Eamen de álgebra Curso SEP-INAOE 4 al de enero del 00. Reducir a su forma más simple la siguiente epresión: 4 ( 3 + ) 3 + 3 3 ( + ) + 6 + 4 ( 3 + ) 3 + 3 3 ( + ) + 6 + Efectuamos primero las operaciones indicadas en los paréntesis redondos, por jerarquia, cambiamos los cuadrados a redondos las llaves a cuadrados 4 3 + 6 3 (3 + 6) + Nuevamente efectuamos las operaciones de los paréntesis redondos cambiamos cuadrados a redondos, obtenemos 4 3 Finalmente quitamos el último paréntesis redondo efectuando la operación indicada 4 + 3 sumando, encontramos el resultado nal, 7. Utilizar productos notables para desarrollar la siguiente epresión: ( 3) Se trata de un binomio al cuadrado, por tanto, es el primero al cuadrado menos el doble del primero por el segundo más el segundo al cuadrado. Tenemos entonces ( 3) () () (3) + (3) Efectuando las operaciones ( 3) 4 + 9 3. Utilizar productos notables para desarrollar la siguiente epresión: s + t s t Se trata del producto notable (a + b) (a + b) a b, así que s + t s t s t que nos da nalmente s + t s t 4s t 4. Efectuar la siguiente división: a 3 4a b + 4ab 3b 3 a 3b Primero debemos de ordenar tanto el dividendo como el divisor en potencias decrecientes de alguna de sus letras. Si elegimos la a a está ordenado. Ahora escribimos la división para efectuar el algoritmo a 3b p a 3 4a b + 4ab 3b 3 Dividimos el primer término del dividendo entre el primer término del divisor; es decir, a 3 a que nos da a los escribimos encima de la "casita", a a 3b p a 3 4a b + 4ab 3b 3 Ahora multiplicamos el resultado por el divisor lo restamos del dividendo, a a 3b p a 3 4a b + 4ab 3b 3 a 3 + 3a b 0 a b + 4ab 3b 3 a b Tomamos ahora el primer término del residuo lo dividimos entre el primer término del divisor,, es decir, ab, a lo ponemos en el resultado a continuación de lo que a teníamos a ab a 3b p a 3 4a b + 4ab 3b 3 a 3 + 3a b 0 a b + 4ab 3b 3
Ahora nuevamente multiplicamos el resultado que obtuvimos por el divisor lo restamos al residuo a ab a 3b p a 3 4a b + 4ab 3b 3 a 3 + 3a b 0 a b + 4ab 3b 3 +a b 3ab 0 + ab 3b Nuevamente tomamos el primer término del residuo lo dividimos entre el primer término del divisor; es decir, +ab lo dividimos entre a, lo que nos da +b a ab + b a 3b p a 3 4a b + 4ab 3b 3 a 3 + 3a b 0 a b + 4ab 3b 3 +a b 3ab 0 + ab 3b Y nuevamente multiplicamos el resultado que obtuvimos, b, por el divisor lo restamos del residuo a ab + b a 3b p a 3 4a b + 4ab 3b 3 a 3 + 3a b 0 a b + 4ab 3b 3 +a b 3ab 0 + ab 3b ab + 3b 3 0 Como el residuo es cero, hemos terminado la división. Resumiendo, a 3 4a b + 4ab 3b 3 a ab + b a 3b 5. Reducir al máimo posible la siguiente epresión: a 4 3 a 4 9a 3 3a + a6 3 a 5 Primero hacemos las reducciones en cada uno de los términos, a 4 3 a 4 9a 3 3a + a6 3 a 5 a 3 a + a Como a es un factor común, escribimos a 4 3 a 4 9a 3 3a + a6 3 a 5 a 3 a + a a 3 + Efectuamos ahora la suma de fracciones 3 +. El mínimo común multiplo MCM de los denominadores, 3 es 4, así que 3 + 4 + 3 4 nalmente a 4 3 9a 3 43 4 a 4 3a + a6 3 a 5 43 4 a 6. Factorizar la siguiente epresión: 9m 9mn n En este caso identi camos facilmente que se trata del producto de dos binomios con un termino común; es decir, se trata del producto notable ( + a) ( + b) + (a + b) + ab. El comun es el término que está al cuadro, es decir es p 9m 3m. Debemos encontrar dos términos que sumados multiplicados por el común nos den 9mn que multiplicados nos den n. El número se factoriza como, que no nos sirve, como 4, que tampoco nos sirve, como 7 4, que evidentemente satisface nuestros requisitos. Los términos no comunes son entonces 7n +4n la factorización queda nalmente como 9m 9mn n (3m 7n) (3m + 4n)
