Capítulo 1: Introducción al álgebra

Capítulo 1: Introducción al álgebra por G 3 Agosto 2014 Resumen Usamos la clásica prueba de que 2 es irracional para introducir el lenguaje y los modelos de razonamiento típicos de la lógica (matemática) y el álgebra. Al mismo tiempo, esta prueba sirve como pretexto para introducir los conceptos de la aritmética de los números. La lógica está en la base del álgebra (de hecho, de todas las ramas de las matemáticas). La lógica sirve para hacer demostraciones de ciertos hechos que no resultan evidentes, o bien para confirmar la evidencia de otros. Por ejemplo: Teorema 1. El número 2 es irracional. En efecto, la última afrimación no es del todo evidente. Para empezar a entender que significa este teorema debemos contextualizarlo. Primero, qué es lo que entendemos por raíz cuadrada de un número? Definición 1. Decimos que un número y es la raíz cuadrada de un número x, si y 2 = x. Escribimos y = x. Queda claro entonces que la afirmación de teorema 1, puede traducirse diciendo que si y es un número tal que y 2 = 2, entonces y es irracional. Pero, qué significa que un número sea irracional? Describimos en seguida la clasificación típica de los números. 1

Números Naturales N. (De Natural en inglés). son: 1, 2, 3, 4,... Los números naturales Aveces se incluye el cero. En este curso empezaremos siempre con 1 la lista de los números naturales. En los números naturales definimos dos operaciones: suma y producto. La suma de los números naturales m y n es un otro número natural que denotamos m + n. El producto es otro número natural que denotamos mn. El producto en N puede entenderse como una suma, por ejemplo, el producto 3 4, cuyo resultado es 12, podemos verlo como la suma del número 4 con sigo mismo 3 veces: 3 4 = 4 + 4 + 4 = 12, o bien, también podemos verlo como la suma del número 3 con sigo mismo 4 veces: 3 4 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12. Pero la diferencia de números naturales en general no está definida dentro de los números naturales. Por ejemplo, el resultado de la operación 1 2 no existe en N. Aunque ciertamente, si m y n son números naturales tales que m < n, entonces el resultado de n m es un número natural, por ejemplo, 2 1 = 1, 7 3 = 4, etc. Postulamos entonces una definición con restricciones. Definición 2. Si m y n son números naturales tales que m < n, entonces definimos la diferencia de n menos m como el número natural n m tal que cumple n = (n m) + m. 2

Aquí hay que detenermos un momento. Debemos aclarar un poco más la naturaleza de la representación que usamos para las operaciones aritméticas básicas. Por supuesto, es factible hacer operaciones como 21346 + 5673 o (456223)(87215). Hay algoritmos específicos para ello que aprendemos desde la educación primaria. No importa qué par de números intervengan en realidad. El método es siempre aplicar el mismo algoritmo en todos los casos. Obtendremos siempre números naturales. De esta indudable confianza, afirmamos que, dados dos números naturales m y n, existen otros números naturales, m + n y mn. Este es un típico ejemplo de razonamiento inductivo usado no para probar un argumento, sino para definir un concepto matemático, en este caso, las operaciones artiméticas. Número enteros Z. (De Zahlen, número en alemán). Los números enteros son:..., 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,... Por supuesto, todo número natural es también un número entero. La relevancia del conjunto Z, es que la operación suma incluye también a la operación diferencia como caso particular. La cosa es asumir que cada número entero n tiene un inverso aditivo dentro de los mismos números enteros, que denotamos como n, de tal modo que se cumplen las igualdades n + ( n) = n + n = 0. Por supuesto, en todo este cuento, asumimos que el número cero es neutro para la adición, es decir, definimos el número entero 0 como el único número entero tal que para cualquier otro entero n, n + 0 = 0 + n = n. De tal suerte que el conjunto Z es como una extensión del conjunto N, pues asumimos que los inversos aditivos de los números naturales son justamente los números negativos, los cuales agregamos a N junto con el cero para completar al conjunto Z. 3

