4.1. POLINOMIOS DE TAYLOR EXTREMOS DE FUNCIONES EXTREMOS CONDICIONADOS 4.4. (Multiplicadores de Lagrange)

Transcripción

1 4 4.. POINOMIOS DE TAYOR EXTREMOS DE FUNCIONES 4.. ESCAARES EXTREMOS CONDICIONADOS 4.4. (Multiplicadores de agrange) Objetivos. Encontrar Polinomios de Talor para unciones de dos variables. Optimizar unciones de dos tres variables sin restricciones con una dos restricciones de igualdad

2 4. POINOMIOS DE TAYOR En el capitulo anterior se mencionó que si es una unción dierenciable entonces z = ( ) + D ( ) [ ] debe ser una buena aproimación de la unción en la vecindad de, es decir: ( ) ( ) + ( ) [ ] D Para unciones de dos variables tenemos: (, ) (, ) + Un polinomio de primer orden: (, ) (, ) (, ) [ ] [ ] (, ) = (, r Ejemplo. Sea (, ) sen ( vecindad de (, ). SOUCIÓN: En este caso tenemos: = +. Hallar el polinomio de Talor de Primer orden en la (, ) = (,) r as derivadas parciales, serian: (, ) = cos( + (,) = (, ) = cos( + (,) = ( + ) = + [ ] + [ ] + sen r (, ) (, ) [ ] [ ] 4.. Polinomio de Talor de segundo orden. Para unciones de una variable el polinomio de Talor de segundo orden es: ( ) = ( ) + ( )[ ] + ( )[ ] + r

3 Haciendo analogía para unciones de varias variables, deberíamos utilizar n matrices dierenciales vectores de. T ( ) = ( ) + D ( ) [ ] + [ ] D( D ( ) ) [ ] + r donde D( D ( )) seria la matriz dierencial de la matriz dierencial, es decir la matriz de segunda derivadas, la cual se la denomina matriz H se la deine de la siguiente manera: Hessiana, se la denota por ( ) H ( ) n n n = n n n n n n Si es una unción de dos variables, la matriz Hessiana sería: H( (, ) = Si es una unción de tres variables, la matriz Hessiana sería: z H( (,, ) = z z z zz Bien, el polinomio de Talor de segundo orden para unciones de dos variables seria: = r (, ) (, ) [ ] (, ) (, Ejemplo. Sea (, e + de (, ) SOUCIÓN: En este caso tenemos =. Hallar el polinomio de Talor de segundo orden en la vecindad (, ) = (,) + [ ] r (,) + + (,)

4 as derivadas parciales de primer orden serian:, = e + = ( ) (,) ( ) (,), = e + = as derivadas parciales de segundo orden serian, = 9e + = 9 ( ) (,) ( ) +, = 6 = 6 = (,) ( ) e, ( ) (,), = 4e + = 4 Reemplazando resolviendo: 9 6 (, ) = + [ ] [ ] r (, = [ ] r + (, ) = ( r 9 (, = r a ormula de Talor de segundo orden puede ser usada en orma directa: = r (, ) (, ) [ ] (, ) (, ) (, = (, + [ ] + [ ] + [ ] [ ] [ ] [ ] r (, ) = (, + [ ] + [ ] + [ ] + [ ][ ] + [ ] + r Ejercicios propuestos 4.. Determinar el polinomio de Talor de segundo orden para la unción alrededor del punto indicado: a) (, = ( +, =, = + b) (, = e, =, = c) (, = e cos(, =, = d) (, = sen( + cos(, =, = e) ( ) ( = e ), =, =,. Obtenga un desarrollo de Talor de segundo orden para: (, =, =, = + + ( ) uego utilice el resultado para hallar el valor aproimado de (.,.). Empleando la ormula de Talor de segundo orden aproime:. ln.85 a) ( )

5 b) (.5 ).99 c).8 sen (.4) 4. Sea (,) = 5, 5. Sea (.99,.98) (,) =, H ( =,). Obtenga el valor aproimado para : dierenciable en (, ) tal que (, ) (,) H (, ) (, ) =. Determine ( +.,.) = =, 4. EXTREMOS DE FUNCIONES ESCAARES 4.. DEFINICIÓN Sean ( ) : U n. ( ) si ( ) ( ). ( ) B n, si ( ) ( ). Si ( ) R R, U, B ( ) n. es un valor MÁXIMO OCA en B n, B., n es un valor MÍNIMO OCA de en B., n es tal que en su vecindad, en ciertas direcciones ha un máimo en otras un mínimo, entonces se llama PUNTO DE SIA. Bien, a están deinidos los etremos, ahora debemos deinir cómo encontrarlos. Igual que para unción de una variable deberán eistir puntos candidatos a ser etremos. a maoría de las unciones son dierenciables por tanto nos regiremos al estudio de este tipo de unciones., 4.. TEOREMA (Condición necesaria para la eistencia de etremos locales) n Sean ( ) : U R R, una unción dierenciable, sea U. Si en, ( ) tiene un etremo local entonces ( ) =. 4

