ANÁLISIS DE PROBLEMAS DE CONACO USANDO ELEMENOS FINIOS * Luis F. G. Vásquez Chicaa Faculad de Ingeniería Civil - Universidad Nacional de Ingeniería - UNI Lima, Perú email: gonzalo@uni.edu.pe Palabras Clave: Elemenos Finios, Problemas de Conaco. Absrac: In his documen, a finie elemen analysis of conac problems based in he maser-slave algorihm is presened. he basic formulaion of he algorihm for boh fricionless and fricion problems is described. Also, some regularizaions of he algorihm are discussed. Finally, some applicaions are included. Resumen. En ese arículo, se presena el análisis de problemas de conaco basado en el algorimo de ineracción llamado maser-slave algorihm usando el méodo de elemenos finios. Se describe la formulación para problemas donde se incluye la fricción y en los cuales la fricción no se incluye. De igual forma, se presena algunas alernaivas de regularización con el fin de suavizar las funciones de ineracción. Finalmene, se presenan algunos ejemplos de aplicación del análisis descrio. INRODUCCION Los problemas de conaco y de impaco son frecuenes en la ingeniería. Ineracción enre dos edificaciones coniguas durane un sismo, insalación de piloes con fines de cimenación profunda, ineracción enre piezas mecánicas, engranajes, incluso en el campo bélico se pueden enconrar aplicaciones como el choque de proyeciles. El problema de conaco es en general un problema ridimensional. Sin embargo bajo cieras condiciones cieros problemas pueden ser analizados en dos dimensiones, por ejemplo, si se raa de la insalación de un piloe, el cual es circular y las condiciones de carga son siméricas respeco al eje del 3,4 piloe, enonces ese puede ser analizado bajo las hipóesis de axi-simería. El presene documeno presena la formulación para problemas de conaco que se pueda modelar bajo las hipóesis en dos dimensiones. El problema de conaco es un problema no-lineal, por lo cual es necesario el uso de algorimos de solución de problemas no lineales. El méodo de Newon -59-
Boleín N 1 del Insiuo de Invesigación - 2003 puede usarse con basane precisión. Para mejorar la convergencia del méodo de Newon es recomendable que las funciones a usarse sean coninuas hasa en la primera derivada. ALGORIMO DE INERACCION En ese documeno se presena el méodo de análisis de problemas de conaco basado en el algorimo de ineracción denominado maser-slave 1,2,3 algorihm. En ese algorimo de conaco, se define que la ineracción se desarrolla enre dos cuerpos: el cuerpo de conaco y el cuerpo objeivo, como se muesra en la figura 1. La ineracción enre los dos cuerpos se despliega a ravés de las superficies de conaco. En el cuerpo de conaco se encuenra la superficie secundaria (slave) y en el cuerpo objeivo se encuenra la superficie primaria (maser). El algorimo garanizará las ecuaciones de compaibilidad enre las superficies primaria y secundaria, evaluando la posible inclusión de los nudos secundarios (que perenecen a la superficie secundaria) en la superficie primaria, pero no evalúa la posible inclusión de los nudos primarios (que perenecen a la superficie primaria) en superficie secundaria. ANÁLISIS EN LA DIRECCIÓN NORMAL Ubicación del puno de conaco El primer paso en el proceso consise en definir las superficies de conaco primaria y secundaria, y por consiguiene, los nudos que perenecen a las superficies. Luego, se idenifican los nudos secundarios que evenualmene pueden ener una inclusión en la superficie primaria (peneración). Para ese propósio, se ubica el puno de conaco, a, el cual perenece a la superficie primaria. El puno de conaco se deermina de al forma que el vecor del nudo secundario al puno de conaco debe ser perpendicular a la angene en el puno de conaco, en forma algebraica: (Xa Xs) =. X = 0 (1) es el vecor angene a la superficie maesro en el puno de conaco, Xa es el vecor posición del puno de conaco, Xs es el vecor posición del nudo secundario, y X es el vecor cuyo módulo es la inclusión del nudo secundario en la superficie primaria. -60-
