FUNCIONES ELEMENTALES 1.- FUNCIONES POLINÓMICAS. Las más importantes son las de grado 0, 1 y 2, también llamadas funciones constantes, afines y cuadráticas. Funciones constantes. Evidentemente, las funciones constantes están acotadas, no crecen ni decrecen y tienen simetría par. Funciones afines.
Las propiedades más importantes de las funciones afines son: El crecimiento o decrecimiento es más rápido cuanto mayor sea a. Funciones cuadráticas. Su dominio es todo y su representación gráfica es una parábola simétrica respecto a la recta vertical b (paralela al eje Y) de ecuación x = que se llama eje de la parábola. 2a Es convexa (1ª figura) si a > 0, y cóncava (2ª figura) si a < 0. Cuanto mayor sea a más cerrada es la parábola (más juntas están sus ramas).
El punto en que corta a su eje se llama vértice de la parábola. Su b primera coordenada es x =, y la segunda se calcula sustituyendo 2a ese valor en la función. Es el mínimo si la parábola es convexa y el máximo si es cóncava. Corta al eje Y en el punto (0,c) Los puntos de corte con el eje X son las soluciones de la ecuación ax 2 + bx + c = 0. Por tanto puede haber dos, uno o ninguno. Está acotada inferiormente (superiormente) por el valor de la y correspondiente al vértice según sea convexa o cóncava. 2.- FUNCIONES RACIONALES. Las funciones racionales más importantes son las funciones de proporcionalidad inversa que reflejan situaciones en que la relación entre dos variables es tal que cuando una se duplica la otra se reduce a la mitad, etc. Esas situaciones se llaman de proporcionalidad inversa. Ejemplo: la duración de un viaje en relación con la velocidad. La función correspondiente se llama función de proporcionalidad inversa y su fórmula es k y = siendo k 0 x Las propiedades más importantes de estas funciones son:
Cuando los valores de x se hacen muy grandes los de y se acercan a 0, y cuando los de x se acercan a 0 los de y se hacen muy grandes. Por ello se dice que los ejes de coordenadas son asíntotas para esta función (el eje X horizontal y el eje Y vertical). La gráfica correspondiente se llama hipérbola y tiene dos ramas, una en el primer cuadrante y otra en el tercero. Es simétrica respecto al origen y decreciente (si fuese k < 0 las ramas estarían en el segundo y cuarto cuadrantes y la gráfica sería creciente). Si k = 1 la hipérbola se llama equilátera. 3.- FUNCIONES EXPONENCIALES. La base no puede ser negativa porque tendríamos problemas para calcular, por ejemplo (- 2) 1/2 Y tampoco tiene interés usar el 0 ni el 1 como base porque nos reduciríamos a las funciones constantes f(x) = 0 y f(x) = 1. La gráfica de las funciones exponenciales varía según la base a sea mayor o menor que 1. Por ejemplo:
Las propiedades más importantes son: 4.- FUNCIONES LOGARÍTMICAS. Recordar que al definir los logaritmos se explicó por qué la base tiene que ser positiva y distinta de 1. Y también que la variable x sólo puede tomar valores estrictamente positivos. Igual que en el caso de las exponenciales la gráfica varía según la base a sea mayor o menor que 1. Por ejemplo:
Las propiedades más importantes son: Como se observa en las representaciones gráficas cuando la variable x toma valores cada vez más próximos al 0, la función toma valores cada vez mayores en positivo (si a < 0) o en negativo (si a > 0), por lo que se dice que el eje Y es una asíntota vertical para estas funciones. No puede ser simétrica al no existir para valores de x menores o iguales a 0. Si recordamos la definición de logaritmo: y = log a x a y = x, vemos que estas funciones son las inversas de las exponenciales: En la función exponencial dada x se calcula el valor de y = a x En la función logarítmica dada x se calcula el valor de y tal que a y = x En consecuencia las gráficas de las dos funciones (exponencial y logarítmica) son simétricas respecto a la bisectriz del primer cuadrante (y = x).
