Antidiferenciación. Métodos de integración.

Capítulo 1 Antidiferenciación. Métodos de integración. 1.1. Antidiferenciación Definición 1 Sea las funciones f y F definidas en un intervalo I, entonces F es una antiderivada de f sobre I ssi: F (x) = f(x), x I. El proceso de encontrar una antiderivada de una función se denomina antidiferenciación. Ejemplo 1 Si f(x) = 5x 4, entonces F 1 (x) = x 5,F (x) = x 5 +,F 3 (x) = x 5 +107,son antiderivadas de f en R. En efecto, F 1 (x) = F (x) = F 3 (x) = 5x4, x. Luego si C es una constante, podriamos decir de F(x) = x 5 es siempre una antiderivada de f en R. Teorema 1 Supongamos que las siguientes condiciones son satisfechas: (a) F es cualquier antiderivada de f sobre I, (b) C es cualquier constante, (c) G(x) = F(x), donde x I Entonces G es una antiderivada de f sobre I. Teorema Si F y G son antiderivadas de f sobre un intervalo I entonces existe un número C tal que: G(x) = F(x), x I Teorema 3 Si H (x) = 0 x I, entonces H es constante en I. Ahora usaremos el simbolismo f(x) para denotar una antiderivada arbitraria de f sobre un intervalo. Definición Sea C una constante y f definida sobre I. Entonces: f(x) = F(x), x I ssi F (x) = f(x), x I. 1

CAPÍTULO 1. ANTIDIFERENCIACIÓN. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN. Teorema 4 (a) Si k es cualquier número, entonces k = kx (b) Si k es cualquier número y r Q { 1}, entonces kx r = kxr+1 r+1 Ejemplo 3x = 3 x3 3 = x3. 6x 3 = 6 x = 3x = 3 x. 1 = 1 x 1 / x 1 = x 1 / = x / Teorema 5 Si k cualquier número y F es una antiderivada de f sobre un intervalo I, entonces kf(x) = kf(x), x I. En conclusión podemos expresar kf(x) = k f(x). Teorema 6 Si F 1,F,...,F n son antiderivadasde f 1,f,...,f n sobreun intervaloi, respectivamente. Entonces [f1 +f +...+f n ] = F 1 +F +...+F n (x), x I = f 1 (x)+ f (x)+...+ f n (x) Ejemplo 3 1 Encontrar (x 3 4x +10) = (x 3 4x +10) = x 3 + 4x + 10 donde C = C 1 3. Encontrar (x +4) x 1 / = (x +4) = x4 4 1 + 4x3 3 +10x 3 = x4 4 4x3 3 +10x, x 1 / = x 4 +8x +16 x 1 / = (x 7 / +8x 3 / +16x 1 / ) = 9 x9 / +8 5 x5 / +16 x 1 / = 9 x9 / + 16 5 x5 / +3x 1 / Teorema 7 (Regla de la cadena para la Antidiferenciación) Si g es una función diferenciable sobre un intervalo I, y f tiene una antiderivada F sobre I que contiene todos los números g(x) cuando x I, entonces: f(x) g (x) = F(g(x)), x I

1.1. ANTIDIFERENCIACIÓN 3 Demostración 1 Por hipotesis, F (s) = f(s), si s J. Entonces por la regla de la cadena D x (F g) = F (g(x)) g (x) = f(g(x)) g (x) si x I. Nota:Elteoremaanteriornospermiteobtener f(g(x)) g (x)haciendolasustituciónu = g(x) y du = g (x). Así podemoss escribir f(g(x))g (x) = f(u) du = F(u) Teorema 8 (Fórmula general para la antidiferenciación de potencias) Si g es una función diferenciable en I, k cualquier número, r Q { 1}, entonces x I. k(g(x)) r g (x) = k (g(x))r+1 r+1 Ejemplo 4 Encontrar 3 x +1 x x +1 = g(x), g (x) = x, (g(x)) 3 g (x) = (g(x))4 4 = (x +1) 4 4 Ejemplo 5 Encontrar x x 3 +8 1 du = 1 3 u 3 Ejemplo 6 (5x 4) 10 = Ejemplo 7 Encontrar u = x3 +8, du = 3x u 1 / du = u 1 / 3 1 = / = / 3 3 u1 x3 +8 u = 5x 4, du = 5 (5x 4) 10 = u 10 du 5 = 1 5 = 1 5 = 1 55 (5x 4)11 1x 9 (x 3x+5) 6 u 10 du = 1 u 11 5 11 u = x 3x+5 1x 9 3du (x 3x+5) 6 = u 6 = du = (4x 3)/ 3 3du = (1x 9) 3u 6 du = 3u 5 5 = 3 5(x 5 3x+5) 5 1.1.1. Fórmulas Básicas de Integración 1. kf(x) = k f(x) 4.. 3. = x du u = ln u 5. 6. senx = cosx tanx = ln cosx secx = ln secx+tanx

