APUNTE: Funciones de Varias Variables

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1 APUNTE: Funciones de Varias Variables UNIVERSIDAD NACIONAL DE RIO NEGRO Asignatura: Matemática Carreras: Lic. en Administración Lic. en Turismo Lic. en Hotelería Proesor: Pro. Mabel Chrestia Semestre: do Año: 05 o Introducción Hasta ahora hemos trabajado con unciones que dependen de una sola variable pero en muchas situaciones ocurre que una magnitud es unción de dos o más variables. Así la supericie del cuerpo de una persona depende del peso de la estatura. El volumen ocupado por un gas depende directamente de su temperatura es decir a maor temperatura maor volumen e inversamente de la presión es decir a maor presión menor volumen. El volumen de un cilindro circular recto por ejemplo una lata de gaseosa depende de dos variables: la altura del cilindro el radio de la circunerencia. La órmula para calcular dicho volumen es: V π r h donde r es el radio h la altura. El volumen de un paralelepípedo depende de tres variables: el ancho el alto el espesor. La órmula para calcular dicho volumen es: V a b c donde a es el ancho b el espesor c la altura. El precio de venta de un artículo puede depender de su costo de producción del costo de los materiales de los gastos generales. La cantidad de agua en un depósito puede depender de la cantidad de lluvia caída de la cantidad de agua consumida por los habitantes. La demanda de un producto puede depender de su precio también del precio de venta de la marca competidora. Todos los casos anteriores son ejemplos de unciones de varias variables. Veamos un ejemplo de cómo trabajar con este tipo de unciones. Ejemplo: Una tienda de licores comercializa dos marcas de vino: A B. La demanda de consumo de cada marca depende no sólo de su precio sino también del precio de la marca competidora. Los cálculos de ventas indican que si el vino A se vende a pesos la botella el vino B se vende a pesos la botella la demanda del vino A será de D A botellas por mes la demanda del vino B será de D B botellas por mes. Epresar el ingreso total mensual de la tienda en la venta de esos vinos como una unción de los precios e. Solución: Calculamos primero el ingreso que tendrá la tienda por cada tipo de vino. El ingreso por el vino A será I A El ingreso por el vino B será Luego el ingreso total será la suma de ambos es decir: I B I I Apunte Pro. Mabel Chrestia Matemática II Lic. en Turismo Hotelería Administración UNRN Año 05

2 Notemos que al escribir I estamos indicando que el ingreso depende de ambos precios: el del vino A es decir el del vino B es decir. Por ejemplo si el vino A se vende a 75$ la botella el vino B a 60$ los ingresos que obtendrá la tienda en ese mes por la venta de ambos vinos será: I $ o Conceptos previos Espacios numéricos n-dimensionales Recta real: cuando trabajamos con números reales queremos representarlos utilizamos la recta real. En ella ubicamos al 0 cero a la derecha de él los reales positivos a su izquierda los reales negativos. Entonces a cada punto de la recta le asociamos un número real recíprocamente cada número real tiene un punto en la recta real que lo representa. Este conjunto es un espacio de una dimensión lo llamamos R. Lo utilizamos para representar a los números reales a subconjuntos de los reales tales como intervalos o para representar el dominio e imagen de una unción de una variable real. Así decimos que R o que ; R. Plano real: si se toman dos rectas reales como la anterior se ubican en orma perpendicular cua intersección sea el 0 cero ormamos un sistema de dos ejes cartesianos ortogonales normalmente llamado plano real. Es un espacio de dos dimensiones al que denominamos R. Aquí cada punto del plano es un par ordenado. e se llaman componentes o coordenadas del punto. Cada par ordenado tiene un solo punto del plano que lo representa para cada punto del plano ha un par ordenado. Así podemos escribir que el punto ; R o que el punto.5;.5. R Luego R es el conjunto de todos los pares ordenados de reales es decir: R { / R R } Apunte Pro. Mabel Chrestia Matemática II Lic. en Turismo Hotelería Administración UNRN Año 05