Faculad de Ingeniería Civil - UNI Cuerpo Objeivo inclusión ( l) Nudo secundario ( s) Superficie Primaria ( Objeivo) Puno de Conaco (a) n Cuerpo de Conaco Superficie Secundaria (Conaco) Figura 1.: Definiciones de superficies primaria y secundaria ano el puno de conaco, a,.como la angene pueden ser expresados como una función de las coordenadas de los nudos primarios (que perenecen al elemeno primario), usando las funciones de inerpolación, al como: Xa = N Xe, y = f B Xe (2) N es una mariz con las funciones de inerpolación de los nudos del elemeno finio que perenecen al borde donde se ubica el puno de conaco, Xees un vecor con los vecores posición de los nudos del elemeno finio que perenecen al borde donde se ubica el puno de conaco, B es una mariz con las derivadas de las funciones de inerpolación, B= N/ ξ, ξ es el parámero que indica la posición del puno de conaco en el borde del elemeno finio. -1<= ξ <= 1, y f es un facor de al forma que el módulo del vecor angene sea uno. Usando la ecuación (2) el vecor X se escribe como: X = ( N Xe Xs ) = H X (3) X es el vecor de posición de odos los nudos, primarios y secundarios, y H es una mariz de inerpolación para odos los nudos. Reemplazando (3) y (2) en (1) se obiene: ( B Xe ). ( H X ) = 0 (4) -61-
Boleín N 1 del Insiuo de Invesigación - 2003 Solucionando la ecuación (4) para el valor de ξ, con lo cual el puno Xa queda ubicado. El orden de la ecuación (4) depende de la aproximación del elemeno primario. Para elemenos lineales, se obiene una ecuación de segundo orden, fácil de resolver, mienras que para elemenos cuadráicos se obiene una ecuación cúbica. Incluyendo funciones para suavizar el elemeno primario, el orden de la ecuación se incremena. Para una ecuación cúbica o mayor, e incluso para ecuaciones cuadráicas, el méodo de Newon es una buena alernaiva para resolver la ecuación. Superficie Secundaria Puno de Conaco (a) Nudo secundario ( s) Xa Xs s X a n Superficie Primaria Elemeno primario Nudos primarios Figura 2.: Condición de posible inclusión Exise conaco enre el nudo secundario y el elemeno primario si -1<= ξ <= 1. La posición del puno de conaco se va evaluando durane el análisis, y se modifica apropiadamene si es que el puno de conaco (a), queda afuera del elemeno primario. Ecuaciones de Compaibilidad El nudo secundario ha penerado el segmeno primario, si la inclusión (l) es posiiva (al como se muesra en la figura 2), con lo cual se iene la condición de conaco, o que el conaco esá cerrado, en forma algebraica se iene: l = ( H X ). n > 0 (5) donde n es el vecor normal a la superficie primaria en el puno de conaco. -62-
-63- Faculad de Ingeniería Civil - UNI Si el valor l es negaivo no hay conaco enre las superficies, o el conaco esa abiero, que indica que se iene la condición de liberad. Para eviar problemas numéricos, algunas veces es necesario definir un valor negaivo pequeño como condición de conaco. La condición de conaco se garanizará si la inclusión es igual a cero, es decir: l = ( H X ). n = 0 (6) Se pueden mencionar 3 méodos que permien garanizar esa condición. El primer procedimieno es el méodo de la penalidad, el cual consise en muliplicar el valor a resringir (l) por una rigidez muy ala, de al manera que la condición se cumpla, es decir: K l = 0 (7) donde K es la rigidez muy ala que permie garanizar la condición de conaco. El valor de K debe seleccionarse de al manera, que sea lo suficienemene grande de al manera que la condición de conaco se cumpla, valores pequeños no garanizan la condición, pero no puede ser muy grande ya que puede ocasionar problemas numéricos en la solución. La segunda alernaiva consise en el méodo de los muliplicadores de 4 Lagrange. La condición se garaniza muliplicando el valor a resringir por el muliplicador de Lagrange, es decir: λ l = 0 (8) donde λ es el muliplicador de Lagrange. En ese procedimieno el valor de λ es obenido de la solución, es