Tema 8 Representación de funciones 8.1 Dominio y recorrido Página 17 Ejercicios 1. Obtén el dominio de las siguientes funciones. 3 d) f 6 Como se trata de una fracción, tendremos problemas si el denominador es cero. Busquemos los problemas. 6 6 Hemos de quitar el -6 del dominio pues anula el denominador. Por otro lado, en el numerador tenemos una raíz, que sólo tiene sentido si el radicando es positivo o cero. 3 3 Concluimos que el dominio de la función es Domf, 3 6 Tareas 1--1: todos los ejercicios que faltan del 1 Calcula el recorrido de las siguientes funciones. b) f 3 3 si Vamos a calcular una pequeña tabla de valores: y 3 3 19 3 3 3 3 3 15 Teniendo en cuenta que la epresión de la función es un cubo por dos menos una cantidad fija, me da la idea de que cuanto más a la izquierda esté del cero hasta muy cerca del los valores me saldrán negativos con un número grande; mientras que cuánto más a la derecha esté del cero hasta muy cerca del los valores me saldrán positivos cada vez con una cifra mayor. Entonces Im f 19, 15 Tareas 1--1: todos los ejercicios que faltan del Tareas 1--1:3 8. Cortes con los eje, signo, simetría y periodicidad. Página 173 Ejercicios Halla los puntos de corte con los ejes y estudia el signo de la función. b) f 16 b.1) cortes con los ejes. b.1.1) Cortes con el eje OX a, Es decir, hemos de encontrar los valores de para los cuales f Como la epresión de la función es una fracción, se anulará cuando el numerador es cero. 16 16 16 Los puntos de corte con el eje de abscisas son,,, b.1.) Cortes con el eje OY, b Hay que calcular f 16 El punto de corte con el eje de ordenadas es, b.) signo de f Como se trata de una fracción, será positiva si denominador y numerador tienen el mismo signo, y negativa en el otro caso. Veámoslo: 16 Resulta que un producto es mayor o igual que cero si los dos multiplicandos son mayores o iguales que cero. 1
Dado que según lo estamos desarrollando por cada opción me salen otras dos, vamos a cambiar de táctica construyendo una tabla para estudiar los signos, a partir de los ceros del numerador y denominador. intervalo,,,,, 16 - signo 16-1. Completamos esta tabla de signos habiendo sustituido un valor de cada intervalo en las dos primeras filas, calculando la tercera a partir de los resultados obtenidos en las dos anteriores. Conclusión: La función se pinta por encima del eje OX en los intervalos,,,. La función se pinta por debajo del eje OX en los intervalos,, Tareas 1--1: todos los ejercicios que faltan del 5 Cuáles de estas funciones son simétricas? b) f ln Tenemos que calcular f ln ln Ahora, comparamos esta epresión con la de f. Se tiene que f f Se trata de una función par, es decir, es simétrica con respecto al eje de ordenadas. Gráficamente: y 3 1-5 - -3 - -1 1 3 5-1 Claramente, si doblamos la hoja por el eje OY, ambas curvas coinciden. Tareas 1--1: todos los ejercicios que faltan del 5 6 Calcula el período de la función f sin 3 El período de la función sin es Sabemos que se cumple que f f T dado que nuestra función es una pequeña modificación de la función sin para un cierto T. Por lo tanto será sin 3 sin 3 T. En particular, dado que sin es periódica de período, la epresión anterior será equivalente a: sin 3 sin T 3 3 3 T 3 3 T 3