7. Reducir al máimo posible la siguiente epresión: + 3 + Vamos a reducir término por término. Primero del numerador Ahora el primer término del denominador + + + Ahora el segundo término del denominador 3 + 3 + 3 + Por tanto la fracción compleja queda como + 3 3 + + + Multiplicando ahora por el mínimo común múltiplo de los denominadores, ( + ) ( ), que es ( + ) ( ), tenemos + 3 3 + + + + ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( 3) ( ) Efectuando las sumas las cancelaciones ( + ) ( ) ( + ) ( ) + 3 ( 3) ( ) + Como ( + ) es un factor común, ponemos ( + ) ( ) ( + ) + 3 ( ) ( ) + Y efectuando las multiplicaciones + + 3 [ ( ) ] + ( 3) + así que nalmente ( + ) ( ) 3 ( + ) ( ) + ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( ) + [ ( ) ] 3
( + ) ( 3) + 3 +. Efectuar todas las operaciones indicadas reducir la siguiente epresión al máimo: 9 3 (9 ) + 3 3 + Para efectuar una suma de fracciones, lo primero que debemos hacer es escribir los denominadores en términos de factores primos. En el primer término, el denominador 9 lo podemos factorizar en factores primos como (3 + ) (3 ), escribimos, 9 3 (9 ) + 3 3 + 9 3 (3 + ) (3 ) + 3 3 + Ahora debemos sacar el mínimo común múltiplo MCM de los denominadores. Es claramente (3 + ) (3 ), así que 9 3 (9 ) + 3 3 + 9 3 + (3 + ) (3 ) (3 + ) (3 ) Efectuando las operaciones en el numerador 9 3 (9 ) + 3 3 + 9 (3 + ) (3 ) Factorizando el numerador 9 3 (9 ) + (3 + ) (3 ) 3 3 + (3 + ) (3 ) cancelando factores comunes, llegamos al resultado nal 9 3 (9 ) + 3 3 + 9. Juan tiene monedas más que Enrique entre ambos tienen 7. Determina cuántas monedas tiene cada uno. Llamemos al número de monedas que tiene Enrique. Como Juan tiene más, tendrá entonces +. Entre los dos tienen 7, así que la ecuación para este problema queda como + ( + ) 7 Quitando el paréntesis redondo, nos queda + + 7 Efectuando las sumas, + 7 Restando a ambos miembros de la ecuación, 66 Dividiendo ambos miembros de la ecuación por, 33 Así que Enrique tiene 33 monedas. Como Juan tiene más, tendrá 45. Resumiendo: Enrique tiene 33 monedas. Juan tiene 45 monedas. 0. Construe la grá ca de la siguiente función: () si < 0 + si 0 Tenemos dos secciones de la grá ca, para < 0 (la parte izquierda) para 0 (la parte derecha, incluendo el cero). Vemos que las dos partes son funciones lineales; es decir, son de la forma () m + b: La grá ca de la parte izquierda es una recta con pendiente, es decir, que forma un ángulo de 45 con el eje X que tiene una ordenada al origen de : La grá ca de la parte derecha es una recta con pendiente, es decir, que forma un ángulo de 45 con el eje X que tiene una ordenada al origen de : El cero está incluido en la parte derecha, así que en cero el valor de la función es. 4
6 4 5 4 3 3 4 5 4 6 Problemas opcionales.. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones simultaneas: 5 3 + 4 9 4 + 5 Usando la regla de Cramer, tenemos 5 D det 3 4 97 5 9 N det 4 4 97 5 4 5 9 N det 3 4 97 por tanto, 9 det N 4 4 97 D 5 4 3 5 97 det 3 4 5 5 9 det N 3 4 97 D 5 97 det 3 4 5 La solución del sistema de ecuaciones simultaneas es 3;. Resuelve la ecuación de segundo grado: 4 3 + 4 5 0, Solution is: ; 5 Para resolver esta ecuación de segundo grado podemos utilizar la fórmula b p b 4ac a que se aplica cuando la ecuación tiene la forma a + b + c 0 En este caso 5
a 4; b 4; c 5 por tanto 4 p 4 4 (4) ( 5) 4 p 6 + 40 (4) Una primera solución es 4 + 6 3 La segunda solución es 4 6 0 5 Resumiendo: La ecuación tiene dos soluciones, que son 4 p 56 4 6 3 5 6