MATEMÁTICAS II PROBLEMAS DE ÁLGEBRA PAU ANDALUCÍA Ejercicio. (Examen Junio 202 Específico Opción A) 2 0 [2'5 punos] Considera las marices AA = 0 2, BB = 0 2 0 y CC = 0 2. 2 Deermina, si exise, la mariz X que verifica AXB = C, siendo C la mariz raspuesa de C. Ejercicio 2. (Examen 2 202 Opción B) [2'5 punos] Encuenra la mariz X que saisface la ecuación 3 XA + A B = A, siendo 0 0 2 0 AA = 0 0 y BB = 0 2 0 0 0 2 Ejercicio 3. (Examen 3 Sepiembre 202 Opción A) Considera el siguiene sisema de ecuaciones con dos incógnias kx + 2y = 2 2x + ky = k x y = a) [0'5 punos] Prueba que el sisema es compaible para cualquier valor del parámero k. b) [ puno] Especifica para qué valores del parámero k es deerminado y para cuáles indeerminado. c) [ puno] Halla las soluciones en cada caso. Ejercicio 4. (Examen 3 Sepiembre 202 Opción B) x y = λ Considera el sisema de ecuaciones con res incógnias 2λy + λz = λ x y + λz = 0 a) ['25 punos] Clasifícalo según los disinos valores del parámero λ. b) ['25 punos] Resuélvelo para λ = 0 y λ =. Ejercicio 5. (Examen 4 Junio 202 General Opción A) 0 0 Sea la mariz AA = 2 2 kk a) [ puno] Para qué valores del parámero k no exise la inversa de la mariz A? Jusifica la respuesa. b) ['5 punos] Para k = 0, resuelve la ecuación maricial ( X + I) A= A, donde I denoa la mariz idenidad y A la mariz raspuesa de A.
2 Ejercicio 6. (Examen 4 Junio 202 General Opción B) Considera el sisema de ecuaciones x + y + z = µ + 3y + 2z = 2µ + 3 3 x + ( µ ) y + z = µ a) [ puno] Resuelve el sisema para µ =. b) [ puno] Halla los valores de µ para los que el sisema iene una única solución. c) [0'5 punos] Exise algún valor de µ para el que el sisema admie la solución, 0, 2 2? Ejercicio 7. (Examen 5 202 Opción B) Dada la mariz AA = 3 2, sea B la mariz que verifica que AAAA = 2 5 7 3 a) [ puno] Comprueba que las marices A y B poseen inversas. b) ['5 punos] Resuelve la ecuación maricial A X B BA =. Ejercicio 8. (Examen Reserva 2 Junio 203 Opción B) Sea M una mariz cuadrada de orden 3 al que su deerminane es de(m) = 2. Calcula: a) [0 5 punos] El rango de 3 M. b) [0 75 punos] El deerminane de 2M ( M es la mariz raspuesa de M). c) [0 75 punos] El deerminane de ( M ) 2. d) [0 5 punos] El deerminane de N, donde N es la mariz resulane de inercambiar la primera y segunda filas de M. Ejercicio 9. (Examen 2 Sepiembre 203 Opción A) 0 Considera las marices AA = 0 y BB = 0 0 2 0 0 a) [ puno] Halla, si es posible, A y B. b) [0 25 punos] Halla el deerminane de 203 AB A siendo c) [ 25 punos] Calcula la mariz X que saisface AX B = AB. A la mariz raspuesa de A. Ejercicio 0. (Examen 4 Reserva 2 Sepiembre 203 Opción B) Considera las marices AA = 2 y BB = 0 0. a) [ 25 punos] Calcula X e Y ales que X Y = A y 2X Y = B b) [ 25 punos] Calcula Z al que AZ = BZ + A.