6 tal que ( ) A = se lo llama PUNTO CRÍTICO ESTACIONARIO. o anterior quiere decir que los etremos se producen necesariamente en los puntos críticos, igual que para unción de una variable. Entonces los primeros que debemos hacer es obtener los puntos críticos luego clasiicarlos en máimos, mínimos o ninguno. Para unción de una variable, empleando el criterio de la segunda derivada, teníamos que si esta es positiva en un punto crítico estacionario entonces estamos ante un mínimo;, si la segunda derivada es negativa entonces tenemos un máimo. Esto es debido a que según Talor de segundo orden la unción se aproima mediante una parábola cua concavidad depende justamente del signo de la segunda derivada: ( ) ( ) + ( )[ ] + ( )[ ] Para unciones de varias variables, podemos también hacer uso de la ormula de Talor de segundo orden. Suponga que tenemos una unción dierenciable que su gradiente se anula en un punto ( ) ( ) + ( ) [ ] + [ ] H ( ) ( ) [ ] Análogamente, ahora debemos analizar la matriz Hessiana para clasiicar los etremos. T 4.. TEOREMA (Condición suicientes para la eistencia de etremos) n Sea ( ) : U R R, suponga que es un punto tal que ( ) =, suponga que tiene derivadas parciales se segundo orden continuas, entonces: H es deinida ( ). Si la matriz Hessiana ( ) POSITIVA (todos sus valores propios son es un valor positivos) entonces ( ) MÍNIMO de. 5

7 ( ). Si la matriz Hessiana ( ) H es deinida NEGATIVA (todos sus valores propios son es un valor negativos) entonces ( ) MÁXIMO de. ( ). Si la matriz Hessiana ( ) DEFINIDA H es SEMI- POSITIVA (valores propios no PUEDE ser un negativos) entonces ( ) valor MÍNIMO de. ( ) 4. Si la matriz Hessiana ( ) H es SEMI- DEFINIDA NEGATIVA (valores propios no PUEDE ser un positivos) entonces ( ) valor MÁXIMO de. ( ) 5. Si la matriz Hessiana ( ) H es NO DEFINIDA (valores propios no positivos no es un PUNTO negativos) entonces ( ) DE SIA de. Obtener los valores propios de la matriz Hessiana puede resultar una tarea diicultosa por tanto, podemos utilizar otro mecanismo que lo vamos a ir indicando primero para dos variables, luego para tres hasta llegar a generalizarlo TEOREMA Sea (, ) una unción dos veces dierenciable en U R, sea (, ) U un punto crítico estacionario de. Deínanse las matrices: H = [ ] (, ), H = H = (, Entonces:. Si H > H >, entonces (, ) es un MÍNIMO de en U. 6

8 . Si H < H >, entonces (, ) es un MÁXIMO de en U.. Si H <, entonces (, ) es un PUNTO DE SIA de en U. 4. Si H =, no se puede concluir. Ejemplo Hallar los etremos para SOUCIÓN: (, = + PRIMERO se encuentran los puntos críticos, candidatos a ser etremos. = as derivadas parciales para (, = + son: = = El sistema = da como resultado = = Por tanto tenemos en este caso un sólo punto crítico ( ) (,) SEGUNDO Clasiiquemos el punto crítico: = as segundas derivadas parciales son: = = =, = a matriz Hessiana en este caso es: H = = Ahora, como H = > H = = 4 > concluimos que en (,) ha un valor mínimo para la unción, que sería: Mín (,) = + = (,) Ejemplo Hallar los etremos para SOUCIÓN: (, = + 6 PRIMERO: Para hallar los puntos críticos, tenemos: = + 6 as derivadas parciales son: = = Resolviendo el sistema tenemos: + 6 = 7

9 En la segunda ecuación se obtiene valores de, es decir : = al reemplazarlo en la primera ecuación encontramos los + 6 = = 4 + = 4 = = uego; si = entonces = = ;, ( ) si = entonces = = Es decir, aquí tenemos dos puntos críticos (,) (, ) SEGUNDO: Clasiicando los puntos críticos = 6 as segundas derivadas parciales son: = 6. = = a matriz Hessiana en este caso es: H = = 6 6 6() 6 6. a matriz Hessiana para el punto (,) es: H = = 6 6() 6 6 Como H = = 6 < concluimos que (,) ha un punto de silla. 6 6() 6 6. a matriz Hessiana para el punto (, ) es: H = = 6 6( ) 6 6 Como H = > H = = 44 6 = 8 > entonces en (, ) ha un valor 6 Mínimo para la unción, es: MIN (, ) = + 6()( ) = 8 Ejemplo Un supermercado vende tipos de cerveza. Una marca local que se obtiene a un costo de c/ cada lata una marca nacional que se obtiene a un costo de c/ 4 por lata. El tendero calcula que si la de marca local se vende a "" centavos por lata la de marca nacional a " " centavos por lata, se venderán cada día aproimadamente latas de la marca local latas de la marca nacional. Qué precio debería ijar el tendero a cada marca para maimizar las utilidades? SOUCIÓN: Con la inormación proporcionada determinamos la unción utilidad 8

