Enero 2016 Ing. Rubén Darío Estrella, MBA Cavaliere dell ordine al Merito della Repubblica Italiana (2003) Ingeniero de Sistemas (UNIBE 1993), Administrador (PUCMM 2000), Matemático (PUCMM 2007), Teólogo (UNEV 2002) y Maestro (Salomé Uneña 1985) rubendarioestrella@hotmail.com / rubendarioestrellas@gmail.com www.atalayadecristo.org

Distribución Muestral Decisiones. Edición 2016. Pág.89 Generalmente las poblaciones son demasiado grandes como para ser estudiadas en su totalidad. Es necesario seleccionar una muestra representativa de un tamaño más manejable. Esta muestra se utiliza luego para sacar conclusiones sobre la población. Distribución Muestral: Es una lista de todos los valores posibles para un estadístico y la probabilidad relacionada con cada valor.

Distribución Muestral Decisiones. Edición 2016. Pág.89 La Desviación Normal o Formula Z Número de desviaciones Z= (X - µ)/σ Z= (X' - µ)/σ Z= (X - µ)/(σ/ n) Z= (X' - µ)/(σ/ n)

Error de Muestreo: Es la diferencia entre el parámetro poblacional y el estadístico de la muestra para estimar el parámetro. X'-X" X'-µ Distribución Muestral Decisiones. Edición 2016. Pág.89 Parámetro: Es una medición numérica que describe alguna característica de una población. Medida descriptiva de la población completa de observaciones que tienen interés para el investigador. Estadístico: Es una medición numérica que describe alguna característica de una muestra. El estadístico se utiliza como estimador del parámetro. Al confiar en una muestra para sacar alguna conclusión o inferencia sobre la población.

Distribución Muestral Decisiones. Edición 2016. Pág.89 Caso I. Las ventas en miles de dólares de Electrom, S.A. durante los últimos 6 meses fueron de 70, 77, 73, 78, 85 y 80. Asumiendo que estos seis meses constituyen una población, la media claramente es µ = 77.17. El director de Marketing desea estimar esta media "desconocida" tomando una muestra de tamaño n=4. Se espera que el error de muestreo que es probable que ocurra sea relativamente pequeño. Realice la distribución muestral.

Distribución Muestral Decisiones. Edición 2016. Pág.89 1º Podemos obtener muchas muestras de tamaño 4. Específicamente 6C4 = 15. 2º Construya la tabla en base a la cantidad de muestra del primer punto, indicando los elementos muestrales (Xi), y Medias Muestrales (X ). 3º Construya la tabla con la Probabilidad de cada media muestral. 4º Calcule la media de las medias muéstrales.

70 73 77 78 80 85 POBLACION TABLA DE DISTRIBUCION MUESTRAL VENTAS NUMERO ELEMENTOS DE MEDIA (X') ERROR DE CUADRADO DEL MENSUALES MUESTRA LA MUESTRA (X) MUESTRAL MUESTREO (X'-X") ERROR (X'-X") 70 1 70 73 77 78 77 2 70 73 77 80 73 3 70 73 77 85 78 4 70 73 78 80 85 5 70 73 78 85 80 6 70 73 80 85 77.17 MEDIA 7 70 77 78 80 VARIANZA 8 70 77 78 85 DESVICION 9 70 77 80 85 10 70 78 80 85 11 73 77 78 80 12 73 77 78 85 13 73 77 80 85 14 73 78 80 85 15 77 78 80 85 MEDIA DE X' VARIANZA ERROR ESTANDAR

Distribución Muestral Decisiones. Edición 2016. Pág.89 La Media de las Medias Muestrales: X"= X /K Varianza de la Distribución Muestral de las Medias Muestrales: σ²x'= (X'-X")²/K Error Estándar de la Muestral de las Medias Muestrales: σx'= (σ ²x )

