.5 Construcción de funcionales.5. Construcción de funcionales La formulación variacional de un problema se presenta como un funcional, el cual tiene como condiciones de estacionaridad correspondientes a las ecuaciones de Euler-Lagrange, la forma fuerte del problema, con la diferencia, que la formulación variacional tiene ventajas sobre la formulación fuerte (Washizu, 967). Los funcionales son magnitudes variables cuyo valor se determinan mediante la elección de una o varias funciones. El modelo matemático expresado como un funcional se construye a partir de la ecuación diferencial con la siguiente expresión: () = hl () i h i (.02) 2 Para que la ec. (.02) sea válida, el operador L () debe ser simétrico y definido positivo..5.. Funcional de una barra con fuerza de cuerpo constante Sea la ecuación de equilibrio de una barra de sección y fuerza de cuerpo constantes: 2 () 2 + () =0 (.03) donde de la ec. (.4): L = 2 ; (); = (); (.04) 2 Considere las siguientes condiciones naturales y esenciales: Condiciones Naturales Esenciales () = () = (0) = 0 Sustituyendo las variables de la ec. (.04) en la ec. (.02): (.05) Π( ()) = 2 2 () {z 2 () + () () (.06) {z U V Π( ()) = 2 2 () {z 2 () + () () {z U V Integrando por partes el primer término de la ec. (.06) considerando: se tiene: U = () V = 2 () 2 U = () V = () c GJL, UAM 3
.5 Construcción de funcionales Π( ()) = 2 () () 2 () () + () () = () () 2 {z 2 () () + () () (.07) () = 2 () µ () 2 2 + () () multiplicando por la ec. (.07) se tiene el funcional: Π( ()) = " 2 µ () 2 () ()#.5.2. Funcional de una barra con fuerza de cuerpo cuadrática () (.08) 2 Sea la ecuación de equilibrio de una barra de sección constante y fuerza de cuerpo () con variación cuadrática: () + 2 =0 (.09) donde de la ec. (.4): L = 2 2 ; (); = 2 ; (.0) Considere la condición esencial (0) = () =0. Sustituyendo las variables de la ec. (.0) en la ec. (.02): Π( ()) = 2 2 () {z 2 () + 2 () (.) {z U V Π( ()) = 2 2 () {z 2 () + 2 () {z U V Integrando por partes el primer término de la ec. (.) considerando: se tiene: U = () V = 2 () 2 U = () V = () c GJL, UAM 32
.5 Construcción de funcionales Π( ()) = 2 = 2 = 2 () () () () 2 2 () () + () () + µ () 2 + 2 () 2 () 2 () (.2) multiplicando por la ec. (.2) se tiene el funcional: Π( ()) = " 2.5.3. Funcional de vigas de Bernoulli µ () 2 2 ()# (.3) Sea la ecuación de equilibrio de una viga de sección y carga constantes: 4 () 4 () =0 (.4) donde de la ec.(.4): L = 4 () 4 ; (); (); (.5) Considere las siguientes condiciones naturales y esenciales: Condiciones Naturales Esenciales = 3 () =0 3 = 2 () () 2 =0 Sustituyendo las variables de la ec. (.04) en la ec. (.02): (.6) Π( ()) = 4 () 2 {z 4 () + {z U V Integrando por partes el primer término de la ec. (.7) considerando: () () (.7) se tiene: U = () V = 4 () 4 U = () V = 3 () (.8) 3 c GJL, UAM 33