4 7. 8. 9. 10. 11. 1. 13. sec x = tanx CAPÍTULO 1. ANTIDIFERENCIACIÓN. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN. secxtanx = secx a x = arcsen(x a ) x x a = 1 x arcsec a a [f(x)±g(x)] = f(x)± x n du = xn+1, n 1 n+1 e x = e x g(x) 14. 15. 16. 17. 18. 19. cosx = senx cotx = ln senx cscx = ln cscx+cotx csc x = cotx cscxcotx = cotx a +x = 1 a arctan(x a ) Ejercicios Propuestos I. Calcular las integrales: 1. x 5. 3. 4. (x+ x) ( 3 x x ) x 4 x x 5. 6. 7. ( 1 x + 4 ) x x + 1 4 x ( x + 1 3 x ) II. Integración por sustitución: 1. e 5x. 3. cos(5x) sen(ax) lnx 4. x 5. sen (3x) 7. 8. 9. 10. 11. 3x 7 1 x 5 x tan(x) cot(5x 7) 13. 14. 15. 16. 17. cot( x 3 ) tan(φ)sec (φ) dφ (cot(e x ))e x ( tan(4s) cot( s 4 ) ) sen xcosx ds 6. cos (7x) 1. dy cot(3y) 18. cos 3 xsenx

1.1. ANTIDIFERENCIACIÓN 5 19. x +1x 36. arccos (x) 1 x 53. e x a 0. 1.. 3. 4. 5. x x +3 x x3 +1 cosx sen x senx cos 3 x cotx sen x cos x tanx 1 37. 38. 39. 40. 41. 4. arccot(x) 1+x x x +1 x+1 x +x+3 cos x senx+3 xlnx x(x +1) 4 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60. 3 x e x e 3x (e 5x +a 5x ) e x +4x+3 (x+) e x e x x (e x ) 6. 7. 8. 9. 30. 31. 3. 33. 34. 35. ln(x+1) x+1 cos x senx+1 sen(x) (1+cos(x)) sen(x) 1+sen x tanx+1 cos x cos(x) (+3sen(x)) 3 sen(3x) 3 cos4 (3x) ln x x arcsen(x) 1 x arctan(x) 1+x 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51. 5. tan 4 x (1+x )arctanx cos x(3tanx+1) tan 3 x cos x 1 x arcsenx cos(x) +3sen(x) cos(lnx) x cos(a+bx) e x e senx cosx 61. 6. 63. 64. 65. 66. 67. 68. 69. 70. 71. (a x b x ) a x b x e x 3+4e x e x +e x 1+x 1 3x 16 9x 9 x 4+x 4 9x a x c x 5 x 6

