Identidades trigonométricas

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1 GPT-04_MAAL1_Identidades Versión: Septiembre 01 Identidades trigonométris Por Sandra Elvia Pérez Márquez Cuando se abla de una identidad se dice que dos expresiones son iguales, por lo tanto, si se refiere a una identidad trigonométri entonces se dice que dos expresiones que están formadas por expresiones trigonométris son iguales. Existen varias identidades que ya están definidas y que se utilizan para poder acer mprobaciones o simplificiones de identidades más mplejas. Estas simplificiones además de utilizar las identidades básis necesitan de las abilidades algebrais que permiten acer manipulaciones de las mismas para lograr una expresión que se pueda manejar más fácilmente. Identidades trigonométris básis o fundamentales Las identidades trigonométris básis son fundamentales para la mprobación de otras identidades. Se usarán ntinuamente en este curso porque aparecen n frecuencia en áreas mo la mecáni, la electróni y la ópti, entre otras. Las identidades trigonométris básis o fundamentales se pueden clasifir en: Identidades trigonométris básis o fundamentales Recípros De razón Pitagóris Figura 1. División de las identidades básis o fundamentales. UVEG. Derecos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modifida, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electróni, magnéti, incluyendo el fotopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por 1

2 GPT-04_MAAL1_Identidades Versión: Septiembre 01 Identidades trigonométris recípros Recuerdas que ya noces las funciones trigonométris recipros? Las utilizaste para poder lcular los valores de las funciones tangente, sente y sente por medio de la lculadora en el módulo 1. Aora recuerda en qué se parecen la función tangente y la función tangente? Tangente Cotangente tan( F) t(f) Al observar estas funciones trigonométris, puedes apreciar que son recípros entre sí porque dos números son recípros si al multiplirse son iguales a la unidad. Multipli la tangente y la tangente para verifir su reciprocidad. ( )( ) ( )( ) 1 Tabla1. Definición de función recípro. En la tabla se muestra la reciprocidad que existe entre las funciones trigonométris. Funciones trigonométris sen A s A tan A Esto impli que: es recípro de es recípro de es recípro de sen A csc A 1 s A sec ( 1 tan A t A 1 csc A sec A t A Tabla. Funciones trigonométris. UVEG. Derecos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modifida, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electróni, magnéti, incluyendo el fotopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por

3 GPT-04_MAAL1_Identidades Versión: Septiembre 01 A estas tres expresiones se les llama identidades recipros y, dependiendo de qué función se requiera, se pueden derivar varias expresiones al realizar los despejes. Identidades trigonométris de razón Estas identidades surgen a partir de la función trigonométri tangente y su definición. tan( A ) Si en la función trigonométri, divides tanto el numerador mo el denominador entre la ipotenusa, obtendrás las relaciones seno y seno, de tal forma que: tan( A ) y mo sen ( y s( A ) Por lo tanto: tan( A ) s( De la misma forma: s( t( A ) A estas dos identidades se les denomina identidades de razón. y 3 UVEG. Derecos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modifida, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electróni, magnéti, incluyendo el fotopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por

4 GPT-04_MAAL1_Identidades Versión: Septiembre 01 Identidades trigonométris pitagóris Como su nombre lo indi, estas identidades están basadas en el teorema de Pitágoras. Lo recuerdas? La ipotenusa al cuadrado es igual a la suma del cuadrado de los tetos. Una igualdad no se altera siempre y cuando los dos lados de la igualdad se dividan entre la misma ntidad (propiedades de la igualdad). Las identidades pitagóris surgen de las relaciones que resultan al dividir el teorema de Pitágoras entre da uno de los elementos. La tabla 3 muestra cómo se obtienen estas identidades. Teorema de Pitágoras + Si se divide entre la ipotenusa al cuadrado + Esto impli que 1 + Sustituyendo las funciones trigonométris: sen ( y s( A ) Se obtiene la identidad trigonométri pitagóri 1 sen ( + s ( 4 UVEG. Derecos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modifida, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electróni, magnéti, incluyendo el fotopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por

5 GPT-04_MAAL1_Identidades Versión: Septiembre 01 Si se divide entre el teto opuesto al cuadrado Si se divide entre el teto adyacente al cuadrado Sustituyendo las funciones trigonométris: csc( A ) y t( A ) + 1 Sustituyendo las funciones trigonométris: sec( A ) y tan( A ) csc ( A ) 1+ t ( sec ( tan ( + 1 Tabla 3. Identidades pitagóris. Con estas identidades trigonométris básis puedes realizar simplificiones y demostraciones. Es muy mún que después de aber realizado operaciones n expresiones trigonométris se presenten expresiones muy extensas o mplidas por lo que se recurre a las identidades trigonométris para acer una simplifición y de esta forma realizar los cálculos más fácilmente, pero, cómo puedes acer una simplifición o una demostración? Te sugiero que tomes en nsideración los pasos que aparecen en la figura ; sin embargo, dependiendo de tu abilidad para manejar las identidades puedes ir creando tu propia estrategia. UVEG. Derecos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modifida, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electróni, magnéti, incluyendo el fotopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por 5

