TRJO PRÁCTICO Nº 9: FUNCIONES DE VRIS VRILES SIGNTUR: MTEMTIC II (dministración, Turismo, Hotelería) ÑO: 05 ) Representar los siguientes puntos en el espacio: ( ; ; ) ; ( ; ; ) ; ( 0 ; 0 ; 4) ; ( ; ; 5) ) Completar con: R, R, R, R, R ó R, según corresponda. 4. [ ;8 ). ( ; ; )... El punto ( 5; ) N. [ 0; ) ( ;] ( 0 ;00 ; 00). ( ; 9).. ) Completar con: R, R, R, R, R ó R, según corresponda. { el conjunto de los puntos que están sobre la recta y x + } { el conjunto de los puntos int eriores al círculo de centro en el origen y radio 4} { el conjunto de los puntos que están sobre la esera de centro en el origen y radio 4}.. 4) En los siguientes ejemplos indicar cuál es la variable dependiente y cuál o cuáles las independientes: a) El valor del alquiler de una película en un video depende de si es o no un estreno. b) Sabiendo la distancia recorrida y la velocidad del automóvil (a mayor velocidad, mayor consumo de nata), puedo calcular el gasto de un viaje desde ariloche a uenos ires. c) El precio de un boleto en avión a uenos ires depende del horario de vuelo, de si es clase turista o primera, de la orma de pago y de si es para un adulto o para un niño. d) El costo de producción es el costo total que se tiene al producir las cantidades q y q de dos artículos y. e) La demanda de la carne de pollo está en unción del precio de kg. de pollo y del precio del kg.de carne vacuna. ) La probabilidad de que un número elegido salga en un sorteo depende de la cantidad de números que se sortean. 5) Hallar y graicar el dominio de las siguientes unciones de dos variables: a) z ( x, 5 x y b) z ( x, ln( x + c) z ( x, d) z ( x, x + y x + y 6) De las unciones anteriores, si es posible, hallar (0,0), (0,5), (,), (, ) 7) Dada la siguiente unción de tres variables, w ( x, y, z) x 4yz a) hallar el dominio. b) hallar (0,0,0), (0,5, ), (,, 4),,, 8) Graicar los siguientes planos: a) x 5y + z b) 5 x + z 0 c) x y 8 9) Cuáles son las ecuaciones de los siguientes planos?
Z 5 7 Y 0) Hallar y graicar las curvas de nivel de las siguientes unciones: X a) z ( x, x + y b) z + ( x, x y c) z x, x y ( (*) d) z ( x, x y x y ) La producción de un bien está dado por z ( x, +, donde x e y son las cantidades de los 4 9 actores de producción X e Y respectivamente. a) Representar las curvas de nivel para z, z y z. b) Cómo se llaman estas curvas de nivel? Qué signiicado tienen? ) Dada la unción de producción z 6xy, donde x es el número de máquinas usadas e y es el número de horas-hombre, se pide: a) Determinar las curvas de producción constante para z6, z8 y z0. Representar gráicamente. b) Si se desea obtener un volumen de producción de 00 unidades y se dispone de dos máquinas, cuántas horas-hombre se necesitan? c) Si se deben producir 6000 unidades con 00 horas-hombre, cuántas máquinas se deben utilizar? ) Suponga que la utilidad obtenida por un consumidor de x unidades de un artículo e y unidades de un segundo artículo, está dada por la unción de utilidad U ( x, x y. Si el consumidor posee actualmente 6 unidades del primer artículo y 0 del segundo: a) Encuentre el nivel actual de utilidad del consumidor. b) Dibuje la curva de indierencia correspondiente. c) Encuentre otro par de valores (x; para el cual se obtenga la misma utilidad. Se encuentra este punto sobre la gráica anterior? Por qué? 4) Suponga que la unción de producción de un artículo está dada por: z ( x, x + y donde x e y son las cantidades de los dos insumos X e Y. a) Determinar las curvas de nivel (isocuantas), para los valores de producción, y. b) Representarlas gráicamente. c) Si se desea obtener un nivel de producción igual a 6, y se utilizan 4 unidades del insumo X, calcular la cantidad requerida del insumo Y. 5) Suponga que la unción de producción de un artículo está dada por: z ( x, x + y donde x e y son las cantidades de los dos insumos X e Y. a) Determinar las curvas de nivel (isocuantas), para los valores de producción 0, 5 y 0. b) Representarlas gráicamente. c) Si se desea obtener un nivel de producción igual a 00, y se utilizan 8 unidades del insumo X, calcular la cantidad requerida del insumo Y. 6) Una empresa automotriz abrica dos modelos de auto. Por unidad, el modelo implica un costo de $6000 en materiales y $4000 en mano de obra, vendiéndose a $0000. Por otra parte, producir cada unidad del modelo cuesta $000 en materiales y $8000 en mano de obra, siendo su precio de venta $45000. La empresa tiene costos ijos diarios de $000.