3 Espacio real: ahora vamos a considerar un sistema ormado por tres ejes reales X Y Z mutuamente perpendiculares en el espacio. Para darnos una idea de este sistema podemos pensar en el ángulo que se orma en el piso de una habitación donde convergen dos paredes el piso. El punto de la esquina es el origen 000 de coordenadas las aristas que delimitan las paredes el piso son los ejes. Z 000 Y X A cada punto del espacio tridimensional o espacio de tres dimensiones le corresponde una terna ordenada de números reales z. El conjunto de todas estas ternas orman el espacio que llamamos R. Luego: R { z tal que R R z R } Así podemos escribir que el punto continuación. 78 R Z. La representación gráica de este punto se muestra a 8 7;;8 7 0;0;0 Y X Si un punto ; ; z R tiene una coordenada nula signiica que se encuentra sobre algunos de los planos coordenados XY YZ o XZ. Por ejemplo el punto ; ; 0 se encuentra sobre el plano coordenado XY a que su coordenada en Z es cero. Apunte Pro. Mabel Chrestia Matemática II Lic. en Turismo Hotelería Administración UNRN Año 05

4 o Función de dos variables reales Una unción de dos variables se puede epresar eplícitamente mediante una ecuación z o implícitamente por la ecuación F z 0 siendo variables independientes z la variable dependiente. La unción asigna a cada par ordenado de números reales ; de un conjunto de partida o dominio incluido en el plano R un único número real z. La deinición de unción de dos variables reales eige que se cumplan las mismas condiciones que para la unción de una variable real: eistencia unicidad de la imagen para todos los elementos del dominio. Observemos que mientras que en una unción de una variable real el dominio es un subconjunto de R en una unción de dos variables reales el dominio es un subconjunto de R. Deinición Dado A R una relación : A R es una unción si solamente si se veriica que todo par ordenado A tiene una única imagen z R. Se escribe que z. A R z Llamamos Dominio de la unción al conjunto de partida A R Codominio al conjunto de llegada R. El Conjunto Imagen es un subconjunto del codominio es decir un subconjunto de los reales ormado por todos los elementos z que son imagen de algún elemento de A. Dominio Si el dominio de una unción de dos variables no está epresamente indicado debemos hallarlo de la misma manera que lo hacemos con unciones de una variable real. Por ejemplo: sea la unción z. + Para hallar el dominio debemos ecluir todos los pares ordenados que anulan el denominador. En este caso esto sucede cuando 0. Dom. Luego el dominio es: R {00 } Apunte Pro. Mabel Chrestia Matemática II Lic. en Turismo Hotelería Administración UNRN Año 05 4

5 Observemos que el dominio de una unción de dos variables puede representarse geométricamente por una región del plano XY a que cada par ordenado está representado por un punto del plano. Ejemplo: determinar representar gráicamente el dominio de la unción z + 4 Para que esta epresión tome valores reales debe cumplirse que el radicando no sea negativo. Es decir: Por lo tanto el dominio de esta unción es: Dom { R / + 4 } Los puntos del plano que satisacen esta desigualdad son los que pertenecen al círculo centrado en el origen de radio es decir los puntos que están sobre la circunerencia de radio los interiores a ella. Ejemplos de aplicaciones de unciones de dos variables reales El ITH En días húmedos calurosos mucha gente tiende a sentirse incómoda. El grado de incomodidad está dado numéricamente por el llamado índice temperatura humedad ITH que es una unción de dos variables t s temperatura en ºF de bulbo seco del aire t h temperatura en ºF de bulbo húmedo del aire que vale: t ; t t t ITH 4 + s h Si el ITH es maor que 75 se sabe que la maoría de la gente se siente incómoda. Muchos dispositivos eléctricos responden a este índice pueden anticipar la demanda de aire acondicionado en sus sistemas. s h Por ejemplo si t s 90º F t h 80º F entonces 90 ; ITH. Ejercicio: averigua las dierencias entre termómetro de bulbo seco de bulbo húmedo. Busca aplicaciones del ITH en la ganadería. Conceptos relacionados: humedad relativa tabla psicrométrica. La unción de Cobb-Douglas La unción de producción llamada Cobb-Douglas relaciona a los insumos de capital trabajo necesarios para producir de la manera más eiciente posible una determinada cantidad de un bien. Se epresa de la siguiente manera: α Y K; L A K L β donde α β 0 son constantes paramétricas que veriican que α + β si los rendimientos son constantes a escala K 0 es la cantidad de capital L 0 es la cantidad de trabajo A > 0 es una constante que representa el estado de la tecnología e Y es la cantidad máima del bien que se puede producir dados los insumos utilizados de capital trabajo. Por ejemplo si A 0 ; α 0 5 ; 0 75 Y K; L 0 K L β entonces: Ejercicio: encuentra la epresión linearizada de la unción de Cobb-Douglas utilizando logaritmos. Apunte Pro. Mabel Chrestia Matemática II Lic. en Turismo Hotelería Administración UNRN Año 05 5