.5 Construcción de funcionales Π( ()) = 2 () 3 () 3 = 2 () 3 () {z 3 () Γ 2 3 () 3 V () 2 3 () () {z 3 {z Integrando por partes el segundo término de la ec. (.9) considerando: U () () () () (.9) U = () V = 3 () 3 U = 2 () 2 V = 2 () (.20) 2 Π( ()) = 2 () () () 2 () 2 {z {z 2 () () () Rescribiendo la ec. (.2) se tiene el funcional: () Γ + 2 2 () 2 2 () 2 (.2) Π( ()) = " µ 2 2 2 () 2 () ()# + 2 () () Γ 2 () () {z () Γ (.22).5.4. Funcionales de Sólidos El funcional de energía de un sólido es: Π (u) 2 σ : ε b u Γ t uγ (.23) Funcional de energía de Hellinger-Reissner (HR) con el desplazamiento y la deformación como variables independientes: Π HR (u σ) [σ : ε Ψ (σ) b u] t uγ Γ Γ σ ν (u u )Γ (.24) c GJL, UAM 34
.5 Construcción de funcionales Funcional de energía desplazamiento deformación: Π SD (u ε) [σ : ε Ψ(ε) b u] t uγ Γ Γ σ ν (u u )Γ (.25) Hu (955) and Washizu (955) is obtained: Π HW (u σ ε) = [σ :(ε ε)+ψ(ε) bu] (.26) t uγ σ ν (u u )Γ Γ Γ Funcional de energía de Fraeijs de Veubeke: Π FV (u σ ε t) = [σ :(ε ε)+ψ(ε) b u] (.27) t uγ t (u ū)γ Γ Γ.5.5. Funcionales de vigas El funcional de una viga de Timoshenko es: Π ( ) = " 2 µ 2 + µ 2 2 # + 2 () () Γ 2 () () Γ (.28) donde = es el la rigidez por cortante..5.6. Principios Variacionales Principio de energía Potencial. Detodaslasconfiguraciones de desplazamiento admisibles, aquella que minimiza la energía potencial es una configuración de equilibrio. Principio de energía Potencial complementaria. De todos los estados compatibles de esfuerzo, aquel que minimiza la energía potencial complementaria, es una solución de compatibilidad. Principio de energía Hellinger Reissener. De todas las configuraciones de desplazamiento admisibles y estados compatibles de esfuerzo, aquellos que extremizan el funcional de energía de HR, son una configuración de equilibrio y compatibilidad de deformaciones. Principio de energía Desplazamiento-Deformación. De todas las configuraciones de desplazamiento admisibles y estados compatibles de deformaciones, aquellos que extremizan el funcional de energía de HR, son una configuración de equilibrio y compatibilidad de esfuerzos. c GJL, UAM 35
.5 Construcción de funcionales.5.7. Ejemplo Para el caso de una barra en la que las fuerzas del cuerpo se desprecian, =0, el funcional definido en la (.08) es: Π () 0 µ 2 2 2 (.29) Por tanto, la función que minimiza el funcional dado en la ecuación anterior, es de la ec. (.30) () = (.30) Sustituyendo en el funcional de la ec. (.29) la derivada de la ecuación anterior y el valor de () en =, se obtiene el valor de la energía, Π () 0 2 µ 2 2 2 (.3) Evaluando la ecuación anterior, se obtiene: Π () 2 2 2 =0 (.32) 2 Considere que la siguiente función es solución de la ec. (.30) () = 2 (.33) Sustituyendo en el funcional de la ec. (.29) la derivada de la ecuación anterior y el valor de () en =, se obtiene el valor de la energía, Π () 0 2 µ 2 2 2 2 (.34) Evaluando la ecuación anterior, se obtiene: Π () = 2 2 3 2 2 = 2 (.35) 6 Comparando los valores de las ecs. (.32) y (.35), se observa que el valor de la primera corresponde a un valor extremo (mínimo), por lo la función (.29) es la minimiza el funcional definido en la ec. (.29) y satisface el equilibrio en la ec. (.6) cuando =0. Se deja al lector verificar que la función definida en la ec. (.33), no satisface la condición de equilibrio. Tarea construya el funcional de la siguiente ecuación diferencial: c GJL, UAM 36
.5 Construcción de funcionales 2 () 2 + ()+ =0 Considere la siguiente condición esencial: (0) = () = 0 c GJL, UAM 37