Contenido. 1. Introducción 2. Descripción matemática de sistemas

Transcripción

1 Descripción Matemática de sistemas p. 1/52 Contenido 1. Introducción 2. Descripción matemática de sistemas 3. Herramientas de Algebra lineal 4. Solución de la ecuación de estado y realizaciones 5. Estabilidad 6. Controlabilidad y Observabilidad 7. Especificaciones y limitaciones de diseño 8. Realimentación de estados y observadores 9. Introducción al control óptimo

2 Descripción Matemática de sistemas p. 2/52 Descripción Matemática de Sistemas 2. Descripción matemática de sistemas 2.1 Una taxonomía de sistemas 2.2 Sistemas Lineales 2.3 Sistemas lineales estacionarios 2.4 Linealización 2.5 Sistemas discretos

3 Descripción Matemática de sistemas p. 3/ Una taxonomía de sistemas Los sistemas a estudiar en este curso poseen una relación única entre entrada - salida (relación causa - efecto). Esta propiedad es esencial para definir un sistema. Según el número de entradas y salidas los sistemas pueden ser tipo SISO, MIMO o SIMO. u(t) y(t) u[k] t u(t) u[k] CAJA NEGRA y(t) y[k] y[k] t t t

4 Descripción Matemática de sistemas p. 4/ Una taxonomía de sistemas Dependiendo de si las entradas y salidas del sistema aceptan señales de tiempo continuo o de tiempo discreto, los sistemas se clasifican en sistemas de tiempo continuo o sistemas de tiempo discreto. Notaciones y asunciones: u(t) itálico en minúscula para escalares u(t) bold en minúscula para vectores (múltiples entradas) u = [u 1 u 2... u n ] T. Para tiempo continuo se asume t. Para tiempo discreto se asume u[k] = u[kt ], siendo T el período de muestreo de todas las señales. k denota el instante de tiempo discreto y es un entero tal que k

5 Descripción Matemática de sistemas p. 5/ Una taxonomía de sistemas Un sistema es sin memoria si la salida y(t 0 ) solo depende de la entrada en el tiempo t 0. En un sistema con memoria su salida en tiempo t 0 depende de las entradas pasadas, presentes y futuras. Un sistema es causal o no anticipativo, si las salidas dependen de las entradas en tiempo pasado y presente pero no del futuro. Un sistema no causal puede predecir el futuro y ningún sistema físico real posee esta propiedad. La salida de un sistema causal depende de la entrada pasada, y el tiempo debería seguirse desde t =. El concepto de estado puede tratar con este problema.

6 Descripción Matemática de sistemas p. 6/ Una taxonomía de sistemas El estado x(t 0 ) de un sistema es la información en t 0 que, junto con la entrada u(t), para t t 0, determina de forma única la salida y(t) para todo t t 0. Así, el estado en t 0 resume el efecto de las entradas pasadas sobre las salidas futuras.en un circuito eléctrico con condensadores e inductancias, el estado se conforma con los voltajes en los condensadores y las corrientes en las inductancias; es decir, las variables que permiten describir el estado de la energía almacenada en el sistema. Un sistema es de dimensión finita, si el vector de estado tiene dimensión finita. Un sistema es distribuido si su estado tiene un número infinito de variables de estado.

7 Descripción Matemática de sistemas p. 7/ Sistemas lineales Un sistema es lineal si para cada t 0 y cualquier dos pares de vectores estado-entrada-salida tales que, x i (t 0 ) u i (t), t t 0 } y i (t), t t 0 para i = 1, 2; entonces se cumplen las propiedades, x 1 (t 0 ) + x 2 (t 0 ) u 1 (t) + u 2 (t), t t 0 } y 1 (t) + y 2 (t), t t 0 (aditividad). αx 1 (t 0 ) αu 1 (t), t t 0 } α R αy 1 (t), t t 0 (homogeneidad).

8 Descripción Matemática de sistemas p. 8/ Sistemas lineales Las propiedades de aditividad y homogeneidad se combinan para definir la propiedad de superposición, α 1 x 1 (t 0 ) + α 2 x 2 (t 0 ) α 1 u 1 (t) + α 2 u 2 (t), t t 0 } α 1 y 1 (t) + α 2 y 2 (t), t t 0 Un sistema es no lineal si no se cumple la propiedad de superposición.