decir, el número de grados de liberad se incremena, por consiguiene, hay que agregar una ecuación para la solución del problema. El ercer méodo consise en el uso de la ecuación algebraica de la condición algebraica para la solución del problema. En el presene documeno se usa el méodo de la penalidad. Ecuaciones Consiuivas Cuando la inclusión se deeca, se aplica la condición de conaco. En general, se aplica en el nudo secundario una fuerza en la dirección de la normal, n fs = Fs n (9) n fs es la fuerza a aplicar en el nudo secundario en la dirección de la normal, y Fs es la magniud de la fuerza normal en la inerfase. Usando el méodo de la penalidad, la fuerza es obenida usando la expresión: Fs = Fs(l) = Ks l (10) Donde Ks es la rigidez ala a aplicar para garanizar la condición de
Boleín N 1 del Insiuo de Invesigación - 2003 conaco. En general, la rigidez a aplicar es consane, lo cual origina una función coninua para la fuerza normal; sin embargo, la derivada de la función de la fuerza normal no es coninua cuando l=0. Para ender a una convergencia cuadráica del problema no-lineal, es recomendable que las derivadas de las funciones ambién sean coninuas, por lo que se puede usar una función suavizada de al manera que la derivada sea coninua, al como se muesra en la figura 3b. Fuerza Normal (Fs) Fuerza Normal (Fs) 1 1 Ks Inclusión (l) l 1 l 2 Inclusión (l) a) Curva Fs vs l b) Curva Fs vs l suavizada Figura 3.: Fuerza normal de ineracción enre las superficies Ecuaciones de Equilibrio Para manener el equilibrio, se aplica una fuerza opuesa en el puno de conaco, la cual se disribuye enre los nudos del elemeno primario. La disribución se hace en función de las funciones de inerpolación, n n fe = - N fs = - Fs N n (11) n fe es el vecor de fuerzas aplicadas en los nudos del elemeno primario. rabajo Virual La conribución de las fuerzas en la ecuación de rabajos viruales es: n n VW = δue. fe + δus. fs (12) δue es el vecor de desplazamienos viruales de los nudos que -64-
-65- Faculad de Ingeniería Civil - UNI perenecen al elemeno primario, y δus es el vecor de desplazamienos viruales del nudo secundario. La ecuación (12) puede escribirse como: Reemplazando (9) y (11) en (13) enemos: La ecuación (14) puede escribirse como: n n VW = ( δue δus ). ( fe fs ) (13) VW = ( δue δus ). ( -FsN n Fs n ) (14) VW = - δu. ( Fs H n ) (15) donde δu es el vecor de desplazamienos viruales de odos los nudos, primarios y secundario. Para la solución del problema de conaco, que es un problema no lineal, se usa el méodo de Newon, enonces, es necesario conocer el cambio del rabajo virual, VW, que incluye la conribución de las ecuaciones de conaco en la rigidez del sisema. De la ecuación (15) el cambio en el rabajo virual, VW, es igual a: VW = - δu. ( Fs H n ) = - δu. ( H n ) Fs (16) Para un análisis con deformaciones finias será necesario incluir los cambios en la mariz H y en el vecor n, de al manera de mejorar la convergencia del méodo de Newon. De la ecuación (10) se obiene el cambio en la fuerza inerna Fs Fs = Fs(l) = l Fs(l)/ l = l F's(l) = Ks l (17) De la ecuación (6) se obiene el cambio en la condición de conaco l l = ( H X ). n = ( H U ). n = n ( H U ) (18) donde U es el cambio en el vecor de desplazamienos de odos los nudos, primarios y secundario. Para un análisis con deformaciones finias será necesario incluir los cambios en la mariz H y en el vecor n, de al manera de mejorar la convergencia del méodo de Newon. Reemplazando ecuaciones (17) y (18) en la ecuación (16) se iene: VW = δu. ( H n ) n ( H u ) F's(l) (19) Por lo ano, de la ecuación (15) se puede deerminar la conribución de las
