Proosiciones atómicas y comuestas Sintaxis LÓGICA COMPUTACIONAL CÁLCULO DE PROPOSICIONES Francisco Hernández Quiroz Deartamento de Matemáticas Facultad de Ciencias, UNAM E-mail: fh@cienciasunammx Página Web: wwwmatematicasunammx/fh La sintaxis del cálculo de roosiciones es muy simle Por un lado, tenemos el conjunto P A = {,, r, 0, } de roosiciones atómicas y, or otro lado, las conectivas lógicas usuales: O en notación de Backus-Naur:,,,, α ::= P A α (α α) (α α) (α α) (α α) Facultad de Ciencias donde P A ::= r N N r N, donde N es un número natural Francisco Hernández Quiroz LógicA Comutacional Cálculo de roosiciones 1 / 27 Francisco Hernández Quiroz LógicA Comutacional Cálculo de roosiciones 2 / 27 Semántica Funciones boolenas La semántica del cálculo de roosiciones se exresa en términos de valores de verdad (generalmente) Los valores de verdad más utilizados son los valores booleanos B = {V, F} Una evaluación es una función e : P A B Esta función se uede extender a roosiciones comuestas cuando se combina con funciones booleanas asociadas a cada una de las conectivas Funciones de 0 argumentos Funciones de un argumento id / π1 1 V 1 F 1 V V V F F F F V F V V 0 y F 0 Francisco Hernández Quiroz LógicA Comutacional Cálculo de roosiciones 3 / 27 Francisco Hernández Quiroz LógicA Comutacional Cálculo de roosiciones 4 / 27
Funciones boolenas binarias Interdefinibilidad π1 2 π2 2 V 2 F 2 V V V V V F V V V V F F F V F F F F V F V F V F F V F F V F V V V F V F F V F V V F F V V F V F V F F V F V F F F F V F F F V V F V V V V V F F π 1 es la royección 1 π 2 es la royección del 2 V 2 es la constante verdadero F 2 es la constante falso es la conjunción es la disyunción es la imlicación es doble imlicación es el o exclusivo es la negación conjunta es la negación alternativa es la contraimlicación las 4 siguientes no tienen un nombre estándar Teorema Todas las conectivas se ueden definir en términos de 1 y una de las siguientes 2 ; 3 1 ; 2 ; 3 ; Francisco Hernández Quiroz LógicA Comutacional Cálculo de roosiciones 5 / 27 Francisco Hernández Quiroz LógicA Comutacional Cálculo de roosiciones 6 / 27 Bastan las conectivas binarias ara todo Demostración El teorema anterior arece referirse sólo a las conectivas binarias o unarias Sin embargo, se alica a las funciones boolenas de cualuier número de argumentos Por ejemlo, la conectiva ternaria siguiente se uede definir en términos de dos binarias: if then else r def ( ) ( r) Y esto se uede generalizar a cualuier valor de n Francisco Hernández Quiroz LógicA Comutacional Cálculo de roosiciones 7 / 27 Por inducción en el número de argumentos de la función, con una salvedad: Los casos básicos son las constantes, las conectivas unarias y las binarias La hiótesis inductiva es: Para toda k < n, toda función booleana f : {V, F} k {V, F} se uede definir con alguna de las ociones del teorema Caso inductivo: toda función booleana g : {V, F} n {V, F} se uede definir con alguna de las ociones del teorema Sugerencia: g se uede exresar como una combinación de una función h : {V, F} n 1 {V, F} y una función b : {V, F} 2 {V, F} Francisco Hernández Quiroz LógicA Comutacional Cálculo de roosiciones 8 / 27
