MATEMÁTICA II (MECÁNICA) EXAMEN II I PARTE: APLICAR EL CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA A LAS SIGUIENTES FUNCIONES: Determinar: a.) Intervalos donde la función Crece b.) Intervalos donde la función Decrece. c) Máimo y Mínimos Relativos. d.)gráfica. 3 3 3 1) ( ) ( 1) ) ( ) ( )( ) 3) ( ) 4 f + f + 1 f ( ) 3 4) ( ) 8 5) ( ) 4 6) ( ) 4 f f f 1 7) f( ) sen cos( ) [ 0,π] 8) f( ) cos( π) 0, 6 9) f( ) + cos 0, 10) f( ) sencos 0, + [ π ] ) [ 0,π ] 11) f ( ) sen sen 0, 1) f ( Cos 1 + sen 13) f( ) + cos [ 0,4π] 14) f( ) sen( ) [ 0,4π] 15) f ( ) Sen + cos 0, 16) f ( ) sen + sen( ) 0, π 17) f( ) sen 0, 18) f( ) sec 0, 4 19) f( ) sen 0, 0) f( ) cos 0,4 1) f( ) sen cos() 0,π ) f( ) + sen 0,π + [ ] [ ] 3) f( ) ln 4) f( ) arcsen(1 + ) 5) ( ) e 6) ( ) ln 7) ( ) 8) ( ) f f f e f e 9) f( ) arctg 30) f( ) arccos 4 4 31) ( ) cos 3) ( ) f sen + f arctg
II PARTE: APLICAR EL CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA A LAS SIGUIENTES FUNCIONES: Determinar: a) Máimo y Mínimos Relativos b) Puntos de infleión c) Intervalos donde la función es cóncava hacia arriba d.) Intervalos donde la función es cóncava hacia abajo d.)gráfica. 3 1.) f( ).) f( ) 3.) f( ) + 1 + 3 + 1 3 3 4 4.) f( ) 5.) f( ) 4 6.) f( ) + + 1 cos π 3π π π 7) f( ) ;, 8) f( ) tg;, 1+ sen 1 1 9) f ( ) sen sen3 ; 0, 10) f ( ) cos( ) cos ; 0, 18 4 11) f( ) 1) f( ) 13) y 1 + 7 + 15 14 ) f ( ) sen + cos( ); 0, 15) f ( ) + ctg; 0, 16) f( ) sen; 0, 17) f( ) cos ; 0, f sen f tg 18) ( ) 4 ( ); 0, 19) ( ) ; 0, 0) f( ) sen+ cos ; 0, 1) f( ) (1 cos ); 0, f arctg f arcsen f arcsen ) ( ) ( ) 3) ( ) 4) ( ) 5) f( ) arcsen( 1) 6) f( ) ln + 3 7) f( ) ln( 3) 8) f( ) ln( + + 3) 9) f( ) ln 30) f( ) ln ln 31) f( ) ln 3) f( ) 33) f( ) ln 34) f( ) ln 35) f( ) e 36) f( ) e 37) f( ) e
38) f( ) e 39) f( ) cos + sen( ) 40) f( ) 3 ( 1) 3 3 41) ( ) 8 1 4) 3 f + y 9 43) y + 7 1 1 + 4 44) f( ) e 45) f( ) ( + ) e 46) f( ) e 47) f( ) e + 48) f( ) ( ) e 49) g( ) Ln( 4) 1 50) g ( ) 4+ 6Ln( + 1) 51) g( ) Ln( + 1) 1 5) g ( ) Ln ( ( ) ) 53) g ( ) + Ln( + 1) 54) f( ) Ln( ) + + 1 1 III PARTE: REALICE UN ESTUDIO GENERAL A LAS FUNCIONES DADAS. Determinar: a.) Dominio, b.) Asíntotas, c.)intervalos donde la función Crece d.) Intervalos donde la función Decrece e.) Máimo y Mínimos Relativos f.) Puntos de infleión g.) Intervalos donde la función es cóncava hacia arriba h.) Intervalos donde la función es cóncava hacia abajo I.) Cortes de la función con las asíntotas (horizontales u oblicua) j.)gráfica k.) Codominio 5 5 8 1) f( ), ) f( ), 3) f( ) 4 4 + 5 ( ) 4 3 3 4) f( ), 5) f( ), 6) f( ) 7 + 3 + 8 ( 9 ( ) ( ) 4 1 7) f( ), 8) f( ), 9) f( ) 4+ 3 3 ( ) 1 5 10) f( ), 11) f( ) 1) f( ) + 1 4 4 3 13) f( ) 14) f( ) 15) f( ) + 1 + 1 3 1 + 6 3 + 3 + 5 16) f( ) 17) f( ) 18) f( ) 16 + 3 5
+ 4 4 16 19) f() 0) f(), 1) f() 3 16 1 4 3 6 3 8 ) f( ) 3) f( ) 4) f( ) + 1 + 1 1 9 8 4 3 3 4 5 3 5) f( ) 6) f( ) 7) f( ) ( + ) 3 3 3 8) f( ) 16 9 9) f( ) 30) f( ) - + 1 3 1 3 3 3 31) f( ) 6 + 3) f( ) 33) f( ) 3 3 + 1 34) f( ) 35) f( ) 36) f( ) 3 4 4 8 4 3 3 ( + 5 ) 1 3 cos 1 37) f( ) 38) f( ) 39) f( ) 3 + + sen ( 1) 1 4 6+ 1 5+ 5 40) f( ) + 41) f( ) 4) f( ) + 1 4 4 3 1 43) f( ) 44) f( ) 45) f( ) + 7 + 15 + 46) f( ) 47) f( ) 48) f( ) 4 5 1 4 4( 1) 3 5 3 3 1 4 + + IV PARTE: PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN 1.- Un proyectil es disparado con una velocidad v o y un ángulo de elevación Ө desde la base de un plano inclinado a 45º con respecto a la horizontal, el alcance del proyectil, medido sobre la pendiente está dado por Qué valor de Ө maimiza a R? v R( θ ) o (cosθ senθ cos 16 θ ).