Boleín N 1 del Insiuo de Invesigación - 2003 ecuaciones de ineracción al vecor de fuerzas como: n P = Fs H n (20) y, de la ecuación (19) se obiene la conribución de las ecuaciones de ineracción a la mariz angene del sisema: n K = F's(l) H n n H (21) Hay que noar que la conribución del análisis en la dirección normal a la mariz angene de la esrucura es simérica. ANALISIS EN LA DIRECCIÓN ANGENCIAL Ecuaciones de Compaibilidad En la dirección ransversal podría exisir un desplazamieno relaivo enre las dos superficies, el desplazamieno relaivo es función de las fuerzas de fricción que se pudieran desarrollar en la inerfase. Las fuerzas de fricción en la inerfase dependerá de la velocidad relaiva angencial enre los dos cuerpos o las dos superficies en el puno de conaco (figura 4). La velocidad relaiva angencial, m, se obiene de la expresión: m =. ( Va Vs ) =. V = 0 (22) Va es el vecor velocidad del puno de conaco, Vs es el vecor velocidad del nudo secundario, y V es el vecor velocidad relaiva enre las dos superficies en el puno de conaco. En el caso esáico, la velocidad relaiva se aproxima por el desplazamieno relaivo enre los dos cuerpo, enonces m se calcula por la expresión: m =. ( Ua Us ) =. U = 0 (23) Ua es el vecor de desplazamienos del puno de conaco, Us es el vecor de desplazamienos del nudo secundario, y Ues el vecor de desplazamienos relaivos enre las dos superficies en el puno de conaco. -66-
Faculad de Ingeniería Civil - UNI Superficie Secundaria X 2 Vs Velocidad relaiva ( m ) X 1 X a Va Vs V n Va Superficie Primaria Figura 4.: Represenación de la velocidad relaiva Usando la ecuación (2) el vecor U se escribe como: U = (N Ue Us) = H U (24) Ue es un vecor de desplazamienos de los nudos del elemeno finio que perenecen al borde donde se ubica el puno de conaco. U es el vecor de desplazamienos odos los nudos, primarios y secundario. Reemplazando (24) en (23), m se escribe como: Ecuaciones Consiuivas m =. ( H U ) = ( H U ). (25) 4 Las fuerzas de fricción pueden ser esimadas usando la clásica ley de fricción (Coulomb) en la cual la fuerza de fricción es igual a la fuerza normal muliplicada por el coeficiene de fricción. F = µn = µfs (26) f -67-
Boleín N 1 del Insiuo de Invesigación - 2003 F es la magniud de la fuerza de fricción, y f µ es el coeficiene de fricción El senido de aplicación de la fuerza de fricción es opueso al senido de la velocidad relaiva enre las dos superficies. Una alernaiva a la ley clásica de fricción es la llamada ley no-clásica de fricción en la cual se definen dos condiciones: de adherencia y de deslizamieno, al como se muesra la figura 5. En la condición de adherencia, el desplazamieno relaivo enre las dos superficies es basane pequeño, casi nulo, siendo la fuerza de fricción proporcional a la velocidad relaiva enre las superficies mienras que en la condición de deslizamieno, exise desplazamieno relaivo imporane enre las dos superficies, siendo la fuerza de fricción igual a la fuerza de Coulomb. En forma general, se puede definir la fuerza de fricción igual a la fuerza de Coulomb muliplicada por una función normalizada que depende de la magniud de m, es decir: F f es la fuerza de fricción en la inerfase, y f f es la fuerza de fricción normalizada F f = µ Fs f f(m) (27) La fuerza de fricción normalizada, esá represenada por las ecuaciones (como se muesra en la figura 5): f f= K fm m <= ε f (28) f f= 1 m >= εf f f= -1 m <= -εf K f es la pendiene de la curva correspondiene a desplazamienos relaivos pequeños, es llamado el modulo de fricción, y ε f es un parámero que define el límie enre las condiciones de adherencia y deslizamieno. En general, la fuerza de fricción es una función coninua; sin embargo, la derivada de la función no es coninua en varios punos. Para ender a una convergencia cuadráica del problema no-lineal, es recomendable que las derivadas de las funciones ambién sean coninuas, por lo que se puede usar una función suavizada de al manera que la derivada sea coninua, al como se muesra en la figura 5b. -68-
