CONSIDERACIONES METODOLÓGICAS Material de apoyo para el docente UNIDAD 3 Preparado por: Héctor Muñoz Diseño Gráfico por: www.genesisgrafica.cl
ECUACIONES EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 1. DESCRIPCIÓN GENERAL DE LA UNIDAD La Unidad trata los siguientes puntos: Empleo de letras en expresiones matemáticas. Traducción de expresiones de lenguaje cotidiano a simbólico y viceversa. Interpretación de ecuaciones con una incógnita. Resolución de ecuaciones usando propiedades de las operaciones y propiedades de la igualdad. Validación de las soluciones encontradas. Resolución de problemas mediante ecuaciones de primer grado con una incógnita e interpretación del resultado. 2. DURACIÓN APROXIMADA 5 semanas. 3. CONTENIDOS Expresiones matemáticas que incluyen letras Representación de situaciones mediante ecuaciones Resolución de ecuaciones 4. APRENDIZAJES ESPERADOS 4.1 Expresiones matemáticas que incluyen letras El primer aprendizaje esperado se refiere al desarrollo de la capacidad para interpretar expresiones matemáticas en que se emplean letras, ya sea para representar cantidades variables que pueden evtualmente tomar diferentes valores o para representar cantidades determinadas pero desconocidas. El empleo de letras en expresiones matemáticas requiere convenciones que no siempre coinciden con las que el estudiantes ha conocido hasta aquí. El segundo aprendizaje esperado está orientado a las convenciones de escritura más relevantes en el lenguaje algebraico. APRENDIZAJES ESPERADOS Expresiones matemáticas que incluyen letras Interpretan expresiones matemáticas en que se emplean letras para representar cantidades variables o desconocidas. Conocen, interpretan y aplican convenciones habituales en expresiones que incluyen letras. Aplican e interpretan correctamente el significado del signo igual en expresiones matemáticas. Una de las principales dificultades que tienen los estudiantes al iniciar su estudio del álgebra reside en errores conceptuales en relación con el significado del signo igual. A este punto se refiere el tercer aprendizaje esperado. FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 1
4.2 Representación de situaciones mediante ecuaciones Entre las expresiones algebraicas de mayor relevancia en este nivel destacan las ecuaciones con una incógnita que pueden representar una situación problemática dada. El primer aprendizaje esperado apunta a la comprensión de las relaciones que existen entre la ecuación y la situación representada por ella. Una habilidad central en el desarrollo de la capacidad para emplear ecuaciones en la resolución de problemas es la capacidad para formular ecuaciones que representen adecuadamente una situación problemática y para interpretar dichas ecuaciones en términos de la situación. A esta habilidad se refiere el segundo aprendizaje esperado. En el tercer aprendizaje esperado se pone énfasis en la solución de la ecuación y su relación con la pregunta de la situación problemética representada por la ecuación. 4.3 Resolución de ecuaciones Este contenido se centra en el establecimiento de procedimientos que permitan resolver una ecuación. En este nivel se trabaja solo con ecuaciones lineales con una incógnita. El carácter inverso de las operaciones de adición y sustracción y de las operaciones de multiplicación y división permite resolver fácilmente ecuaciones relativamente simples. A este punto se refiere el primer aprendizaje esperado. El uso del carácter inverso de las operaciones proporciona un procedimiento simple de resolución de ecuaciones pero presenta muchas limitaciones. Por tal razón, se hace necesario introducir nuevos procedimientos de resolución, basados esta vez en las propiedes de la igualdad. Una propiedad importante de la igualdad establece que la igualdad se mantiene si se suma o se resta una misma cantidad a ambos lados de la igualdad (segundo aprendizaje esperado). Esta propiedad abre la posibilidad de resolver una amplia gama de ecuaciones (tercer aprendizaje esperado). Otra propiedad de la igualdad establece que la igualdad se mantiene si se multiplican o se dividen por una misma cantidad ambos lados de la igualdad (cuarto aprendizaje esperado). Esta propiedad abre nuevas posibilidades para la resolución de ecuaciones (quinto aprendizaje esperado). En el caso de la división, es importante subrayar que no se debe dividir por 0 o por una cantidad igual a 0. APRENDIZAJES ESPERADOS Representación de situaciones mediante ecuaciones En una ecuación que representa una situación dada, establecen a qué corresponde la incógnita y cada una de las cantidades que aparecen en la ecuación. Dada una situación problemática simple, formulan una ecuación (o más de una ecuación) que la representa y explican el significado de cada uno de sus términos. Dada una situación problemática y una ecuación que la representa, verifican si una cantidad