6 o Representación gráica de una unción de dos variables La representación gráica de una unción de dos variables z está dada por una supericie ormada por todos los puntos del espacio de la orma z pertenecen al dominio de la unción. R que son ternas donde los pares ordenados Veamos algunos ejemplos: La gráica de la unción z ; + + es la que se observa a la derecha. Esta supericie se llama PARABOLOIDE. La gráica de la izquierda corresponde a la unción PLANO. z ;. Es un En general una epresión de la orma z A + B + C representa un plano en R. También puede epresarse en orma implícita de la siguiente manera: D + E + Fz + G 0 donde A... G son números reales. Cómo graicar un plano Veremos dos maneras de realizar la gráica de un plano. a En primer lugar debemos hallar las intersecciones con los ejes coordenados X Y Z. Por ejemplo vamos a representar el plano dado en orma implícita por la ecuación + + z 6 0. Esta misma unción en orma eplícita es: z + 6. Primero hallamos las intersecciones con el eje X haciendo z 0. Obtenemos: 6 0 Entonces el punto de intersección del plano con el eje X es ; 0 ; 0. Análogamente con el eje Y haciendo z 0. Entonces: 6 0. Por lo tanto el punto de intersección de plano con el eje Y es 0 ; ; 0. Finalmente con el eje Z hacemos 0 de donde z 6 0 z 6. Luego el punto de intersección del plano con el eje Y es 0 ; 0 ; 6. Unimos estos tres puntos mediante segmentos de rectas obtendremos el siguiente gráico: Z 6 Y X Apunte Pro. Mabel Chrestia Matemática II Lic. en Turismo Hotelería Administración UNRN Año 05 6

7 El segundo método consiste en hallar las ecuaciones de las rectas en los planos coordenados XY YZ XZ. Para esto anulamos de a una variable por vez. Así en el ejemplo anterior: Si 0 entonces + z 6 0 z + 6 Recta en el plano YZ Si 0 entonces + z 6 0 z + 6 Recta en el plano XZ Si z 0 entonces Recta en el plano XY Graicamos estas tres rectas obtendremos nuevamente el mismo gráico de plano. Z z + 6 z + 6 Y + X Estos dos métodos para graicar pueden generalizarse para cualquier unción de dos variables. Veamos por ejemplo cómo graicar la unción z ; +. Por el primer método hallamos los puntos de intersección con los ejes coordenados X Y Z de la siguiente manera: Intersección con el eje X z Entonces el punto de intersección del plano con el eje X es 0 ; 0 ; 0. Intersección con el eje Y z Entonces el punto de intersección del plano con el eje Y es 0 ; 0 ; 0. Intersección con el eje Z 0 z z 0 Entonces el punto de intersección del plano con el eje Z es 0 ; 0 ; 0. Por lo tanto en este caso particular la supericie intersecta a los ejes coordenados sólo en el origen. Ahora veamos cuáles son las intersecciones con los planos coordenados XY XZ e YZ: Si 0 entonces z Parábola el plano YZ Si 0 entonces z Parábola en el plano XZ Si z 0 entonces Punto 0 ; 0 en el plano XY Apunte Pro. Mabel Chrestia Matemática II Lic. en Turismo Hotelería Administración UNRN Año 05 7

8 Notemos que si por ejemplo z 4 nos queda: 4 + que es una circunerencia de radio con centro en el origen. 4 Luego el gráico de esta unción que se llama PARABOLOIDE CIRCULAR es el que se muestra a la derecha. 0;0;0 o Aplicaciones económicas de las unciones de dos variables reales Veamos ahora algunas unciones de dos variables que se aplican en la Economía en la Administración. Función de Demanda a p D ; p epresa la cantidad demandada de un bien como unción de su precio precio p de otro bien relacionado. D p ; I p del epresa la cantidad demandada de un bien como unción de su precio p del nivel de ingresos del consumidor I. Función de Ingreso I q ; q p q + p q epresa el ingreso que obtiene un productor al vender las cantidades q q de dos bienes Q Q a los precios unitarios p p respectivamente. Función de Costo Total de Producción C q ; q c q + c q + CF epresa el costo total que se tiene al producir las cantidades q q de dos bienes Q Q cuos costos unitarios son c c siendo CF los costos ijos. 4 Producción q ; epresa la cantidad total de un producto que se puede elaborar en unción de las cantidades de los insumos o recursos. También puede aparecer epresada en unción del trabajo del capital q T K. 5 Producción conjunta q ; q epresa la cantidad total de un insumo X utilizado para producir las cantidades q q de los bienes Q Q. Esta unción se aplica cuando un mismo insumo se utiliza en la producción de más de un bien como por ejemplo la leche que se utiliza para producir queso manteca. 6 Utilidad U q ; q epresa el nivel de satisacción o preerencia de un consumidor cuando adquiere las cantidades q q de los bienes Q Q. Apunte Pro. Mabel Chrestia Matemática II Lic. en Turismo Hotelería Administración UNRN Año 05 8