Faculad de Ingeniería Civil - UNI Fuerza de Fricción Normalizada (f f ) 1 f f 1 K f deslizamieno F f = µ F s f f 1 K= f 1/ ε f ε f ε 2 ε 1 ε f Velocidad relaiva (m ) ε 1 ε 2 m adherencia -1 deslizamieno -1 a) Ley de fricción no - clásica b) Ley de fricción no - clásica suavizada Ecuaciones de Equilibrio Figura 5.: Fuerza de fricción normalizada En forma similar al análisis de deformaciones normales, se aplica una fuerza al nudo secundario. La fuerza a aplicar dependerá de la magniud y dirección de la velocidad relaiva. Para deformaciones relaivas pequeñas, se impone la condición de adherencia, mienras que para deformaciones relaivas significanes se impone la condición de deslizamieno. La fuerza de fricción viene dada por: fs = F f = µ Fs f f (29) donde fs es la fuerza a aplicar en el nudo secundario en la dirección angencial. Para manener el equilibrio, se aplica una fuerza opuesa en el puno de conaco, la cual se disribuye enre los nudos del elemeno primario. La disribución se hace en función de las funciones de inerpolación, fe = - N fs = - F f N (30) donde fe es el vecor de fuerzas angenciales en los nudos del elemeno primario. -69-
Boleín N 1 del Insiuo de Invesigación - 2003 rabajo Virual La conribución de las fuerzas angenciales en la ecuación de rabajos viruales es: La ecuación (31) puede escribirse como: Reemplazando (29) y (30) en (32) enemos: La ecuación (33) puede escribirse como: El cambio en el rabajo virual, VW, es igual a: VW = δue. fe + δus. fs (31) VW = ( δue δus ). ( fe fs ) (32) VW = ( δue δus ). ( - F fn F f ) (33) VW = - δu. (F f H ) (34) VW = - δu. ( F fh ) = δu. ( H ) F f (35) De la ecuación (27) se obiene el cambio en la fuerza de fricción F f F = ( µ Fs f (m) ) = µ ( ϖfs f (m) + Fs f (m) ) (36) f f f f Reemplazando ecuación (15) en la ecuación (36): F = µ ( l F's(l) f (m) + Fs m f' (m) ) (37) f f f De la ecuación (25) se obiene el cambio en la velocidad relaiva Dm m = ( H U ). = ( H U ). = ( H U ) = 0 (38) Para un análisis con deformaciones finias será necesario incluir los cambios en la mariz H y en el vecor n, de al manera de mejorar la convergencia del méodo de Newon. Reemplazando ecuaciones (15), (16), (37) y (38) en la ecuación (35) se iene: VW = - δu. ( H ) ( n ( H U ) µ F's (l) f f(m)+ ( H U ) µ Fs f' f(m) ) (39) Por lo ano, de la ecuación (34) se puede deerminar la conribución de las ecuaciones de ineracción al vecor de fuerzas como: P = F f H (40) y, de la ecuación (39) se obiene la conribución de las ecuaciones de ineracción a la mariz angene del sisema: K = µ F's (l) f f(m) H n H + µ Fs (l) f' f(m) H H (41) -70-
Faculad de Ingeniería Civil - UNI Se puede noar que la conribución del análisis en la dirección angencial a la mariz de rigidez de la esrucura no es simérica. Cilindro Elásico Infinio EJEMPLOS DE APLICACIÓN Ese es un problema de conaco llamado del ipo Herz, un cilindro elásico de gran longiud apoyado en una base rígida, como se muesra en la figura 6. Debido a la simería, sólo se considera un cuadrane del cilindro con una carga 2 uniformemene disribuida. Como se raa de un cilindro de gran longiud, ése puede ser analizado bajo las hipóesis de esado plano de deformaciones. Figura 6.: Problema de conaco ipo Herz Se supone que el maerial es elásico lineal, isorópico y homogéneo, siendo 2 E=1000 /cm, v=0.3 y R= 8 cm. La base rígida se modela usando un valor grande para el modulo de elasicidad (E). El modelo de elemenos finios usado para el análisis se presena en la figura 7. La deformada considerando una carga de 640 se presena en la figura 8. En la abla 1 se presena una comparación enre los valores eóricos con los valores obenidos por el méodo de elemenos finios. La solución por el méodo de elemenos finios da una buena aproximación ano en las fuerzas como del radio de conaco. -71-