NUMERO ELEMENTOS DE MEDIA (X') ERROR DE CUADRADO DEL MUESTRA LA MUESTRA (X) MUESTRAL MUESTREO (X'-X") ERROR (X'-X") 1 70 73 77 78 74.50-2.67 7.11 2 70 73 77 80 75.00-2.17 4.69 3 70 73 77 85 76.25-0.92 0.84 4 70 73 78 80 75.25-1.92 3.67 5 70 73 78 85 76.50-0.67 0.44 6 70 73 80 85 77.00-0.17 0.03 7 70 77 78 80 76.25-0.92 0.84 8 70 77 78 85 77.50 0.33 0.11 9 70 77 80 85 78.00 0.83 0.69 10 70 78 80 85 78.25 1.08 1.17 11 73 77 78 80 77.00-0.17 0.03 12 73 77 78 85 78.25 1.08 1.17 13 73 77 80 85 78.75 1.58 2.51 14 73 78 80 85 79.00 1.83 3.36 15 77 78 80 85 80.00 2.83 8.03 MEDIA DE X' 77.17 VARIANZA 2.31 ERROR ESTANDAR 1.52

Una aproximación cercana puede obtenerse mediante: σ²x = σ ²/ n σ x = σ/ n Distribución Muestral Decisiones. Edición 2016. Pág.89 Si el tamaño de la muestra es más del 5% de la población, n>0.05n, debe aplicarse el factor de corrección para poblaciones finitas (fpc). Error Estándar utilizando el fpc: σ x'=(σ / n) * ( (N-n/N-1)) (N-n/N-1) es el fpc.

NUMERO ELEMENTOS DE MEDIA (X') ERROR DE CUADRADO DEL MUESTRA LA MUESTRA (X) MUESTRAL MUESTREO (X'-X") ERROR (X'-X") 1 70 73 77 78 74.50-2.67 7.11 2 70 73 77 80 75.00-2.17 4.69 3 70 73 77 85 76.25-0.92 0.84 4 70 73 78 80 75.25-1.92 3.67 5 70 73 78 85 76.50-0.67 0.44 6 70 73 80 85 77.00-0.17 0.03 7 70 77 78 80 76.25-0.92 0.84 8 70 77 78 85 77.50 0.33 0.11 9 70 77 80 85 78.00 0.83 0.69 10 70 78 80 85 78.25 1.08 1.17 11 73 77 78 80 77.00-0.17 0.03 12 73 77 78 85 78.25 1.08 1.17 13 73 77 80 85 78.75 1.58 2.51 14 73 78 80 85 79.00 1.83 3.36 15 77 78 80 85 80.00 2.83 8.03 MEDIA DE X' 77.17 VARIANZA 2.31 ERROR ESTANDAR 1.52 ERROR ESTANDAR 1.52 FACTOR DE CORRECCION POBLACION FINITA 0.632455532 ERROR ESTANDAR 0.962057979

VENTAS VALORES DE CUADRADO DE MENSUALES DESVIACION X-X' VALORES DE DESV. 70-7.17 51.36 77-0.17 0.03 73-4.17 17.36 78 0.83 0.69 85 7.83 61.36 80 2.83 8.03 MEDIA DE X 77.17 VARIANZA 23.14 DESVIACION 4.81

TABLA DE PROBABILIDADES NUM. MUESTRAL NX'/K MEDIAS (NX') MEDIA (X') P(X')

TABLA DE PROBABILIDADES NUM. MUESTRAL NX'/K MEDIAS (NX') MEDIA (X') P(X') 74.50 1 0.0667 75.00 1 0.0667 75.25 1 0.0667 76.25 2 0.1333 76.50 1 0.0667 77.00 2 0.1333 77.50 1 0.0667 78.00 1 0.0667 78.25 2 0.1333 78.75 1 0.0667 79.00 1 0.0667 80.00 1 0.0667 SUMATORIA 15 1.0000

Teorema del Limite Central Distribución Muestral Decisiones. Edición 2016. Pág.89 A medida que n se vuelve más grande, la distribución de las medias muestrales se aproxima a una distribución normal con una media X"=µ y un error estándar de σx'= σ/ n. A mayor n menor σx' Por tanto, incluso si la población no esta distribuida normalmente, la distribución de muestreo de las medias muestrales será normal si n es lo suficientemente grande. La regla general es que si n es por lo menos 30, el Teorema del Limite Central asegurara una distribución normal en las medias muestrales incluso si la población no es normal.

Distribución Muestral Decisiones. Edición 2016. Pág.89 Conclusiones: 1.- A medida que aumenta el tamaño de las muestras, la distribución de las medias de muestra se acercara a una distribución normal. 2. - La media de las medias de muestra será la media de la población X"= µ. 3.- La desviación estándar de las medias de muestra será σx'= σ /n.