9 o Curvas de nivel En el ejemplo del paraboloide z + le dimos un valor ijo a la variable z obtuvimos una curva en XY en ese caso una circunerencia. La proección de esta circunerencia sobre el plano coordenado XY se denomina curva de nivel de la unción. Deinición Dada una unción z se llama curva de nivel C z k al conjunto de puntos pertenecientes al dominio de la unción para los que se veriica que k. Características generales Las curvas de nivel se utilizan en topograía en el diseño de mapas cartas topográicas para representar una región en el plano es decir permiten mostrar en una hoja de papel dos dimensiones cómo es una región tres dimensiones. Supongamos que queremos representar en un plano un cerro. Para esto se trazan planos horizontales equidistantes que atraviesan el cerro. La intersección entre estos planos el cerro son curvas que luego se proectan en el plano. Así obtenemos un conjunto de curvas de nivel. Este mapa que se obtiene se denomina mapa de contorno. Vamos a armar el mapa de contornos para la unción del ejemplo anterior el paraboloide z ; +. Debemos ir dándole valores a z así: z 0 z z z z es el punto 0;0 + es la circunerencia centrada en el origen de radio + es la circunerencia centrada en el origen de radio + es la circunerencia centrada en el origen de radio 4 + es la circunerencia centrada en el origen de radio En la gráica siguiente se muestra el mapa de contornos del paraboloide circular para valores enteros de z entre 0. z + ; Apunte Pro. Mabel Chrestia Matemática II Lic. en Turismo Hotelería Administración UNRN Año 05 9

10 Entonces las curvas de nivel para está unción son todas circunerencias centradas en el origen cuo radio es z. Notemos que la distancia entre las curvas de nivel no es siempre la misma. A medida que z aumenta las circunerencias están cada vez más cerca una de otra. En general cuando las curvas de nivel están mu próimas entre sí signiica que ha un aumento de pendiente maor en la supericie si están más alejadas la pendiente es más suave. Por ejemplo en la gráica de la derecha las líneas dentro del círculo A están más espaciadas lo que indica una pendiente más suave que las líneas que están dentro del círculo B que están más próimas entre sí. B A Una propiedad de las curvas de nivel es que nunca se intersectan entre ellas. Otra característica es que en una curva de nivel todos los puntos que la orman se encuentran a la misma altura en la supericie. Debido a esto es que las curvas de nivel tienen muchas aplicaciones. Además del uso en las cartas topográicas como a hemos visto se utilizan en diversas ciencias tomando distintas denominaciones: Isóbatas: son curvas que se usan para representar puntos de igual proundidad en el océano en el mar así como también en lagos de grandes dimensiones. Apunte Pro. Mabel Chrestia Matemática II Lic. en Turismo Hotelería Administración UNRN Año 05 0

11 Isotermas: son líneas imaginarias que unen puntos en la supericie terrestre de igual temperatura que se trazan a intervalos regulares por ejemplo cada diez grados centígrados. Isohietas: son líneas imaginarias que unen puntos de igual precipitación media. También se llaman isoetas Isobaras: son líneas imaginarias que unen puntos de igual presión atmosérica. Mapa de Isotermas Mapa de Isohietas Mapa de Isobaras Apunte Pro. Mabel Chrestia Matemática II Lic. en Turismo Hotelería Administración UNRN Año 05