10 U = I C U = U = [ ( ( ] [ ( ( ] ( ) ( ( 4) ( U = as derivadas parciales para la unción Utilidad son: U = + U = U = + = Para los puntos críticos hacemos es decir U = = Despejamos en la primera ecuación: + = = = = ( ) = = Reemplazamos en la segunda ecuación: 4 = = 4 55 = uego = = 55 = 5 Por tanto, tenemos un sólo punto crítico P (5,55) U U a matriz Hessiana es H = = U U ( ) 4 5,55 Como H = = < H = = 4 = 4 > entonces 4 utilidades máimas se producirán cuando = 5 = 55 Para el caso de tres variables tenemos: TEOREMA Sea una unción dos veces dierenciable en U R,, z U un punto, sea ( ) crítico estacionario de. Deínanse las matrices: H =, [ ] (,, z ), H = (,, z ) Entonces: H = H = z z z z zz (,, z ) 9

11 . Si H > H > H >, entonces (,, z ) es un MÍNIMO de en U.. Si H < H > H <, entonces (,, z ) es un MÁXIMO de en U. Ejemplo Hallar los etremos para (,, = z + z + SOUCIÓN: PRIMERO determinamos los puntos críticos estacionarios. = z as derivadas parciales son: = + 8 = + z z z = Resolviendo el sistema simultáneo + 8 = tenemos: + z = Despejando " " en la segunda ecuación resulta =. 8 Despejando " z " en la tercera ecuación resulta z =. uego reemplazando " " " z " en la primera ecuación, encontramos " ", es decir: 4 = 8 4 = 8 = Por lo tanto = = = z = = = 8 8 Ha un solo punto crítico P (,,) SEGUNDO: Clasiicando el punto crítico. a matriz Hessiana sería: H = z z z z zz 4 = ( ),, De aquí tenemos: H = [] 4 H = H = H = 8 Calculando los determinantes tenemos: 8 4

12 4 4 H = 4 = 4 > H = = > H = H = 8 = 54 > 8 Por lo tanto, se conclue que en el punto P (,,) se produce un mínimo, cuo valor es: (,,) = min = Para el caso de n variables, tenemos: TEOREMA Sea la Función Objetivo w= (,,,, n ), dos veces dierenciable. Suponga que se obtiene el punto crítico estacionario (,,,, ) Deínanse las matrices: H =, H = n, H =, H n = H Entonces:.- Si H > H > H > H n >, entonces en (,,,, n ) la unción tiene un MÍNIMO. n.- Si H < H > H < ( ) H n >, entonces en (,,,, n ) la unción tiene un MÁXIMO. Ejercicios propuestos 4.. Determine clasiique los puntos críticos de :, = + a) ( ) b) (, = c) (, = + d) (, = ( 4) ln( (, ) = e) ( 8 ) ( ) ) (, = + ln( ), = + + g) ( ), = + + h) ( ) 4

13 i) (,, = + z + + z + z j) (,, = z + + z. Determine el máimo mínimo absolutos de la unción z = + sen + sen( + región π, π.. Determine los puntos críticos de (, ) ln( ) sen en la π π Resp., Máimo local t = dt 4 + t 4. Una compañía de teléonos planea introducir dos nuevos tipos de sistemas de comunicaciones. Se calcula que si el primer tipo de sistema se valora en cientos de dólares por sistema el segundo tipo en cientos de dólares por sistema, aproimadamente consumidores comprarán el primer tipo comprarán el segundo tipo. Si el costo de abricación del primer tipo es de $ por sistema el costo del segundo tipo es $ por sistema. Qué precio debería ijar la compañía de teléonos a los sistemas para generar la máima utilidad posible?. 5. Suponga que una empresa monopolista tiene las siguientes unciones de precio P = 6 4Q P = 5 5Q, la unción de costo total C = + 5Q + Q donde P = 75 6Q Q = Q + Q + Q. Determine los niveles de demanda que haga máimo el beneicio. 6. Para los productos A, B C de un monopolista la unción costo está dada por C ( p A, pb, pc ) = p A + pb + pc p A pb pc p A + donde p A, pb, pc son los precios de los productos. Encuentre los precios que minimicen el costo. 4. EXTREMOS CONDICIONADOS ( Multiplicadores de agrange) En muchas ocasiones nos enrentaremos a situaciones de optimización cunado las variables independientes deben ser tomadas de un subconjunto de su dominio. Es decir presentan restricciones 4.. TEOREMA. Criterio para establecer etremos con una restricción en unciones de dos variables Suponga que se desea optimizar la unción de dos variables, dos veces dierenciable, sujeta a la restricción o ligadura g (, ) = k, donde k es una constante. Deínase la Función angragiana ( λ,, ) = (, ) λ g (, ) k [ ] 4