6 7. 73. 74. 75. 76. x 1 x 4 x x 4 +a 4 e x 1 e x 3 5x cos x a +sen x CAPÍTULO 1. ANTIDIFERENCIACIÓN. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN. 77. 78. 79. 80. 81. x 1 ln x arccosx x 1 x x arctanx 1+x 1+lnx x 1+ x x 8. 83. 84. 85. x 1+ x e x 1+e x 1+3cos xsen(x) sen(x) 1+cos x 1.. Aplicaciones de la Antidiferenciación Una ecuación de la forma dy es un ejemplo de una ecuación diferencial de primer orden. = f(x), (1.1) Recordemos que dy representa la derivada de y con respecto a x, una función F es una solución de (1.1) sobre un intervalo I ssi F (x) = f(x), x I. Supongamos que F es una solución de (1.1) sobre I y si C cte., entonces y = F(x), (1.) también es solución. Así en orden a obtener todas las soluciones de (1.1) sobre I, nosotros obtenemos la antiderivada general de f sobre I. La ecuación (1.) corresponde a una familia de curvas, cada una corresponde a valores diferentes de C. y = F(x) 4 y = F(x) 3 y = F(x) y = F(x) 1 x = a La condición y = y 0 y x = x 0 se llama condición inicial.

1.. APLICACIONES DE LA ANTIDIFERENCIACIÓN 7 Ejemplo 8 Si la pendiente de una curva está dada por dy = 3x 1 / y la curva pasa por (4, 1). Obtener la ecuación de la curva. y = 3x1 / / = 6x 1 / pero x = 4, y = 1 1 = 6(4) 1 / 1 = 6 c = 11 y = 6 x+11 También resolveremos ecuación diferencial de segundo orden de la forma d y = f(x), antiderivando dos veces. Con cada antidiferenciación son introducidas nuevas constantes. Ejemplo 9 En todo punto sobre un gráfico, d y = 4, y el gráfico pasa a través de los puntos (1,) y ( 1, 4), encontrar la ecuación del gráfico. Sol: de d y x dy = 4 = 4x 1 y = 4x 1 x y = x 1 x para (1,) = 1 1 1 = 1 C 1 = 4 ( 1,4) 4 = ( 1) 1 1 4 = C 1 C 1 = 6 C 1 = 4 + C 1 = 6 C 1 = 4 C C = 10 C 1 = 4 5 C = 5 C 1 = 1 y = x x+5 Si una partícula se mueve verticalmente cerca de la superficie de la tierra, esta está sujeta a una aceleración hacia abajo debido a la influencia de la gravedad g, donde g 3ft/seg. Si la gravedad es la única fuerza ejercida sobre la partícula, la aceleración de la partícula está dada por: a g el signo está elegido por el sentido del movimiento y en la dirección en la que g actúa. Ejemplo 10 Una bola es lanzada verticalmente hacia arriba con una velocidad inicialmente de 48ft/seg desde una altura de 64ft sobre el suelo. (i) Cuándo la bola llega a su máxima altura? (ii) A qué velocidad la bola toca el suelo? Sol: t = 0 v = 48 ; s = 64 t = 0

8 CAPÍTULO 1. ANTIDIFERENCIACIÓN. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN. a = 3 dv dt = 3 v = 3t 1 (0,48)48 = 3 0 1 C 1 = 48 v(t) = 3t+48 ds dt = v = 3t+48 s(t) = 3t +48t 64 = 16 0 +48 0 C = 64 s(t) = 16t +48t+64 (i) v = 0 3t+48 = 0 t = 48 3 = 6 4 = 3 seg y la máx altura es: s( 3 ) = 16(3 ) +48 3 +64 = 100ft Luego cuando alcanza el suelo s = 0 16t +48t+64 = 0 t 3t 4 = 0 (t 4)(t+1) = 0 t = 4 t = 1 (Descartado) Transcurrido 4seg alcanza el suelo con una velocidad v(4) = 3 4+48 = 80ft/seg Ejercicios Propuestos 1. Encontrar f. a) f (x) = +x 3 +x 6 b) f (x) = cosx c) f (t) = t t d) f (x) = 8x 3 +1x+3, f(1) = 6 e) f (x) = 1+ 1 x, x > 0, f(1) = 1 f) f (t) = 3t, f(1) = 0 g) f (x) = 3e x +5senx, f(0) = 1,f (0) = h) f (x) = senx, f(0) = f (0) = f (0) = 1. La gráfica de f pasa por el punto (1,6) y la pendiente de su tangente en (x,f(x)) es x+1, encontrar f(). 3. Hallar una función f tal que f (x) = x 3 y la recta x+y = 0 sea tangente a la gráfica de f. 4. Una partícula se mueve de acuerdo con las ecuaciones dadas. Encuentre su posición. a) v(t) = 1,5 t, s(0) = 0 b) a(t) = cost+sent, s(0) = 0, v(0) = 5 c) a(t) = 10+3t 3t, s(0) = 0, s() = 10

