Matemática Programa de Estudio 1 Medio 1 U1 SUGERENCIAS DE ACTIVIDADES Objetivos de Aprendizaje OA3 Desarrollar los productos notables de manera concreta, pictórica y simbólica: Transformando productos en sumas y viceversa. Aplicándolos a situaciones concretas. Completando cuadrado del binomio. Utilizándolos en la reducción y el desarrollo de expresiones algebraicas. validez. (OA i) Actividades Los y las estudiantes resuelven los siguientes problemas: 1. Aplican la propiedad distributiva de la multiplicación sobre la adición. a. Expresan el área del rectángulo grande con las variables a, b, c. b. Expresan la adición de las áreas de los rectángulos. c. Explican y comunican la igualdad de ambas expresiones algebraicas. d. Verbalizan la regularidad, completando la siguiente frase: El producto de un número con una adición. 1
validez. (OA l) 2. Transforman los siguientes productos en adiciones o sustracciones y luego relacionan los sumandos con el área del rectángulo: x (y + z) x (x 5) 2r (3s + 5t) (4p q) p! (15m + 20n)! 1,2b (4b 5a) Observaciones a la o el docente Puede indicar que relacionen cada producto con el área del rectángulo. Por ejemplo: El o la estudiante debería defender sus ideas al representar los productos en rectángulos y repetir el proceso hasta lograr resultados correctos. (OA C) e identificar sus límites y su validez. (OA l) 3. Aplican la propiedad distributiva para factorizar adiciones. 2
Argumentar y comunicar. Describir relaciones y situaciones matemáticas usando lenguaje matemático, esquemas y gráficos. (OA d) validez. (OA l) Argumentar y comunicar. Describir relaciones y situaciones matemáticas usando lenguaje matemático, esquemas y gráficos. (OA d) a. Transforman la adición de las áreas de los dos rectángulos en el producto que representa el área del rectángulo grande. b. Explican y comunican la igualdad de ambas expresiones algebraicas. c. Verbalizan la regularidad completando la siguiente frase: La adición de dos productos con un factor común. 4. Comparan el cuadrado grande de la izquierda con la figura compuesta de la derecha y luego realizan los ejercicios que se indican más abajo: a. Expresan el área del cuadrado de la izquierda con las variables ay b. b. Expresan el área de la figura compuesta de la derecha. c. Explican y comunican la igualdad entre ambas expresiones algebraicas. d. Verbalizan la regularidad completando la siguiente frase: El cuadrado de la adición entre a y b. e. Aplican la propiedad conmutativa y comprueban simbólicamente la propiedad del producto notable de la siguiente manera: (a + b) 2 = (a + b) (a + b)=... f. Aplican el primer producto notable transformando productos en adiciones, y viceversa: 3
(r + s) 2 (2x + 5) 2 t 2 + 8st + 16s 2 (3m + 4n) 2 25d 2 + 30de + 9e 2 (3x 2 + 2y 2 ) 2 Observaciones a la o el docente Puede indicar que relacionen el primer producto notable con el área de un cuadrado; por ejemplo: Resolver problemas Utilizar estrategias avanzadas. (OA a) 5. Completan el cuadrado de una adición: a. a 2 + 10ab + = + ) 2 b. 4x 2 + 20xy + = ( + ) 2 c. 9s 2 + + 4t 2 = ( + ) 2 Resolver problemas Utilizar estrategias avanzadas. (OA a) 6. Resuelven el siguiente problema: dos amigos quieren recordarse mutuamente una fiesta que se llevará a cabo el próximo mes. Para estar más tranquilos, programan en sus celulares un recordatorio para el amigo y para sí mismos. El primero de los amigos se representa con la variable p y el otro con la variable s. El proceso de recordar se modela con el producto de las variables. En la figura siguiente se visualiza el proceso de recordar con flechas: a. Completan el dibujo con las flechas posibles. 4