Distribución Muestral Decisiones. Edición 2016. Pág.89 Reglas prácticas de uso común: 1.- Para muestras de tamaño n mayor que 30, la distribución de las medias de muestra se puede aproximar razonablemente bien con una distribución normal. La aproximación es más exacta a medida que aumenta el tamaño de muestra n. 2.- Si la población original también esta distribuida normalmente, las medias de muestra tendrán una distribución normal para cualquier tamaño de muestra n.

Distribución Muestral Decisiones. Edición 2016. Pág.89 El Teorema del Limite Central indica que en el caso de muestras grandes (n > 30), la distribución de las medias de muestra es aproximadamente normal con media µ y desviación estándar σ/n. Provocando así una variación de la ecuación: Z= (X' - µ)/(σ/ n)

Distribución Muestral Decisiones. Edición 2016. Pág.89 Caso I. Tartus Industries cuenta con siete empleados de producción (a quienes se les considera población). En la tabla siguiente se incluyen los ingresos por hora de cada empleado. Encontrar: La media de la población. La desviación estándar de la población. La media de la distribución muestral de media con muestras de tamaño 2. La desviación estándar de la distribución muestral de medias, es decir, el error estándar de las medias. La tabla de Probabilidades. Ingresos Empleado por hora Joe 7 Sam 7 Sue 8 Bob 8 Jan 7 Art 8 Ted 9

Distribución Muestral Decisiones. Edición 2016. Pág.89 Caso II. Los tiempos de servicio de los ejecutivos que laboran en Standard Chemicals son los siguientes: Cuántas posibles? muestras de tamaño 2 son Elabore una lista de todas las muestras posibles de 2 ejecutivos de la población y calcule las medias. Organice las medias en una distribución muestral. Compare la media poblacional y la media de las medias de las muestras. Compare la dispersión en la población con la dispersión de la distribución muestral de la media. Construya la tabla de probabilidades. Nombre Años Snow 20 Tolson 22 Kraft 26 Irwin 24 Jones 28

Distribución de Proporciones Muestrales Decisiones. Edición 2016. Pág.97 Muchos asuntos de negocios tratan la proporción de la población. Una firma de marketing puede querer averiguar si un cliente (1) compra o (2) no compra el producto. Un banco con frecuencia debe determinar si un depositante (1) pedirá o (2) no pedirá un crédito para auto. Muchas firmas deben determinar la probabilidad de que un proyecto para presupuestar capital (1) generara o (2) no generara un rendimiento positivo. un cliente (1) compra (p = π) o (2) no compra el producto (q = 1 - π) un depositante (1) pedirá un crédito para auto (p = π) o (2) no pedirá un crédito para auto (q = 1 - π)

Distribución de Proporciones Muestrales Decisiones. Edición 2016. Pág.97 Valor esperado (media) de la Distribución Muestra de la Proporción: E(p) = π = p/k Error estándar de la Distribución Muestra de la Proporción: σp = (π * (1- π))/n = (p*q)/n

Si el tamaño de la muestra es mas del 5% de la población, n>0.05n, debe aplicarse el factor de corrección para poblaciones finitas (fpc) (N-n/N-1). Error estándar de la Distribución Muestra de la Proporción: Distribución de Proporciones Muestrales Decisiones. Edición 2016. Pág.97 σp = (π * (1- π))/n = (p*q)/n

Distribución de Proporciones Muestrales Decisiones. Edición 2016. Pág.97 Caso I. Publicidad Sarmiento pregunta a toda la población N=4 clientes si vieron el anuncio publicitario de Sarmiento en el periódico de esta mañana. Se registro una respuesta si como éxito, y no como fracaso. Los cuatros clientes S1, N2, N3 y S4. La proporción poblacional de éxitos es = 0.5. Se tomaron muestras de tamaño n = 2, y la proporción de éxitos se registra en la siguiente tabla: p = x/n

4C2 = 6 S1 N2 N3 S4 Xi Núm. De éxitos p 1 S1, N2 1 0.50 2 S1, N3 1 0.50 3 S1, S4 2 1.00 4 N2, N3 0-5 N2, S4 1 0.50 6 N3, S4 1 0.50 TOTAL 3.00

Distribución de Proporciones Muestrales Decisiones. Edición 2016. Pág.97 Valor esperado (media) de la Distribución Muestra de la Proporción: E(p) = π = p/k = 3/6 = 0.5 Error estándar de la Distribución Muestra de la Proporción: σp = (π * (1- π))/n = (pq)/n σp = (π * (1- π))/n * (N-n/N-1) σp = 0.5*0.5/2 * (4-2/4-1) σp = 0.35355339 * 0.81649658 = 0.289 Z = (p - π)/ σ p