1.3. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN 9 5. Se deja caer una piedra desde el mirador de una torre, a 450 m. sobre el piso. a) Determine la distancia de la piedra al piso en el momento t. b) Cuánto tiempo tarda la piedra en llegar al suelo? c) Con qué velocidad llega al suelo? d) Si se lanza la piedra hacia abajo con una velocidad de 5 m/s, cuánto tarda en llegar al suelo? 6. Se arroja hacia arriba una pelota, con velocidad de 48 pies/seg desde el borde de un acantilado a 43 pies sobre el fondo. Calcule su altura sobre el fondo a los t segundos después. Cuándo alcanza su altura máxima?, cuándo llega al fondo?. 7. Desde el borde del acantilado del ejercicio anterior se arrojan dos pelotas hacia arriba. La primera se avienta a una velocidad de 48 pies/seg, y la segunda se arroja un segundo después, a una velocidad de 4 pies/seg. Se encuentran alguna vez las pelotas?. 8. Las gotas de lluvia crecen al caer y su área superficial crece por consiguiente, aumenta la resistencia a su caída. Una gota de lluvia tiene una velocidad inicial, hacia abajo, de 10 m/s y su aceleración, también hacia abajo, es a = { 9 0,9t si 0 t 10, 0 si t > 10. Si la gota se encuentra inicialmente a 500 m sobre el piso, cuánto tarda en caer?. 9. Un automóvil viaja a 50 mi/h cuando se le aplican los frenos a fondo, produciendo una desaceleración constante de 40 pies/seg. Qué distancia recorre hasta deternerse?. 10. Qué aceleración constante se necesita para aumentar la velocidad de un automóvil de 30 mi/h a 50 mi/h en cinco segundos?. 11. Un automóvil frena con desaceleración constante de 40 pies/seg y produce derrapones que miden 160 pies hasta detenerse. A qué velocidad corría el vehículo al aplicar los frenos?. 1. Se deja caer una piedra desde un acantilado y llega al fondo a una velocidad de 10 pies/seg. Cuál es la altura del acantilado?. 1.3. Métodos de Integración 1.3.1. Integración por partes: Es conocido que D x [f(x)g(x)] = f(x)g (x)+f (x)g(x), x I. Ahora, integrando respecto a x obtenemos f(x)g(x) = f(x)g (x)+ f (x)g(x). En consecuencia, f(x)g (x) = f(x)g(x) f (x)g(x). Haciendo, los siguientes cambios de variales

10 CAPÍTULO 1. ANTIDIFERENCIACIÓN. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN. u = f(x) dv = g (x) du = f (x) v = g(x) Obtenemos la conocida fórmula de integración por partes udv = uv vdu Ejemplo 11 lnx = xlnx = xlnx x Ejemplo 1 Ejemplo 13 x e 3x = x 3 e3x 3 u = lnx du = 1 x xe 3x u = x du = x u = x du = dv = v = x dv = e 3x v = 1 3 e3x dv = e 3x v = 1 3 e3x x e 3x = x 3 e3x 3 [x 3 e3x 1 3 e 3x ] = x 3 e3x x 9 e3x + 9 e 3x = x 3 e3x x 9 e3x + 7 e 3x sec 3 x = secxtanx tan xsecx u = secx du = tanxsecx dv = sec x v = tanx = secxtanx (sec x 1)secx sec 3 x = secxtanx sec 3 x+secx sec 3 x = secxtanx+ secx = secxtanx+ln secx+tanx sec 3 x = 1 [secxtanx+ln secx+tanx ] 1.3.. Potencias de seno y coseno Ahora veremos cómo se calculan integrales de expresiones que contienen potencias de funciones trigonométricas. i) Integración de potencias impares de seno o coseno: sen n+1 (x) = sen n (x)sen(x), n N = (sen (x)) n sen(x) = (1 cos (x)) n sen(x)