.-Se dispara un proyectil verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 10 m/s. Su altura sobre el suelo t segundo después está por S(t) - 4,9 t + 10 t. Calcular el tiempo en el que el proyectil llegará al suelo de regreso y su velocidad en ese momento. Cuál es la altura máima alcanzada por el proyectil? Cuál es la aceleración e cualquier instante t? 3.- Se dispara un proyectil verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 144 pies/s, su altura sobre el suelo S(t) (en pies) a los t(seg.) está dada por S(t) 144t - 16t. Cuál es la velocidad y cuál es la aceleración a los t seg? Cuáles son a los 3 s.? Cuál es la altura máima? Cuánto llega al suelo? 4.- En un triángulo isósceles, los lados iguales miden 0 cm. cada uno. Hallar la longitud de la base para que el área sea máima. 5.- Un alambre de 36 cm. de largo se va a partir en trozos. Una de las partes se ha de doblar en forma de triángulo equilátero y la otra en formas de un rectángulo cuya longitud es el doble de su anchura. Cómo debe partirse el alambre para que a suma de las áreas del triángulo y el rectángulo sea mínima? 6.- Una ventana tiene forma de un rectángulo coronado por un triángulo equilátero. Encuentre las dimensiones del rectángulo para el cual el área de la ventana es máima, si el perímetro de la misma debe ser 1 pies. 7.- La distancia R OA (en el vacío) que cubre un proyectil, lanzando con velocidad inicia, V 0 desde una pieza de artillería que tiene un ángulo de evaluación φ respecto al V0 Sen φ horizonte, se determina según la fórmula: R Determinar el ángulo φ con g el cual la distancia R es máima dada la velocidad inicial V 0. 8.- Un terreno rectangular se encuentra adyacente a un río y se debe cercar en 3 lados, ya que el lado que da al río no requiere cerca. Si se dispone de 100 m de cerca, encuentre las dimensiones del terreno con el área máima.
9.- Hallar dos números positivos que minimicen la suma del doble del primero más el segundo, si el producto de los dos números es 88. 10.- Dos postes de 0 y 8 pies de altura respectivamente se encuentran a 30 pies de distancia. Se han de sujetar con cables fijados en un solo punto, desde el suelo a los etremos de los puntos. Dónde se han de fijar los cables para que la cantidad de cable a emplear sea mínima? 11.- Calcular el volumen máimo del cilindro circular recto, que se puede inscribir en el cono de 1 cm. de altura y 4 cm. en la base, de manera que los ejes del cilindro y del cono coincidan. 1.- Una esfera tiene un radio de 6 cm. Hallar la altura del cilindro de volumen máimo inscrito en ella. 13.- Un trozo de alambre de 10 m de longitud se va a cortar en dos partes. Una parte será doblada en forma de circunferencia y la otra en forma de cuadrado. Cómo deberá cortarse el alambre para que: a) El área combinada de las dos figuras sean tan pequeñas como sea posible. b) El área combinada de las dos figuras sean tan grande como sea posible? 14.- Un granjero dispone de 00 m. de valla para cerrar dos corrales rectangulares adyacentes. Qué dimensiones harán que el área encerrada sea máima? 15.- Hallar dos números cuya suma es 18, sabiendo que el producto de uno por el cuadrado el otro es máimo. 16.- Se dispone de una lámina de cartón cuadrada de 1 cm. de lado. Cortando cuadrados iguales en las esquinas se construye una caja abierta doblando los laterales. Hallar las dimensiones de los cuadros cortados para que el volumen sea máimo.