En general, para cualesquiera dos números enteros m y n, la diferencia de n menos m queda definida como la suma de n con el inverso aditivo de m, es decir, n m = n + ( m). Números pares. En Z están los números pares:..., 6, 4, 2, 0, 2, 4, 6,... En general, un número entero a es par si tiene la forma a = 2n, para algún entero n. Es decir, un número entero es par si, y sólo, si tiene al 2 como factor. Números impares. En Z están los números impares:..., 5, 3, 1, 1, 3, 5,... En general, un número entero a es impar si tiene la forma a = 2n + 1, para algún entero n. Pero aquí hay dos cuestiones interesantes acerca de ciertos hechos que casi siempre asumimos como obvios. Cuestión 1. Por qué un número par es distinto de un número impar? O de forma más simple, por qué 1 2? Cuestión 2. Por qué la colección de números enteros queda completa con la reunión de los números pares y los números impares? Puede parecer bastante raro llegar a este nivel de cuestionamientos, dado que nos parece evidente que un número par debe ser distinto de por sí de cualquier número impar. Finalmente, todo mundo sabe, por ejemplo, que tener 2 pesos es mejor que tener 1 peso. En cuanto a la segunda pregunta, es siempre obvio asumir que los enteros pueden ponerse en una lista creciente < 3 < 2 < 1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4

lo que implícitamente significa que no hay números enteros entre los huecos que hay entre cada número de la lista anterior. De modo que pares e impares completan todos los números enteros. Pero, Cuál es la razón de esta seguridad? Si es sólo la experiencia, entonces es legítimo preguntar donde está el dato de la experiencia que nos ofrece la razón para que existan los números negativos, o más aún, para los números irracionales. Así que la propia experiencia nos conduce también, inenudiblemente, a callejones aparentemente sin salida. Por ahora dejaremos hasta aquí esta discusión, aunque más adelante en el curso volveremos a ella, con mayores herramientas para abordarla. Asumiremos entonces que la reunión de los números pares e impares es la totalidad de los números enteros, y que dichos conjuntos de números son en todo diferentes (disjuntos o ajenos, en lenguage más preciso). Por los pronto probamos algunos hechos relativos a los números pares e impares Lema 1. Si a es un entero par, entonces a 2 es un entero par. Demostración. Si a es par, entonces tiene la forma a = 2n, para algún entero n. Luego, a 2 = (2n) 2 = 2 2 n 2 = 2(2n 2 ), y desde luego, el número 2n 2 es entero, y por tanto a 2 es par. Lema 2. Si a es un entero impar, entonces a 2 es un entero impar. Demostración. Si a es impar, entonces tiene la forma a = 2n+1, para algún entero n. Luego, a 2 = (2n + 1) 2 = 2 2 n 2 + 2(2n) + 1 = 2(2n 2 + n) + 1, y desde luego, 2n 2 + n es un número entero, y por tanto a 2 es impar. Teorema 2. Si a es un número entero, entonces a 2 es par si, y sólo si, a 2 es par. Observación 1. Este teorema está compuesto de dos partes: 5

Condición necesaria: a es par sólo si a 2 es par. Esto es, si a es par entonces a 2 es par. Decimos entonces que a 2 es par es una condición necesaria de a es par. Condición suficiente: a es par si a 2 es par. Esto es, si a 2 es par entonces a es par. Decimos entonces que a 2 es par es una condición suficiente de a es par. Demostración. Demostramos primero la condición necesaria. Supongamos que a es par. Debemos mostrar que a 2 es par. Pero ello ya está hecho en el lema 1. Ahora mostraremos la condición suficiente. Supongamos que a 2 es par. Queremos mostrar que a es par. Si no lo fuera, es decir, si a es impar, entonces del lema 2, se sigue que a 2 es impar, lo cual es contradictorio con nuestro supuesto. Así que a debe ser par. Números primos. Un conjunto de números realmente importante, es el de los números primos. Los números primos son los números naturales mayores que 1, que no tienen factores, salvo el propio número y el número 1. Dicho de otra forma, un número natural p es primo si p > 1, y si los únicos divisores de p son 1 y p mismo. En la tabla siguiente enlistamos los primeros 20 números primos 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71. De los números primos puede decirse tanto que calquier cosa que se diga aquí es muy poca cosa. Sólo recordaremos el teorema fundamental de la aritmética, conocido dese los cursos elementales. Teorema 3. Todo número natural mayor que 1 es un producto finito de números primos. 6