12 Aplicaciones de las curvas de nivel en Economía Administración Función económica Curva de nivel Interpretación económica Utilidad Curva de Indierencia Es el conjunto de todas las combinaciones de compras que le permiten obtener al consumidor el mismo nivel de satisacción. Ingreso por ventas Isoingreso Indica todas las combinaciones de ventas con las que el productor obtiene el mismo ingreso. Coste total Isocoste Indica todas las combinaciones de insumos de producción que tienen un mismo coste. Indica todas las combinaciones de Producción Isocuanta cantidades de insumos con las que se puede elaborar una misma cantidad de producto. Cuando se utiliza un insumo para producir más de un producto una curva de Producción conjunta Curva de transormación o de isoinsumo indica todas las combinaciones Isoinsumo de las cantidades de los dos productos que se pueden obtener con una misma cantidad de ese insumo. Ejemplos: Hallar representar las curvas de indierencia que corresponden a la unción de utilidad U q q para los siguientes niveles de utilidad: U U. Solución q Si U entonces q q Si U entonces q q q q q q U U q Las ecuaciones obtenidas corresponden a hipérbolas equiláteras de las que sólo consideramos el primer cuadrante debido a que las variables no pueden tomar valores negativos. Obtener las líneas de isocoste correspondientes a la unción de costos C donde ; representan las cantidades de insumos utilizados el costo ijo de producción es 0 para los siguientes niveles de costo: C 6 C. Solución Si C 6 entonces Si C entonces Apunte Pro. Mabel Chrestia Matemática II Lic. en Turismo Hotelería Administración UNRN Año 05 C C6 Las ecuaciones obtenidas corresponden a rectas paralelas de pendiente / de distinta ordenada al origen de las que sólo consideramos el primer cuadrante debido a que las variables no pueden tomar valores negativos.

13 o Derivadas parciales Sea z una unción de dos variables reales cua gráica es la supericie S sea P a b c un punto sobre la supericie. La epresión b representa un plano vertical cua intersección con la supericie S es la curva C. Sea g la unción que da origen a esta curva. Sea T la recta tangente a la curva C en el punto P. La pendiente de esta recta tangente es la derivada de la unción g en el punto P es decir g a. Podemos escribir que g a a se llama derivada parcial respecto de. Esta derivada nos da la pendiente de la recta tangente a la curva C en el punto P. Análogamente sea el plano vertical a cua intersección con S es la curva C cua epresión es g. Sea T la recta tangente a esta curva en el punto P. La pendiente de esta recta tangente es la derivada de la unción g en el punto P es decir g. Podemos escribir que g a se llama derivada parcial respecto de. Esta derivada nos da la pendiente de la recta tangente a la curva C en el punto P. Apunte Pro. Mabel Chrestia Matemática II Lic. en Turismo Hotelería Administración UNRN Año 05

14 Entonces: una derivada parcial de una unción de dos variables es una derivada en la cual una de las variables permanece ija; por lo tanto se transorma en una derivada de una unción de una variable. Si queremos hallar la derivada parcial respecto de mantenemos ija constante la variable si hallamos la derivada parcial respecto de mantenemos ija a la. Si z entonces: la derivada parcial de respecto de se denota la derivada parcial de respecto de se denota Teniendo en cuenta que una derivada es una razón de cambio podemos decir que: es la razón de cambio de respecto a cuando se mantiene ija es la razón de cambio de respecto a cuando se mantiene ija Ejemplo: Hallar las derivadas parciales de z + en el punto P 8 Solución: Interpretación Geométrica de las derivadas parciales Si z entonces las derivadas parciales pueden interpretarse geométricamente como las pendientes de las rectas tangentes a la supericie z en las direcciones e respectivamente. Aplicaciones de las derivadas parciales Los conceptos vistos en unciones de una variable real tales como costos marginales ingresos marginales etc. se aplican también en unciones de varias variables. Costos marginales Si la unción de costo total conjunto de un abricante que produce unidades de un producto X e unidades de un producto Y es C entonces se llama: C a costo marginal parcial con respecto a a la derivada parcial es la razón de cambio de C con respecto a cuando se mantiene ija. Es el costo de producir una unidad adicional de X cuando el nivel de producción de Y es ijo. Apunte Pro. Mabel Chrestia Matemática II Lic. en Turismo Hotelería Administración UNRN Año 05 4

15 C costo marginal parcial con respecto a a la derivada parcial es la razón de cambio de C con respecto a cuando se mantiene ija. Es el costo de producir una unidad adicional de Y cuando el nivel de producción de X es ijo. Ejemplo: Una compañía abrica dos tipos de esquíes los modelos A B. Supongamos que la unción de costos conjuntos de producir pares del modelo A e pares del modelo B por semana está dado por C donde C se epresa en dólares. Determinar los costos marginales cuando 00 e 50. Interpretar los resultados. Solución: Hallamos las derivadas parciales de C respecto a e las evaluamos en el punto 00 ; 50: C C C C C C C 85 C La ecuación implica que al aumentar la producción del modelo A de 00 a 0 mientras se mantenga constante en 50 la producción del modelo B aumentan los costos aproimadamente en $89. La ecuación implica que al aumentar la producción del modelo B de 50 a 5 mientras se mantiene constante en 00 la producción de modelo A aumentan los costos aproimadamente en $85. C Como C es una unción constante signiica que el costo marginal con respecto a es de $85 en todos los niveles de producción. Ingresos Marginales Si la unción de ingreso de un abricante que vende unidades de un producto X e unidades de un producto Y es I entonces se llama: I a ingreso parcial con respecto a a la derivada parcial es la razón de cambio de I con respecto a cuando se mantiene ija. Es el ingreso aproimado recibido al vender una unidad adicional de X cuando el nivel de ventas de Y es ijo. I ingreso parcial con respecto a a la derivada parcial es la razón de cambio de I con respecto a cuando se mantiene ija. Es el ingreso aproimado recibido al vender una unidad adicional de Y cuando el nivel de ventas de X es ijo. Apunte Pro. Mabel Chrestia Matemática II Lic. en Turismo Hotelería Administración UNRN Año 05 5

