Resolución de triángulos rectángulos

Transcripción

1 GPT-04_MAA1L1_Resolución Versión: Septiembre 01 Resolución de triángulos rectángulos Por Sandra Elvia Pérez Márquez Recuerda que para resolver cualquier problema es conveniente seguir los pasos que aparecen a continuación. 1. Leer el problema con detenimiento para saber qué se pide en él.. Realizar un diagrama donde se especi;iquen los datos conocidos. 3. Identi;icar si se utilizará una función trigonométrica o teorema de Pitágoras. 4. Realizar las operaciones sin cometer errores en los cálculos. 5. Veri;icar el resultado e interpretar la solución. Figura 1. Pasos para resolver un problema. A continuación se te presentan diferentes problemas a resolver: El camino de Carlos Carlos es un Ingeniero civil, al cual le encargaron construir un camino que conecte dos calles, para ello le an pedido que deje libre un edificio antiguo que se encuentra en la esquina, entre las dos calles. Le puedes ayudar a calcular qué longitud debe tener la calle que va a construir? Carlos cuenta con el siguiente plano: 1

2 GPT-04_MAA1L1_Resolución Versión: Septiembre 01 Figura. Plano del edificio entre dos calles. Como puedes observar, en el plano se forma un triángulo rectángulo, cuyos lados miden 55 m y 38 m. La calle que debe construir es la ipotenusa del triángulo, por lo cual se puede utilizar el teorema de Pitágoras para calcular el lado faltante. Así: Sustituyendo los valores de los lados (catetos del triángulo): ( 55m) + ( 38m) 305m m 4469m m Por lo tanto, la calle debe tener como mínimo una longitud de, pues el valor obtenido es el de la ipotenusa del triángulo que sustenta al edificio, así que la calle medirá un poco más de.

3 GPT-04_MAA1L1_Resolución Versión: Septiembre 01 La casa de Heber Heber es primo de Carlos. Fuera de su casa se encuentra un poste telefónico. Carlos le comentó a su primo que no se encuentra bien colocado por lo que decidieron reportarlo con las personas de mantenimiento, las cuales decidieron que era conveniente colocar un cable para asegurarlo. Sin embargo, el cable se encuentra muy cercano a la entrada de su cocera por lo que la máxima distancia a la base del poste que pueden colocar el cable es de 1.3 m y la altura a la que van a sujetar el cable es de.10 metros. Figura 3. La casa de Heber. Cuál será la longitud del cable que se debe utilizar para detener el poste? Como puedes observar, se forma un triángulo rectángulo de lados 1.3 m y.1 m y el cable forma la ipotenusa. Así: Sustituyendo los valores de los lados (catetos del triángulo): ( 1.3m) + (.1m) 1.69m m 6.1m m Por lo tanto, la cantidad de cable que se necesitará para asegurar el poste es de 3

4 GPT-04_MAA1L1_Resolución Versión: Septiembre 01 Ángulos de elevación y depresión En algunas ocasiones los conceptos de ángulo de elevación y ángulo de depresión son necesarios en la solución de problemas. a. Ángulo de elevación: es el ángulo comprendido entre una línea orizontal y la línea visual del observador acia un objeto cuando que se encuentra por arriba de la orizontal. Figura 4. Ángulo de elevación (de la orizontal a la línea del observador). b. Ángulo de depresión: es el ángulo comprendido entre una línea orizontal y la línea visual del observador acia un objeto cuando se encuentra por debajo de la orizontal. Figura 5. Ángulo de depresión (de la orizontal a la línea del observador). A continuación aparecen algunos ejemplos. 4

5 GPT-04_MAA1L1_Resolución Versión: Septiembre 01 Ejemplo 1 La altura de un edificio A Carlos le pidieron acer una remodelación de la facada de un edificio que se encuentra cerca de su casa. Para ello necesita determinar la altura del edificio. Utilizando un teodolito, el cual es un aparto de medición para ángulos verticales y orizontales, encuentra que el ángulo de elevación es de 8.87 a nivel del suelo a una distancia de 4.5 m de la base del edificio. Le puedes ayudar a Carlos a determinar la altura del edificio? Figura 6. Ángulo de elevación de 8.87 y distancia de 4.5 m. Como puedes observar, en la figura 7 se forma un triángulo rectángulo donde se conoce un ángulo y el cateto adyacente al ángulo; lo que se requiere calcular es la altura del edificio, es decir, el cateto opuesto. La función trigonométrica que involucra el cateto opuesto y el cateto adyacente es la tangente. Así: Figura 7. Datos del problema transferidos a un triángulo rectángulo. Despejando el cateto opuesto: ( tan A)( c a) c. o. 5

6 GPT-04_MAA1L1_Resolución Versión: Septiembre 01 Sustituyendo valores: o ( tan8.87 )( 4.5m) o ( )( 4.5m) 35.97m Por lo tanto, la altura de del edificio es de metros. Ejemplo La distancia del edificio a la casa de Carlos Cuando Carlos subió al teco del edificio, le dio curiosidad saber qué distancia abía de su casa al edificio. Como ya abía calculado la altura del edificio (35.97m), aora midió el ángulo de depresión que existía acia su casa y este fue de Quieres saber cómo Carlos calculó la distancia a su casa? Figura 8. Edificio de 35.97m de alto y ángulo de depresión de En este caso, el triángulo rectángulo que se forma, es el que se muestra en la figura. El ángulo de depresión y el ángulo B son complementarios, es decir, suman 90. Tomando esto en consideración, el ángulo B se puede calcular como: B Aora conoces el ángulo B y el cateto adyacente, lo que se necesita calcular es la distancia que ay de la casa al edificio, es decir, el cateto adyacente. Así: 6

7 GPT-04_MAA1L1_Resolución Versión: Septiembre 01 Despejando el cateto opuesto: ( tan A)( c a) c. o. Sustituyendo valores: o ( tan )( 35.97m) o ( 3.486)( 35.97m) 13.3m Por lo tanto, la casa de Carlos se encuentra a una distancia de 13.3 metros. Como puedes darte cuenta, el teorema de Pitágoras y las funciones trigonométricas son útiles para la solución de problemas que se te pueden presentar en la vida cotidiana, los cuales se puedan representar en un esquema como un triángulo rectángulo. Bibilografía Ayres, F. Jr. & Moyer, R. E. (1991). Trigonometría (ª. ed., Ruiz Sáncez, M. C. Trad.). México: McGraw-Hill. Baley, J. & Sarell, G. (004). Trigonometría (3ª. ed., González Ruiz, Á. C. Trad.). México: McGraw-Hill. Fuenlabrada, S. (007). Geometría y trigonometría (3ª. ed.). México: McGraw-Hill. Swokowski, E. & Cole J. (00). Álgebra y trigonometría con Geometría Analítica (10ª. ed., Villagómez, H. Trad.). México: International Tomson. 7