T 3 T 6 El periodo de la función sería 6 8.3 Ramas infinitas. Asíntotas Página 175 Ejercicios 7 Halla las asíntotas de las siguientes funciones. a) f 16 a.1) asíntotas verticales Hemos de ver dónde se anula el denominador: Tenemos dos candidatos para asíntotas verticales. Vamos a asegurarnos: lim 16 16 1 lim 16 16 1 De las dos concluimos que la recta vertical es una asíntota. lim 16 16 1 lim 16 16 1 De las dos concluimos que la recta vertical es una asíntota. 3.) asíntotas horizontales Hemos de estudiar los siguientes límites: lim 16 lim lim 16 lim lim 1 1 Entonces y 1 es una asíntota horizontal cuando lim 1 1 Entonces y 1 es una asíntota horizontal cuando 3.3) asíntotas oblicuas No hay pues hay asíntotas horizontales. Es decir, si hay oblicuas no hay horizontales y viceversa Gráficamente sería: Tareas 1--1: todos los ejercicios que faltan del 7 Tareas 19-3-13: 6 8.13 Aplicaciones a las Ciencias Sociales Página 185 Ejercicios 3
7 El tipo de interés anual, I(t) en %, ofrecido por una entidad financiera depende del tiempo t, en años, que se esté dispuesto a mantener la inversión a través de la epresión It 9t t 9. a) Calcula razonadamente cuántos años le conviene pactar a un inversor que trate de optimizar el tipo de inversión. Hemos de maimizar la función. Calculamos It para lo cual aplicamos la derivada del cociente y la derivada de un polinomio. It 9 t 9 9t t 9t 81 18t 81 9t t 9 t 9 t 9 Hacemos It, dado que se trata de un cociente, se anulará cuando el numerador sea cero. 81 9t 81 9t 81 9 t t 9 t 9 3 Como se está hablando de años sólo nos quedamos con t 3 Aún así, nos hemos de asegurar que ahí optimizamos la inversión. Calculamos It, de nuevo aplicando las mismas reglas que para la primera derivada. It 18t t 9 81 9t t 9 1 t t 9 18t t 9 81 9t tt 9 1 t 9 18t3 16t 3t 36t 3 t 9 3 Hallamos I3 86t 18t3 t 9 3 86 3 18 33 3 9 3 5 3 Recapitulando tenemos un punto que anula la primera derivada y la segunda es negativa, se trata de un máimo pues la segunda derivada nos está diciendo que en un entorno de 3, la función es cóncava con las ramas hacia abajo. Conclusión: le conviene pactar tres años. b) Si una inversión se mantuviese a muy largo plazo, el tipo de interés podría llegar a ser negativo? Justifica tu respuesta. 9t Habremos de hallar lim pues el grado del denominador es mayor que el del t t 9 numerador (polinómicamente hablando) Claramente esto nos dice que el interés nunca será negativo: cuanto más tiempo pasa, este es más pequeño. Tareas 17--1: 6 EJERCICIOS FINALES DEL TEMA 8 Calcula el dominio de las siguientes funciones. g) f 3 6 1 Se trata de un cociente con una raíz en el numerador, por lo que habrá problemas si el denominador es cero o el radicando es negativo. g.1) 3 6 3 6 6 Si hacemos 6 Nos queda resolver la siguiente ecuación de º grado completa 6, Solution is:,3 Resuelta aplicando la fórmula b b ac a
Por lo tanto 3 6 3 Tenemos la siguiente tabla para estudiar el signo del radicando: intervalo,3 3 3,,, signo signo 3 signo signo 3 6 La raíz tendría sentido en los intervalos 3,, g.) 1 1 1 El denominador tiene sentido en R 1 Conclusión: Domf 3,, 1 Tareas 17--1: 8 (c,d,e,f,h) Tareas 17--1: 31 3 Halla todas las asíntotas de las siguientes funciones, estudia el comportamiento de la función con respecto a sus asíntotas e interprétalas gráficamente. d) f 3 1 d.1) Asíntotas verticales Lo primero es ver los ceros del denominador: 1 1 1 Ahora hemos de estudiar el siguiente límite: lim 3 1 3 1 1 1 1 1 d.) Asíntotas horizontales Hemos de calcular los límites siguientes: lim 3 1 lim 3 1 lim 3 lim 3 lim lim Entonces no hay asíntotas horizontales. Por lo tanto, puede que haya oblicuas. d.3) Asíntotas oblicuas. Tienen la forma y m n. Hemos de calcular m y n. f m lim lim 3 1 3 lim 3 1 lim 3 1 n lim f m lim 3 1 lim lim 3 3 1 lim 1 lim lim 3 1 3 1 1 lim 3 Finalmente la asíntota oblicua es y cuando Habría que hacer lo análogo para Vamos a emplear otro método. f 3 3 1 1 Dado que el numerador es un polinomio de grado 3 y el denominador es un polinomio de grado, podemos hacer la división para hallar el cociente y el resto. 5