14 donde λ es llamado Multiplicador de agrange. Suponga que se obtiene el Punto crítico (,, λ ) de la Función angragiana. Deínase el Hessiano Orlado, como la matriz: g g λλ λ λ H = λ = g λ g (,, λ ) Entonces:. Si H > entonces en (, ) la unción tiene un MÁXIMO.. Si H < entonces en (, ) la unción tiene un MÍNIMO. Ejemplo Hallar los valores máimos mínimos de (, =, sujeto a que + = 8 SOUCIÓN: En este caso g (, = +. Por tanto la unción angragiana sería: ( λ,, = (, λ[ g(, k] = λ[ + 8] = = λg = λ = = λg = λ λ = g(, = k + = 8 Despejando λ en las dos primeras ecuaciones, e igualando se obtiene: λ = = = = ± λ = Reemplazando en la tercera ecuación, resulta: + = 8 = 8 = = 4 = 4

15 = = = Por tanto: = = = Es decir, eisten cuatros puntos críticos: (,), (, ), (,) (, ). Hallemos el Hessiano Orlado g g H = = g g Y como = Ahora clasiiquemos los puntos críticos: Para (,) tenemos: H = 4 4 λ, se tiene H = ( ) Entonces, como = 4 ( 8) + 4(8) = 64 > ( ) λ λ H se dice que (,) = ()() = 4 MÁXIMO Para (, ) tenemos: H = 4 4 Ahora, como = 4 (8) 4(8) = 64 < MÍNIMO Para (,) se tiene: H = 4 4 es un H se dice que (, ) = ()( ) = 4 es un Ahora, como H = 4 ( 8) + 4( 8) = 64 < se dice que (,) = ( )() = 4 es un MÍNIMO. 4.- Para (, ) se tiene: H = Entonces, como = 4 (8) 4( 8) = 64 > un MÁXIMO. 4 H se dice que (, ) = ( )( ) = 4 es Ejemplo A un editor se le han asignado $ 6, para invertir en el desarrollo la promoción de un nuevo libro. Se calcula que si se gastan "" miles de dólares en desarrollo " " miles en promoción se venderán aproimadamente (, = ejemplares del libro. Cuánto dinero debe asignar el editor a desarrollar cuánto a promoción para maimizar las ventas? SOUCIÓN: En este caso la Función objetivo sería (, = sujeta a la restricción + = 6 a unción angragiana sería: ( λ,, = λ( + 6) 44

16 Para obtener los puntos críticos, hacemos: λ = = = + = 6 λ() + λ() + = = λ = λ = Igualando las dos últimas ecuaciones, resulta: = = + = 6 o último lo reemplazamos en la primera ecuación se obtiene: + = 5 = Por tanto: = (6) = 4 = 6. Es decir, eiste sólo un punto crítico: ( 6,4) El Hessiano Orlado sería: H = 5 Y para el punto ( 6,4) es: H = Como el determinante es: H = ( )( 8) + () = >, concluimos que el editor debe invertir $6 en desarrollo $4 en promoción para obtener las máimas ventas. Ejemplo Un consumidor tiene $ 6 para gastar en artículos, el primero de los cuales tiene un valor de $ / unidad el segundo $ / unidad. Si la utilidad obtenida por el consumidor de "".6.4 unidades del primer artículo " " unidades del segundo está dada por (, =. a) Cuántas unidades de cada artículo debería comprar el consumidor para maimizar su utilidad? SOUCIÓN:.6.4 En este caso la unción Objetivo es (, = sujeta a que + = 6. ( λ,, = (, λ( g(, k) a unción angragiana es.6.4 ( λ,, = λ( + 6) Obteniendo los puntos críticos tenemos: 45

17 λ = + = 6 + = = 6 λ = λ = = 4 λ = λ = = () = 5( ) = 45 4 = 9 Reemplazando en la primera ecuación (la Restricción), tenemos: 4 + = = = 54 = 54 = 8 4 Y como = entonces = 8. 9 Por lo tanto resulta el punto crítico ( 8,8). Para clasiicar el punto crítico, calculamos el Hessiano Orlado: H =.4.4 =.4(8) (8) (8,8).4(8) (8).4.6.4(8) (8).6.6.4(8) (8) Como H > entonces el consumidor, para obtener las máimas utilidades, debe comprar 8 unidades del primer artículo 8 unidades del segundo artículo. Ejemplo 4 Un abricante planea vender un nuevo producto a $5 la unidad estima que si se invierten "" miles de dólares en desarrollo "" miles en promoción, los consumidores comprarán 5 + unidades del producto, aproimadamente. os costos de abricación de este producto son $5 por unidad. a) Cuánto debería invertir el abricante en desarrollo cuánto en promoción para generar la máima utilidad posible, si dispone de ondos ilimitados? En este caso habrá que ormar la Función Objetivo, que es la Utilidad: U = Ingresos Costos + Inversión [ ] 5 5 U = U (, = El punto crítico, sin restricciones, será: 46

