TEMA PROPORCIONALIDAD Resultado: pues ningún caramelo, y Pilarín es tonta. Eso, o algo parecido, fue lo que puse en la libreta; y me castigaron. Dos palmetazos y sin ir a comer a mi casa; por culpa de la tal Pilarín, la niña esa. Que yo pensé que lo mismo me había equivocado. Pero no; repasé con los dedos, y no. A ver: caramelos que dio a su hermanita, más 1 caramelo que dio a su primito, suman caramelos. Y si tenía caramelos, pues no le quedó ningún caramelo a Pilarín; y era más tonta que Abundio, que vendió el coche para comprar gasolina. Porque si hubiera dado uno a cada uno, le habría quedado otro a ella; y eso, pues estaba bien, y era lo que había que hacer cuando tú tenías tres caramelos, tu hermanita y tu primito, ninguno, y ellos se enteraban y se lo decían a tu madre, los puñeteros. Pero el problema no decía nada de eso, que a lo mejor es que faltaban datos El Ruiz me dijo que lo mismo Pilarín era diabética, como su tía, la de Ruiz, y que no podía tomar dulce porque se moriría. Pero se veía que no podía ser, porque entonces en el problema pondría: Un asesino da tres caramelos a una niña diabética que se llama Pilarín El florido pensil de Andrés Sopeña Monsalve IES ANTONIO CALVÍN 7
TEMA. PROPORCIONALIDAD 1. RAZONES Y PROPORCIONES. 1.1 RAZÓN a Una razón es el cociente indicado de dos números. Es decir el concepto de razón b se puede asociar al de fracción. Este término se utiliza de distintas maneras La razón de los números y es Los números 75 y 100 están en la razón de a, ya que su razón equivale a 75 100 1. PROPORCIÓN. Una proporción es la igualdad de dos razones: a b c d. Los términos a y d se llaman etremos y los términos b y c, medios. Evidentemente las fracciones que tienen el mismo valor numérico: a b y c d son fracciones equivalentes, esto es 15 0 0 = 15 60 = 60 0,75 y 15 0 0,75 las dos razones son iguales. a b c d Una proporción se lee como sigue: a es a b como c es a d 75 100 75 es a 100 como es a Para formar una proporción no sirven cuatro números cualesquiera: IES ANTONIO CALVÍN 8
5 6 8 9 forman proporción: 8 = 6 No forman proporción: 9 5 IVIDADES: 1. Elige la respuesta acertada: a) La razón de 15 y 0 es: 1, 5 ó b) la razón de 1 y 6 es 1 1, 1 ó. Forma dos proporciones diferentes con las siguientes razones: a) 1 b) 5 c) 15 6 d) 7 e) 1 IES ANTONIO CALVÍN 9
9 f) 1 50 g) 100 i) 15 5. Escribe tres parejas de números cuya razón sea 1. Cálculo del término desconocido de una proporción. Para calcular este término desconocido tendremos en cuenta que una proporción está formada por dos fracciones equivalentes. a) 9 = 9 = 6 6 = 1 b) 5 15 15 = 5 0 = 5 0 = 6 5 IVIDADES. Calcula el valor de la incógnita: a) 1 7 b) 5 IES ANTONIO CALVÍN 50
c) 7 d) e) 6 5 f) 7 10 5. Calcula el valor de la incógnita: a) 9 b) 50 IES ANTONIO CALVÍN 51
