Resolución de Ecuaciones de Primer Orden

1 Resolución de Ecuaciones de Primer Orden 1.1 Desinegración Radiaciva Si las moléculas de ciero ipo ienen endencia a desinegrarse en moléculas más pequeñas a un rimo que no se ve afecado por la presencia de oras susancias, es naural esperar que el número de moléculas que se descomponen en unidad de iempo sea proporcional al número oal presene. Una reacción química de esa clase se llama una reacción de primer orden. Si x denoa el número de gramos presenes a iempo y x( = x enemos la siguiene ecuación: x = kx (1.1 x( = x, donde k es una consane posiiva, denominada la consane de desinegración. Observación 1.1.1. Esa ecuación es una ecuación en la que las variables son separables. Más generalmene una ecuación de la forma x = g(h(x se denomina una ecuación de variables separables. Para resolverla basa con escribirla de la siguiene forma x h(x = g( e inegrar x h(x d = donde C es la consane de inegración. g( d + C. Resolvamos (1.1. Comencemos por resolver x = kx

2 Resolución de Ecuaciones de Primer Orden o equivalenemene Inegrando x x = k. ln x = k + C. De ese modo, para cada C R obenemos dos soluciones x = e k+c y x = e k+c definida para odo R. Si omamos A = e C, enemos x = Ae k y x = Ae k+c. O sea que la familia de soluciones de la ecuación x = kx es x = Be k R con B R. Por úlimo, eniendo en cuena que x( = x, resula que la solución de (1.1 es x( = x e k. (1.2 Maxima 1.1.2. Para la resolución de ese ipo de ecuaciones uilizaremos el programa Maxima que es un programa de cálculo simbólico disponible como sofware libre y wx- Maxima que es un enorno gráfico para Maxima que simplifica mucho su uso y facilia el manejo a quien esá empezando. Con Maxima se pueden resolver simbólicamene algunas ecuaciones diferenciales ordinarias de primer y segundo orden mediane la insrucción ode2. Resolvamos (1.1 uilizando wxmaxima. Para expresar la ecuación x = kx se hace uso del comando diff (%i1 ec: diff(x,+k*x=; (%o1 d d x + k x = siendo obligaorio el uso de la comilla simple ( anes de diff al objeo de eviar el cálculo de la derivada, que por oro lado daría cero al no haberse declarado la variable y como dependiene de x. Para la resolución de esa ecuación an solo habrá que hacer (%i2 ode2(ec,x,; (%o2 x = %c e k donde %c represena la consane. Para resolver el problema de valores iniciales usamos el comando ic1

1.1 Desinegración Radiaciva 3 (%i3 ic1(%o2,=,x=x; (%o3 x = e k x Se conocen pocas reacciones químicas de primer orden. Un ejemplo son las desinegraciones radioacivas. Conviene expresar la consane k en érminos de su vida media, que es el iempo que debe ranscurrir para que se desinegre la miad de la susancia. Susiuyendo x por x /2 en (1.2 llegamos a que donde T es la vida media, enonces x 2 = x e kt, k = ln(2 T. Maxima 1.1.3. Para hacer ese despeje con Maxima usamos el comando solve (%i4 solve([x/2=eˆ(-k*t*x], [k]; (%o4 [k = log (2 log (e T ] Ejemplo 1.1.4. Uno de los méodos más precisos para deerminar la edad de resos arqueológicos es el méodo del carbono 14 (C 14, basado en que para cualquier organismo vivo una proporción consane de áomos de carbono esá formada por el isóopo radiacivo C 14. La proporción permanece praácicamene consane durane oda la vida y cuando el organismo muere el C 14 sigue su proceso de desinegración, con lo cual la proporción disminuye. Un modelo simple para describir el fenómeno es el descripo aneriormene, o sea si denoamos con N( a la canidad de C 14 exisene a iempo, N a la canidad exisene a iempo y con λ a la consane de desinegración del C 14, enonces N = λn y N( = N. Como consecuencia N( = N e λ. La vida media del C 14 es 56 años o sea que λ = ln(2 /56. Ahora bien, R(, la asa acual de carbono en la muesra esá dada por R( = λn( y la asa original de desinegración es R( = λn. Enonces y por lo ano R( R( = e λ = 1 ( R( λ ln = 56 ( R( R( ln(2 ln. R( Por eso, si se mide R( y se observa que R( debe ser igual a la asa de desinegración de una canidad de madera viva, enonces puede calcularse.