6 GPT-04_MAAL1_Identidades Versión: Septiembre 01 1) Elige el lado de la identidad que te parez más fácil manejar. ) Realiza las operaciones que se indin (sumas, restas, multipliciones, divisiones, productos notables, etcétera). 4) En algunos sos es más sencillo si nviertes las funciones trigonométris a senos y senos. 3) Recuerda que puedes aplir las leyes del álgebra, pero debes respetar las identidades trigonométris. Figura. Pasos para demostrar o simplifir una identidad trigonométri. A ntinuación se presentan algunos ejemplos. Ejemplo 1 Demuestra que la siguiente expresión es una identidad trigonométri. sen ( sec( tan( Solución Comienza por elegir el lado izquierdo, donde se presenta una multiplición y demuestra que el producto de las dos funciones es igual a la tangente. sen ( sec( tan( De la identidad recipro: s( A )sec( 1 1 sec( A ) Despeja la sente: s( Sustitúyela en el lado izquierdo de la ecuación. 6 UVEG. Derecos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modifida, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electróni, magnéti, incluyendo el fotopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por

7 GPT-04_MAAL1_Identidades Versión: Septiembre 01 1 sec( s( Efectuando la multiplición: sen ( sec( s( tan( A ) Si observas la identidad de razón s( Puedes mprobar que: sen ( sec( tan( s( Ejemplo Demuestra que la siguiente expresión es una identidad trigonométri. csc ( A )(1 sen ( ) t ( Solución Toma el lado izquierdo de la identidad y efectúa las operaciones. Luego observa que es la multiplición de un monomio por un polinomio. csc ( (1 sen ( ) csc ( csc ( sen ( De las identidades recipros, tienes que csc( A ) 1 1 csc( A ) Si despejas la sente y sustituyes en el segundo término. 1 csc ( csc ( sen ( csc ( sen sen ( Realizando las operaciones: ( 7 UVEG. Derecos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modifida, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electróni, magnéti, incluyendo el fotopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por

8 GPT-04_MAAL1_Identidades Versión: Septiembre 01 1 sen ( csc ( sen ( csc ( sen ( sen ( sen csc ( sen ( csc ( 1 ( De la identidad pitagóri. csc ( A ) 1+ t ( Despeja la tangente csc ( A ) 1 t ( Puedes demostrar que: csc ( A )(1 sen ( ) csc ( 1 t ( Ejemplo 3 Demuestra que la siguiente expresión es una identidad trigonométri. (s( ) s( Solución Tomando el lado izquierdo de la ecuación y desarrollando el binomio al cuadrado, obtienes la siguiente expresión. ( s ( s( sen ( ) (s( A ) ) + s( s( Observa que dentro del paréntesis se tienen tres términos, los cuales se puedes reamodar para obtener la identidad pitagóri: 1 sen ( + s ( Reamodando la expresión anterior: 8 UVEG. Derecos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modifida, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electróni, magnéti, incluyendo el fotopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por

9 GPT-04_MAAL1_Identidades Versión: Septiembre 01 (s( ) s( ( sen ( + s ( s( ) s( Sustituyendo la identidad pitagóri: 1 sen ( + s ( (s( ) s( ( s( ) s( Quita el paréntesis tomando en cuenta que los signos de los términos que se encuentran dentro de él mbiarán. (s( A ) ) 1+ s( s( s( Realizando las operaciones del numerador: (s( ) s( s( s( Simplifindo el seno del numerador n el seno del denominador: Con ello puedes demostrar que la identidad es verdadera. (s( ) s( Además de las identidades trigonométris básis, existen otras identidades trigonométris que permiten relacionar los ángulos (mo sumas, restas, multipliciones o productos), ángulos dobles o semiángulos, entre otras; las cuales permiten resolver algunos problemas mo el que vimos al inicio de la clase. 9 UVEG. Derecos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modifida, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electróni, magnéti, incluyendo el fotopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por

10 GPT-04_MAAL1_Identidades Versión: Septiembre 01 Bibilografía Ayres, F. Jr. & Moyer, R. E. (1991). Trigonometría (ª. ed., Ruiz Sáncez, M. C. Trad.). Méxi: McGraw-Hill. Baley, J. & Sarell, G. (004). Trigonometría (3ª. ed., González Ruiz, Á. C. Trad.). Méxi: McGraw-Hill. Fuenlabrada, S. (007). Geometría y trigonometría (3ª. ed.). Méxi: McGraw-Hill. Swokowski, E. & Cole J. (00). Álgebra y trigonometría n Geometría Analíti (10ª. ed., Villagómez, H. Trad.). Méxi: International Tomson. UVEG. Derecos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modifida, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electróni, magnéti, incluyendo el fotopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por