Taller Mosaicos con GeoGebra Instituto de GeoGebra UNAM, México El objetivo general del taller es presentar diferentes algoritmos para crear mosaicos planos utilizando GeoGebra. El participante aprenderá a utilizar algunas de las herramientas disponibles en GeoGebra a través de la creación de patrones geométricos regulares. Duración 25 horas. Modalidad presencial. Imparte Mat. Lilia Villarreal Barajas Contacto lilia_villarreal@hotmail.com vibali.carbonmade.com Material disponible en http://liliaviba.wordpress.com
Qué es un mosaico? Un mosaico es una colección de piezas que embonan perfectamente unas con otras sin dejar espacios vacíos entre ellas y sin encimarse. Por ejemplo, los rompecabezas, los adoquinados y los azulejos. A cada figura que forma parte de un mosaico la llamaremos pieza, por ejemplo, una pieza de rompecabezas, una pieza de adoquín, una pieza de azulejo. Las piezas de un mosaico pueden estar delimitadas por segmentos rectos o curvos. Un mosaico puede estar formado por piezas iguales o piezas distintas.
Mosaicos geométricos Un polígono es una figura cerrada que está delimitada por segmentos rectos, a los cuales se les llama lados. A los puntos de intersección entre los lados se les llama vértices. Cuando todos los lados de un polígono tienen la misma medida se le llama polígono equilátero. Cuando todos sus ángulos internos tienen la misma medida se le llama polígono regular. Solo existen tres polígonos regulares con los que se puede generar un mosaico con piezas de un mismo tipo: triángulo equilátero, cuadrado y hexágono regular. Ejercicio: traza cada uno de estos polígonos regulares y construye un mosaico con cada uno de ellos.
Algunas herramientas de GeoGebra Elige y mueve Punto Punto medio Segmento Vector Polígono regular Arco circumcircular Simetría axial Rotación Traslación Deslizador Desplaza zona gráfica Acerca Aleja Deshace Rehace Vista algebraica Vista hoja de cálculo Propiedades de objeto
Construcción de un mosaico geométrico Triángulo equilátero 1.Inserta dos puntos libres A y B. 2.Utiliza la herramienta polígono regular, construye un polígono de tres lados a partir de los puntos A y B. 3.Selecciona todo el polígono y rota, refleja o traslada respecto a uno de los vértices libres o a uno de los lados. 4.Selecciona el nuevo conjunto y aplica algún movimiento: rotación, reflexión o traslación. Objetos libres: aquellos que pueden desplazarse o modificar sus atributos, en este caso, los vértices A y B. Objetos dependientes: aquellos que no se pueden modificar libremente, se modifican sólo cuando se modifica el objeto libre del que dependen, en este caso, el polígono y sus lados dependen de los vértices libres A y B. Construye el mosaico generado con un cuadrado o con un hexágono regular.
Polígonos irregulares Son aquellos en los que sus lados o ángulos internos tienen magnitudes distintas. No todos los polígonos irregulares generan un mosaico, se presentan algunos que SI tienen esta propiedad. 1.Paralelogramo: figura de cuatro lados, la característica de este polígono es que los lados opuestos son paralelos y tienen la misma magnitud. 2.Parahexágono: figura de seis lados, la característica de este polígono es que los lados opuestos son paralelos y tienen la misma magnitud.
3.Hexágono simétrico: unión de dos paralelogramos simétricos por reflexión. 4.Cuadrilátero simétrico: unión de dos triángulos simétricos por reflexión. 5.Pentágono irregular: unión de un paralelogramo y un triángulo isósceles.
Algoritmo 1 Llamaremos transformaciones a los trazos que reemplacen a los lados rectos del polígono; en principio las transformaciones se construirán por encima de los lados. Polígono base: paralelogramo. Movimientos: traslaciones. Condiciones: lados opuestos se transforman con trazos iguales. Construcción del polígono: 1.Inserta tres puntos libres A, B y C. 2.Traza un vector desde el vértice A hasta el B. 3.Traslada el punto C respecto al vector AB. 4.Traza los cuatro segmentos rectos que delimitan el paralelogramo: AB, BC', C'C y CA. 5.Traza un nuevo vector desde el vértice A hasta el C.
Algoritmo 1 Construcción de la pieza de mosaico: 1.Utilizando arcos circumcirculares consecutivos, construye un trazo que comience en el vértice A y concluya en el vértice C. (rojo) 2.Traslada cada arco del paso 1 respecto al vector AB. 3.Repite el paso 1, desde el vértice A hasta el vértice B. (azul) 4.Traslada cada arco del paso 3 respecto al vector AC. 5.Oculta los vectores y los lados del polígono. 6.Puedes modificar la forma de la pieza al desplazar los puntos libres, ten cuidado que los trazos no se intersecten. - Los objetos dependientes son los que en su nombre tienen comillas. - Los objetos libres son los que no las tienen.
Algoritmo 1 Construcción del mosaico: 1.Muestra los vectores utilizados en la construcción. 2.Traslada todo el conjunto respecto a uno de los vectores. 3.Traza nuevos vectores para realizar traslaciones de conjuntos mayores. 4.Oculta los vectores y los puntos. 5.Oculta los nombres de los arcos. 6.Guarda el archivo y exporta la zona gráfica como dibujo con extensión png o como gráfico vectorial con extensión svg.