Formas normales I Formas normales II Llamaremos literal a una fórmula si es una roosición atómica o la negación de una roosición atómica Una fórmula está en forma normal conjuntiva (o CNF, ara abreviar) si tiene la siguiente forma ( n m ) α i,j, donde α i,j es una literal Una fórmula está en forma normal disyuntiva (o DNF, ara abreviar) si tiene la siguiente forma ( n m ) α i,j Francisco Hernández Quiroz LógicA Comutacional Cálculo de roosiciones 9 / 27 Las fórmulas ( ) (r ) ( ) (r ) están en CNF y DNF, resectivamente Cada una de las disyunciones ue comonen una fórmula en CNF es una cláusula (análogamente ara las conjunciones en DNF) Si el número de literales ue aarece en una cláusula es menor o igual a n, diremos ue la fórmula está en ncnf (análogamente, en ndnf) Las fórmulas del ejemlo anterior están en 2CNF y 2DNF, resectivamente Francisco Hernández Quiroz LógicA Comutacional Cálculo de roosiciones 10 / 27 Conversión de fórmulas a CNF y DNF Tautologías, contradicciones y contingencias I Toda fórmula α tiene fórmulas euivalente en CNF y DNF Por ejemlo, es euivalente a la fórmula (ue está en 2CNF o 1DNF) Para transformar una fórmula arbitraria a CNF se ueden utilizar las euivalencias siguientes de manera sucesiva (α β) ( α β) (α β) ( α β) (α β) α α (α β) α β (α β) α β α (β γ) (α β) (α γ) Y, desde luego, la conmutatividad de y Francisco Hernández Quiroz LógicA Comutacional Cálculo de roosiciones 11 / 27 La mayoría de las roosiciones comuestas son contingentes: algunas asignaciones de valores de verdad a sus roosiciones atómicas roducen V y otras F Ejemlo: ues si entonces en cambio, si entonces ( ) e() = e() = V e(( )) = V, e() = V e() = F e(( )) = F Francisco Hernández Quiroz LógicA Comutacional Cálculo de roosiciones 12 / 27
Tautologías, contradicciones y contingencias II Consecuencia lógica Algunas roosiciones siemre son verdaderas sin imortar la asignación de valores a sus roosiciones atómicas Ejemlo: ( ), Estas roosiciones se conocen como tautologías Se acostumbra distinguirlas anteoniendo el símbolo = Y otras siemre roducen F Ejemlo: ( ) Éstas se conocen como contradicciones El símbolo = también denota una relación entre conjuntos de roosiciones y fórmulas individuales: α 1, α n = β Que se lee así β es consecuencia lógica de α 1,, α n Las roosiciones α 1,, α n se conocen como las remisas; y β, como la conclusión La exresión comleta se conoce como argumento Francisco Hernández Quiroz LógicA Comutacional Cálculo de roosiciones 13 / 27 Francisco Hernández Quiroz LógicA Comutacional Cálculo de roosiciones 14 / 27 Argumentos válidos e inválidos Sistemas de demostración Definición Un argumento es válido sii ara toda evaluación se tiene ue si entonces α 1, α n = β e : P A {V, F} e(α 1 ) = V e(α n ) = V, e(β) = V En caso contrario, se dice ue el argumento es inválido Los sistemas de demostración son herramientas ara verificar la validez de argumentos lógicos or medios estrictamente sintácticos Un sistema de demostración está formado or un conjunto (generalmente finito) de reglas de inferencia e instrucciones sobre cómo alicar estas reglas El conceto de demostración es el núcleo de un sistema: una demostración es un conjunto de fórmulas ue ermiten ir de las remisas a la conclusión or medio de transformaciones sintácticas Para ue un sistema de demostración sea útil debe cumlir un conjunto de roiedades metateóricas: corrección, comletitud, etc Francisco Hernández Quiroz LógicA Comutacional Cálculo de roosiciones 15 / 27 Francisco Hernández Quiroz LógicA Comutacional Cálculo de roosiciones 16 / 27