c) 11 1 d) 6 0 5 e) 6 1. MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES. Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando: al aumentar una la otra también aumenta al disminuir una la otra también disminuye MAGNITUD A a a a a MAGNITUD B b b b b Por ejemplo si queremos construir una tabla sabiendo que el precio de las manzanas es /kg. Cuantos más kg mayor será el número de euros por tanto son magnitudes directamente proporcionales: Masa (kg) 1 Precio( ) 6 9 1 Es decir, en la primera columna, hemos multiplicado por tanto la masa como el precio, y en la tercera por tres, y así sucesivamente. Lo que una magnitud aumenta la otra también. En el caso de magnitudes directamente proporcionales el cociente entre ellas es siempre el mismo, es decir, es constante, y se llama constante de proporcionalidad. Si, por ejemplo, cronometramos el tiempo de llenado de distintos lotes de botellas, con un grifo de caudal constante, y obtenemos los siguientes tiempos: IES ANTONIO CALVÍN 5
Nº botellas 5 t (min) 1 1,5,5 Cuánto tarda en llenarse una botella? Dividiendo en cualquiera de los pares de la tabla, el tiempo entre el número de botellas: 1 : = 0,5 1,5 : = 0,5 : = 0, 5 Siempre da 0,5, en este caso esta es la constante de proporcionalidad. IVIDADES: 6. Completa la siguiente tabla correspondiente a dos magnitudes directamente proporcionales y calcula la constante de proporcionalidad. A 1 8 B,5 5 7,5 5 50 7. Completa esta tabla para dos magnitudes directamente proporcionales y calcula su constante de proporcionalidad: A 1 5 8 B 1/ 1 8. Completa esta tabla sabiendo que la constante de proporcionalidad es : 5 18 0 60 IES ANTONIO CALVÍN 5
.1 Resolución de problemas. Regla de tres. La regla de tres se basa en una proporción Ejemplo: En unos caballitos de feria, un elefante da vueltas en 6 min. Si mantiene el ritmo, cuánto tardará en dar 5 vueltas? Regla de tres: 8 vueltas 1 min 5 vueltas proporción: 8 5 1 Solución : 5 1 = 7,5 min. 8 IVIDADES: 9. Un corredor de maratón lleva recorridos 15 km en 5 min. Si continúa a la misma velocidad, cuánto tardará en cubrir los próimos 6 km? Y en completar los km de la maratón? 10. Una máquina embotelladora llena 5 botellas en 5 min. Cuántas botellas podrá llenar en una hora? Cuánto tardará en llenar 180 botellas? IES ANTONIO CALVÍN 5
11. Una población ha consumido 0 dam de agua en 5 meses. Cuántos dam consumirá en un año? 1. La población del problema anterior se abastece de un embalse que contiene 100 dam de agua. Para cuánto tiempo tiene reservas, aunque no llueva?.. MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES. Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando: al aumentar una la otra disminuye al disminuir una la otra aumenta MAGNITUD A a a a MAGNITUD B b b : b : Si observamos la siguiente tabla de velocidad- tiempo, para ir de A a B, vemos que son magnitudes inversamente proporcionales ya que a mayor velocidad menor tiempo en recorrer el mismo espacio. v (km/h) 0 10 0 60 100 t (min) 0 60 15 10 6 En este caso, el producto de dos valores correspondientes es siempre el mismo, es decir, es constante: 0 0 = 10 60 = 0 15 = 60 10 = 100 6 =. Esta propiedad nos permite construir proporciones a partir de dos pares de valores, aunque de distinta forma que en la proporcionalidad directa: v (km/h) 0 10 0 t (min) 0 60 10 60 = 0 10 60 = 0 min. 0 IES ANTONIO CALVÍN 55
.1 Regla de tres inversa Cuatro operarios pintan una pared en 5 h. Cuánto tardarán diez pintores en realizar la misma tarea? op 5h 10op 5 10 h IVIDADES: 1. Completa la siguiente tabla de valores inversamente proporcionales: A 8 1 1 6 B 1 6 1. Seis trabajadores descargan un camión en dos horas. Cuánto tardarían en hacer el mismo trabajo ocho trabajadores? 15. Un ganadero tiene forraje para alimentar a sus 0 vacas durante 60 días. Si compra 10 vacas más, cuántos días podrá alimentarlas con las mismas provisiones? IES ANTONIO CALVÍN 56