18 5 U = = ( + 5) 5 U = = ( + 5) 5 = 5 ( + 5) 5 = 5( + 5) = ( + 5) + 5 = ± = 5 ( + ) U = 5 = ( + ) U = = ( + ) 5 = 5 ( + ) 5 = 5( + ) = ( + ) + = = 8 Compruebe que en el punto crítico ( 5,8) se produce un máimo (Hessiano). Es decir que el abricante debería invertir $5 en desarrollo $8 en promoción del nuevo libro para obtener las máimas utilidades. b) Si el abricante sólo tiene $, para invertir en el desarrollo la promoción del nuevo producto. Cómo debería distribuirse este dinero para generar la máima utilidad posible? Para este caso tenemos la misma Función Objetivo 5 U (, = pero ahora sujeta a la restricción de que + =. Trabajamos ahora con la unción angragiana 5 ( λ,, = + λ( + ) Encontrando los puntos críticos, tenemos: λ = + = = = λ ( + 5) = = λ ( + ) Igualando las dos últimas ecuaciones, resulta: = ( + 5) ( + ) / ( + ) = + = + 5 = + + = ( ) + + = Reemplazando en la restricción, tenemos: + = = 8 = 4 / ( + 5) + = Entonces: = = 7 Compruebe que en el punto crítico ( 4,7) se produce un máimo. (Hessiano Orlado). Por tanto, cuando sólo ha $ para inversión, habrá que distribuirlos de la siguiente manera para obtener las máimas utilidades: $4 en desarrollo $7 en la promoción del nuevo libro. Ejemplo 5 Hallar la menor distancia entre la elipse de ecuación + = 9 la recta de ecuación 4+ =. SOUCIÓN: 47

19 El problema lo resolveremos deiniendo la distancia entre un punto de la elipse la recta. 4+ = d + = 9 (, ) 4 + Entonces, la unción objetivo sería d = sujeta a que g: + = d g = λ 4 = λ 5 Ahora d = λ ( g), es dcir: lo cual da d g = λ = λ 6 5 Igualando simpliicando resulta: = 4 Reemplazando en la restricción: + = 9 ( ) 4 + = 9 =± ( ) ( ) De acuerdo a la posición, observe el dibujo, tomamos el positivo. (En otro caso habría que probarlo) = 4 = 4 = 4 Entonces ( ) Hemos hallado las coordenadas del punto de la elipse que da la mínima distancia, por tanto 4( 4) + ( ) 7 esta distancia mínima será: dmin. = = 5 5 Ejercicios Propuestos 4.. Encuentre los etremos de la unción (, = sujeta a que + = 6. Maimizar (, ). Encuentre los etremos de la unción = sujeta a que + = Resp. (,5) 5 ; má = 5 (, = + sujeta a que + 4 = 4. Empleando multiplicadores de agrange, halle la distancia mínima de la recta con ecuación + = al origen. Resp. d min = 5. Empleando multiplicadores de agrange, halle la distancia mínima de la circunerencia con ecuación + = a la recta con ecuación 4+ =. Resp. d = min

20 4 + = 4 al punto 6. Empleando multiplicadores de agrange, halle la distancia mínima de ( ) de coordenadas (, ) Resp. d min = os cursos de dos ríos (dentro de los límites de una región determinada) representan aproimadamente una parábola =, una recta =. Ha que unir estos ríos por medio de un canal rectilíneo que tenga la menor longitud posible. Porqué puntos habrá que trazarlos?. Resp. Parábola, 4, recta 5, Hallar la distancia mínima entre = = Resp. elipse 8, 6 6 ; d min == En una esera de radio a inscribir un cilindro cua supericie sea máima. a a Resp. r =, h = ( 5 ) Calcular la supericie total del cilindro de máimo volumen inscrito en una esera de radio a. 4 ( + ) Resp. A = π a U = q. Dadas las ecuaciones de utilidad presupuestal de un consumidor q. Determine los = q + 4q valores de q q que maimizan la utilidad del consumidor.. a relación entre las ventas "S" las cantidades "" "" gastadas en dos medios de publicidad está dada por S = +. a Utilidad neta es de las ventas menos el gasto en publicidad El presupuesto para publicidad es de $5. Determine cómo debe asignarse este presupuesto entre los dos medios para maimizar la utilidad neta.. Una empresa de computadoras tiene un presupuesto mensual publicitario de $6,. Su departamento de ventas estima que si se gastan " " dólares cada mes en publicidad en periódicos " " dólares cada mes en publicidad por televisión, las ventas mensuales estarán dadas por S = dólares. Si la utilidad es el % de las ventas menos el costo de la publicidad, determine cómo asignar el presupuesto publicitario para maimizar la utilidad mensual. Compruébelo utilizando el Hessiano Orlado. 4. Usando unidades de mano de obra K unidades de capital, una empresa puede elaborar P unidades de su producto, en donde P (, K) = 6 5( + K ). os costos de la mano de obra de capital son de $ $ por unidad. Suponga que la empresa decide elaborar 45 unidades. Halle el número de insumos de mano de obra de capital que deben emplearse con objeto de minimizar el costo total. 5. En un taller de mecánica se reparan tipos de autos A B. a unción de trabajo conjunto está dado por: (, = +, donde e representa el números de autos por día del tipo A B reparados, respectivamente. Para minimizar el trabajo, cuántos autos de cada tipo deben repararse, si diariamente se puede reparar 8 autos? 6. Una compañía puede destinar su planta a la elaboración de dos tipos de productos A B. Obtiene una utilidad de $4 por unidad de A de $6 por unidad de B. os números de unidades de los dos tipos que pueden producir mediante la planta están restringidos por la ecuación del transormación del producto: = Con los números de unidades (en miles de dólares) de A B respectivamente, producidos por semana. Halle las cantidades de cada tipo que deben producirse a in de maimizar la utilidad. 49