a) determine las unciones de costo, ingreso y beneicio diario de la empresa. b) determine las ecuaciones y graique las curvas de isocosto, isoingreso y de indierencia. 7) Una compañía puede describir su producción a través de la unción Q(K;L) 60.(4.(K + L )) / donde K y L representan las cantidades de actores utilizadas de capital y mano de obra, respectivamente. Determinar la isocuanta correspondiente a un nivel de producción de 4800 unidades y representarla gráicamente. 8) El precio de un piso P en unción de la supericie S y de la calidad de los materiales C viene dado por una unción P(S,C ). Es razonable que δp/δc > 0? Es razonable que δp/δs < 0? Justiicar. 5 9) Sean las unciones i) ( x, x y x y + 7x ii) ( x, x ln( x + y ) a) Hallar x, y, xx, yy, xy, yx. b) Veriicar que las derivadas parciales segundas mixtas son iguales. c) Evaluar las derivadas del inciso a) en los puntos (,) y (,0). 0) Para las siguientes unciones de costos conjuntos de dos artículos X e Y, encuentre los costos marginales para el nivel de producción indicado en cada caso. Interprete los resultados. a) C 7x + 0,y + y + 900 ; x 0 ; y 0 b) C ( x, x x + y + 5000 ; x 40 ; y 60 ) Calcular las unciones de productividades marginales para las siguientes unciones de producción P para los valores indicados: a) P 0L L + 0LK + 5K 4K ; L 0 ; K 8 b) P L K 0,5 0,75 000 ; 00 L ; K 50 ) Las demandas x y x de dos productos y están dadas por las unciones: x 0 p + p ; x 0 + p 5 p En donde p y p son los precios unitarios de y respectivamente. Determinar las cuatro unciones de demanda marginal, e investigar si los productos son competitivos o complementarios entre sí. ( p; p ) 50 + 0, p 5p ) Dada la unción de demanda x para el artículo relacionado con el artículo, determinar las elasticidades parciales de la demanda respecto de p y p cuando p 6 y p 50. Interpretar el resultado. Identiique cuál de ambas elasticidades es la elasticidad cruzada. 50 4) Idem ejercicio anterior siendo x( p; p ) ; p 5 ; p 4. (optativo) p p 5) Sean las unciones de demanda x 50 + 6 p p y x 5 8 p + p en donde p y son los precios unitarios de los artículos y respectivamente. a) Determinar las 4 unciones de demanda marginal. b) Indicar si los productos son competitivos o complementarios entre si. c) Calcular las elasticidades parciales cruzadas para p y p. 6) La unción de producción: Q( K; L) 8L L + L + 50K K describe la cantidad producida de un artículo dado en términos de las cantidades de los respectivos insumos: capital ( y trabajo (L), en unidades standard apropiadas. a) Determine las productividades marginales respecto al capital y al trabajo, para K5 y L. b) Calcule la elasticidad parcial de la producción respecto al capital (para K5 y L). c) Cuál es la variación porcentual de la producción si se aumenta % el capital? 7) Una empresa puede elaborar un producto en dos plantas de producción dierentes. El costo de producir x unidades en la planta e y unidades en la planta esta dado por la unción conjunta de costo: C(x; x +.y + 5.x.y + 700; encuentre: a) el costo de producir 8 unidades en la planta y 0 unidades en la planta. p