17.- Cuál será la forma rectangular de un campo de área dada igual a que sea cercado por una valla de longitud mínima? 36 Dm para 18.- Se quiere cercar un campo rectangular que está junto a un camino. Si la valla del lado que está junto al camino cuesta $ 8 el metro y para los lados $ 4 el metro, halla el área del mayor campo que puede cercarse con $ 1.440. 19.- Una esfera tiene un radio de 6 cm. Hallar la altura del cilindro de volumen máimo inscrito en ella. 0.- Para hacer un filtro de laboratorio, se pliega un papel circular. Si el radio de dicho papel mide 9cm. Calcular la altura del cono que se forma para que el volumen sea máimo. 1.-De todos los triángulos isósceles de 1 m de perímetro, hallar el de área máima..- En un triángulo isósceles, los lados iguales miden 0 cm. cada uno. Hallar la longitud de la base para que el área sea máima. 3.- Se desea construir un tanque de acero con la forma de un cilindro circular recto y semiesferas en los etremos para almacenar gas propano. El costo por pie cuadrado de los etremos es el doble de la parte cilíndrica. Qué dimensiones minimizan el costo si la capacidad deseada es de 10 π. ft? 4.- Determine las dimensiones del rectángulo que se puede inscribir en un semicírculo de radio a de manera que dos de sus vértices estén sobre el diámetro. 5.- Encuentre el punto de la gráfica y + 1 más cercano al punto (3, 1).
6.- Un alambre de 36 cm. de largo se va a partir en trozos. Una de las partes se ha de doblar en forma de triángulo equilátero y la otra en formas de un rectángulo cuya longitud es el doble de su anchura. Cómo debe partirse el alambre para que a suma de las áreas del triángulo y el rectángulo sea mínima? 7.- Una ventana tiene forma de un rectángulo coronado por un triángulo equilátero. Encuentre las dimensiones del rectángulo para el cual el área de la ventana es máima, si el perímetro de la misma debe ser 1 pies. 8.- Para que un paquete pueda enviarse por correo es necesario que la suma de su longitud y el perímetro de su base no eceda de 108 pulgadas. Encuentre las dimensiones de la caja con base cuadrada de mayor volumen que se puede enviar por correo. 9.- Un buque militar se encuentra anclado a 9 km. del punto más próimo de la costa. Se precisa enviar un mensajero a un campamento militar situado a 15 km. del punto de la costa más próimo al buque, medido a lo largo de la costa; el mensajero andando a pie hace 5 km./h y remando 4 km./h; En qué punto de la costa debe desembarcar el mensajero para llegar al campamento en el mínimo tiempo posible? 30.- De un tronco redondo de diámetro d hay que cortar una viga de sección rectangular Qué ancho () y altura (y) deberá tener esta sección para que la viga tenga resistencia máima posible. A) A la compresión, B) A la fleión? 31.- Se desea fabricar una caldera compuesta de un cilindro y dos fondos semiesféricos, con paredes de espesor constante, de modo que con el volumen dado V tenga una suficiente eterior mínimo. 3.- Se desea construir una caja sin tapa con base rectangular de cartón de 16 cm. de ancho y 1 cm. de largo, recortando un cuadrado de cada esquina y doblando los
lados hacia arriba. Calcular el lado del cuadrado para el cual se obtiene una caja de volumen máimo. 33.- Se desea elaborar un pequeño recipiente cilíndrico sin tapa, que tenga un volumen de 4 π cm 3. El material que se usa para la base cuesta tres veces más que el que se emplea para la parte cilíndrica. Suponiendo que en la construcción no se desperdicia material, evaluar las dimensiones para las que es mínimo el costo del material de fabricación. 34.- Dos postes de 0 y 8 pies de altura respectivamente se encuentran a 30 pies de distancia. Se han de sujetar con cables fijados en un solo punto, desde el suelo a los etremos de los puntos. Dónde se han de fijar los cables para que la cantidad de cable a emplear sea mínima? 35.- Se va a construir un calentador para agua en el forma de un cilindro circular recto con eje vertical, usando para ello una base de cobre y lados de hojalata; si el cobre cuesta 5 veces lo que la hojalata. Calcule la razón se la altura al radio r, que hará que el costo sea mínimo cuando el volumen V es constante. 36.- Hallar un número positivo cuya suma con su inverso sea mínima. 37.- Dado un círculo de radio 4 m. inscribe en él un rectángulo de área máima. 38.- Calcular las coordenadas de los puntos de la parábola y 4, tales que sus distancias al punto A (4,0) sean mínimas. 39.- Si una lata cerrada de estaño con un volumen de 3 16 π plg debe tener la forma de un cilindro circular recto, determine la altura y el radio de dicha lata para utilizar la mínima cantidad de material en su manufactura.
40.- Un cilindro circular recto va a ser inscrito en una esfera con determinado radio. Calcular la razón de la altura del radio de la base del cilindro que tenga la mayor área de superficie lateral. 41.- Hallar dos números cuya suma es 18, sabiendo que el producto de uno por el cuadrado el otro es máimo. 4.- Un arquitecto quiere diseñar una ventana en forma de rectángulo coronado por un semicírculo. Si el perímetro de la ventana esta limitado a 4m, que dimensiones debería elegir el arquitecto de manera que la ventana permita entrar la mayor cantidad de luz? D. R. JULIO 007 Nota: Estos son ejercicios recopilados de varios tetos de diferentes autores