3 Ejercicio. (Examen 2 Sepiembre 203 Opción B) 2x 4y + 6z = 6 Considera el siguiene sisema de ecuaciones lineales my + 2z = m + 3x + 6y 3mz = 9 a) [ 75 punos] Discue el sisema según los valores del parámero m. b) [0 75 punos] Resuélvelo para m = 3. Para dicho valor de m, calcula, si es posible, una solución en la que y = 0. Ejercicio 2. (Examen 3 Reserva Sepiembre 203 Opción A) 2 3 xx Sean las marices AA = mm mm 2, BB = y XX = yy mm 0 2 0 zz a) [ 25 punos] Deermina el rango de A según los valores del parámero m. b) [0 75 punos] Discue el sisema AX = B según los valores del parámero m. c) [0 5 punos] Resuelve el sisema AX = B para m =. Ejercicio 3. (Examen 3 Reserva Sepiembre 203 Opción B) Sean A y B las marices AA = 2 3 4 y BB = 3 5 9 5 a) [ 25 punos] Calcula las marices X e Y para las que 2X Y = A y X 3Y = B. b) [ 25 punos] Halla la mariz Z que verifica B la mariz raspuesa de B). 2 B ZA B 3I + + = (I denoa la mariz idenidad y Ejercicio 4. (Examen 4 Reserva 2 Sepiembre 203 Opción A) Considera el siguiene sisema de ecuaciones lineales x y + z = 0 2x + 3y z = 3 a) [ 5 punos] Deermina el valor de m para el que al añadir la ecuación x + my + 4z = 3 al sisema anerior se obenga un sisema con las mismas soluciones. b) [ puno] Halla la solución del sisema para la que la suma de los valores de las incógnias sea 6. Ejercicio 5. (Examen 5 Reserva Junio 203 Opción A) 0 Considera las marices AA = 2 0 0, BB = 0 2 2 y CC = 2 0 6. 0 a) [0 75 punos] Halla A. b) [ 25 punos] Calcula la mariz X que saisface AX = B C ( A BB A. 203 c) [0 5 punos] Halla el deerminane de ( ) 203 B es la mariz raspuesa de B).
4 Ejercicio 6. (Examen 5 Reserva Junio 203 Opción B) aa bb cc Sabiendo que el deerminane de una mariz AA = dd ee ff es 4, calcula los siguienes pp qq rr deerminanes indicando, en cada caso, las propiedades que uilizas: a) [ puno] de( 2A) y de( A ). a b c b) [ 5 punos] 2d 2e 2f p q r y 3d 3e 3f a b c p q r Ejercicio 7. (Examen 6 Junio 203 Opción A) 0 Sea MM = 0 mm + 0 mm a) [0 75 punos] Deermina los valores de m para los que los vecores fila de M son linealmene independienes. b) [ puno] Esudia el rango de M según los valores de m. c) [0 75 punos] Para m =, calcula la inversa de M. Ejercicio 8. (Examen 6 Junio 203 Opción B) Sea AA =. 2 a) [ 5 punos] Comprueba que A = 2I y calcula b) [ puno] Calcula 203 A y su inversa. A. Ejercicio 9. (204. JUNIO. EJERCICIO 3. OPCIÓN A) x + 2y 3z = 3 Considera el siguiene sisema de ecuaciones lineales 2x + 3y + z = 5 a) Calcula α de manera que al añadir una ercera ecuación de la forma α x + y - 7z =, el sisema resulane enga las mismas soluciones que el original. b) Calcula las soluciones del sisema dado ales que la suma de los valores de las incógnias sea 4. Ejercicio 20. (205. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 3. OPCIÓN B ) 2 x y ( ) z + + α = α Considera el siguiene sisema de ecuaciones lineales x α y 3z = x + y + 2 z = 2α -2 a) Resuelve el sisema para α =. b) Deermina, si exise, el valor de α para que (x, y, z) = (,-3, α) sea la única solución del sisema.