16 Productividad Marginal La abricación de un producto depende de muchos actores de producción. Entre éstos se encuentran la mano de obra el capital el terreno la maquinaria etc. Si por simplicidad suponemos que la producción sólo depende del trabajo del capital es decir P t k entonces se llama: P a productividad marginal con respecto a t a la derivada parcial es la razón de cambio de P t con respecto a t cuando k se mantiene ijo. Es el incremento aproimado de la producción al aumentar el trabajo t en una unidad adicional cuando el capital k es ijo. P productividad marginal con respecto a k a la derivada parcial es la razón de cambio de P k con respecto a k cuando t se mantiene ijo. Es el incremento aproimado de la producción al aumentar el capital k en una unidad adicional cuando el trabajo t es ijo. 4 Demanda Marginal Sean A B dos artículos relacionados tales que el precio de uno aecta la demanda del otro. Si es la cantidad demandada del artículo A es la cantidad demandada del artículo B p p son los precios de ambos artículos entonces las unciones de demanda pueden epresarse así: p; p g p ;. Deinimos: p a demanda marginal parcial de con respecto a p a la derivada parcial p es la razón de cambio de con respecto a p cuando p se mantiene ijo. Es la demanda aproimada de A al aumentar una unidad del precio de A cuando el precio de B es ijo. demanda marginal parcial de con respecto a p a la derivada parcial p es la razón de cambio de con respecto a p cuando p se mantiene ijo. Es la demanda aproimada de A al aumentar una unidad del precio de B cuando el precio de A es ijo. c demanda marginal parcial de con respecto a p a la derivada parcial p es la razón de cambio de con respecto a p cuando p se mantiene ijo. Es la demanda aproimada de B al aumentar una unidad del precio de A cuando el precio de B es ijo. d demanda marginal parcial de con respecto a p a la derivada parcial p es la razón de cambio de con respecto a p cuando p se mantiene ijo. Es la demanda aproimada de B al aumentar una unidad del precio de B cuando el precio de A es ijo. Demandas marginales cruzadas Las demandas anteriores c se denominan demandas marginales cruzadas. Pueden ser positivas o negativas dependiendo de cómo es la interacción entre los productos. Apunte Pro. Mabel Chrestia Matemática II Lic. en Turismo Hotelería Administración UNRN Año 05 6

17 Productos complementarios productos competitivos Teniendo en cuenta las demandas marginales cruzadas pueden darse tres casos: i < 0 p ; < 0 p Los artículos SON COMPLEMENTARIOS a que un aumento en el precio del artículo A hace disminuir la demanda del artículo B si el precio de B no cambia. ii > 0 p ; > 0 p Los artículos SON COMPETITIVOS o SUSTITUTOS a que un aumento en el precio del artículo A hace aumentar la demanda del artículo B si el precio del artículo B no cambia. iii > 0 p < 0 p ó < 0 p > 0 p Los artículos NO SON COMPETITIVOS NI COMPLEMENTARIOS. Ejemplo: Las demandas de dos productos A B están dadas por las unciones: p 7 p ; 50 9 p + p. Determinar las cuatro unciones de demanda marginal e investigar si los productos A B son complementarios o competitivos. Solución: Las cuatro unciones de demanda marginal son: 4 p p Como > 0 p ; 5 p > 0 entonces ambos productos son competitivos. p ; p ; 9 p o Elasticidades Parciales Sea z entonces la elasticidad parcial de z o de respecto a se deine como la elasticidad de z respecto a cuando la variable es constante. Es decir: Elast ε El valor obtenido ε es aproimadamente igual a la variación porcentual de z producida por un aumento del % de mientras permanece constante. Análogamente la elasticidad parcial de z o de respecto a se deine como la elasticidad de z respecto a cuando la variable es constante. Es decir: Elast ε El valor obtenido ε es aproimadamente igual a la variación porcentual de z producida por un aumento del % de mientras permanece constante. Apunte Pro. Mabel Chrestia Matemática II Lic. en Turismo Hotelería Administración UNRN Año 05 7