3 1 3 3 Entonces f 3 1 Ahora calculamos lim f lim 3 1 lim lim 3 1 lim lim De ahì que la asíntota oblicua sea y cuando Gráficamente sería: y 1 1 1 8 6-5 - -3 - -1 1 3 5 - Tareas 18--1: 3 (b,c,d,f) 35 Representa la función que cumpla las siguientes condiciones: Las rectas, e y son sus únicas asíntotas. Su derivada no se anula nunca y es negativa en todos los puntos en que está definida. Esta última condición está relacionada con la monotonía de la función, y nos dice que la función es siempre decreciente. a) Cuántas veces se anula una función con estas propiedades? Es decir, cuántas veces corta al eje de abscisas. Sólo dos. b) Puede la derivada segunda no anularse nunca? 6
La derivada segunda está asociada curvatura. Es decir, pueden no eistir puntos de infleión. No, tiene que haber un punto de infleión entre - y. Tareas 18--1: 36 37 Se considera la función f 3 1 6 3. a) Halla sus máimos y sus mínimos. Calcular f 6 6 Hacemos f 6 6, Solution is: 5, Se trata de una ecuación de º grado completa con a 6 b c 6 que se resuelve aplicando la fórmula b b ac a Las soluciones son 5, Se podría construir la tabla asociada al estudio de la monotonía de la función. Pero vamos a hacerlo más rápido con la segunda derivada. Calculamos f 1 Y hallamos su valor en los puntos obtenidos anteriormente: f5 1 5 18 en un entorno de 5 tenemos concavidad con las ramas hacia arriba. De ahí que la función tenga en 5 un mínimo f 1 18 en un entorno de tenemos concavidad con las ramas hacia abajo. De ahí que la función tenga en un máimo b) Determina sus intervalos de crecimiento y decrecimiento. Teniendo en cuenta el apartado anterior será: La función es creciente en, 5, La función es decreciente en, 5 Tareas 18--1: 39 Dada la función real de variable real definida por f 1 a) Calcula su dominio y sus asíntotas. a.1) Domf R 1 Como se trata de una fracción algebraica, habrá problemas si el denominador es cero: 1 1 a.) Asíntotas a..1) Verticales Tenemos que: lim 1 1 1 lim 1 1 1 De los dos deducimos que 1 si es una asíntota vertical. a..) Horizontales Tenemos que: lim 1 lim lim 1 1 lim 1 lim lim 1 1 De las dos deducimos que y 1 es una asíntota horizontal. a..3) Oblicuas No tiene pues tiene horizontales. b) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento 1 1 1 Calculamos f 1 1 1 1 1 Se trata de una epresión que es siempre positiva pues el numerador es positvo y el denominador es positivo para cualquier valor de la. De ahí que la función sea siempre 7
creciente. Tareas 1--13:,3 5 Esboza la gráfica de las siguiente funciones. d) f 1 d.1) Dominio Como se trata de una raiz cuadrada, solo tiene sentido si el radical es positivo o cero. 1 1 1 Ha de ser 1 1 Esto al ser un producto, se cumplirá si los dos multiplicandos son del mismo signo. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 vacio Entonces el Domf 1, 1 d.) Recorrido Como la epresión de la función es una raiz cuadrada, la imagen son todos los números reales positivos o cero menores o iguales que uno. (recuerda el resultado obtenido en el apartado anterior) Im f, 1 d.3) Simetrías Calcular f 1 1 f Tenemos una simetría con respecto al eje de ordenadas. d.) Monotonía Consideramos f 1 1 Calculamos: f 1 1 1 1 1 1 1 Hemos de hacer f Como se trata de un cociente, será cero si el numerador se anula. Tenemos la siguiente tabla de valores. Se advierte que el signof signo pues el denominador es una raiz cuadrada con el signo delante. signo/intervalo 1,, 1 signo - monotonía creciente máimo en decreciente 8