5 Ejercicio 2. (205. JUNIO. EJERCICIO 3. OPCIÓN B ) Considera las marices 2 0 2 A = y B = -2 m 0 2 m 3 2 m a) Encuenra el valor, o los valores, de m para los que A y B ienen el mismo rango. b) Deermina, si exisen, los valores de m para los que A y B ienen el mismo deerminane. SECCIÓN DE PROBLEMAS Ejercicio 22. (202. RESERVA 4. EJERCICIO 3. OPCIÓN A ) Un esudiane ha gasado 57 euros en una papelería por la compra de un libro, una calculadora y un esuche. Sabemos que el libro cuesa el doble que el oal de la calculadora y el esuche junos. a) Es posible deerminar de forma única el precio del libro?. Y el de la calculadora?. Razona las respuesas. b) Si el precio del libro, la calculadora y el esuche hubieran sufrido un 50%, un 20% y un 25% de descueno respecivamene, el esudiane habría pagado un oal de 34 euros. Calcula el precio de cada arículo. Ejercicio 23. (2009. RESERVA. EJERCICIO 3. OPCIÓN A ) Traamos de adivinar, mediane cieras pisas, los precios de res producos A, B y C. Pisa : Si compramos una unidad de A, dos de B y una de C gasamos 8. Pisa 2: Si compramos n unidades de A, n+3 unidades de B y 3 de C gasamos 390. a) Hay algún valor de n para el que esas dos pisas sean incompaibles?. b) Sabiendo que n = 4 y que el produco C cuesa el riple que el produco A, calcula el precio de cada produco. Ejercicio 24. (2008. JUNIO. EJERCICIO 3. OPCIÓN A ) Un cajero auomáico coniene sólo billees de 0, 20 y 50 euros. En oal hay 30 billees con un impore de 3000 euros. a) Es posible que en el cajero haya el riple número de billees de 0 que de 50?. b) Suponiendo que el número de billees de 0 es el doble que el número de billees de 50, calcula cuanos billees hay de cada ipo.
6 Ejercicio 25. (2005. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 3. OPCIÓN A ) En una excavación arqueológica se han enconrado sorijas, monedas y pendienes. Una sorija, una moneda y un pendiene pesan conjunamene 30 gramos. Además, 4 sorijas, 3 monedas y 2 pendienes han dado un peso oal de 90 gramos. El peso de un objeo deformado e irreconocible es de 8 gramos. Deermina si el mencionado objeo es una sorija, una moneda o un pendiene, sabiendo que los objeos que son del mismo ipo pesan lo mismo. Ejercicio 26. (2005. RESERVA 3. EJERCICIO 3. OPCIÓN A ) Álvaro, Mara y Guillermo son res hermanos. Álvaro dice a Mara: si e doy la quina pare del dinero que engo, los res hermanos endremos la misma canidad. Calcula lo que iene cada uno si enre los res junan 84 euros. Ejercicio 27. (2004. RESERVA. EJERCICIO 3. OPCIÓN B ) Un endero dispone de res ipos de zumo en boellas que llamaremos A, B y C. El mencionado endero observa que si vende a las boellas del ipo A, a 3 las del ipo B y a 4 las del ipo C, enonces obiene un oal de 20. Pero si vende a las del ipo A, a 3 las del B y a 6 las del C, enonces obiene un oal de 25. a) Planea el sisema de ecuaciones que relaciona el número de boellas de cada ipo que posee el endero. b) Resuelve dicho sisema. c) Puede deerminarse el número de boellas de cada ipo de que dispone el endero?. (Ten en cuena que el número de boellas debe ser enero y posiivo). Ejercicio 28. (2003. RESERVA. EJERCICIO 3. OPCIÓN B ) Una empresa cinemaográfica dispone de res salas, A, B y C. Los precios de enrada a esas salas son de 3, 4 y 5, respecivamene. Un día la recaudación conjuna de las res salas fue de 720 y el número oal de especadores fue de 200. Si los especadores de la sala A hubieran asisido a la sala B y los de la sala B a la sala A, se hubiese obenido una recaudación de 20 más. Calcula el número de especadores que acudió a cada una de las salas.