CAPITULO Nº 2 FUERZAS NO CONCURRENTES EN EL PLANO Fuerzas no concurrentes.- Se define como fuerzas no concurrentes a aquellas cuyas líneas de acción no se cortan en un solo punto, por tanto la fuerza resultante de un sistema de fuerzas no concurrentes al actuar sobre un cuerpo: a) lo traslada de un lugar a otro cuando pasa por su centro de gravedad. b) lo traslada y lo hace rotar cuando no pasa por dicho centro. En consecuencia el efecto de una fuerza depende de la posición de su línea de acción. Polígono Funicular.- Es un procedimiento grafico para el cálculo de reacciones y fuerza resultante a partir de un conjunto de fuerzas coplanares, el nombre procede del latín funiculum (cordel, cuerda pequeña) y se refiere al hecho de que el polígono funicular de un sistema de fuerzas seria precisamente la forma que adoptaría un cordel sometido a dicho sistema de fuerzas. Dado un conjunto de fuerzas en el plano, un polígono funicular para ese sistema de fuerzas es una línea poligonal (no necesariamente cerrada), cuyos vértices recaen sobre las líneas de acción de las fuerzas y los ángulos que forman en cada vértice dependen de la magnitud de la fuerza. Cabe destacar que el polígono funicular no es único, sino que para un conjunto de fuerzas pueden dibujarse muchos polígonos funiculares que cumplan las condiciones anteriores. Procedimiento de un polígono funicular.- Dado un sistema finito de fuerzas el polígono funicular consta de n + 1 lados, para encontrarlos se dibuja un diagrama de fuerzas para encontrar la fuerza resultante. Y se siguen los siguientes pasos: a) Se selecciona un punto arbitrario del diagrama de fuerzas llamado polo b) Se trazan los llamados radios polares que unen los extremos de las fuerzas con el punto llamado polo, al existir n fuerzas existirán n + 1 extremos y por tanto el mismo numero de radios polares. c) Se toma el primero de los radios polares y se dibuja una semirrecta paralela al mismo que interseque con la recta de acción de la primera fuerza. d) Se consideran el segundo, tercero, n esimo radio polar y se dibujan segmentos paralelos entre las rectas de acción de las fuerzas originales uno a continuación de otro.
e) Se toma en n + 1 esimo radio polar y se dibuja una semirrecta empezando desde el extremo del último segmento dibujado. Propiedades del polígono funicular.- Dado un sistema de fuerzas el polígono funicular tendrá las siguientes propiedades. a) El polígono funicular es abierto, en cuyo caso el sistema de fuerzas es estáticamente equivalente a una única fuerza resultante. b) El polígono funicular es cerrado siendo el primer y el último lado paralelo aunque no coincidentes, en ese caso la fuerza resultante es cero y el sistema de fuerzas equivale a un par. c) El polígono funicular es cerrado siendo el primer y último lado coincidentes, en ese caso la fuerza resultante y el momento resultante son nulos con lo cual el sistema de fuerzas original esta en equilibrio mecánico. Solución grafica de Cullman.- Este método fue dado por Karl Cullman quien fue matemático y físico y es a él a quien se le debe la primera sistematización de la estática grafica que se de aproximadamente en el siglo XIX. El método de Cullman es un método de descomposición sucesiva, se elige en primer lugar un punto donde la fuerza corta a una de las direcciones (cualquiera de ellas), este punto se unirá con el punto de intersección de las otras dos direcciones restantes, determinando así una recta auxiliar denominada auxiliar de Cullman, la fuerza P concurre en A con la dirección b y con la auxiliar por lo que es posible descomponer en esas dos direcciones. Como en todo método grafico se deberá trabajar en escala, por lo que se deberá adoptar una escala de fuerzas y una escala de longitudes. Luego se procede a determinar el polígono de fuerzas resultante de aplicar el método de Cullman y de dicho polígono se procede a leer el valor de las fuerzas obtenidas con su respetiva dirección y sentido. Ejemplo.- Descomponer una fuerza en tres direcciones por el método de Cullman sabiendo que la fuerza es de 4 toneladas cuyo ángulo es de 90 0 y pasa por el punto (6, 2) cuyas direcciones serán: Dirección A con ángulo de 0 0 (0, 1) Dirección B con ángulo de 90 0 (2, 0) Dirección C con ángulo de 30 0 (0, 3)
Solución: A Polígono de Fuerzas F A 4 Tn F B B Por tanto: F A = 4,95 Tn con un ángulo de 180 0 F B = 6,75 Tn con un ángulo de 270 0 F C = 5,6 Tn con un ángulo de 30 0 C F C Solución grafica numérica de Ritter.- Este método es efectivo cuando se desea la fuerza en una barra solo o las fuerzas en un número reducido de barras de una armadura simple, este método también se puede aplicar cuando las armaduras no sean simples. Para determinar la fuerza en una barra dada de una armadura por el método de Ritter se deberán seguir los siguientes pasos: a) Dibujar un diagrama de solido libre de la armadura completa y emplear ese diagrama para hallar las reacciones en los apoyos. b) Seccionar la armadura cortando a tres barras una de las cuales sea la barra problema, una vez retiradas esas barras, resultaran dos porciones de la armadura independientes. c) Elegir una de las dos porciones en que se ha separado la armadura y dibujar su diagrama de solido libre, este diagrama deberá incluir las fuerzas externas aplicadas a la porción elegida así como las fuerzas que sobre ella ejercen las barras que se seccionaron antes de reiterarlas. d) Se podrá entonces escribir tres ecuaciones de equilibrio de las que podrán obtenerse las fuerzas en las tres barras seccionadas. e) un método alternativo es escribir una sola ecuación de la que se pueda despejarse la fuerza en la barra problema, para ello obsérvese primero si las fuerzas que las otras dos barras ejercen sobre el sólido libre son paralelas o si se cortan sus rectas soporte. Si esas fuerzas son paralelas podrán eliminarse escribiendo una ecuación de equilibrio correspondiente a las componentes en una dirección perpendicular a esas dos fuerzas. Si sus rectas soporte se cortan en un punto H podrán eliminarse escribiendo una ecuación de momentos respecto a H.