1.3. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN 11 Finalmente se desarrolla (1 cos (x)) n y después se integra término a término. Las integrales resultantes son inmediatas usando sustitución simple. Ejemplo 14 Calcule sen 5 (x) = De lo anterior, sigue que sen 5 (x) = sen 4 (x)sen(x), = (sen (x)) sen(x), = (1 cos (x)) sen(x) = sen(x) cos (x)sen(x) + cos 4 (x)sen(x), Como al hacer la sustitución u = cos(x), se obtiene que du = sen(x), sustituyendo tenemos que sen 5 (x) = cos(x)+ 3 cos3 (x) 1 5 cos5 (x). ii) Integración de potencias pares de seno o coseno: En este caso se pasa al ángulo doble, consiguiendo así reducir el exponente a la mitad. Si el exponente resultante en algunas integrales es par se vuelve a pasar al ángulo doble y si es impar se aplica i). Para esto se requieren las siguientes fórmulas trigonométricas: Así, entonces: cos (x) = 1+cos(x), sen (x) = 1 cos(x) ( ) n 1+cos(x) cos n (x) = (cos (x)) n =, n N. ( ) n 1 cos(x) sen n (x) = (sen (x)) n =, n N. Ejemplo 15 Calcule cos 6 (x) = Como el exponente es par pasaremos al ángulo doble: cos 6 (x) = (cos (x)) 3 = ( 1+cos(x) ) 3. Luego, cos 6 (x) = ( 1+cos(x) ) 3, = 1 [ ] +3 cos(x) +3 cos (x) + cos 3 (x), 8 = 1 [ x+ 3 ] 1+cos(4x) 8 sen(x)+3 + cos (x)cos(x), = 1 [x+ 3 8 sen(x)+ 3 x+ 38 ] sen(4x)+ cos(x) sen (x)cos(x), = 1 [ 5 8 x+ 3 sen(x)+ 3 8 sen(4x)+ 1 sen(x) 1 ] 6 sen3 (x), 5 = 16 x+ 1 4 sen(x)+ 3 64 sen(4x) 1 48 sen3 (x).

1 CAPÍTULO 1. ANTIDIFERENCIACIÓN. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN. iii) Integración de potencias de seno por coseno: Nos referimos a integrales de la forma: sen m (x)cos n (x), m,n N. Este caso se reduce a alguno de los anteriores, ya que: Si m o n es impar aplicamos i). Si m y n son ambos pares aplicamos ii). Ejemplo 16 Calcule sen 5 xcos 4 x = Aquí, aplicamos el primer caso. A decir, sen 5 xcos 4 x = (1 cos x) cos 4 xsenx = (1 cos x+cos 4 x)cos 4 xsenx = cos 4 xsenx cos 6 xsenx + cos 8 xsenx = cos5 x 5 + cos7 x 7 cos9 x 9 u = cosx, du = senx 1.3.3. Sustituciones Trigonométricas Este método se utliza para resolver integrales con radicales en su integrando de la forma: a u, a +u, u a. La idea es realizar un cambio de variables, sustitución, de modo que se elimine los radicales. Esto se consigue utilizando las identidades de pitagoras. Las sustituciones de acuerdo al integrando están dadas en la siguiente tabla Expresión del Integrando Sustitución Trigonométrica a u u = asen(θ) o u = acos(θ) a +u u = atan(θ) o u = acot(θ) u a u = asec(θ) o u = acsc(θ) Ejemplo 17 Calcule x 3 4 9x = Nótese que de acuerdo a la tabla anterior podemos hacer la siguiente sustitución Ahora sustitutendo tenemos 3x = sen(θ), de donde, = 3 cos(θ)dθ x 3 = 4 9x ( 3 sen(θ))3 4 (3sen(θ)) 3 cos(θ)dθ