Reglas de inferencia Ejemlo: Sistema de Łukasiewicz Sean α 1, α n y β fórmulas del cálculo de roosiciones Una regla de inferencia tiene la siguiente forma donde 0 n; R α 1,, α n son las remisas; β es la conclusión; R es el nombre de la regla α 1,, α n β Si n = 0, el conjunto de remisas es vacío y este tio de reglas se conoce como axioma Axiomas de Łukasiewiecz: A 1 ( ) A 2 ( ( r)) (( ) ( r)) A 3 ( ) ( ) Se tiene una sola regla de derivación: modus onens MP Francisco Hernández Quiroz LógicA Comutacional Cálculo de roosiciones 17 / 27 Francisco Hernández Quiroz LógicA Comutacional Cálculo de roosiciones 18 / 27 Demostraciones I Demostraciones II Sean η 1,, η m y θ fórmulas y sea S un sistema de demostración Diremos ue θ se infiere de η 1,, η m en S sii existe una sucesión finita de fórmulas γ 1, γ k tal ue γ k = θ; ara todo i k se tiene uno de los siguientes casos: 1 existe j n tal ue γ i = η j ; 2 existen una regla de inferencia α 1,, α n β una sustitución de fórmulas atómicas or fórmulas tales ue En ese caso diremos ue γ i1 = α 1 σ γ in = α n σ γ i = βσ η 1,, η m S θ y fórmulas σ = [ 1 := ψ 1 ;, r := ψ r ] γ i1,, γi n (con i 1,, i n < i) es un teorema de S Francisco Hernández Quiroz LógicA Comutacional Cálculo de roosiciones 19 / 27 Francisco Hernández Quiroz LógicA Comutacional Cálculo de roosiciones 20 / 27
Ejemlo Deducción natural Auí tenemos un ejemlo de una demostración:, ( r) L r: 1 remisa 2 ( r) remisa 3 ( ) A 1 4 MP 1, 3 5 ( ( r)) (( ) ( r)) A 2 6 ( ) ( r) MP 2, 5 7 r MP 4, 6 La deducción natural es un sistema con un conjunto grande de reglas de inferencia La deducción natural tiene reglas ara introducir (señaladas con I) o eliminar (E) las conectivas lógicas Además, hay tres reglas adicionales: contradicción (C), sustitución (S) y falso (F) Algunas reglas contemlan la introducción de hiótesis adicionales Por esta razón, las inferencias ue se hagan utilizando estas hiótesis aarecen dentro de cajas Las cajas se ueden cerrar extrayendo una conclusión de acuerdo con las condiciones de cada regla Francisco Hernández Quiroz LógicA Comutacional Cálculo de roosiciones 21 / 27 Francisco Hernández Quiroz LógicA Comutacional Cálculo de roosiciones 22 / 27 Reglas de deducción natural I Reglas de deducción natural II I I I E E r E r r I F S α β γ [:=β] γ [:=α] E C Francisco Hernández Quiroz LógicA Comutacional Cálculo de roosiciones 23 / 27 Francisco Hernández Quiroz LógicA Comutacional Cálculo de roosiciones 24 / 27
Ejemlo 1 Ejemlo 2 Demostraremos algunos teoremas en N Primero, r N r 1 Premisa 2 r Premisa 3 Hiótesis 4 E 1, 3 5 r E 2, 4 6 r I Ahora, un ejemlo de E y F:, N 1 Premisa 2 Premisa 3 Hi 6 Hi 4 I 3, 2 5 F 4 7 E 1 Francisco Hernández Quiroz LógicA Comutacional Cálculo de roosiciones 25 / 27 Francisco Hernández Quiroz LógicA Comutacional Cálculo de roosiciones 26 / 27 Proiedades de los sistemas de demostración Definición Sea un sistema de demostración y sean α 1,, α n y β fórmulas Diremos ue es: (a) correcto sii β imlica ue = β; (b) correcto en sentido amlio sii α 1,, α n β imlica α 1,, α n = β; (c) comleto sii = β imlica ue β; (d) comleto en sentido amlio sii α 1,, α n = β imlica α 1,, α n β; (e) consistente sii no existe una fórmula γ tal ue γ y γ; (f) decidible sii existe un rocedimiento efectivo ara determinar, dada una fórmula arbitraria γ, si γ o γ Francisco Hernández Quiroz LógicA Comutacional Cálculo de roosiciones 27 / 27