Vamos a evaluar la función en tres puntos: f1 1 1 1 1 1 1 1 f 1 1 1 1 1 1 1 f1 f1 d.5) Concavidad Calculamos la segunda derivada para estudiar su signo: f 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Teniendo en cuenta el dominio de la función, esta epresión es siempre negativa: el numerador es negativo mientras que el denominador es positivo por los valores que toma la (sólo hay problemas en 1, 1 que son los etremos del dominio). Por lo tanto, la función es siempre cóncava hacia abajo. Finalmente la gráfica es: Tareas 3-3-1: todos los ejercicios que faltan del 5 53 Cierta entidad financiera lanza al mercado un plan de inversión cuya rentabilidad, R, en euros, viene dada en función de la cantidad que se invierta,, en euros (para 1, por medio de la siguiente epresión: R. 1 5 5 a) Deduce razonadamente qué cantidad de dinero le conviene invertir a un cliente en dicho plan. La función es una parábola con las ramas hacia abajo, por lo que la máima rentabilidad se alcanzará para el valor de donde se encuentre el vértice de dicha curva, pues en ese valor se alcanza un máimo. b) Qué rentabilidad obtendría? Calculamos R. 5 Hacemos R. 5. 5 5. 5. Habría que invertir 5 euros para obtener 9
R5. 1 5 5 5 5 65. euros Tareas -3-13: 5,55 56 La producción de cierta hortaliza en un invernadero, Q en kg, depende de la temperatura, en ºC, según la epresión: Q 1 3 a) Calcula razonadamente cuál es la temperatura óptima a mantener en el invernadero. Habremos de estudiar donde se hallan los máimos de nuestra función. Para ello calcularemos Q 1 1 1 3 1 1 1 1 6 1 1 1 6 1 1 1 6 1 163 3 3 11 Hacemos Q 3 11 Como esta última epresión es un producto, será nulo si uno de los multiplicandos es cero: 1 1 1 1 Calculamos Q 31 1 1 1 31 1 3 61 Calculamos los valores de esta segunda derivada en los puntos donde se anula la primera: Q1 61 1 6 11 66 en un entorno de 1 la concavidad es con las ramas hacia arriba, de ahí que la función presente un mínimo. Q1 61 1 6 11 66 en un entorno de 1 la concavidad es con las ramas hacia abajo, de ahí que la función presente un máimo. Concluimos que nos interesa la temperatura de 1ºC b) Qué producción de hortaliza se obtendría? Sencillamente hay que hacer Q1 1 1 3 1 53 kg de hortaliza. Tareas -3-1: 59,6 57 En un trabajo de investigación sobre el rendimiento (en una escala de a 1) de cierta válvula durante horas de funcionamiento, unos ingenieros industriales han comprobado que dicho rendimiento se comporta de acuerdo con la siguiente función: 3 tt 1 Rt, t a) Cuánto tiempo debe permanecer funcionando la válvula para conseguir su máimo rendimiento? Justifica tu respuesta. 3 tt 1 Rt 1 3 tt 1 La función es una parábola con las ramas hacia abajo, por lo que la máima rentabilidad se alcanzará para el valor de donde se encuentre el vértice de dicha curva pues en ese valor se alcanza un máimo. La primera coordenada del vértice es b a pero no tengo la parábola en la forma y a b c Hallamos los cortes con el eje OX de la parábola: Rt 1 3 tt 1 Como se trata de un producto, se anulará si uno de los multiplicandos es cero: 3 t 3 t t 1 t 1 Los puntos de corte con el eje OX son 3,,1, 3 1 Entonces la primera coordenada del vértice es 1 La válvula ha de esta funcionando 1 horas. b) Representa y comenta la función. Como ya sabemos que se trata de una parábola, vamos a pintarla a partir de tres puntos. t R 1 3 1 75 t 1 R1 1 3 11 1 1 t R 1 3 1 51 1
y 1 8 6 6 8 1 1 1 16 18 En las primera diez horas el rendimiento de la máquina va aumentando para luego en las catorce siguientes ir perdiendo; es decir, la máquina calienta los músculos para alcanzar la máima potencia y luego, como está cansada va perdiendo potencia. 11