18 Ejemplo: Hallar la elasticidad de la unción z 5 respecto a luego respecto a. Solución: Primero hallamos las derivadas parciales : 5 ; 4 5 Luego calculamos las elasticidades: 5 4 ε ; ε Luego las elasticidades respecto a e son 5 respectivamente. Aplicación de la elasticidad: Elasticidades parciales de la demanda Sean dos unciones de demanda p; p g p; p. La elasticidad parcial de la demanda es la razón del cambio proporcional en la cantidad demandada de un artículo el cambio proporcional en el precio de tal artículo siendo constante el precio de otro artículo. Entonces tendremos cuatro tipos de elasticidades parciales: ε p p p p p La elasticidad parcial de la demanda con respecto al precio p para un precio p constante. ε p p p p p La elasticidad parcial de la demanda con respecto al precio p para un precio p constante. ε p p p p p La elasticidad parcial de la demanda con respecto al precio p para un precio p constante. ε p p p p p La elasticidad parcial de la demanda con respecto al precio p para un precio p constante. Ejemplo: Dada la unción de demanda pa; pb pb 0 pa para el artículo A relacionado con el artículo B determinar las elasticidades parciales de la demanda respecto de 50. Interpretar el resultado. p B p A p cuando p 6 B A Solución: Primero hallamos las derivadas parciales: p A 0 p A ; 0 5 p B Apunte Pro. Mabel Chrestia Matemática II Lic. en Turismo Hotelería Administración UNRN Año 05 8

19 Cuando p 6 p 50 resulta que 6; A B Evalúo las derivadas parciales en estos valores: 0 p A 6;50 Por lo tanto: ; 0 5 p B 6;50 pa 6 ε pa 0 08 p p p 65 A B pb 50 ε pb p p p 65 A B A B Esto signiica que: un incremento cercano al % en el precio del artículo A producirá una baja del 08 % en la demanda de este artículo mientras que este mismo incremento en el precio del artículo B ocasiona un aumento del 08 % en la demanda de A. o Máimos Mínimos en Funciones de dos variables Los conceptos de máimos mínimos locales en unciones de dos variables son análogos a los de una variable real. Deinición Diremos que una unción de dos variables z tiene un máimo local en a b a si a dentro de un disco con centro en a. Diremos que una unción de dos variables z tiene un mínimo local en a b a si a dentro de un disco con centro en a. Propiedad Si a b a las derivadas parciales en ese punto eisten entonces se cumple que estas derivadas son nulas. Es decir: z tiene un etremo local es decir un máimo o mínimo local en a es etremo local de z a a a a entonces a a 0 a a 0. Si b a Punto crítico Un punto b a a para el cual las derivadas parciales son nulas o alguna de ambas no eiste se llama punto crítico o punto estacionario de. En un punto crítico la unción puede tener un MAXIMO RELATIVO un MINIMO RELATIVO o un PUNTO SILLA. Apunte Pro. Mabel Chrestia Matemática II Lic. en Turismo Hotelería Administración UNRN Año 05 9

20 Apunte Pro. Mabel Chrestia Matemática II Lic. en Turismo Hotelería Administración UNRN Año 05 0 Derivadas Parciales Sucesivas Al igual que en unciones de una variable real podemos hallar las derivadas parciales de orden superior: segundas terceras etc. supuesto que eistan. Veremos únicamente cómo hallar utilizar las segundas derivadas parciales. Segundas derivadas parciales o derivadas parciales de segundo orden Sea la unción z cuas primeras derivadas parciales son. Entonces esta unción tiene cuatro segundas derivadas parciales que se denotan con subíndices colocados en el orden en que se realizan las derivaciones. Las segundas derivadas parciales de z son: Propiedad de las derivadas parciales mitas Si las derivadas parciales mitas de una unción de dos variables son continuas en una región abierta entonces para todo punto dentro de esa región se cumple que ambas derivadas son iguales. Es decir: Ejemplo: Sea la unción sen e z. Hallar sus primeras segundas derivadas parciales. Veriicar que las derivadas parciales mitas son iguales. Solución: sen e ; cos e sen e ; sen e cos e ; cos e Discriminante o Hessiano Es el determinante de la matriz ormada por las segundas derivadas parciales de una unción de la siguiente orma: H [ ] Se deriva dos veces respecto a Se deriva dos veces respecto a Se deriva primero respecto a después respecto a Se deriva primero respecto a después respecto a Se llaman derivadas parciales mitas