dada puede ser solución de la ecuación. APRENDIZAJES ESPERADOS Resolución de ecuaciones Resuelven una ecuación simple utilizando el carácter inverso de las operaciones de adición y sustracción o de las operaciones de multiplicación y división. Reconocen que una igualdad se mantiene si se suma o se resta una misma cantidad a ambos lados de la igualdad. Utilizan esta propiedad de la igualdad para resolver ecuaciones. Reconocen que una igualdad se mantiene si se multiplican o se dividen ambos lados de la igualdad por un mismo número. Utilizan esta propiedad de la igualdad para resolver ecuaciones. Resuelven problemas con ayuda de ecuaciones. En este nivel el desarrollo de la habilidad para resolver problemas con ayuda de ecuaciones constituye un objetivo importante. A esta habilidad se refiere el sexto aprendizaje esperado. FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 2
5. OBSERVACIONES Y COMENTARIOS ACERCA DEL ENFOQUE METODOLÓGICO 5.1 Convenciones en relación con las expresiones algebraicas. Entre las convenciones que rigen en las expresiones algebraicas es importante que los estudiantes asimilen las siguientes: (a) Representación de la multiplicación y la división. Por razones prácticas conviene evitar el empleo de una cruz (x) para indicar multiplicación, ya que puede confundirse fácilmente con la letra x que se suele utilizar para designar una cantidad desconocida. De acuerdo con esto, la multiplicación de dos números se designa por un punto (por ejemplo, 2 3). Si uno de los factores de la multiplicación es una letra, se puede omitir el punto de multiplicación. Así, por ejemplo, el producto de a por b puede escribirse como a b o como ab, y el producto de 2 por x puede escribirse como 2 x o como 2x. De acuerdo con la equivalencia que existe entre las fracciones y la operación de división, una división puede expresarse mediante los habituales dos puntos (por ejemplo, x : 4) o utilizando la notación de fracciones (por ejemplo, x/4). En el lenguaje algebraico se prefiere esta última notación para la división. (b) Convenciones relativas a la prioridad de las operaciones. Una expresión que incluye más de una operación debe interpretarse de acuerdo con las siguientes convenciones: Potencias y raíces tienen prioridad sobre las demás operaciones. Multiplicaciones y divisiones tienen prioridad sobre adiciones y sustracciones. Las operaciones que se encuentran encerradas en paréntesis tienen prioridad sobre las que están fuera de los paréntesis. 5.2 Un importante error conceptual relacionado con el significado del signo igual Es común que muchos estudiantes consideren el signo = como una invitación al cálculo y no como una relación de equivalencia. Así, por ejemplo, interpretan la expresión 5 + 8 = x + 3 en términos similares a los siguientes: A 5 se le suma 8 y al resultado se le suma 3. Por tal razón, consideran que x debe valer 13 y piensan que la expresión debería completarse así: 5 + 8 = x + 3 = 16 Como dijimos, este es un error muy común. Es importante, en este sentido, hacer notar desde un comienzo que el signo igual indica que todo los que está a la izquierda del signo igual (en este caso, 5 + 8) representa la misma cantidad que lo que está a su derecha (en este caso, x + 3). Para que ello se cumpla, x debe valer 10. Gran parte de las dificultades que encuentran los estudiantes tienen su origen en este error conceptual. FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 3
5.3 Ecuaciones como modelo que representa una situación problemática. En la resolución de problemas, las ecuaciones que se planteen constituyen una expresión comprimida de las relaciones cuantitativas que existen entre las diferentes cantidades que intervienen. Supongamos, a modo de ejemplo, que se quiere resolver el siguiente problema: Las entradas al circo del Tony Pirata cuestan $4.000 para mayores de 10 años y $2.500 para menores de 10 años. En la primera función, el cajero informó que se habían vendido 210 entradas con una recaudación total de $865.000. Pero no sabía cuántas de estas 210 entradas eran entradas de $2.500 y cuántas eran de $4.000. Podrías ayudarle a salir de su duda? Si representamos por x el número de espectadores mayores de 10 años, podemos plantear la ecuación: 4.000 x + 2.500 (210 x) = 865.000 En esta ecuación, no se considera que estamos hablando de un circo o de espectadores de más de 10 años o de menos de 10 años. Solo se toman en cuenta las relaciones cuantitativas entre los diferentes datos del problema. Es muy importante que, antes de tratar de resolver la ecuación, nos aseguremos que los estudiantes entiendan qué representa cada número y cada letra en esta ecuación y por qué se establecen las operaciones que allí aparecen. Por ejemplo: Qué representa la letra x? A qué corresponde el número 4.000? Por qué se multiplica 4.000 por x? Qué representa ese producto?, etc. Sólo después de tener claro qué representa la ecuación y cómo ella expresa la situación en estudio podemos buscar formas de resolver la ecuación. Y una vez resuelta la ecuación, es decir, una vez que hemos encontrado el valor que debe tener x para que se cumpla la igualdad, será necesario interpretar esa solución en términos de la situación problemática inicial. Y establecer, asimismo, si esta solución responde a lo que se quiere averiguar y si la respuesta es razonable. 