CÓNICAS
Superficie cónica Cuando una recta g que corta a otra recta e, gira alrededor de ella, genera una superficie cónica V
Las cónicas como secciones de un cono. Circunferencia Al cortar la superficie cónica con un plano se obtienen unas curvas que se llaman cónicas. Las distintas posiciones del plano determinan diferentes cónicas Circunferencia: cónica no degenerada que se obtiene cuando el plano secante es perpendicular al eje del cono, corta a todas las generatrices y no pasa por el vértice.
Las cónicas como secciones de un cono. Elipse Elipse: cónica no degenerada que se obtiene cuando el plano secante es oblicuo al eje del cono, corta a todas las generatrices y no pasa por el vértice.
Las cónicas como secciones de un cono. Hipérbola Hipérbola: cónica no degenerada que se obtiene cuando el plano es paralelo al eje del cono y no pasa por el vértice.
Las cónicas como secciones de un cono. Parábola Parábola: cónica no degenerada que se obtiene cuando el plano secante es oblicuo al eje del cono, paralelo a una generatriz y no pasa por el vértice.
Cónicas degeneradas Cuando el plano que corta a la superficie cónica contiene al vértice se obtiene una sección llamada cónica degenerada. Cónicas degeneradas El ángulo que forma el plano con el eje, es mayor que el ángulo formado por el eje con una generatriz El ángulo que forma el plano con el eje, es menor que el ángulo formado por el eje con una generatriz El ángulo que forma el plano con el eje, es igual que el ángulo formado por el eje con una generatriz
Estudio sintético de la circunferencia Circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro Centro C P Diámetro Arco
Posiciones relativas de un punto y una circunferencia Si d(p, O) > r el punto P es exterior Si d(p, O) = r el punto P está en la circunferencia Si d(p, O) < r el punto P es interior
Posiciones relativas de una circunferencia y una recta Si d(o, s) > r, la recta s es exterior. Recta y circunferencia no tienen puntos en común Si d(o, s) = r, la recta s es tangente. Recta y circunferencia tienen un punto en común Si d(o, s) < r, la recta s es secante. Recta y circunferencia tienen dos puntos en común
Posiciones relativas de dos circunferencias Si d(o, O') > r + r', las circunferencias son exteriores. Las circunferencias no tienen puntos en común Si d(o, O') = r + r', las circunferencias son tangentes exteriores. Si d(o, O') = r r', las circunferencias son tangentes interiores. Las circunferencias tienen un punto en común Si d(o, O') < r r', las circunferencias son interiores. Si además tienen el mismo centro son concéntricas. Las circunferencias no tienen puntos en común
Estudio analítico de la circunferencia P(x, y) Circunferencia d(p, C) = r (x a) 2 +(y b) 2 = r Ecuación analítica de la circunferencia: (x a) 2 +(y b) 2 = r 2 x 2 + y 2 2ax 2by + a 2 + b 2 r 2 = 0 x 2 + y 2 +D x + E y + F = 0 Inversamente: dada x 2 + y 2 +D x + E y + F = 0 su centro y el radio serán: 2a = D 2b = E a 2 +b 2 r 2 = F D a = 2 b = E 2 r = a 2 +b 2 F = 1 2 D 2 +E 2 4F
Condiciones para que una ecuación represente a una circunferencia kx 2 +ky 2 2akx 2bky+k(a 2 +b 2 R 2 )=0 Ax 2 +By 2 +Cxy +D x +E y + F =0 Identificando coeficientes se obtiene: De las dos primeras ecuaciones A = B = k. Y de las tres últimas: a = D 2A ; b = E 2A ; R = 1 2A C = 0 D2 +E 2 4AF Si es negativo no existe circunferencia
Potencia de un punto respecto a una circunferencia Los triángulos PAB' y PA'B son semejantes PA. PB = PA'. PB' Se define Pot c (P) = PA. PB = PA'. PB'
Expresión analítica de la potencia d = (x o a) 2 +(y o b) 2 Potc(P) = PA. PB = (d r) (d + r) = d 2 r 2 = (x o a) 2 + (y o b) 2 r 2 Por tanto: para hallar la potencia de un punto respecto a una circunferencia se sustituyen las coordenadas del punto en la ecuación de la circunferencia