b) los respectivos costos marginales para el nivel de producción: x8; y0; e interprete. 8) Una empresa produce dos tipos de productos, y. El costo diario total (en pesos) de producir x unidades de e y unidades de esta dado por la unción: C(x; 50-4.x - 7.y + 0,. x + 0,. y Si además puede vender cada unidad de a $0 y cada unidad de a $6, determine la unción de utilidades de la empresa. 9) Hallar los extremos de las siguientes unciones: a) ( x, x + y + xy x 6y + b) + 4 ( x, x y c) ( x, x + 4xy y + d) ( x, x + y + e) ( x, 5x + 4xy y + 6x + 0 ) 4x ( x, x + y + 0) El beneicio que se obtiene produciendo x unidades del modelo e y unidades del modelo se aproxima mediante el modelo P ( x, 8x + 0y 0,00 ( x + xy + y ) + 0000. Hallar el nivel de producción que reporta un beneicio máximo. ) Un abricante produce dos bienes, x y x. Las cantidades demandadas son D 00-p +p y D 00+p -p. La unción de costo total es C 0D +0D. Determinar el nivel de precios que permite obtener el máximo beneicio. ) El costo laboral de una empresa está dado por la unción: C(x, x + y 6 x y + x + 6 y 5, donde x es el nro. de días de trabajo requeridos por parte de un trabajador experto, y es el nro. de días requeridos por un trabajador con capacitación mínima. Calcule los valores de x e y para los cuales el costo laboral será mínimo. ) Un almacén de una pequeña zona rural vende marcas de jugo de naranja; una marca local que obtiene a un costo de 0 pesos por lata y una marca nacional que obtiene a un costo de 40 pesos por lata. El dueño calcula que si la marca local se vende a x pesos por lata y la marca nacional a y pesos por lata, se venderán cada día aproximadamente (70 5x + 4 latas de la marca local y (80 + 6x 7 latas de la marca nacional. Qué precio deberá ijar el dueño a cada marca para maximizar las utilidades obtenidas por la venta de jugos? 4) Un rectángulo tiene 0 cm de largo y 0 cm de ancho. Utilizar la dierencial total para estimar la cantidad de cm que aumentará el área si la longitud se aumenta en 0,8 cm y el ancho en 0,6 cm. 5) En una cierta ábrica, la producción diaria es de Q 0K T unidades, donde K es el capital invertido medido en unidades de 000 dólares y T es el tamaño de la uerza de trabajo medido en horas-hombre. El capital actualmente invertido es de 400000 dólares y se usan cada día 000 horas-hombre. Usar la dierencial total para estimar el cambio que resultará en la producción si la inversión de capital aumenta en 500 dólares y el trabajo aumenta en 4 horas-hombre. 6) Un editor estima que si se gastan x miles de $ en desarrollo e y miles de $ en promoción, se venderán aproximadamente Q( x, 0x y ejemplares de un nuevo libro. Los planes actuales necesitan el gasto de 6000$ en desarrollo y 5000$ en promoción. Usar la di. total para estimar el cambio de ventas que resultará si la cantidad gastada en desarrollo se aumenta en 500$ y la cantidad gastada en promoción se disminuye en 500$. 7) Sea P ( t, k) 6t 4t + k k una unción de producción donde t y k son las cantidades de trabajo y capital, respectivamente, y P es la cantidad producida. a) Hallar las derivadas parciales primeras y segundas de la unción producción. b) Hallar sus puntos críticos. c) nalizar si estos puntos críticos son máximos, mínimos o puntos silla (también llamados puntos de ensilladura ). Justiicar. d) Encontrar los valores de t y k que maximizan P. e) Calcular cuál es ese valor máximo de la producción. 4