f) Téngase presente que la sección empleada debe cortar solo a tres barras, ello se debe a que el sistema de ecuaciones de equilibrio del paso 4 no permite despejar más que tres incógnitas, ahora bien, pueden cortarse más de tres barras para hallar la fuerza en una de ellas si es posible escribir una ecuación de equilibrio que contenga esa fuerza como única incógnita. Ejemplo.- Dada la siguiente armadura, determine las reacciones en los puntos de apoyo y además las fuerzas internas de las barras ED, BD y BC. E 20 Tn 20 Tn D 4 mt A 4 mt B 4 mt C
CAPITULO Nº 3 BARICENTRO Centro de masas.- El centro de masas de un sistema discreto o continuo es el punto geométrico que dinámicamente se comporta como si en el estuviera aplicada la resultante de las fuerzas externas al sistema. De manera análoga se puede decir que el sistema formado por toda la masa concentrada en el centro de masas es un sistema equivalente al original. Normalmente se abrevia como C.M En un tratamiento de sistema de masas puntuales el centro de masas es el punto donde a efectos inerciales se supone concentrada toda la masa del sistema, el concepto se utiliza para análisis físicos en los que no es indispensable considerar la distribución de masa como por ejemplo la órbita de los planetas. En física el centroide, el centro de masa y el centro de gravedad pueden bajo ciertas circunstancias coincidir entre sí. En estos casos se suele utilizar los términos de manera intercambiable aunque designan conceptos diferentes. El centroide es un concepto puramente geométrico que depende de la forma del sistema. El centro de masas depende de la distribución de la materia mientras que el centro de gravedad depende también del campo gravitatorio así tendremos que: a) el centro de masas coincide con el centroide cuando la densidad es uniforme o cuando la distribución de materia en el sistema tiene ciertas propiedades tales como la simetría. b) el centro de masa coincide con el centro de gravedad cuando el sistema se encuentra en un campo gravitatorio uniforme (el modulo y la dirección de la fuerza de gravedad son constantes) Baricentro.- en geometría el baricentro o centroide de una superficie contenida en una figura geométrica plana es un punto tal, que cualquier recta pasa por él, divide a dicho segmento en dos partes de igual momento respecto a dicha recta, en física el baricentro de un cuerpo material coincide con el centro de masas del mismo cuando el cuerpo es
homogéneo (densidad uniforme) o cuando la distribución de la materia en el cuerpo tiene ciertas propiedades tales como la simetría. Entre sus principales propiedades algebraicas podemos mencionar a las siguientes: a) Homogeneidad.- no cambia el baricentro si se multiplica todas las masas por un mismo factor k 0 b) Asociatividad.- el baricentro se puede calcular reagrupando puntos es decir introduciendo baricentros parciales. Calculo del baricentro de figuras geométricas.- Para calcular el baricentro de figuras geométricas conocidas debemos realizar el cálculo de la siguiente manera: a) Cuadrado.- El baricentro de una figura cuadrada se determina trazando las diagonales del cuadrado y el punto de intersección entre dichas diagonales es el baricentro cuyas coordenadas estarán dadas de la siguiente manera en el eje x a la mitad de la base y en el eje y a la mitad de la altura B = (b/2; h/2) b) Rectángulo.- El baricentro de una figura rectangular se determina de la misma forma que la utilizada o empleada en el cuadrado trazando sus diagonales donde el punto de intersección será considerado el baricentro ubicado a las mismas coordenadas que las del cuadrado. B = (b/2; h/2) c) Triangulo. - El baricentro de un triángulo se determina trazando las mediatrices de cada uno de los lados del triángulo unidas al vértice opuesto de dichas líneas lo cual se interceptaran en un solo punto cuyas coordenadas dependiendo de la distancia o de la atura podrán ser un tercio de la base o dos tercios de la base y con respecto a la altura a un tercio de la altura o a dos tercios de la altura según sea lo conveniente. B = (1/3b; 1/3h) B = (2/3b; 2/3h) d) Redondo.- El baricentro de un redondo por su forma será considerado el radio de la misma cuya distancia será equidistante ya sea para el eje x y para el eje y
B = (r ; r) Teorema de Pappus.- también conocido como teorema de guldin, es el nombre de dos teoremas que relacionan superficies y volúmenes de solidos de revolución con sus respectivos centroide. Los teoremas se les atribuyen a Pappus de Alejandría y a Paul Guldin. Primer teorema.- el área A de una superficie de revolución generada mediante la rotación de una curva plana C alrededor de un eje externo a tal curva sobre el mismo plano es igual a su longitud L multiplicada por la distancia d recorrida por su centroide en una rotación completa alrededor de dicho eje. A = L x d Segundo teorema.- El volumen V de un sólido de revolución generado mediante la rotación de un área plana alrededor de un eje externo, es igual al producto del área A por la distancia d recorrida por su centroide en una rotación completa alrededor del eje. V = A x d