Potencia y posición relativa P exterior a la circunferencia Pot c (P) > 0 P interior a la circunferencia Pot c (P) < 0 P sobre la circunferencia Pot c (P) = 0
Posiciones relativas de una recta y una circunferencia Para saber cuántos puntos en común tienen una recta a x + b y + c=0 y una circunferencia Ax 2 + Ay 2 + Bx + Cy + D = 0 hemos de saber cuántas soluciones tiene el sistema a x + b y + c = 0 Ax 2 + Ay 2 + Bx + Cy + D = 0 Al despejar y de la ecuación de arriba y sustituir en la de abajo obtenemos Mx 2 + Nx + P = 0 D = N 2-4 M P > 0 dos soluciones dos puntos de contacto D = N 2-4 M P = 0 una solución un punto de contacto D = N 2-4 M P < 0 sin solución sin puntos de contacto Recta secante Recta tangente Recta exterior
Eje radical de dos circunferencias Se define el eje radical de dos circunferencias como el lugar geométrico de los puntos del planos que tienen igual potencia respecto de ambas. Sean C 1 : x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 y C 2 : x 2 + y 2 + D'x + E'y + F' = 0. Para que un punto P(x, y) pertenezca al eje radical se ha de cumplir que Pot C1 (P) = Pot C2 (P). Es decir: x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = x 2 + y 2 + D'x + E'y + F' (D D') x + (E E') y + (F F') = 0 Por tanto: el eje radical de dos circunferencias es una recta.
Estudio geométrico del eje radical de dos circunferencias El eje radical es siempre perpendicular a la línea de centros
Estudio sintético de la elipse La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano, P, cuya suma de distancias a dos puntos fijos, llamados focos (F y F'), es constante, 2a. Por tanto: PF + PF' = 2a Eje secundario Vértices Eje menor Eje focal Eje mayor
Segmentos de la elipse. Relación fundamental A'A = A'F + FA = A'F + A'F' = 2a OA = OA' = a BB' = 2b OB = OB' = b FF' = 2c OF = OF' = c BF + BF' = 2a (BF = BF') 2 BF = 2a BF = a b a a c a a 2 = b 2 + c 2
Estudio analítico de la elipse Para obtener una ecuación sencilla de la elipse se sitúan los focos en el eje de abscisas simétricos respecto al origen de coordenadas, por lo que el centro de la elipse quedará en (0,0). Las coordenadas de los focos serán entonces F(c, 0) y F'( c, 0). P(x, y) elipse PF + PF' = 2a (x c) 2 +y 2 + (x + c) 2 +y 2 = 2a Eliminando radicales: (a 2 c 2 ) x 2 + a 2 y 2 = a 2 (a 2 c 2 ). Como a 2 c 2 = b 2. Obtenemos: b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2, y dividiendo por a 2 b 2 : x 2 a 2 + y2 b 2 = 1
Excentricidad de la elipse e = c/a 0 < e < 1 ya que 0 < c < a En la medida en que e se aproxima a 0 la elipse se parece más a una circunferenci En la medida en que e se aproxima a 1 la elipse se parece más a un segmento. Sucesivas elipses en las que a = 5. Los focos, cuando e pasa de 1 a 0, van acercándose cada vez más al centro. e = 0.1 e = 0.3 e = 0.5 e = 0.7 e = 0.9
La elíptica de la Tierra La trayectoria que sigue la Tierra alrededor del Sol es elíptica, de manera que el Sol se encuentra en uno de los focos. El semieje mayor de la elipse vale a = 1.485x10 8 km., y la excentricidad de la elipse es 1/62 (aproximadamente). Solsticio de Verano A' Equinoccio de Primavera Equinoccio de Otoño Sol Sentido de rotación de la Tierra a a c A Solsticio de Invierno El afelio (máxima distancia al Sol) se alcanza en junio y el perihelio (mínima distancia al Sol) en diciembre. Las estaciones dependen de la altura a la que se eleva el Sol sobre el horizonte durante el día y no de la distancia de la Tierra al Sol. A su vez dicha altura cambia porque el eje de rotación de la Tierra está inclinado con respecto al plano de la elíptica. En general los planetas tienen excentricidades pequeñas: así por ejemplo Marte tiene excentricidad 0'09, y Mercurio 0'25. Por el contrario algunos cometas (como el Halley) tienen excentricidades muy grandes (0'967).