9 Descripción Matemática de sistemas p. 9/52 Respuestas de entrada y estado cero Si u(t) = 0 para t t 0 entonces la salida se debe solo al estado inicial x(t 0 ). Esta salida se llama respuesta de entrada cero y zi. x(t 0 ) u(t) 0, t t 0 } y zi (t), t t 0 Si x(t 0 ) = 0 entonces la salida se debe solo a la entrada u(t). Esta salida se llama respuesta de estado cero y zs. x(t 0 ) = 0 u(t), t t 0 } y zs (t), t t 0

10 Descripción Matemática de sistemas p. 10/52 Respuesta total Si un sistema es lineal, la propiedad de aditividad implica, y(t) }{{} Respuesta total = y }{{} zi + y }{{} zs Respuesta entrada cero Respuesta estado cero En el estudio de un sistema no lineal no se pueden separar las respuestas de estado y entrada cero para obtener la respuesta total.

11 Descripción Matemática de sistemas p. 11/52 ents u(t i ) t i t i ) Descripción Entrada-Salida δ (t t 1 ) Puede obtenerse una descripción matemática de la salida de estado cero de un sistema lineal. Para el caso SISO, cualquier entrada u(t) puede aproximarse por una serie de pulsos. PSfrag replacements t 1 t t t 1 t u(t i) δ (t t 1 ) t i u(t i )δ (t t i ) t u(t) i u(t i )δ (t t i )

12 Descripción Matemática de sistemas p. 12/52 Descripción entrada-salida Llamando g (t, t i ) a la salida en el tiempo t excitada por el pulso u(t) = δ (t t i ) aplicado en t = t i entonces en un sistema lineal se cumple, δ (t t i ) g (t, t i ) δ (t t i )u(t i ) g (t, t i )u(t i ) δ (t t i )u(t i ) g (t, t i )u(t i ) i i y(t) i g (t, t i )u(t i )

13 Descripción Matemática de sistemas p. 13/52 Descripción entrada-salida Si 0 entonces, y(t) = g(t, τ)u(τ)dτ donde g(t, τ) es la respuesta al impulso aplicado en t = τ. Un sistema es relajado si el estado inicial en t = t 0 es 0. Si el sistema además de relajado es causal, g(t, τ) = 0 para t < t 0, entonces y(t) = t t 0 g(t, τ)u(τ)dτ

14 Descripción Matemática de sistemas p. 14/52 Descripción entrada-salida Para un sistema lineal, relajado en t 0 y causal con p terminales de entrada y q terminales de salida, la representación entrada salida será, y(t) = t t 0 G(t, τ)u(τ)dτ donde g i,j (t, τ) es la respuesta impulso en el tiempo t entre el j esimo terminal de entrada y el i esimo terminal de salida. G es llamada la matriz de respuesta impulso del sistema. Note que las descripciones de entrada-salida no requieren que el sistema sea de dimensión finita.

15 Descripción Matemática de sistemas p. 15/52 Descripción de espacio de estados Todo sistema lineal de dimensión finita puede describirse mediante el conjunto de ecuaciones, ẋ(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) (1) y(t) = C(t)x(t) + D(t)u(t) (2) Si el sistema es de q salidas y el estado x es de dimensión n, la ecuación (1) se compone de n ecuaciones diferenciales y la ecuación (2) de q ecuaciones algebraicas. Al conjunto de ecuaciones (1) y (2) se le denomina ecuación de espacio de estados o simplemente ecuación de estado.

16 Descripción Matemática de sistemas p. 16/52 Sistemas LTI Un sistema lineal es invariante en el tiempo si para cada par estado-entrada-salida y cualquier T se tiene, x(t 0 ) u(t), t t 0 } y(t), t t 0 x(t 0 + T ) u(t T ), t t 0 + T } y(t T ), t t 0 + T En palabras: el sistema da la misma respuesta, pero desplazada en el tiempo, que si se le aplica la misma entrada desplazada en el tiempo manteniendo las mismas condiciones iniciales.

17 Descripción Matemática de sistemas p. 17/52 Sistemas LTI Un sistema que no es LTI se denomina variante en el tiempo. Las características de los sistemas invariantes en el tiempo deben ser independientes del tiempo. Sin embargo un gran número de sistemas físicos pueden modelarse como invariantes en el tiempo por un período limitado de tiempo. Considérese la respuesta al impulso de un sistema LTI, g(t, τ) = g(t τ, 0) = g(t τ) Entonces la descripción entrada-salida queda, y(t) = t t 0 g(t, τ)u(τ)dτ = t 0 g(t τ)u(τ)dτ = t 0 g(τ)u(t τ)dτ