21 7. Si una empresa gasta " " miles de dólares en publicidad en la ciudad A, sus ventas potenciales (en miles de dólares) en tal ciudad están dadas por. Si gasta " " miles de dólares en la + 5 ciudad B, sus ventas potenciales (en miles de dólares) en tal ciudad son. Si la utilidad es +.5 del 5% de las ventas la empresa dispone de una restricción del presupuesto de 65 destinados a publicidad en las dos ciudades. Cuánto deberá gastar en cada ciudad con objeto de maimizar la utilidad neta de la empresa? Utilice el Hessiano Orlado para veriicar los resultados. 4.. TEOREMA. Criterio para establecer etremos con una restricción en unciones de tres variables Suponga que se desea optimizar la unción de tres variable, dos veces dierenciable, sujeta a la restricción g(,, = k. Deínase la Función angragiana ( λ, z,, ) = ( z,, ) λ[ gz (,, ) k) ] Suponga que se obtiene el Punto Crítico (,, z, λ ) en la Función angragiana. Deínase el Hessiano Orlado, como la matriz: g g g = g H g g z z z g g z z z zz (, z, λ), Sean H = g H 4 = H g Entonces. Si H > H4 < entonces en (,, z ) la unción tiene un MÁXIMO.. Si H < H4 < entonces en (,, z ) la unción tiene un MÍNIMO. 5

22 Ejemplo Encuentre los etremos de (,, = z sujeta a que z = 5. SOUCIÓN: a unción angragiana es: ( λ,,, = z λ( z 5) Para el punto crítico obtenemos: λ = z = 5 = λ( = ( ) = 5 λ( = ( z = 9 λ( = ( Multiplicando por, z respectivamente las tres últimas ecuaciones, despejando, resulta: Reemplazando en la restricción: De donde : = z = 5 = λz 9z = λz = 5 = 9z 5 = λz = 5 5 = 5 = 5 Para este caso λ = λ = 5 5 Por lo tanto ha un solo punto crítico: ( 5,, ) el Hessiano Orlado sería: = 5 z = z = 9 z H = z z λz λ z λz λ λ λ = 5 = 5 z= λ= 5 5 = De aquí tenemos: H = os determinantes sería: H = < H 4 = H = 675 < 5,, 5 la unción tiene un mínimo. Por tanto en ( ) Ejemplo Se quiere construir una caja rectangular abierta cuo volumen sea de cm, Cuáles deben ser las dimensiones de la caja para utilizar la menor cantidad de material posible? SOUCIÓN: Haciendo un esquema 5

23 z En este caso la unción objetivo es el área total : AT = + z+ z Y la restricción será el volumen: V = z = cm Yendo un tanto más rápido podemos plantear que AT = λ ( V ) Porqué? AT V = λ AT V O lo que es lo mismo = λ AT V = λ z z Entonces, tenemos: + z = λ z + z = λz + = λ Multiplicando por, z, respectivamente: + z = λ z + z = λz z+ z = λz Igualando: + z = + z = z + z + z = + z Aquí tenemos dos ecuaciones, que pueden ser: + z = z+ z Tomando la primera: + z = + z z = z = Tomando la segunda: + z = z+ z = z = z Reemplazando en la restricción: Por tanto z = z z = z = 5 z = 5 ( ( ) = 5 = 5 5