Estudio sintético de la hipérbola La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano, P, cuya diferencia de distancias, en valor absoluto, a dos puntos fijos, llamados focos (F y F'), es constante, 2a. Por tanto: PF PF' = 2a Eje secundario Vértices Centro Eje focal Eje menor Eje mayor
Asíntotas de la hipérbola. Relación fundamental A'A = AF' A'F' = AF' AF = 2a OA = OA' = a BB' = 2b OB = OB' = b FF' = 2c OF = OF' = c Asíntota: y = (b/a) x F' b c c 2 = a 2 + b 2 a F 2b 2a Asíntota: y = (b/a) x
Estudio analítico de la hipérbola Para obtener una ecuación sencilla de la hipérbola se sitúan los focos en el eje de abscisas simétricos respecto al origen de coordenadas, por lo que el centro de la elipse quedará en (0,0). Las coordenadas de los focos serán entonces F(c, 0) y F'( c, 0). P(x, y) hipérbola PF PF' = 2a (x-c) 2 +y 2 (x+c) 2 +y 2 = 2a Eliminando radicales: (c 2 a 2 ) x 2 a 2 y 2 = a 2 (c 2 a 2 ). Como a 2 + b 2 = c 2. Obtenemos: b 2 x 2 a 2 y 2 = a 2 b 2, y dividiendo por a 2 b 2 : x2 a 2 y2 b 2 = 1
Hipérbola equilátera Giro de 45º A'( a, 0) F(-a 2, 0).. A(a, 0) F(a 2, 0) Si a = b la hipérbola recibe el nombre de equilátera. Entonces su ecuación será x 2 y 2 = a 2 y sus asíntotas serán y = x; y = x Las asíntotas se convierten en los ejes coordenados. La ecuación de la hipérbola ahora es xy = a 2 /2
Excentricidad de la hipérbola e = c/a e > 1 ya que c > a En la medida en que e se hace muy grande las ramas de la hipérbola se abren cada vez más En la medida en que e se aproxima a 1 las ramas se cierran sobre el eje OX. Sucesivas hipérbolas en las que a = 5. Los focos, al crecer e, se van alejando del centro e = 1.1 e = 2 e = 3
Tangente y normal a una elipse o una hipérbola en un punto Ecuación de la recta tangente: y f(x o ) = f '(x o ) (x x o ) Ecuación de la recta normal: y f(x o ) = ( 1/ f '(x o )) (x x o ) Propiedad de la tangente: los radio-vectores del punto P forman el mismo ángulo con la recta tangente en dicho punto.
Diferentes ecuaciones de la elipse y de hipérbola
Estudio sintético de la parábola La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano, P, que equidistan de un punto fijo F llamado foco y de una recta d llamada directriz. Eje P d(p, F) e = = 1 d(p, d) F: foco La excentricidad de la parábola es 1 Parámetro V: vértice d: directriz
Estudio analítico de la parábola: eje en OY y ramas hacia arriba Para obtener una ecuación sencilla de la parábola se puede situar el foco, F, en el eje de ordenadas simétrico respecto al origen de coordenadas de la directriz, d, que se sitúa paralela al eje de abscisas. La distancia desde el foco a la directriz se llama parámetro. Podemos entonces tomar (por ejemplo): F(0, p/2) y d: y = p/2 P(x, y) P(x, y) parábola d(p, F) = d(p, d) x 2 + y p 2 Eliminando radicales: x 2 = 2py y + p 2 0 2 + 1 2 2 =
Estudio analítico de la parábola: eje en OY y ramas hacia abajo Para obtener una ecuación sencilla de la parábola se puede situar el foco, F, en el eje de ordenadas simétrico respecto al origen de coordenadas de la directriz, d, que se sitúa paralela al eje de abscisas. La distancia desde el foco a la directriz se llama parámetro. Podemos entonces tomar (por ejemplo): F(0, p/2) y d: y = p/2 P(x, y) P(x, y) parábola d(p, F) = d(p, d) x 2 + y + p 2 Eliminando radicales: x 2 = 2py y p 2 0 2 + 1 2 2 =
