Por: José Francisco Barros Troncoso
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- José María Ortiz de Zárate
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1 Por: José Francisco Barros Troncoso
2 La derivada es una herramienta que permite estudiar el comportamiento de una cantidad (variable dependiente) cuando otra cantidad que está relacionada con ella varía (variable independiente) La derivada se interpreta como una cambio razón de cambio promedio o tasa de Problemas que conllevan a la creación del cálculo El primero: estaba asociado a la geometría y era como calcular las rectas tangentes o normales a una curva en un punto. El segundo: fue la determinación de la velocidad y la aceleración de un cuerpo si se conoce la distancia en función del tiempo. El tercero: fue determinar cuándo una función alcanza un valor máximo o mínimo. Y el cuarto: fue el cálculo de longitudes, áreas y volúmenes determinados por curvas o superficies.
3 Nuestro mundo es cambiante. Las variaciones de una cantidad inciden en que otras cantidades cambien. Si se decide aumentar el precio de un artículo la utilidad de la empresa ya no será la misma, probablemente la demanda disminuya y la cantidad de materia solicitada cambiará. Si se aumenta la inversión en publicidad probablemente las ventas se incrementen o disminuyan Si aumentamos el número de unidades producidas posiblemente el costo promedio disminuya o aumente. Si aumenta la inversión de capital o se incremente las horas laboradas o aumenta la mano de obra probablemente se incremente la producción Observación Cuando la tasa de cambio es positiva se dice que hay un incremento y si es negativa hay una disminución
4 En Economía La derivada de una función se puede utilizar para determinar: Análisis Marginal: Estimar el cambio que experimenta una función que modele una situación relacionada con la economía (Ingreso, costo, beneficios, producción, tasa de impuesto, etc.) al incrementar en una unidad la variable independiente. La optimización de procesos (minimizar el costo promedio, maximizar el ingreso total, maximizar la beneficios, la eficiencia, etc. La elasticidad en la demanda. Propensión al ahorro o al consumo Historia y aplicaciones de la Derivada en las ciencias económicas
5 La derivada de una función, f en un punto x 0, se indica f x 0 y se define como f(x 0 ) f(x) f x 0 = lim x 0 x 0 x Si dicho límite no existe, se dice que la función f(x) no es derivable en x 0 Si y = f(x) la derivada de y con respecto a x se denota y ó dy d[f x ] ó ó D dx dx x y o D x [f(x)] Animación con winplot
6 REPRESENTACIÓN GRÁFICA
7 REPRESENTACIÓN GRÁFICA
8 Fórmulas de la Derivada
9 Fórmulas de la Derivada
10 Fórmulas de la Derivada
11 Fórmulas de la Derivada
12 Ejercicio. Derivar f x = 100 f x = 1 2 x f x = 4x 3 f x = 3 x 2 f x = 3 2 x f x = 4x 2 5x + 3 f x = x 3 1 (5x 2 + 6x) f x = x x 1 f x = 5x 2 x 3x x 1 + 2x 2 f x = x y = 2x2 3x + 1 2x 1
13 Ejercicios Calcule la derivada de cada función en el punto indicado y = 3x 2 4 en x = 2 y = x 2 1 x2 en x = 1 x+1 y = x 1 en x = 3
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15 Problemas
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