Curso: º Bachillerato Recuperación Fecha: 5 de Junio de 05 º Trimestre.- Dados los vectores u (, ) implica una penalización del 5% de la nota. y v (,). a) Comprueba que forman una base de los vectores libres del plano. b) Encuentra las componentes del vector w (,5) B u, v en la base a) Para que dos vectores del plano formen una base de basta con que no sean paralelos, o lo que es lo mismo, que no sean proporcionales:, por tanto no son paralelos, y por tanto forman una base B (,),(,) b) Escribimos el vector w (, 5) como combinación lineal de los vectores de la base: w u v (,5) (,) (,) Esto nos genera un sistema de ecuaciones: w u v, 4 (.) (, 5) w Por tanto, cuya solución es: 5.- Sean las recta r: mx-y= y la recta s: x-my=m-. a) Estudia la posición relativa de las rectas, según los valores del parámetro m. b) Determina m para que ambas rectas se corten en un punto de accisa x=. Los vectores directores de r y s son r m, y s, m que m m m m. Para que las rectas sean paralelas, ha de ocurrir Por tanto, si m es ó -, las rectas son paralelas. Veamos si sin coincidentes o no: r : x y 0 Si m=, las rectas r y s son: s : x y 0, que como vemos son la misma, por tanto son coincidentes. r : x y 0 Si m=-, las rectas r y s son:, que como podemos observar no son la misma, por s : x y 0 tanto las rectas son paralelas no coindicentes. En el caso de que m no sea ni ni -, las rectas son secantes. Veamos el caso en el que ambas son perpendiculares: Para que sean perpendiculares, ha de ocurrir que el producto escalar de los dos vectores directores sea nulo: r y s son perpendiculares r s 0 ( m, ) (, m) 0 m m 0 m 0 Por tanto para que sean perpendiculares, ha de ocurrir que m=0. Si m y m -, las rectas son secantes. Si m=0, las rectas son perpendiculares. Si ambas rectas se cortan en un punto con x=, tenemos que el punto de corte será (,y), por tanto, si sustituimos en ambas rectas:
r : m y 0 s : m y m 0 despejando y de la primera y sustituyendo en la segunda: y m m( m ) m 0 Resolviendo la ecuación de segundo grado en m, obtenemos: m m m 0 m m 4 0 m 4 4 7 m m 4 0 m 4 6 6 m Si m=, como son coincidentes, es claro que se cortan en un punto de abscisa, y para el otro caso, son secantes en el punto de abscisa..- En el tejado de una casa hay una antena. Desde un punto del suelo se ven la casa y la antena bajo ángulos de 0 y 8 respectivamente. 50 metros más atrás, la antena se ve bajo un ángulo de 5. Calcula la longitud de la antena. Sea h la altura del edificio y la antena, aplicando tangentes en los dos triángulos tenemos: h tan 8 h x tan 8 x h tan 5 h tan 5 x 50 x 50 igualando: x tan 8 tan 5( x 50) Operando: x 50 tan 5 tan 8 x tan 5 50 tan 5 x 74,0 tan 8 tan 5 m Y de aquí, la altura de la torre y la antena h es: h x tan 8 57,8 m Para calcular la altura de la antena, calcularemos antes la altura del edificio h : ' tan 0 h h' x tan 0 74,0 tan 0 6,94 m x Por tanto, la altura de la antena y, la calculamos haciendo la diferencia de las dos alturas: 4.- a) Expresa cos( ) en función de cos Descomponiendo cos cos y h h' 57,8 6,94 0,89 m y desarrollando como el coseno de una suma: cos cos cos sen sen, Utilizando las razones trigonométricas de los ángulos dobles: cos cos sen sen sen cos cos cos sen sen cos Hacemos el cambio sen cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos
Curso: º Bachillerato Recuperación Fecha: 5 de Junio de 05 Agrupando, llegamos a: implica una penalización del 5% de la nota. 4 cos cos cos b) El coseno de un ángulo del primer cuadrante vale /, calcula sen(80 ) Como sen(80 ) sen, entonces calculamos el seno utilizando la identidad fundamental de la trigonometría y por tanto: tenemos que 5.- 5 sen(80 ) a) Resuelve la ecuación senx Si pasamos el a la derecha: Los ángulos cuyo seno es sen x son O lo que es lo mismo en grados sexagesimales: x k 4, despejando x tenemos: x k 4 x k 8 x k 8 x 0' 80k k x 670' 80k k k 8 8 b) Simplifica la siguiente expresión trigonométrica: cos cos 45 cos 45 Utilizando las fórmulas del coseno del ángulo suma, del ángulo diferencia y del ángulo doble: Tenemos: cos( A B) cos A cos B SenA SenB cos( A B) cos A cos B SenA senb cos( ) A cos A sen A cos cos 45 cos 45 Operando, llegamos a: sen sen sen sen cos 45 cos 45 cos 45 cos 45 cos sen sen sen sen sen sen sen cos 45 cos 45 cos 45 cos 45 cos 45 cos 45 cos sen cos sen Sustituyendo el seno de 45 y el coseno de 45 por su valor, tenemos: cos sen cos 45 cos sen 45 sen cos sen cos sen cos sen cos sen º Trimestre 6.- a) Halla las soluciones de la ecuación: z 6 z 7 8 0
7.- b) Encuentra la ecuación que tiene por raíces, -, i y i. a Z Z Z Z Z Z z z z 4 ) 0; 0; 40; 4 60; 5 80; 6 00 b) z 5 6 0 a) Qué relación existe entre el conjugado del opuesto de un número complejo, Z, y el opuesto del conjugado del mismo número?. Razona la respuesta. b) Calcula los números x e y de modo que: xi y i i a) Iguales b) x 6 y 7 8.- Halla la longitud de los lados y del área del cuadrilátero cuyos vértices son los afijos de la ecuación z 4 +6=0 l A 8 u. a. 9.- La circunferencia C pasa por el punto A(4,0) y es tangente a la recta y=x en el punto B(4,4). a) Determina la ecuación de la recta que pasa por B y por el centro de la circunferencia C. b) Encuentra el centro C y calcula su radio. ( puntos) a) x y 8 0 b) C(6,) r 0.- Halla la ecuación de la circunferencia inscrita al triángulo de vértices A(,6), B(-4,-4) y C(4,0) º Trimestre x y 5.- a) Una tienda dispone de latas de conserva de tomate de tres fabricantes: A, B y C. El fabricante A envasa el tomate en latas de 50 g, el fabricante B lo envasa en latas de 500 g y el fabricante C en latas de Kg. Esas latas de tomate se venden a ;,80 y,0, respectivamente. Compramos en total 0 latas, que pesan un total de 0 Kg y nos cuestan 5,60. Queremos saber cuántas latas de cada fabricante hemos comprado. Sol: 8 latas de A, 8 latas de B y 4 latas de C b) Resuelve la siguiente ecuación: log ( x 5) log ( x 6) log (x 0).- Calcula a y b sabiendo que la función f : es derivable en todo su dominio. definida por: ax x si x f( x) a bx si x x 5.- a) Diga cuando un punto (x o,f(x o )) es de inflexión para una función de f(x). X=7 Sol: a=-0; b=-5
Curso: º Bachillerato Recuperación Fecha: 5 de Junio de 05 implica una penalización del 5% de la nota. b) Calcule los coeficientes a y b del polinomio p( x) ax x bx, para que su gráfica pase por el punto (,), teniendo aquí un punto de inflexión. c) Diga, razonadamente, si en el punto (,) la función es creciente o decreciente. Sol: b) a=; b=; c) Decreciente. 4.- a) Escriba la regla de la cadena para la derivación de funciones compuestas. La regla de la cadena afirma que si f es derivable en x y g es una función derivable en f(x), entonces la g f x g f( x) es derivable en x y su derivada vale: función compuesta ( ) g f ' x d g f dg f x d g f( x) g ' f( x) g '( x) dx dx dx b) Calcule y simplifique en lo posible, la derivada de la función: cos x f( x) ln f '( x) cosec( x) cosx