Respuestas ) 4 R ; [ ; 8) R ; ( ; ; ) R ; el punto ( 5; ) ( 0 ;00 ; 00) R ; ( ; 9) R ; N ; [ ;) ( ; ] R R ; R el conjunto de los puntos que están sobre la recta y x + R ; 0 ; ) { } { el conjunto de los puntos int eriores al círculo de centro en el origen y radio 4} R ; { el conjunto de los puntos que están sobre la esera de centro en el origen y radio 4} R 4) a) vardep: valor del alquiler var. Indep: estreno b) var. dep.: gasto var. indep.: distancia y velocidad de automóvil. c) vardep: precio del boleto. Var indep: horario, clase, orma de pago y edad d) var. dep.: costo total var. indep.: cantidades q y q de los artículos y. e) var. dep.:demanda de carne de pollo. Var indep: precio del kg de pollo y precio kg carne vacuna ) var. dep.: probabilidad var. indep.: cantidad de números. 5) a) El dominio es el conjunto de los puntos que se encuentran sobre y dentro de la circunerencia con centro en el origen y radio 5. c) El dominio es todo R excepto el origen de coordenadas, es decir, el punto (0 ; 0). 6) a) ( 0,0) 5, ( 0,5) 0, (,) 5, (,) c) (0,0) no está deinida, ( 0,5), (,), 5 0 e) ( 0,0), ( 0,5) 7, (,) 8, (,) 0 (,) 7) a) Dom R ; b) ( 0,0,0) 0, ( 0,5,) 0, (,, 4) 47,,, 9) y + z x y z + + 5 7 ) b) Isocuantas. Las isocuantas indican las distintas combinaciones de actores de producción (o insumos) para los cuales obtengo el mismo nivel de producción (z; z o z). ) a) z6 y/x z8 y/x z0 y5/x b) 5 horas hombre. c) 5 máquinas. ) a) U(6;0)90 4) a) y-/.x+/ ; y-/.x+/ ; y-/.x+ b) y8/6 5) a) 0x +y> y 0-x ; 5x +y> y 5-x ; 0x +y> y 0-x b) y00-646 6) xunid abricadas modelo ; y unid. abricadas modelo a)c(x;(6000+4000).x + (000+8000).y ; I(x; 0000.x + 45000.y (x; 0000.x + 5000.y 000 b) isocosto: k0000.x+0000.y+000 ;isoingreso: k0000.x+45000.y; indierencia: k0000.x+5000.y-000 7) K(600-L ) / 5
8) Si δp/δc> 0 signiica que a mayor calidad de los materiales aumenta el precio de la vivienda. Es razonable. Si δp/δs< 0 signiica que al aumentar la supericie del piso el precio disminuye. No es razonable. 4 9) i) a) x 5x y 6xy + 7 c) 4 y 7 y x 5 x y c) y - xx 0x y 6y c) 6 y 0 5 yy x c) y 4 0x y x c) 4 y 6 xy yx 6 x ii) a) x c),8 y 4 x + y y y c) -0, y x + y xx ( + yy ( + xy x y c) -0,6 y x y ) y x x y ) c) 0,7 y - 4xy yx( x; ( x + y ) c) 0, y 0 0) a) C x 7 Signiica que al aumentar la producción del artículo x de 0 a unidades, mientras se mantenga constante en 0 unidades la producción del artículo y, aumentan los costos en $7. 0 b) C x ) a) P L 60 P K 4 b) P L 88, 9 060, 66 P K ) x a x a >0 x b >0 x b 5 productos COMPETITIVOS p a p b p a p b ) ε (x;6) 6/85.(-60) -4,5 ε (x;50)50/85.0, 0,76 C y 4) ε (x;5) - ε (x;4) -0,5 5) a)x pa -6.p a ; X pb 6 ; X pa ;X pb -8 b) productos COMPETITIVOS c)ε(x ;P ) 0,0 ; ε(x ; P ) 0,067 6) a) Q K(K5;L) 40 ; Q L(K5;L) 7 b) ε (Q; L)(K5;L) 5/4. 40 0,8 c) aumenta 0,8% 7) a)c (8;0) 64 b)c x(8;0) 66 ; C y(8;0) 80 8) U(x,4x+y-50-0,x -0,y 9) a) mínimo en (0;) b) En (0;0) el hessiano es 0 > método no es concluyente. c) Dos puntos críticos: punto silla en (0;0;) y máximo en (4/;4/) d) mínimo en (0;0) C y 6
e) máximo en (8;6) ) máximo en (-;0) y mínimo en (;0) 0) Máximo en (000;4000) ) p 85; p 80 ) x 7/; y5 ) $5 la marca local y $55 la marca nacional. 4) 6 5) 47 6) dq4500. 0,5 + 40. (-0,5) 90; la producción aumenta en 90 unidades 7) a) P t.t-.t ; P tt -4.t; P k 6.k-9.k ; P kk 6-8.k; P tk P kt 0 b)c)d) mínimo en (0 ; 0), punto silla en (0 ; /) ; punto silla en (; 0) y máximo en ( ;/). e),44 7