4 Resolución de Ecuaciones de Primer Orden 1.2 Ecuaciones Lineales de Primer Orden Las ecuaciones lineales son las ecuaciones en las que la derivada de orden más alo es una función lineal de las derivadas de órdenes inferiores. Así, la ecuación lineal general de primer orden es x = p(x + q( (1.3 donde p, q son funciones coninuas en un inervalo abiero (a, b de R. Cuando q la ecuación (1.3 se denomina ecuación lineal homogénea de primer orden. La solución del problema lineal homogéneo se obiene de la siguiene manera: x = p(x enonces y por lo ano p( = x x = d d ln( x ln( x = p(sds + C donde C es una consane. Luego o sea x = p(sds+c e = Ae p(sds xe p(sds = A (1.4 donde A es una consae posiiva. De (1.4 se deduce que la función g( = xe p(d no cambia de signo y además g( es una función consane. O sea, enemos que o bien donde K es una consane arbiraria. xe p(sds = K x = Ke p(sds (1.5 La solución (1.5 se denomina la solución general de la ecuación lineal homogénea. En las aplicaciones nos ineresa obener soluciones del problema de valores iniciales, en el caso de una ecuación lineal homogénea el problema de valores iniciales es el siguiene x = p(x, (1.6 x( = x, donde (a, b y x son los daos iniciales. Nuevamene enemos que p( = x x = d d ln( x,

1.2 Ecuaciones Lineales de Primer Orden 5 ahora inegramos ambos lados de la igualdad enre y o sea que p(s ds = ln( x = ln( x( ln( x( = ln p(s x( = x e ds. ( x(, x De manera similar a lo hecho aneriormene, podemos probar que x es una función que no cambia de signo, por lo ano sgn(x( = sgn(x para odo (a, b. Luego p(s x( = x e ds. es la solución de (1.6. Definimos Observemos que p(s T(, = e ds. x( = x T(,, T(, = 1, T(, = T(, 1, T(, T(, s = T(, s. Ahora nos ineresa resolver el siguiene problema de valores iniciales x = p(x + q(, x( = x. (1.7 Para eso vamos a necesiar usar un facor inegrane µ(. Para deerminarlo muliplicamos la ecuación por µ( µ((x p(x = µ(q( y buscamos µ de modo que µ((x p(x = d d (µ(x = µ x + µx. Por lo ano o sea p( = µ µ = d d ln( µ, ln( µ = p(s ds. Obeniendo así un facor inegrane µ(, omando una primiiva parícula de p: µ( = e p(s ds p(s = e ds = T(,.

6 Resolución de Ecuaciones de Primer Orden Enonces d d (T(, x( = T(, q(. Inegrando ambos lado de la igualdad enre y, resula que por lo ano T(, x( x( = x( = T(, (x( 1 + ( = T(, x( + = T(, x( + T(, = T(, x( + = T(, x( + T(, sq(s ds, T(, sq(s ds T(, sq(s ds T(, sq(s ds T(, T(, sq(s ds T(, T(, sq(s ds enonces x( = T(, x( + T(, sq(s ds. (1.8 es la solución del (1.7. Esa fórmula se denomina la fórmula de variación de las consanes. Ejemplo 1.2.1. Un recipiene, coneniendo liros de agua pura, comienza a recibir una solución de agua salada (c kg de sal por liro de solución a una razón consane de a liros/segundo. Un mecanismo de agiación en el recipiene maniene homogénea la solución que va siendo formada. Simuláneamene al proceso de inyección de agua salada, comienza a reirarse del recipiene la solución formada, a razón de a liros/segundo. Deerminar la canidad de sal en el recipiene a insane. Sea x( la canidad de sal en kg presene en el recipiene en el iempo. Por lo ano la concenración de sal en la solución es x / kg/l. Enonces x = ac a x, x( =. (1.9

1.2 Ecuaciones Lineales de Primer Orden 7 Resolvamos ese problema de valores iniciales usando (1.8. p( = a, q( = ac ( 1 e a T(, s = e s a, ds = e a ( s, T(, sq(s ds = ac e a ( s ds = c ( 1 e a. Por lo ano x( = c ( 1 e a. (1.1 Observar que x( / c cuando. Maxima 1.2.2. Para resolver (1.9 procedemos de la siguiene manera (%i4 ode2( diff(x,-a*c+a*x/, x, ; (%o4 y luego x = e a ( c e a + %c (%i5 sol: ic1(%,=,x=; (%o5 x = e a ( c e a c Ahora compliquemos ligeramene nuesro problema. Supongamos que la solución salina saliene del primer recipiene cae en un segundo recipiene, coneniendo liros de agua pura. Supongamos que el segundo recipiene ambién iene un mecanismo de agiación para manener homogénea la solución formada, y que ambién deja salir una canidad de a liros/segundo. La canidad de sal en el segundo recipiene varía de acuerdo a la ecuación y = a y + a x y usando (1.1, obenemos la siguiene ecuación lineal con y( =. y = a y + ac ( 1 e a,

8 Resolución de Ecuaciones de Primer Orden Nuevamene uilizaremos (1.8 para resolver ese problema. En ese caso La solución es p( = a, q( = ac ( 1 e a T(, s = e a ( s, ( T(, sq(s ds = ac e a ( s e a ds y( = T(, x( + Observar que y( / c cuando. = c ce a, cae a = c c ( + a e a. = c c ( + a e a T(, sq(s ds.