Gráficas de funciones trigonométricas por Oliverio Ramírez Juárez Hasta el momento has estudiado las funciones trigonométricas como una relación entre los lados de un triángulo. Sin embargo, recuerda que una función puede representarse como: Una tabla Pares ordenados Una gráfica Una ecuación Las ecuaciones trigonométricas ya las estudiaste en la lectura anterior, ahora revisarás las gráficas de las funciones trigonométricas que se obtienen cuando se varía el valor del ángulo (variable independiente) de cada función y se obtienen diferentes valores de y (variable dependiente). A continuación se muestran las diferentes tablas, pares ordenados y gráficas que se obtienen al dar valores al ángulo en radianes a las funciones trigonométricas. Tablas Gráficas = sen( x) Función Seno: A = sen( x).25π.77.5π.75π.77 π.25π -.77.5π -.75π -.77
Función coseno: = cos( x) A = cos( x).25π.77.5π.75π -.77 π -.25π -.77.5π.75π.77 Función tangente: = tan( x) A = tan( x).25π.5π.75π - π.25π.5π.75π - Función cotangente: = cot( x) A = cot( x).25π 2
.5π.75π - π.25π.5π.75π - Función secante: = sec( x) A = sec( x).25π.442.5π.75π -.442 π -.25π -.442.5π.75π.442 Función cosecante: = csc( x) A = csc( x) 3
.25π.442.5π.75π.442 π.25π -.442.5π -.75π -.442 Tabla. Graficas de las funciones trigonométricas. Las gráficas de las funciones trigonométricas, que se encuentran en la tabla anterior, pueden ser modificadas en amplitud y frecuencia, así como experimentar corrimientos de fase o en su posición vertical. Quieres saber cómo? Las funciones trigonométricas pueden ser expresadas de la siguiente forma: Función Forma matemática Donde: Seno Coseno Tangente Cotangente Secante Cosecante = asen( nx h) + k a Representa la amplitud que es la distancia del eje de referencia al = a cos( nx h) + k punto máximo o al punto mínimo. h representa el corrimiento de = a tan( nx h) + k fase o corrimiento horizontal. = a cot( nx h) + k k representa el corrimiento = a sec( nx h) + k vertical. = a csc( nx h) + k n representa la frecuencia, es decir, el número de veces que se repite la gráfica en un ciclo ( 2π ). Las funciones que se graficaron anteriormente tienen los valores de a =, n =, h = k =, lo que indica que las gráficas tienen amplitud de, 4
solamente se presentan en vez en un ciclo de horizontal o vertical. 2π y no tienen corrimiento Tabla 2. Funciones trigonométricas y su forma Matemática. En la siguiente tabla analizarás cómo afecta la función cada uno de los términos en la función seno. Gráficas Observaciones = sen( x) el valor de a =, lo que implica que la distancia que hay de la línea de referencia al punto más alto es de. En cambio, en la función ( x) = 3sen el valor de a = 3, es decir, la amplitud de la función es de 3. = sen( x) el valor de n =, lo que implica que en un ciclo ( 2π ) aparece la gráfica del seno una vez. En cambio, en la función ( x) = sen 4 el valor de n = 4, es decir, la gráfica del 5
seno aparece 4 veces en un ciclo ( 2π ). = sen( x) la gráfica comienza en cero y termina en 2π. (.5π ) = sen x +.5π.5π comienza en y termina en, es decir, tiene un corrimiento de fase hacia la izquierda de.5π. (.5π ) = sen x.5π.5π comienza en y termina en 2, es decir, tiene un corrimiento de fase hacia la derecha de.5π. 6
= sen( x) la línea de referencia de la gráfica se encuentra en cero. = sen( x) + 2 la línea de referencia se encuentra en 2, es decir, la función tiene un desplazamiento vertical hacia arriba de 2. = sen( x) 2 la línea de referencia se encuentra en -2, es decir, la función tiene un desplazamiento vertical hacia abajo de 2. Tabla 3. Gráficas función seno. Como puedes darte cuenta, una función trigonométrica puede estar afectada por varios factores, los cuales indicarán qué está ocurriendo en la gráfica. Observa algunos ejemplos. Ejemplo Grafica la siguiente función trigonométrica y determina la amplitud y la frecuencia. ( x) = 3cos 2 Solución: Realizando el análisis de la ecuación, el valor de a = 3 indica que va a tener una amplitud de 3, pero como es negativa, la función comenzará a partir de -3 y el valor de n = 2 indica que la frecuencia es 7