5.- FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS. Las razones trigonométricas asignan a cada ángulo un único número, por lo que podemos considerarlas funciones que dependen del valor de dicho ángulo: las funciones trigonométricas o circulares. Estas funciones son muy importantes por sí mismas pero, además, son los ejemplos más conocidos de funciones periódicas. Sólo vamos a ver tres de ellas: las funciones seno, coseno y tangente. Además existen las funciones secante, cosecante y cotangente, y las inversas de todas ellas: arco seno, arco coseno, En las funciones trigonométricas los valores del ángulo x se expresan en radianes (un radián es el ángulo que, colocado en el centro de una circunferencia, determina sobre ella un arco de longitud igual al radio. Para representar las funciones trigonométricas recordemos que si el ángulo se coloca en el centro de una circunferencia de radio 1 (llamada circunferencia goniométrica) con el primer lado sobre la dirección positiva del eje X (supuesto que los ejes se cortasen en el centro de la circunferencia) las distintas razones trigonométricas vienen representadas por las longitudes de unos segmentos que recordamos en la figura: Función seno: Es la que hace corresponder a cada valor real x del ángulo, expresado en radianes, el valor del seno de dicho ángulo. Se escribe f(x) = sen x. Para representarla hacemos una tabla de valores (ponemos también los valores en grados de los ángulos para facilitar la comprensión).
Las propiedades más importantes de esta función son: Dom (f) = e Im (F) = [-1, 1] Corta al eje X en los puntos de la forma x = 0 + nπ, con n, y al eje Y en el punto (0, 1) 3 5 7 9 Es estrictamente creciente en los intervalos, π π,, π π,, π π, 2 2 2 2 2 2, 3 3 5 7 Es estrictamente decreciente en los intervalos, π, π, π, π, π, π 2 2 2 2 2 2, Tiene infinitos máximos relativos en los puntos (π/2 + 2πn, 1) con n Tiene infinitos mínimos relativos en los puntos (3π/2 + 2πn, - 1) con n Está acotada superiormente por 1 e inferiormente por 1 Es par y periódica de período 2π Función coseno: Es la que hace corresponder a cada valor real x del ángulo, expresado en radianes, el valor del coseno de dicho ángulo. Se escribe f(x) = cos x. Para representarla hacemos una tabla de valores como en el caso del seno.
Las propiedades más importantes de esta función son: Dom (f) = e Im (F) = [-1, 1] Corta al eje X en los puntos de la forma x = π/2 + nπ, con n, y al eje Y en el punto (0, 1) Es estrictamente creciente en los intervalos, (-π, 0), (π, 2π), (3π, 4π), Es estrictamente decreciente en los intervalos, (-2π, -π), (0, π), (2π, 3π), Tiene infinitos máximos relativos en los puntos (0 + 2πn, 1) con n Tiene infinitos mínimos relativos en los puntos (π + 2πn, - 1) con n Está acotada superiormente por 1 e inferiormente por 1 Es par y periódica de período 2π Función tangente: Es la que hace corresponder a cada valor real x del ángulo, expresado en radianes, el valor del coseno de dicho ángulo. Se escribe f(x) = tg x. Para representarla hacemos una tabla de valores como en los casos anteriores:
. Las propiedades más importantes de esta función son: 6.- FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS. Hay funciones que no están definidas por una única fórmula sino que presentan diferentes expresiones en distintas partes (intervalos) de su dominio. Este tipo de funciones se dice que están definidas a trozos. Para representarlas se puede dibujar primero la gráfica de cada una de las expresiones en toda la recta real y luego quedarnos solamente con la parte correspondiente al trozo (intervalo) que nos interese, como puede verse en los ejemplos siguientes:
Las funciones definidas a trozos más importantes son: Función valor absoluto. Función parte entera. La función parte entera f(x) = E (x) asocia a cada número real x el mayor número entero que sea menor o igual que x. Hay que tener cuidado porque, por ejemplo, la parte entera de 2 4 NO es -2, es -3.
Su gráfica es la siguiente: Las funciones que tienen gráficas de este tipo se dice que son escalonadas. Función valor absoluto de una función. Por ejemplo, vamos a representar la gráfica de la función f(x) = x 2-4.