24 Ejemplo Hallar el volumen máimo de un sólido rectangular que tiene la propiedad de que la suma de las áreas de las seis caras es 6a. SOUCIÓN: Semejante al anterior, pero en este caso la unción objetivo es el volumen: V = z sujeto a que AT = + z+ z = 6a Igualmente, podemos plantear rápidamente V = λ AT, es decir: z = λ ( + z = λ ( + = λ ( + ) Multiplicando por, z, respectivamente: z = λ ( + z) z = λ ( + z z = λ ( z + Igualando: + z = + z = z + z + z = + z Aquí tenemos dos ecuaciones que pueden ser: + z = z+ z Tomando la primera: + z = + z z = z = Tomando la segunda ecuación: + z = z+ z = z = z Reemplazando en la restricción + z+ z = a + + = a = a = a = = z o que quiere decir que las dimensiones de la caja deben ser iguales a a, para obtener un volumen máimo, cuo valor es = a Vmá. Ejemplo 4 Hallar la ecuación del plano que contiene al punto (,, ) z en el primer octante que orme con los planos coordenados un tetraedro que tenga el menor volumen posible. SOUCIÓN: Esquemáticamente tenemos: 5

25 z c (,, z ) b a En este caso la unción objetivo es el volumen del tetraedro: V = abc 6,, z pertenezca al plano, es decir debe satisacer su ecuación: Sujeto a que el punto ( ) z + + =, esta debe ser su restricción g ( abc,, ) a b c Planteando rápidamente: V g = λ a a V g = λ b b V g = λ c c Tenemos: bc = λ 6 a ac = λ 6 b z ab = λ 6 c abc = λ 6 a Multiplicando por abcrespectivamente:,, abc = λ 6 b z abc = λ 6 c z Igualando: = = a b c 54

26 Reemplazando en la restricción: + + = a a a = a a = Calculando b c resulta: b = c = z Por tanto la ecuación buscada es: z + + = Ejercicios propuestos 4.4. Determine el valor máimo o mínimo de la unción (,, = + + z si 4z = 49.. Determine el valor máimo o mínimo de la unción (,, = z + + z si + + z = 5.. Determine el valor máimo de (,, = z si + + z = Encuentre el mínimo para (,, = + + z siempre que + + z = z,, = + + z sujeta a que + + z 6= 5. Minimizar ( ) Resp. (,,) ; min = 6. a suma de tres números es 5. Determinar el valor de cada uno de ellos para que el producto sea máimo. Resp.,, 7. Demuestre que el producto de tres números positivos cua suma es S es máimo si los tres números son iguales. 8. Un paquete en orma rectangular se puede enviar por correo, si la suma de su longitud el perímetro de una sección transversal perpendicular a la longitud es igual a 4 cm. Encuentre las dimensiones del paquete de máimo volumen que puede ser enviado por correo Resp. =, =, z = 9. Demostrar que un triángulo es equilátero si el producto de los senos de sus ángulos es máimo.. Demostrar que entre todos los triángulos inscritos en un mismo circulo, el de maor perímetro es el triángulo equilátero.. Muestre que el triángulo de maor área que puede ser inscrito en una circunerencia, es un triángulo equilátero.. Una caja rectangular está colocada en el primer octante, con una de sus esquinas en el origen tres de sus lados sobre los tres planos coordenados. El vértice opuesto al rigen se encuentra en el plano + + z = 6. Cuáles son sus dimensiones? cuál es el volumen máimo de dicha caja?. 4 Resp. =, =, z = ; Vmá = u. Encontrar las dimensiones del paralelepípedo rectangular de volumen máimo con caras paralelas a los planos coordenados, que se puede inscribir en el elipsoide z = Resp. =, =, z = 4. Determinar el volumen del paralelepípedo rectangular más grande que puede inscribirse en el elipsoide + + z = a b c 8abc Resp. V má = 5. Encuentre los puntos más cercanos al origen de la supericie z = Resp. = 6, = 6 4, z = 6 55

27 6. Determínese el punto más próimo al origen de la supericie z = + 7. Determine los puntos en la supericie distancia mínima. Resp. (,, ) z = 4 que estén más cercanos del origen calcule la Resp. (,,) ± ; D = 8. Hállense las dimensiones de un paquete rectangular de volumen máimo, talque la suma de su longitud el perímetro transversal no ecedan de 8 pulgadas. Resp. = 6 ; = 8 ; z = 8 9. Determine las dimensiones de una bañera rectangular cuo volumen es Q unidades cúbicas, si se requiere recubrir su supericie interior con la mínima cantidad de material posible. Q Q Resp. argo=ancho =, altura = 4 4 mìn. El material para construir la base de una caja abierta cuesta.5 veces lo que el material para construir los lados. Para una cantidad ija de dinero C, hállense las dimensiones de la caja de volumen máimo que puede hacerse. Resp. = = C C, z = 9a 4 9a. Hállese la distancia mínima de la supericie con ecuación z + 4,, Resp c) d min = 5 = al punto ( ) 4.. TEOREMA. Criterio para establecer etremos con una restricción en unciones de n variables Sea la Función Objetivo w= (,,,, n ) sujeta a la restricción g (,,,, n ) = k Deínase la Función angragiana ( λ,,,,, n ) = (,,,, n ) λ[ g(,,,, n ) k] Suponga que se obtiene el Punto Crítico (,,,,, λ) resolviendo el sistema: n λ = g (,,,, λ) = k = = λg = = λg = = λg = n = λg n n Deínase el Hessiano Orlado, como la matriz: 56