21 Análisis del Punto Crítico Criterio de la Derivada Segunda Una vez hallado el punto crítico a ; veamos cómo saber si es un etremo o no. Para esto utilizaremos las segundas derivadas parciales. Criterio de las segundas derivadas parciales Sea z una unción con segundas derivadas parciales continuas en una región abierta que contiene el punto a ; en el cual las primeras derivadas parciales son nulas es decir: a 0 a 0. Calculamos el Hessiano de la unción en el punto a ; : H a a a a a a [ a ] Entonces:. Si H > 0 a > 0 entonces ha un MINIMO RELATIVO en a ;.. Si H > 0 a < 0 entonces ha un MAXIMO RELATIVO en a ;.. Si H < 0 entonces el punto a; b; a es un PUNTO SILLA. 4. Si H 0 el criterio no es concluente. Ejemplo: Sea z a Hallar sus derivadas parciales. Hallar sus puntos críticos. c Hallar sus segundas derivadas parciales. d Analizar si los puntos críticos son etremos o puntos silla. Solución: a ; Por lo tanto el único punto crítico es ; c ; 0 ; 0 Por lo tanto H 4 d Como H > 0 > 0 entonces el punto ; es un MINIMO RELATIVO. Apunte Pro. Mabel Chrestia Matemática II Lic. en Turismo Hotelería Administración UNRN Año 05

22 Punto silla Veamos un ejemplo de una unción que tiene un punto silla. Sea z. Sus derivadas parciales son ;. Por lo tanto su único punto crítico es el punto 00. Sus segundas derivadas parciales son ; ; 0. Luego D 4 < 0. Por lo tanto la unción tiene un punto silla en 000. o Maimización minimización Al igual que en unciones de una variable podemos maimizar minimizar unciones de más de una variable. Veamos cómo trabajar en estos casos con un problema de aplicación. Ejemplo: Sea P t k 054t 00t + 89 k 009k una unción de producción donde t k son las cantidades de trabajo capital respectivamente P es la cantidad producida. Encontrar los valores de t k que maimizan P. Solución: Primero hallamos las derivadas parciales de P respecto de t k : P P 08t 006t ; 78k 07k t k Luego hallamos los puntos críticos: 08t 006t t t 0 t 0 t 8 78k 07k k 78 07k 0 k 0 k 4 Por lo tanto tenemos 4 puntos críticos: 0;0 0;4 8;0 8;4 Ahora calculamos las derivadas segundas: t t 08 0 t ; k k k ; t k k t 0 Evaluamos en cada punto crítico: i ; H > 0 en 0;0 ha un MINIMO. t t k k ii ; t t H < 0 k k en 0;4 ha un PUNTO SILLA. iii ; H < 0 t t en 8;0 ha un PUNTO SILLA. iv ; t t H > 0 en 8;4 ha un MAXIMO. Luego los valores de t k que maimizan P son t 8 k 4. k k k k Apunte Pro. Mabel Chrestia Matemática II Lic. en Turismo Hotelería Administración UNRN Año 05

23 o Dierencial total Deinición Si z es una unción de dos variables reales dierenciales de las variables independientes e a: d d la dierencial total de la variable dependiente z se deine como: son los incrementos de e se llaman z z dz d + d d + d Ejemplo: Hallar la dierencial total de la unción z sen Solución: Como sen 6 cos 6 Entonces: dz sen 6 d + cos 6 d Aplicación de la dierencial total Veamos con un ejemplo cómo se aplica la dierencial total en economía: En una cierta ábrica la producción diaria es de Q 60K T unidades donde K representa el capital invertido medido en unidades de 000 dólares T es el tamaño de la uerza de trabajo medido en horas-hombre. El capital actualmente invertido es de dólares se usan cada día 000 horas-hombre. Estimar el cambio que resultará en la producción si la inversión de capital aumenta en 000 dólares el trabajo aumenta en horas-hombre. Solución: Q Q Tenemos que dq dk + dt K K T dk + T K T dt K T Como K 900 T 000 dk dl las derivadas parciales son: K 60 T 0 T K T K K K 60 K K T T 0 K T entonces: 0 T 0 K dq dk + K T dq dt Esto signiica que la producción aumentará aproimadamente en unidades. Apunte Pro. Mabel Chrestia Matemática II Lic. en Turismo Hotelería Administración UNRN Año 05