16. Un coche tarda h en hacer el trayecto de A a B a una velocidad de 90km/h. Cuánto tardará en el viaje de regreso si va a 10 km/h?.. UN PORCENTAJE ES UNA PROPORCIÓN. El 0% de 50: 100 0 50 100 = 0 50 50 0 100 17. Calcula: IVIDADES: a) 5% de 580 b) 5% de 60 c) 80% de 575 d) % de 80 e) 150% de 500 IES ANTONIO CALVÍN 57
f) 10% de 00 18. En una ciudad de 500 habitantes, el 68% están contentos con la gestión municipal. Cuántos ciudadanos se encuentran satisfechos con el ayuntamiento?. PROBLEMAS DE PORCENTAJES..1 Cálculo del total, conocida una parte. Hoy han faltado a clase 6 alumnas, lo que supone el 0% del total. Cuántos alumnos y alumnas hay en la clase? TOTAL 100 alumn. 0 faltan 6 faltan 100 0 6 6 100 0 = 0 alumnos y alumnas hay en la clase. Cálculo del porcentaje, conocidos el total y la parte. En las últimas elecciones municipales, de un censo de 500 personas, el alcalde actual recibió el voto de 1500 ciudadanos. Qué porcentaje de votantes apoyó al alcalde? TOTAL 500 pers. 1500 apoyaron 100 pers. IES ANTONIO CALVÍN 58
500 1500 100 1500 100 = 60 % 500 El 60% de los ciudadanos apoyó al alcalde IVIDADES: 19. En una banda de música hay 0 personas, hoy han faltado 6. Cuál ha sido el % de ausencias? 0. Un hospital tiene 10 camas ocupadas, lo que representa el 8% de todas las camas disponibles. De cuántas camas dispone dicho hospital? 1. De 75 hombres encuestados solamente 76 declaran saber planchar. Qué % de hombres reconocen que saben planchar?. El % de los habitantes de una aldea tienen menos de 0 años. Cuántos habitantes tiene la aldea, si hay 90 personas menores de 0 años? IES ANTONIO CALVÍN 59
. Aumentos porcentuales. Las reservas de agua de cierta región, estimadas hace un mes en 60 hm, han aumentado un 15%. Cuáles son las reservas actuales? RESERVAS UALES = 60 hm + AUMENTO AUMENTO = 15% DE 60 = 100 15 60 60 100 = 9 hm 15 RESERVAS UALES = 60 hm + 9 hm = 99 hm RESERVAS UALES = 99 hm Un ordenador cuesta 700 más 16% de IVA Cuánto hemos pagado en total por el ordenador? 100 700 16 16 700 = 11 100 Luego el ordenador costará: 700 + 11 = 81 IVIDADES:. Un artículo que costaba 67E ha subido un 1%. Cuánto cuesta ahora? IES ANTONIO CALVÍN 60
. Juan ganaba 150 al mes y le han subido el sueldo en un 8%. Cuánto gana ahora? 5. Un abrigo cuesta 80 tras sufrir una subida del 1%. Cuánto costaba antes de la subida? 6. El valor de mis acciones, tras subir un 5%, es de 55. Cuál era su valor anterior?. Disminuciones porcentuales. Por ejemplo: Ciertos almacenes anuncian una rebaja del 15% en todos sus artículos. Cuál será el precio rebajado de un abrigo que marca 80? PRECIO REBAJADO = 80 - REBAJA Calculamos El 15% de 80 100 80 15 15 80 = 57 100 precio rebajado = 80-57 = IVIDADES: 7. calcula los precios rebajados un 15% de: Una chaqueta de 156, una falda de 80 y unos guantes de 18 IES ANTONIO CALVÍN 61
8. Una camisa, una vez rebajada cuesta 1,5. Cuál era su precio original? 9. Una aldea que tenía hace cinco años 875 habitantes, ha perdido en el último lustro el 1% de su población. Cuántos habitantes tiene la aldea actualmente. IES ANTONIO CALVÍN 6