28 Sea g H = g g n g n g g H = g g g n g, H 4 n g n n n nn g g g (,,,, n, λ) g = g g,, H n = H Entonces: n. Si H > H4 < H5 > ( ) H n > entonces en (,,,, n) la unción tiene un MÁXIMO.. Si H < H4 < H5 < H n < (todos negativos) entonces en (,,,, n) la unción tiene un MÍNIMO TEOREMA. Criterio para establecer etremos con dos restricción en unciones de tres variables Suponga que se desea optimizar la Función Objetivo w = (,, sujeta a que gz (,, ) = k hz (,, ) = k Deínase la unción angragiana: ( λμ,, z,, ) = ( z,, ) λ[ gz (,, ) k] μ[ hz (,, ) k] Entonces el MÁXIMO o el MÍNIMO de la unción se producen en el Punto Crítico (,, z, λμ, ) que se obtiene al resolver el sistema: 57

29 λ = gz (,, ) = k μ = hz (,, ) k = = λg + μh = = λg + μh = = λg + μh z z z z Ejemplo Encuentre los puntos críticos de z = 8 SOUCIÓN: (,, = + z sujeta a que + = 8 En este caso la unción angragiana es: ( λ, u,,, = (,, λ g(,, k μ h(,, k ( λ, u,,, = + z λ( + 8) μ( z 8) Para los puntos críticos tenemos: λ = g(,, = k μ = h(,, k = = λg + μh = = λg + μh z = z = λg z + μhz De la última ecuación μ =. [ ] [ ] + z = 8 = λ + z = λ = 8 ( ) + μ( ) = λ( + μ( ( ) + μ( De la penúltima ecuación De la antepenúltima ecuación: Igualando se obtiene + z = λ ( + ( = λ λ = = = = λ λ = = 8 + = 8 Reemplazando en la primera ecuación: = 8 Por tanto + = ± = = ± 8 como z = resultan los siguientes puntos críticos: (,,4), = = ± (,, 4), (,,4) (,, 4) 58

30 Ejemplo Obtenga los puntos del primer octante sobre la curva de intersección del elipsoide z = 4 el plano 4 z = que estén más cerca del origen, calcular la distancia mínima. SOUCIÓN: En este caso la unción objetivo será la distancia: D = (,, = + + z, las g: z = 4 restricciones serían h: 4 z = Podemos hacer = λ( g) + μ( h) (,, = λ(,8,8 + μ(, 4, ) = λ + μ = 8λ 4μ z = 8zλ μ a segunda ecuación por ( la tercera por ( ), luego se las suman algebraicamente. z = 8zλ + 4μz z = 8zλ μ = 4μz μ Resulta = 4z Reemplazando en la segunda restricción: 4( 4 z = = 7z Reemplazando en la primera restricción: ( 7 + 4( 4 + 4z = 4 57z = 4 z =± Tomando en el primer octante, el punto sería:,, ( ) Ejercicios Propuestos z =, sujeta a que: + z = Resp. ( 8,6,8) ; ma = 4 + z = 4. Minimizar ( z,, ) = + + z sujeta a que: + = 8 Resp. ( 4,4,) ; min =. Encuentre los puntos críticos de (,, = + z sujeta a que = a que + z =. 4. Encuentre los puntos críticos de (,, = + + z sujeta a que + + z = a que + z =. 5. Encuentre los puntos críticos de (,, = z sujeta a que + + z = a que + z =. 6. Encuentre los puntos críticos de (,, = + + z sujeta a que + z = 4 a que + = 8.. Maimizar (, = z 59

31 7. Hallar el punto de la recta de intersección de los planos = z = 4, más próimo al origen. 4 4 Resp.,, 8. Encontrar los puntos para los valores máimo mínimo de la distancia del origen a la porción del primer octante de la curva según la cual el plano + + z = corta a la supericie z = 54. Resp. (,6,) ; 5, 9 + 5, ( 5 ) ; + 5,9 5, ( + 5) + z = 9. Cuál es la distancia mínima entre C el origen. + = Resp. ±, ±, ± D min =. El plano + + z = intersecta al paraboloide puntos más altos más bajos de esta elipse. Resp. más alto (,,8) ; más bajo (,,8) z = 6. Determine la distancia más cercana del origen a la curva C. + = 4 Resp. (,,4). Sea ( ) z = + en una elipse. Determine los ; d min = 5 T,, z = + + la temperatura en cada punto de la esera + + z = 5. Hállese la temperatura máima en la curva ormada por la intersección de la esera el plano z =., 5, ; T ma = 5 Resp. ( ) 6