Estudio analítico de la parábola: eje en OX y ramas hacia la derecha Para obtener una ecuación sencilla de la parábola se puede situar el foco, F, en el eje de abcisas simétrico respecto al origen de coordenadas de la directriz, d, que se sitúa paralela al eje de abscisas. La distancia desde el foco a la directriz se llama parámetro. Podemos entonces tomar (por ejemplo): F(p/2, 0) y d: x = p/2 P(x, y) P(x, y) parábola d(p, F) = d(p, d) x p 2 Eliminando radicales: y 2 = 2px x + p 2 1 2 + 0 2 2 + y 2 =
Estudio analítico de la parábola: eje en OX y ramas hacia la izquierda Para obtener una ecuación sencilla de la parábola se puede situar el foco, F, en el eje de abcisas simétrico respecto al origen de coordenadas de la directriz, d, que se sitúa paralela al eje de abscisas. La distancia desde el foco a la directriz se llama parámetro. Podemos entonces tomar (por ejemplo): F( p/2, 0) y d: x = p/2 P(x, y) P(x, y) parábola d(p, F) = d(p, d) x + p 2 Eliminando radicales: y 2 = 2px x p 2 1 2 + 0 2 2 + y 2 =
Diferentes ecuaciones de las parábolas (I) Se traslada el vértice a V(x o, y o ) Se traslada el vértice a V(x o, y o )
Diferentes ecuaciones de las parábolas (II) Se traslada el vértice a V(x o, y o ) Se traslada el vértice a V(x o, y o )
Tangente y normal a una parábola en un punto Ecuación de la recta tangente: y f(x o ) = f '(x o ) (x x o ) Ecuación de la recta normal: y f(x o ) = ( 1/ f '(x o )) (x x o ) Propiedad de la tangente: La tangente y la normal son las bisectrices de los ángulos que forman el radio vector de un punto P y una recta paralela al eje que pasa por P. Propiedad del foco: Todo rayo que sale del foco se refleja en la parábola con dirección paralela al eje. Todo rayo que llega paralelo al eje de la parábola se refleja sobre el foco
Una nueva visión de las cónicas Dado un punto F llamado foco y una recta fija d (que no pase por F) llamada directriz y un número e > 0, el conjunto de los puntos P del plano tal que d(p, F) = e. d(p, d) es una cónica de excentricidad e. Si e < 1 es una elipse Si e = 1 es una parábola Si e > 1 es una hipérbola Elipses Parábola Hipérbola
Ecuación general de las cónicas Las ecuaciones más sencillas de las cónicas se obtienen cuando los ejes coordenados coinciden con sus ejes. Qué forma tienen dichas ecuaciones cuando la cónica está situada en cualquier parte del plano? Elipse de ecuación x 2 9 + y2 Traslación de vector guía v = (1,4) 4 = 1 Elipse de ecuación (x- 1) 2 (y- 4)2 + = 1 9 4 Giro de centro el origen y amplitud 45º La ecuación general de una cónica es Ax 2 +Bxy+Cy 2 +Dx+Ey+F=0 donde A, B y C no son nulos a la vez ( 1 2 Elipse de ecuación (x+y) - 1 )2 ( 1 (- x+y) - 4)2 2 + = 1 9 4
Clasificación de las cónicas La gráfica de cualquier cónica no degenerada de ecuación Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 es una elipse si: B 2 4AC < 0 es una parábola si: B 2 4AC = 0 es una hipérbola si: B 2 4AC > 0 Además si B = 0 los ejes de la cónica son paralelos a los ejes coordenados y si B 0 la cónica tiene los ejes girados respecto a los ejes cartesianos La ecuación general de esta cónica es Ax 2 +Bxy+Cy 2 +Dx+Ey+F=0 con B = 0 y B 2 4AC < 0 La ecuación general de esta cónica es Ax 2 +Bxy+Cy 2 +Dx+Ey+F=0 con B = 0 y B 2 4AC > 0 La ecuación general de esta cónica es Ax 2 +Bxy+Cy 2 +Dx+Ey+F=0 con B = 0 y B 2 4AC = 0