18 Descripción Matemática de sistemas p. 18/52 Matriz función de transferencia Sea ŷ(s) la transformada de Laplace de y(t), ŷ(s) = = = = = 0 t=0 τ=0 τ=0 v=0 y(t)e st dt ( τ=0 ( t=0 ( v= τ g(v)e sv dv ) g(t τ)u(τ)dτ e s(t τ) e sτ dt ) g(t τ)e s(t τ) dt u(τ)e sτ dτ ) g(v)e s(v) dv u(τ)e sτ dτ τ=0 u(τ)e sτ dτ = ĝ(s)û(s)

19 Descripción Matemática de sistemas p. 19/52 Matriz función de transferencia ĝ(s) = 0 g(t)e st dt se denomina función de transferencia del sistema. Para un sistema de p entradas y q salidas, ŷ 1 (s) ŷ 2 (s). ŷ q (s) = ĝ 11 (s) ĝ 12 (s)... ĝ 1p (s) ĝ 21 (s) ĝ 22 (s)... ĝ 2p (s)... ĝ q1 (s) ĝ q2 (s)... ĝ qp (s) û 1 (s) û 2 (s). û p (s) o, ŷ(s) = Ĝ(s)û(s)

20 Descripción Matemática de sistemas p. 20/52 Ejemplo: Retardo unitario El sistema retardo unitario se define como y(t) = u(t 1) Para conocer {y(t), t t 0 } a partir de {u(t), t t 0 }, se necesita conocer {u(t), t 0 1 t < t 0 }. Entonces el estado inicial tiene infinitos puntos y el sistema es distribuido. Respuesta al impulso: g(t) = δ(t 1). ĝ(s) = L[δ(t 1)] = 0 δ(t 1)e st dt = e st t=1 = e s La función de transferencia no es racional en s. Los sistemas de dimensión finita de estado poseen funciones de transferencia racionales.

21 Descripción Matemática de sistemas p. 21/52 Ejemplo: Sistema realimentado r(t) + - a u(t) Retardo unitario y(t) La función de transferencia de lazo cerrado se puede obtener resolviendo el diagrama en bloques, ĝ f (s) = ae s 1 + ae s

22 Descripción Matemática de sistemas p. 22/52 Ejemplo:realimentación negativa La respuesta al impulso del sistema realimentado es g f (t) = aδ(t 1) a 2 δ(t 2) + a 3 δ(t 3)... = a i δ(t i)( 1) (i 1) = ( 1) i a (i+1) δ(t (i + 1)). i=1 i=0 Ya que L[δ(t i)] = e is, ĝ f (s) = L[g f (t)] es, ĝ f (s) = ( 1) i a (i+1) e s(i+1) = ae s i=0 i=0 ( ae s ) i = ae s 1 + ae s Que es la misma f.t. que obtenida del diagrama en bloques.

23 Descripción Matemática de sistemas p. 23/52 Clasificación de las f.t. En este curso se tratarán sistemas con espacio de estado de dimensión finita. En estos sistemas, la f.t es una función racional de s. Cada f.t. racional se puede expresar como ĝ(s) = N(s) D(s), donde N(s) y D(s) son polinomios en s. Denotaremos el grado de un polinomio por deg. Las f.t. se clasifican como: Propias Si degd(s) degn(s). Esto implica que ĝ( ) = 0 o constante. Estrictamente propias Si degd(s) > degn(s). Esto implica que ĝ( ) = 0.

24 Descripción Matemática de sistemas p. 24/52 Clasificación de las f.t Bipropias Si degd(s) = degn(s). Esto implica que ĝ( ) es una constante. Impropias Si degd(s) < degn(s). Esto implica que ĝ( ) =. Una matriz racional Ĝ(s) es, Propia, si cada elemento es propio o si Ĝ(s) es una matriz constante cero o no cero. Estrictamente propia, si cada elemento es estrictamente propio o si Ĝ(s) es una matriz cero. Bipropia, si Ĝ(s) es cuadrada y tanto Ĝ(s) como Ĝ 1 (s) son propias.

25 Descripción Matemática de sistemas p. 25/52 Polos y ceros Un número real o complejo λ se llama un polo de ĝ(s) si ĝ(λ) =. Se llama un cero de ĝ(s) si ĝ(λ) = 0. Si N(s) y D(s) son coprimas (no factores comunes de grado 1 o superior), todas las raíces de N(s) son ceros y todas las raíces de D(s) son polos de ĝ(s). ĝ(s) = k (s z 1)(s z 2 )... (s z m ) (s p 1 )(s p 2 )... (s p n ) (ver comando tf2zp(num,den) de MATLAB)

26 Descripción Matemática de sistemas p. 26/52 Polos y ceros λ es un polo de Ĝ(s) si es polo de algún elemento de Ĝ(s). Hay varias formas de definir los ceros de tal que es cero para cada elemento no cero de Ĝ(s). Ĝ(s). Un cero de bloqueo es uno El concepto de cero más útil en control es el cero de transmisión, que se definirá más adelante en el curso.