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Carga () Radio de conaco (cm) 5.2 Viga en voladizo eórico 2 Fuerza Máxima (r=0) abla 1.: Problema ipo Herz Faculad de Ingeniería Civil - UNI Análisis por elemenos finios Reacción () r=0 R~1 r~2 r~3 128 1.08 74.81 73.4 27.8 0.0 0.0 640 2.43 167.28 167.0 151.3 85.1 0.0 Ese problema es analizado bajo las hipóesis de esado plano de esfuerzos. La viga en voladizo es analizada omando considerado dos pares, la pare 5 superior esaría apoyada en la pare inferior. El conaco enre los dos cuerpos es el eje neuro de la viga. La geomería se presena en la figura 9. q H H Figura 9.: Viga en voladizo con una carga uniformemene reparida. 6 L=1.0m, H=0.1m, q=2x10 N/m, E=200 GPa, n =0. La malla de elemenos finios se presena en la figura 10. L Figura 10.: Malla de elemenos finios para la viga en voladizo -73-
Boleín N 1 del Insiuo de Invesigación - 2003 La viga es analizada variando el coeficiene de fricción en la inerfase. La abla 2 presena los resulados del desplazamieno del exremo libre Coeficiene de fricción Desplazamieno verical (cm) 0.0 6.7 0.1 6.6 0.2 6.5 2000 1.9 abla 2.: Viga en voladizo Para una viga homogénea se iene un desplazamieno eórico del exremo libre de 1.9 mm. Ese comporamieno se obiene para un coeficiene de fricción grande (ν=2000). En ese nivel hay un comporamieno de adherencia en odos los nudos de la superficie de conaco. Para valores pequeños del coeficiene de fricción, no exise la adherencia y las dos superficies ienen un desplazamieno relaivo. Debido a eso no se iene un comporamieno en conjuno y el desplazamieno verical es menor que la viga sólida. En las figuras 11 y 12 se muesran las deformadas para un coeficiene de fricción de 0.2 y 2000, respecivamene. Para el caso de fricción pequeña se puede noar el desplazamieno angencial relaivo en la inerfase, mienras que para la fricción ala no exise ese desplazamieno. Figura 11.: Deformada de la viga en voladizo para n=0.2-74-
Faculad de Ingeniería Civil - UNI Figura 12.: Deformada de la viga en voladizo para n=2000 CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES a) Se presenó el algorimo de ineracción para problemas de conaco denominado maser-slave algorihm. Se incluye la formulación para problemas en los cuales exise fricción enre las superficies. b) Dos ejemplos académicos son presenados. En el problema de conaco ipo Herz, se muesra muy buena correlación enre los resulados obenidos por el méodo de elemenos finios y los resulados eóricos. El problema de la viga muesra buena correlación con los resulados eóricos. Se necesia un coeficiene de fricción basane alo para garanizar un comporamieno en conjuno. c) La formulación puede ser exendida para oros casos de conaco, con diferene comporamieno ano en la dirección normal como en la dirección angencial. Algunos casos necesiarán el uso de varios parámeros que deberán ser calibrados con la ayuda de ensayos de laboraorio. d) Se ha presena la formulación para problemas ridimensionales (3D) que pueden ser modelados bajo las hipóesis de dos dimensiones (2D), por ejemplo: esado plano de esfuerzos, esado plano de deformaciones, -75-
Boleín N 1 del Insiuo de Invesigación - 2003 modelos axisiméricos, enre oros. La formulación puede ser exendida para problemas ridimensionales, modificado el borde del elemeno primario en el caso 2D por la cara del elemeno primario en el caso 3D. De igual forma se necesiarán dos parámeros (ξ,η) para la búsqueda del puno de conaco, en lugar de uno solo (ξ). e) La formulación puede ser exendida para oros casos de conaco, con diferene comporamieno ano en la dirección normal como en la dirección angencial. Algunos casos necesiarán el uso de varios parámeros que deberán ser calibrados con la ayuda de ensayos de laboraorio. REFERENCIAS 1 HALLQUIS, J., GOUDREAU, G., BENSON, D.; Sliding inerfaces wih conac-impac in large-scale, Lagrangian compuaions ; Compuer Mehods in Applied Mechanics and Engineering; V.51, pp. 107-137, 1985. 2 KIKUCHI, N., ODEN, J.; Conac Problems in Elasiciy; ICOM Repor 79-8, July 1979. 3 MABSOU, M., ASSOULAS, J.; A Finie Elemen Model for he Analysis of Pile Driving; ORC Repor, 1992. 4 VASQUEZ, L., ASSOULAS, J.; Finie Elemen Analysis of Sucion Piles; ECCOMAS 2000, Barcelona, España 2000. 5 ZHONG, Z.H.; Finie Elemen Procedures for Conac-Impac Problems; Oxford Science Publicaion; New York 1993. -76-