Demostración. La prueba de este hecho es casi elemental y el argumento es iductivo. Es decir, asumiendo que si n es un natural tal que todo número menor o igual que n puede escribirse como producto finito de primos, entonces se prueba que n + 1 cumple también dicha propiedad. Luego, dado que los números 2 y 3 son en sí mismos un producto finito de números primos, se desencadena la máquina inductiva, pues se sigue que también el 4 es un producto finito de primos (de hecho, 4 = 2 2), y de aquí que el 5 también lo es, y así mismo el 6, el 7, 8, 9, 10,... en síntesis, se sigue que todos los números naturales mayores que 1, son un producto finito de primos. Vamos con mayor detalle este argumento: Supongamos que n > 1 es un número natural tal que si 1 < k n, entonces k es un producto finito de números naturales. A este supuesto le llamamos hipótesis inductiva. Queremos verificar que n + 1 es también producto finito de primos. Pues bien, pasamos a analizar la naturaleza del número n + 1. Si n + 1 no es primo, entonces tiene un factor a tal que 1 < a < n + 1. Sea b el cociente de n + 1 dividido entre a. Como b n y a n, entonces, según la hipótesis inductiva, a y b son productos finitos de números primos, y dado que n + 1 = ab, se sigue que n + 1 es un producto finito de números primos, como queríamos ver. En caso de que n+1 sea primo, entonces n+1 es en sí mismo un producto finito de números primos y no hay nada más que hacer. Ahora, el paso crucial es verificar que en efecto existe algún n > 1 que cumple la hipótesis inductiva. Pues si esto ocurre, tendremos la certeza de que cualquier natural cumplirá lo que deseamos, según hemos mostrado arriba. Pero basta ver la lista de algunos de los primeros números naturales expresados como producto de primos (ver abajo) para asegurar con certeza que hay muchos naturales que cumplen la hipótesis inductiva. 2 = 2 3 = 3 4 = 2 2 5 = 5 6 = 2 3 7 = 7 8 = 2 2 2 9 = 3 3 10 = 2 5. 7

Se concluye así que los números primos son suficientes para construir el resto de los números enteros (junto con el cero y el uno), de ahí su nombre. Números racionales Q. (Del inglés Quotient, cociente). En cierto sentido, los números enteros son un conjunto incompleto, pues no admite en general la operación cociente. Por ejemplo, ecuaciones sencillas del tipo 2x 1 = 0, no tienen solución en Z. Pero si admitimos los cocientes de números enteros, entonces esta ecuación tiene por solución x = 1 2. Los números racionales son todos los cocientes de números enteros. Es decir, los números de la forma m n, donde m y n son enteros y n 0. Ahora bien, toda expresión racional de la forma m n tiene una expresión mínima, esto es, siempre existen enteros m y n sin factores comunes tales que m n = m n. Esto es fácil de verificar a partir del hecho de que todo entero es o bien un producto finito de números primos o bien el negativo de un producto finito de números primos. De modo que el mayor factor común de m y n se obtiene como el producto de todos los factores primos de m y n, incluyendo multiplicidades. Es decir, existe un número natural k, que llamamos máximo común divisor de m y n, igual al producto de todos los factores primos tanto de m como de n, expresados en su mayor potencia. Por tanto existe un par de enteros m y n sin factores comunes, tales que m = km y n = kn. De donde se obtiene la expresión reducida m n de m n. Ahora bien, todo número racional tiene una expansión decimal finita o bien periódica. En efecto, supongamos que m y n son números enteros donde n > 0 y m > 0. Entonces, en la división de m entre n, cuyo algoritmo representamos como n a 0 m r 1 8

el residuo es un número entero r 1 tal que 0 r 1 n 1. Continuando este algoritmo (en su caso), tenemos que, según lo que aprendimos en primaria, n a 0. a 1 m r 1 r 2 Nuevamente, el residuo r 2 es un entero tal que 0 r 2 n 1. En general, si continuamos sucesivamente este algoritmo, en cada momemento obtendremos siempre un residuo r k, el cual es un número entero entre 0 y n 1. Por lo tanto, dado que el conjunto de residuos 0, 1,...,n 1, es finito, en algún momento, digamos depués de k pasos, deberá suceder que r k = 0, o bien, r k 0 y r k = r j para algún j entre 1 y k 1. En el primer caso, cuando, r k m/n es finita. = 0, la expresión decimal del cociente En el segundo caso, cuando r k 0 y r k = r j para algún j entre 1 y k 1, la expresión decimal del cociente m/n es periódica. Recíprocamente, cualquier número con expresión decimal finita o periódica, es un número racional. En efecto. Sea x un número con expresión decimal finita, entonces x = a 0.a 1... a n, donde a 0 es un entero y cada a i es un número entre 0 y 9, i = 1,..., n. Entonces de donde 10 n x = a 0 a 1... a n, x = a 0a 1... a n 10 n. Por ejemplo, el número 21.34509, es igual a la fracción 2134509 100000. Por otra parte, si x es un número con expresión decimal periódica, digamos de la forma x = a 0.a 1 a 2 a n b 1 b 2 b k b 1 b 2 b k, 9