27 Descripción Matemática de sistemas p. 27/52 Matriz de transferencia en el E.E. De la descripción de un LTI de dimensión finita, ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) + Du(t) Aplicando la transformada de Laplace se obtiene, sˆx(s) x(0) = Aˆx(s) + Bû(s) ŷ(s) = Cˆx(s) + Dû(s) x(s) = (si A) 1 x(0) + (si A) 1 Bû(s) ŷ(s) = C(sI A) 1 x(0) + C(sI A) 1 Bû(s) + Dû(s)

28 Descripción Matemática de sistemas p. 28/52 Matriz de transferencia en el E.E. Si x(0) = 0, ŷ(s) = [ C(sI A) 1 B + D ] û(s) Y ya que ŷ(s) = Ĝ(s)û(s), Ĝ(s) = C(sI A) 1 B + D (Ver comandos tf2ss y ss2tf de MATLAB). Si el sistema es variante en el tiempo no se utiliza la descripción de Laplace.

29 Descripción Matemática de sistemas p. 29/52 Linealización de s/mas no lineales La mayoría de los sistemas físicos son no lineales. Muchos de ellos pueden escribirse en la forma, ẋ(t) = h(x(t), u(t), t) y(t) = f(x(t), u(t), t) (3) Sea x 0 (t) una solución del sistema para cierta entrada u 0 (t) y cierto estado inicial que pueda considerarse como el punto de operación del sistema.

30 Descripción Matemática de sistemas p. 30/52 Linealización de s/mas no lineales Supongamos que el sistema no-lineal es tal que al aplicar una pequeña perturbación a la entrada u(t) = u 0 (t) + u(t) se produce solo una pequeña perturbación en el estado x(t) = x 0 (t) + x(t), entonces puede expandirse (3) en series de Taylor, [ h ẋ(t) = ẋ 0 (t) + x (x x 0) + h ] u (u u 0) + 1 [ 2 h 2! x 2 (x x 0) h2 x u (x x 0)(u u 0 ) + 2 h u 2 (u u 0) 2 ] +...

31 Descripción Matemática de sistemas p. 31/52 Linealización de s/mas no lineales La linealización (alrededor del punto de operación) consiste en despreciar los términos no lineales quedando, ẋ(t) = h x (x0,u 0 ) x + h u u (x0,u 0 ) Definiendo los Jacobianos, A(t) := h x := h 1 / x 1... h 1 / x n.. h n / x 1... h n / x n

32 Descripción Matemática de sistemas p. 32/52 Linealización de s/mas no lineales B(t) := h u := h 1 / u 1... h 1 / u m.. h n / u 1... h n / x m En función de los jacobianos se obtiene la ecuación linealizada, ẋ(t) = A(t)x + B(t)u La ecuación y(t) = f(x(t), u(t), t) puede linealizarse en forma similar.

33 Descripción Matemática de sistemas p. 33/52 Sistemas de tiempo discreto La mayoría de los conceptos de espacio de estados para sistemas LTI se pueden trasladar directamente a tiempo discreto, descritos por ecuaciones lineales de diferencias. Cuando el sistema de tiempo discreto se obtiene de muestrear un sistema continuo, solo se considerará muestreo regular, donde t = kt, k = 0, 1, 2,..., y T es el periodo de muestreo. En este caso denotaremos las variables de tiempo discreto (secuencias) como u[k] := u(kt ), etc. Los conceptos de dimensión finita, causalidad, linealidad, y principio de superposición son exactamente los mismos que en el caso continuo.

34 Descripción Matemática de sistemas p. 34/52 Sistemas de tiempo discreto Una diferencia: retardos puros en tiempo discreto, si el retardo es un múltiplo del periodo de muestreo T, no dan lugar a sistemas de dimensión infinita como en el caso continuo. Descripción entrada-salida de sistemas discretos Definimos la secuencia de impulsos δ[k] como, { 1 si k = m δ[k] = 0 si k m En un sistema lineal discreto toda secuencia de entrada u[k] puede representarse mediante la serie u[k] = m= u[m]δ[k m]

35 Descripción Matemática de sistemas p. 35/52 Sistemas de tiempo discreto Si g[k, m] denota la salida de una sistema discreto a una secuencia de impulsos aplicada en el instante m, entonces tenemos que, δ[k, m] g[k, m] δ[k, m]u[m] g[k, m]u[m] δ[k, m]u[m] g[k, m]u[m] m m y[k] = g[k, m]u[m] m= Si el sistema es causal, la salida se reduce a, y[k] = k m=k 0 g[k, m]u[m]