5.4 Las propiedades de la igualdad en la resolución de ecuaciones. En la resolución de ecuaciones se utiliza con frecuencia la idea de pasar términos o cantidades de un lado al otro de la igualdad. Esta operación no está definida en matemáticas y suele inducir a errores o indeterminaciones. Por ejemplo, en la ecuación: x 3 = 8 no está claro cómo debe pasarse la incógnita x y si paso x al segundo miembro cómo queda el 3? Es preferible apoyarse en las propiedades de la igualdad: Si a los dos lados de la igualdad se suma o resta una misma cantidad, la igualdad se mantiene. Si los dos lados de la igualdad se multiplican por una misma cantidad, la igualdad se mantiene. Si los dos lados de la igualdad se dividen por una misma cantidad distinta de 0, la igualdad se mantiene. La primera propiedad suele ilustrarse utilizando la metáfora de la balanza. Si dos cantidades están en equilibrio en una balanza, el equilibrio se mantendrá si agrego o quito la misma cantidad en ambos lados de la balanza. Esta metáfora es muy comprensible para los estudiantes. FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 4
6. DESCRIPCIÓN DEL MATERIAL DE TRABAJO PARA EL AULA GUÍA DE TRABAJO Nº 1 (TRABAJO INDIVIDUAL) EMPLEO DE LETRAS PARA REPRESENTAR CANTIDADES En esta guía se muestran ejemplos de uso de letras para representar números. En especial, se destaca el uso de letras para representar propiedades de las operaciones, el uso de letras en fórmulas para el cálculo de magnitudes geométricas y el uso de letras para representar cantidades desconocidas. GUÍA DE TRABAJO Nº 2 (TRABAJO GRUPAL) SIGNIFICADO Y PROPIEDADES DE LA IGUALDAD En esta guía se analizan algunas situaciones que suelen originar errores en los estudiantes en relación con el significado del signo igual. En especial se considera el error mencionado más arriba en el punto 5.2. GUÍA DE TRABAJO Nº 3 (TRABAJO INDIVIDUAL) CONVENCIONES EN EL LENGUAJE ALGEBRAICO En esta guía se ejercitan algunas convenciones relevantes en el lenguaje algebraico. En especial, se menciona la forma de escribir una multiplicación cuando uno o más de los factores son letras, y las convenciones relativas a la prioridad de las operaciones en expresiones que incluyen más de una operación. GUÍA DE TRABAJO Nº 4 (TRABAJO GRUPAL) REPRESENTACIÓN DE SITUACIONES MEDIANTE ECUACIONES Esta guía pone el énfasis en la representación de una situación problemática mediante una ecuación en que la cantidad desconocida se designa mediante una letra. Las distintas actividades propuestas buscan hacer claridad sobre la relación que existe entre la ecuación y la situación representada por esa ecuación. GUÍA DE TRABAJO Nº 5 (TRABAJO INDIVIDUAL) LA SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN En esta guía se introduce la noción de solución para una ecuación. Asimismo se llama la atención a que una ecuación de primer grado tiene en general 1 solución, pero en casos excepcionales puede tener infinitas soluciones o ninguna solución. GUÍA DE TRABAJO Nº 6 (TRABAJO GRUPAL) PROCEDIMIENTOS DE RESOLUCIÓN DE ECUACIONES (I) En esta guía se ven algunos procedimientos de resolución de ecuaciones en casos simples. En especial se muestra la aplicación del carácter inverso de las operaciones y, con un poco de mayor detalle, la aplicación de la invariancia de la igualdad si se suma o se resta a ambos lados de ella una misma cantidad. FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 5
GUÍA DE TRABAJO Nº 7 (TRABAJO GRUPAL) PROCEDIMIENTOS DE RESOLUCIÓN DE ECUACIONES (II) En esta guía se ven nuevos procedimientos de resolución de ecuaciones en casos simples. Esta vez se muestra la aplicación de la invariancia de la igualdad si se multiplican o se dividen ambos lados de ella por una misma cantidad. La guía se inicia con un breve repaso de conocimientos acerca de la multiplicación y división de fracciones en casos atingentes al contenido que se está estudiando. GUÍA DE TRABAJO Nº 8 (TRABAJO GRUPAL) RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON AYUDA DE ECUACIONES En esta guía se formulan algunas situaciones problemáticas y se espera que el estudiante las pueda resolver utilizando ecuaciones. Las preguntas que se plantean en cada caso apuntan a aclarar la relación que existe entre la ecuación y la situación problemática, así como la relación que existe entre la solución de la ecuación y la pregunta del problema. FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 6