b. Modelan la adición de los contactos posibles con el producto notable (p + s) 2. validez. (OA l) Argumentar y comunicar. Describir relaciones y situaciones matemáticas usando lenguaje matemático, esquemas y gráficos. (OA d) 7. Comparan el cuadrado grande de la izquierda con la figura compuesta de la derecha: A partir de un cuadrado de lado a, realizan divisiones adecuadas tal como lo muestra la imagen de la derecha. Comparan el área del cuadrado negro de la derecha con el área de las figuras que se quitan al cuadrado original del lado a. Explican y comunican la igualdad de expresiones algebraicas. Verbalizan la regularidad completando la siguiente frase: El cuadrado de la diferencia entre ay b.... Aplican la propiedad conmutativa y comprueban simbólicamente la propiedad del producto notable de la siguiente manera: (a b) 2 = (a - b) (a b) = Aplican el segundo producto notable transformando productos en diferencias y viceversa: (e f) 2 (3g 5) 2 16p 2 24pq + 9q 2 (2pq 2 3x 2 y) 2 0,25r 2 5rs + 25s 2 12ab + 4b 2 + 9a 2 5
b. Transforman las siguientes fracciones de la forma 1/a m en potencias:!!!!!"!!!!!!! c. Transforman potencias con exponentes enteros negativos en fracciones de la forma 1/a m : 10-4 8-2 5-3 2-8 Observaciones a la o el docente Nótese que, si quitan el área de los dos rectángulos a y b al original en el dibujo del problema 7, deberán agregar el cuadrado de lado b validez. (OA l) Argumentar y comunicar. Describir relaciones y situaciones matemáticas usando lenguaje matemático, esquemas y gráficos. (OA d) 8. Comparan el cuadrado grande y el cuadrado gris con el rectángulo de la derecha: Rotulan los lados del rectángulo en la derecha con las expresiones algebraicas correspondientes. Expresan el área del rectángulo con el área del cuadrado grande y del cuadrado gris. Explican y comunican la igualdad de ambas expresiones algebraicas. Verbalizan la regularidad completando la siguiente frase: El producto entre la adición de a y b y la diferencia entre ay b. Aplican la propiedad conmutativa y comprueban simbólicamente la propiedad del producto notable de la siguiente manera: (a - b) (a + b) =. 6
Resolver problemas Utilizar estrategias avanzadas. (OA a) Resolver problemas Identificar ideas propias y repuestas en lenguaje matemático. (OA c) 9. Aplican el tercer producto notable transformando productos en diferencias y viceversa: (x + y) (x y) (3c 2d) (3c + 2d) 36s 2 81w 2 (5f 4e) (4e + 5f) 121b 2 c 2 + 49a 2 225s 2 t 4 100s 4 (2f + 3g) (2f 3g) (4a 7b) (7b + 4a) (x 2 + 4y 2 ) (x 2 4y 2 ) 121r 2 64s 2 81a 4 64b 4 10 000p 2 625t 2 10. Resuelven el siguiente problema: Se desplazan por una red que tiene las siguientes reglas: Si no se puede avanzar en el camino, se dobla una sola cuadra hacia la izquierda o a la derecha, retomando la dirección anterior comenzando por la flecha inicial. En los cuadritos verdes del mapa se anota el número de caminos que llegan a las calles bloqueadas, comenzando siempre desde la flecha inicial. En el lado derecho se anota el total de los posibles caminos que llegan desde arriba a esa calle horizontal. a. Amplían el mapa agregando una calle horizontal en la parte inferior. Determinan el número de caminos que llegan a una calle bloqueada y lo marcan en el mapa de color verde. b. Determinan el número total de caminos que llevan a las calles horizontales y lo marcan en el mapa de color rojo. 7
c. Desafío En el mapa del ejercicio anterior, un camino hacia la izquierda se representa con la variable ay un camino hacia la derecha, con la variable b. Si se combinan dos caminos horizontales, se modela con la multiplicación. Por ejemplo: La combinación de un camino hacia la izquierda con un camino hacia la derecha se modela con el producto a b; la combinación dos veces hacia la izquierda se modela con a a, que significa a 2 Representan los posibles caminos que llevan a la calle horizontal N 2, con el producto notable de (a + b) 2. Observaciones a la o el docente Como continuación de esta actividad se puede trabajar el triángulo de Pascal, ya sea con un pequeño trabajo de investigación o tratándolo en clases para ejercitar potencias de binomios. 8