donde a 0 es un entero, y cada a i y a j son números entre 0 y 9. En este caso, el periodo está dada por la serie de números dígitos b 1 b 2... b k. Entonces de donde y por tanto 10 n x = a 0 a 1 a 2 a n.b 1 b 2 b k b 1 b 2 b k y 10 n+k x = a 0 a 1 a 2 a n b 1 b 2 b k.b 1 b 2 b k b 1 b 2 b k, 10 n (10 k 1)x = a 0 a 1 a 2 a n b 1 b 2 b k a 0 a 1 a 2 a n, x = a 0a 1 a 2 a n b 1 b 2 b k a 0 a 1 a 2 a n 10 n (10 k. 1) Por ejemplo, el número 11.34567567567 es igual a la fracción 1133433 99900. De esta forma, hemos dado una prueba más o menos formal del siguiente resultado. Teorema 4. Un número x es racional si, y sólo si, x tiene una expresión decimal finita o periódica. Números irracionales y números reales. Los números irracionales son, obviamente, los números que no son racionales. O sea, aquellos que no son cocientes de números enteros. O lo que es lo mismo, aquellos cuya expresión decimal no es finita ni periódica. El conjunto R de los números reales es la reunión de los números racionales e irracionales. Qué pasa entonces con el número 2? Con una calculadora de más de 60 cifras decimales, obtenemos que 2 1.414235623730950488016887242096980785671875376948073176679 Al menos hasta aquí, no se ve que esta cifra de decimales sea finita o al menos periódica. Tendríamos que encontrar una calculadora más poderosa para buscar algún periodo o para ver si en algún momento se acaba esta serie de cifras. 10

Obviamente, esta tarea es inútil. Si descubrimos, después de usar una calculadora más poderosa que esta serie de cifras no se acaba, y que no es posible identificar una serie de dígitos periódica, entonces necesitaremos otra calculadora más poderosa que la anterior, y así sucesivamente. Desafortunadamente, no hay un número infinito de calculadoras, ni hay calculadoras con la capacidad de calcular una infinidad de números decimales. (El equipo del profesor Daisuke Takahashi, en Japón, llegó a calcular el número π con una exactitud de hasta 2.5 billones de decimales). Debemos entonces encontrar un argumento que nos de una respuesta. Este argumento deberá ser de tipo deductivo. Prueba del Teorema 1. Supongamos que 2 es racional. Entonces existen enteros m y n, con n 0, tales que 2 = m n. Podemos escoger m y n sin factores comunes. Ahora, como m = 2n, se sigue m 2 = ( 2) 2 n 2 = 2n 2. Así que m 2 es par. Por tanto, m es par. Así, m = 2k para algún entero k. Pero entonces 4k 2 = m 2 = 2n 2, de donde n 2 = 2k 2. Por tanto n es par. Así que m y n tienen factor común 2. Pero esto contradice la elelección de m y n. Luego, 2 no es racional. En la prueba anterior hemos usado el método de demostración por contradicción, que ya usamos antes en la prueba del teorma 2. Este método es usual en todas las matemáticas. Existe una gran variedad de ideas y argumentos que dan origen a este tipo de pruebas. Para acabar estas notas ofrecemos un último ejemplo. Teorema 5. El número 3 es irracional. 11

Demostración. Supongamos que 3 es racional. Sean entonces p 1 y q 1 un par de enteros distintos de cero tales que 3 = p 1 q 1. Podemos suponer que p 1 y q 1 son positivos. Note que 1 < 3 (en virtud de que 1 < 3). Así que p 1 > q 1. Note ahora que 3 = 2 3 1 1 (Ello se sigue de la igualdad ( 3 + 1)( 3 1) = 2). De modo que Pero p 1 q 1 2 3 = p 1 q 1 1 1 = 3q 1 p 1. p 1 q 1 < 3. (En virtud de que 3 < 3 2 ). Así que 3q 1 p 1 > 0. Pero además, 3 2 < p 1 q 1 < 2, (En virtud de 3 2 < 2 2 (3) y 3 < 2 2 ). Así que 3q 1 p 1 < p 1 y p 1 q 1 < q 1. Sean p 2 = 3q 1 p 1 y q 2 = p 1 q 1. Hemos probado que 0 < p 2 < p 1, 0 < q 2 < q 1 y 3 = p 2 q 2. Repetimos entonces lo anterior para encontrar un par de enteros p 3 y q 3 tales que 0 < p 3 < p 2, 0 < q 3 < q 2 y 3 = p 3 q 3. Sucesivamente, podemos encontrar colecciones de números enteros 0 < < p n+1 < p n < < p 1 y 0 < < q n+1 < q n < < q 1, tales que 3 = pn q n. Pero esto significa en particular que entre 0 y p 1 hay una infinidad de números enteros, lo cual es imposible. Por lo tanto, 3 no puede ser racional. Es irracional. 12