Departamento de Matemática Aplicada a la I.T. de Telecomunicación ASIGNATURA: CÁLCULO I (Examen Final) CONVOCATORIA: FEBRERO FECHA: de Enero de 3 Duración del examen: 3 horas Fecha publicación notas: 8--3 Fecha revisión examen: --3 El Problema 4 se valora con.5 puntos y los problemas, y 3 tienen el mismo valor Problema. Sea f(x) + e x ( x). a) Estudia el crecimiento y extremos de la función. b) Calcula x f(x). c) Prueba que existe un único número real x tal que f(x ). d) Estudia la concavidad y puntos de inflexión de la función. Representa gráficamente la función. Solución. a) Estudiamos el signo de f (x). Como f (x) xe x, f (x) > si x < y f (x) < si x >, entonces f(x) es creciente para x < y decreciente para x <, como además f (x), si x, entonces presenta máximo en el punto (, f()) (, ) b) x f(x) x t [ + x ex ( x)] + x ex x xex + + te t t + e + t c) Observamos que x <, f(x) + e x ( + x ). Como f(x) es continua en R,y f() > y f() e <, por el teorema de Bolzano existe al menos un punto x (, ) tal que f(x ), además por ser f(x) decreciente en sentido estricto cuando x >, ese punto es único. d) Estudiamos el signo de f (x). f (x) ( + x)e x se anula en x, f (x) > en el intervalo, ) y f (x) < en el intervalo, ), luego f es cóncava (concavidad hacia arriba) en, ) y convexa (concavidad hacia abajo) en, ) por tanto presenta un punto de inflexión en el punto x. Como vimos en el apartado b) horizontal de ecuación y. f(x), luego la gráfica de f(x) tiene una asíntota x Con las consideraciones anteriores la gráfica de f(x) resulta ser la siguiente:
Problema. Sea f(x) una función derivable en π, π ) que no se anula en este intervalo y tal que tg t f(t) dt + f(x) 9 + cos x si x π, π ). () a) Demuestra que f (x) f(x) tg x f (x) sen x si x ( π, π ) y que f(). b) Determina la ecuación de f(x). Solución. a) Como f(x) es derivable y no nula en ( π, ) π, es continua en ese intervalo. f(x) También es continua tg x en ese intervalo (cos o se anula) por lo que tg x es continua f(x) en ( π, ) π x. En consecuencia, tg t tg x dt es derivable en este intervalo y su derivada es f(t) f(x) por el Teorema Fundamental del Cálculo. Entonces, derivando en (??), obtenemos tg x f(x) f (x) f (x) sen x, x π, π ), de donde se deduce que f (x) f(x) tg x f (x) sen x, x ( π, π ). Por otra parte, evaluando la ecuación (??) en x se obtiene que f() lo mismo, f()., o lo que es b) Como f(x) es la solución de la E.D.O. de Bernouilli y y tg x y sen x que satisface la condición inicial y(), dividiendo por y y haciendo el cambio y y y + tg x y sen x z + z tg x sen x z se obtiene que es una E.D.O. lineal. Buscando la solución en la forma z uv, se tiene que cumplir u v + u(v + v tg x) sen x y el par de ecuaciones u v sen x y v + v tg x nos conduce a la solución general. De la segunda ecuación obtenemos v + v tg x v v tg x ln v ln cos x v cos x. Llevando ahora v cos x a la condición vu sen x se obtiene u cos x sen x u cos x 4 sen x cos x u 4 sen x u 4 cos x + C de lo que se deduce que la solución general de la ecuación diferencial de y es y (C + 4 cos x) cos x. Imponiendo ahora la condición inicial y(), y() C + 4 C 6 y así la solución es y, es decir, (6+4 cos x) cos x f(x) (6 + 4 cos x) cos x, x π, π ).
Problema 3. a) Determina el campo de convergencia de la serie de potencias n xn. b) Denotemos por f(x) la suma de la serie anterior. Calcula el desarrollo en serie de potencias centrada en de la función c) Teniendo en cuenta que e x h(x) n tf (t) dt, x R., determina la ecuación de h(x). Solución. a) Aplicando el criterio del cociente a la serie n+ n xn resulta n+ (n+) (n+)! xn+ n+ n xn x (n + ) n () ()! x (n + ) n () 3 x < x R. Luego n+ n xn es absolutamente convergente para todo x R y, por tanto, converge para todo x R. b) Sea f(x) n xn, x R. Derivando término a término la serie anterior, es decir, aplicando el teorema de derivación de series de potencias f (x) ( ) n xn, x R y sustituyendo el desarrollo anterior en la expresión de h(x) resultaría h(x) t f (t) dt ] t n+ x t t n dt ( ) + +, x R t n dt donde en (*) hemos integrado término a término, es decir, hemos aplicado el teorema de integración de series de potencias. Así pues el desarrollo en serie de potencias centrada en cero de h(x) es h(x) c) Deducimos del apartado anterior que +, válido x R h(x) + x, x R
y como sabemos que resulta finalmente e x n +, x R h(x) x(e x ), x R. Problema 4. Se considera la función f(x) g(x) donde g(x) es una función de período tal que g(x) x si x <, x + si x <. a) Demuestra que f(x) es periódica de período. b) Demuestra que f(x) es una función impar. c) Calcula su serie de Fourier y determina el subconjunto de [, ] donde coinciden f(x) y su serie de Fourier. d) Deduce del apartado anterior la suma de la serie numérica Solución. a) Como f(x) g(x) y g(x) tiene período, f(x + ) g(x + ) g(x) f(x), x R, lo que significa que f(x) es periódica de período. ) n+ n. b) En el intervalo [, ) la función f(x) es x si x <, f(x) g(x) x + si x <. x si x <, x + si x <. Sea ahora x (, ) donde f(x) x +. Entonces x, ) y por tanto fx) x) (x + ) f(x), x (, ), por lo que f(x) es una función impar. c) Al ser la función f(x) impar, ya sabemos que a n cuando n,,,..., y que b n ( cos x (x + ) + f(x) sen x dx cos x (x + ) sen x dx ) ( cos dx )n. Entonces, como f(x) es continua en [, ] excepto en,, y, + sen x ) n π f(x) π ) n sen x cuando x, ). n
c) Puesto que sen k π para k,,..., y sen(k ) π )k+ para todo entero positivo k, se tiene que f ( ) π ) n sen n π ) k ) k+ 6 k π k k ) k+ k de lo que se deduce que k ) k+ k π 6 f ( ) π 4.