Distribución de Proporciones Muestrales Decisiones. Edición 2016. Pág.97 Caso II. BellLabs adquiere componentes para sus teléfonos celulares en lotes de 200 de una firma en Palo Alto. El componente tiene una tasa de defectos del 10%. Una política establecida recientemente por BellLabs establece que si el siguiente envío tiene: Más del 12% de defectos, definitivamente buscará un nuevo suplidor. Entre el 10 y el 12% de defectos, considerará un nuevo proveedor. Entre el 5 y 10% de defectos, definitivamente no conseguirá un nuevo proveedor. Menos del 5% de defectos, incrementará sus pedidos. Cúal decisión es más probable que tome BellLabs?

Distribución de Proporciones Muestrales Decisiones. Edición 2016. Pág.97 Caso II. BellLabs adquiere componentes para sus teléfonos celulares en lotes de 200 de una firma en Palo Alto. El componente tiene una tasa de defectos del 10%. Una política establecida recientemente por BellLabs establece que si el siguiente envío tiene: Más del 12% de defectos, definitivamente buscará un nuevo suplidor. E(p) = π = 0.10 σp = 0.1*0.9/200 = 0.021 P(p > 0.12): Z = (p - π)/ σ p Z = (0.12 0.10)/0.021 = 0.95 Z = 0.95 área de 0.3289 P(p > 0.12) = P(Z > 0.95) = 0.5-0.3289 = 0.1711

Distribución de Proporciones Muestrales Decisiones. Edición 2016. Pág.97 Caso II. BellLabs adquiere componentes para sus teléfonos celulares en lotes de 200 de una firma en Palo Alto. El componente tiene una tasa de defectos del 10%. Una política establecida recientemente por BellLabs establece que si el siguiente envío tiene: Entre el 10 y el 12% de defectos, considerará un nuevo proveedor. E(p) = π = 0.10 σp = 0.1*0.9/200 = 0.021 P(0.10 <= p <= 0.12): Z = (p - π)/ σ p Z = (0.12 0.10)/0.021 = 0.95 Z = 0.95 área de 0.3289 P(0.10 <= p <= 0.12) = 0.3289

Distribución de Proporciones Muestrales Decisiones. Edición 2016. Pág.97 Caso II. BellLabs adquiere componentes para sus teléfonos celulares en lotes de 200 de una firma en Palo Alto. El componente tiene una tasa de defectos del 10%. Una política establecida recientemente por BellLabs establece que si el siguiente envío tiene: Entre el 5 y 10% de defectos, definitivamente no conseguirá un nuevo proveedor. E(p) = π = 0.10 σp = 0.1*0.9/200 = 0.021 P(0.05 <= p <= 0.10): Z = (p - π)/ σ p Z = (0.05 0.10)/0.021 = -2.38 Z = 2.38 área de 0. 4913 P(0.05 <= p <= 0.10) = 0.4913

Caso II. BellLabs adquiere componentes para sus teléfonos celulares en lotes de 200 de una firma en Palo Alto. El componente tiene una tasa de defectos del 10%. Una política establecida recientemente por BellLabs establece que si el siguiente envío tiene: Menos del 5% de defectos, incrementará sus pedidos. Cúal decisión es más probable que tome BellLabs? E(p) = π = 0.10 σp = 0.1*0.9/200 = 0.021 P(p < 0.05): Distribución de Proporciones Muestrales Decisiones. Edición 2016. Pág.97 Z = (p - π)/ σ p Z = (0.05 0.10)/0.021 = -2.38 Z = 2.38 área de 0. 4913 P(p < 0.50) = 0.5-0.4913 = 0.0087

Distribución de Proporciones Muestrales Decisiones. Edición 2016. Pág.97 Webster: Ejercicios 9 al 12 - Pág. 157 Webster: Ejercicios 13 al 17 - Pág. 160 Webster: Ejercicios 18 al 46 - Pág. 164-166 Investigar los siguientes Métodos de Muestreo y dar dos Ejemplos: Valor 2 adicionales a los 100. Muestreo Aleatorio Simple. Muestreo Sistemático. Muestreo Estratificado. Muestreo por Conglomerados. Muestreo de Conveniencia.