral. b) Indica el suces sacar ds caras ds cruces. 9. Se realiza un experiment aleatri que cnsiste en antar el númer de la bla sacada de una caja cn siete blas numeradas del 1 al 7. a) Frma el espaci muestral. b) Escribe ls elements del suces sacar un númer par. c) Escribe ls elements del suces sacar un númer menr igual que 3. 10. Se lanza un dad cn las caras numeradas del 1 al 6. Halla la prbabilidad de ls siguientes sucess: a) Obtener la cara 1. b) Obtener un múltipl de 4. c) Obtener un númer mayr que 3. 11. Se lanza un dad que tiene tres caras cn una A, ds caras cn una B y una cara cn una C. Qué letra es más prbable que aparezca? 12. Una urna tiene siete blas azules y seis verdes. Se extrae una bla al azar. Halla la prbabilidad de ests sucess. a) Sacar bla azul. b) Extraer bla verde. 13. En un aparcamient están aparcads ahra mism 32 cches y 8 mts. Se ye el mtr de un vehícul. Qué prbabilidad hay de que sea un cche? 14. En una baraja españla de 40 cartas, halla: a) La prbabilidad de btener una carta de cpas b) La prbabilidad de btener una carta que sea una figura c) La prbabilidad de sacar un 5 d) La prbabilidad de sacar el cuatr de espadas 15. En un jueg de cnstruccines hay 12 triánguls, 10 cuadrads, 8 rectánguls y 10 círculs. Se saca una figura al azar. Cuál es la prbabilidad de sacar cada una de las figuras? 16. En una blsa hay 5 blas verdes, 4 amarillas y 6 azules. Se saca una bla y resulta que es amarilla. Si n la vlvems a meter en la blsa, cuál es la prbabilidad de sacar una segunda bla amarilla? Y verde?