igual a 2, es decir, que el número de veces que aparece la gráfica de la ecuación en un ciclo de es de 2. Realizando la gráfica = 3cos( 2x) y comparando con la grafica de = cos( x) 2π, Figura. Gráfica de Coseno. Ejemplo 2 Grafica la siguiente función trigonométrica y determina el corrimiento de fase. = tan x Solución: (.5π ) Realizando el análisis de la ecuación: El valor de h =.5π indica que va a tener un corrimiento de fase de.5π, es decir, la gráfica tendrá un corrimiento de fase hacia la derecha con un valor de.5π. Realizando la gráfica = tan( x.5π ) y comparando con la gráfica de = tan( x) 8
Figura 2. Gráfica de Tangente. Ejemplo 3 De acuerdo a la gráfica, indica cuál de las siguientes funciones corresponde a la gráfica. a) = sen( x ) + 3 b) = 3sen( x) c) = sen( 3x) d) = sen( x) 9
Solución: Comienza por analizar la gráfica, observa que el punto máximo de la función se encuentra en cero, y el punto mínimo en -2, de esta forma se puede definir que la línea de referencia es -, por lo que puedes deducir que la función tiene un corrimiento vertical hacia abajo de una unidad, es decir, el término k =. La gráfica de la función seno tiene la forma, donde la gráfica completa se encuentra entre 2π, en la gráfica que tenemos la figura se repite en 3 ocasiones, es decir, la frecuencia es de 3 y el valor que nos indica la frecuencia es el valor de n = 3 Por lo tanto, analizando la forma general de la ecuación seno La amplitud es: a = La frecuencia es: n = 3 No hay corrimiento de fase. Hay un corrimiento vertical hacia debajo de: k = = asen( nx h) + k, De esta forma el inciso c) ( x) = sen( 3x) f es la expresión que cumple con la gráfica. Es importante conocer las gráficas de las funciones trigonométricas, ya que el comportamiento de algunos de los fenómenos físicos se describe por medio de estas gráficas, por ejemplo: las ondas del sonido, el corazón humano y la corriente eléctrica. El poder realizar una interpretación de estas gráficas, y la modelación de las mismas, te puede ayudar a resolver diversos problemas. Te invito a que practiques la identificación de las gráficas, con sus respectivas ecuaciones, en los ejercicios que se encuentran en la clase virtual. Referencias Ayres, F.; Moyer, R. E. (99). Trigonometría. (María Concepción Ruiz Sánchez. Trad.) Segunda Edición. México: McGraw Hill. Ramírez Galarza, A. I.; Sienra Loera, G. (23). Invitación a las geometrías no euclidianas. [Versión Electrónica]. Recuperado el 23 de febrero de 2 del sitio Google libros:http://books.google.com.mx/books?id=_bqvowsnhe4c&pg=pa29&dq=en+todo+tri %C3%Angulo+la+suma+de+sus+%C3%Angulos+internos+es&lr=&cd=88#v=onepage&q= &f=false
Sullivan, J.; Hernández Garciadiego, C. (26). Álgebra y trigonometría. [Versión Electrónica]. Recuperado el 6 de febrero de 2 del sitio Google libros: http://books.google.com.mx/books?id=44- YnoUhxOoC&printsec=frontcover&source=gbs_v2_summary_r&cad=#v=onepage&q=&f=fal se Sullivan, M. (998). Trigonometría y geometría analítica. [Versión Electrónica]. Recuperado el 23 de febrero de 2 del sitio Google libros: http://books.google.com.mx/books?id=nt64q3hx_tc&printsec=frontcover&source=gbs_v2_ summary_r&cad=#v=onepage&q=&f=false Stewart, J.; Redlin, L. (27). Precálculo, matemáticas para el cálculo. [Versión Electrónica] Recuperado el 23 de febrero de 2 del sitio Google libros: http://books.google.com.mx/books?id=cihf4fj_ezwc&pg=pa486&dq=angulo+de+elevacion +y+depresion&cd=2#v=onepage&q=&f=false Swokowski, E. W. & Cole, J. A. (22). Álgebra y trigonometría con geometría analítica (H. Villagómez. Trad; a. ed). México: Thomson Learning.