36 Descripción Matemática de sistemas p. 36/52 Sistemas de tiempo discreto Si el sistema además es LTI, y[k] = k m=0 g[k m]u[m] = k m=0 g[m]u[k m] La representación en E.E. mediante ecuaciones de diferencia es, x[k + 1] = A[k]x[k] + B[k]u[k] y[k] = Cx[k] + D[k]u[k] Y para sistemas LTI, x[k + 1] = Ax[k] + Bu[k] y[k] = Cx[k] + Du[k]

37 Descripción Matemática de sistemas p. 37/52 Sistemas de tiempo discreto En el último caso pueden encontrarse funciones de transferencia en tiempo discreto Ĝ(z) = Z[g[k]]. La relación con la representación de estados es, Ĝ(z) = C(zI A) 1 B + D y pueden usarse las mismas funciones de Matlab ss2tf y tf2ss.

38 Descripción Matemática de sistemas p. 38/52 Cuadro resumen Tipo de sistema Representación interna Representación externa dim. infinita lineal y(t) = t 0 G(t, τ)u(τ)dτ dim. finita, lineal ẋ = A(t)x + B(t)u y(t) = t t 0 G(t, τ)u(τ)dτ y = C(t)x + D(t)u dim. inf., lineal, est. y(t) = t 0 G(t, τ)u(τ)dτ ŷ(s) = Ĝ(s)û(s) dim. fin., lineal, est. ẋ = Ax + Bu y(t) = t 0 G(t, τ)u(τ)dτ y = Cx + Du ŷ(s) = Ĝ(s)û(s)

39 Descripción Matemática de sistemas p. 39/52 Dinámica de sistemas mecánicos Dynamics of Mechanical Systems I (translational) Newton s Law: F = ma. Vector sum of forces = mass of object times inertial acceleration. Free-body diagrams are a tool to apply this law. EXAMPLE: Cruise control model. Write the equations of motion for the speed and forward motion of a car assuming that the engine imparts a forward force of u(t). 1. Assume rotational inertia of wheels is negligible. 2. Assume that friction is proportional to car s speed (viscous friction).

40 Descripción Matemática de sistemas p. 40/52 Dinámica de sistemas mecánicos or, u(t) F = ma bẋ(t) = m.. x(t).. x(t) + b. x(t) = u(t) m m bẋ(t) m x(t) u(t) If the variable of interest is speed (v(t) = ẋ(t)), not position,. v(t) + b u(t) v(t) = m m Notice that the differential equation has output variables on the left of =, and input variables on the right. IMPORTANT POINT: All of our models of dynamical systems will be differential equations involving the input (e.g., u(t)) and its derivatives and the output (e.g., y(t)) and its derivatives. No other signals (intermediate variables) are allowed in our solutions.

41 Descripción Matemática de sistemas p. 41/52 Dinámica de sistemas mecánicos EXAMPLE: Car suspension. Each wheel in a car suspension system has a tire, shock absorber and spring. Write the one-dimensional (vertical) equations of motion for the car body and wheel. m 2 y(t) k s b Quarter-car model m 1 x(t) Free-body diagram: k w r(t) Road Surface Inertial Reference

42 Descripción Matemática de sistemas p. 42/52 Dinámica de sistemas mecánicos Free-body diagram: k s (y(t) x(t)) b(ẏ (t) ẋ(t)) Inertial Reference m 1 m 2 x(t) y(t) k w (x(t) r(t)) k s (y(t) x(t)) b(ẏ (t) ẋ(t)) The force from the spring is proportional to its stretch. The force from the shock absorber is proportional to the rate-of-change of its stretch. F = ma ( ) b ẏ (t) ẋ(t).. + k s (y(t) x(t)) k w (x(t) r(t)) = m 1 x(t) ( ) k s (y(t) x(t)) b ẏ (t) ẋ(t). = m 2 ẏ (t)

43 Descripción Matemática de sistemas p. 43/52 ( Dinámica de sistemas mecánicos ) = Re-arrange:.. x(t) + b m 1 (ẋ(t) ẏ (t)) + k s m 1 (x(t) y(t)) + k w m 1 x(t) = k w m 1 r(t).. y(t) + b m 2 (ẏ (t) ẋ(t)) + k s m 2 (y(t) x(t)) = 0 Important components for mechanical-translational systems: 1. Mass m 2. Spring k x 1 (t) x 2 (t) f (t) = k(x 1 (t) x 2 (t)) 3. Damper b x 1 (t) x 2 (t) f (t) = b(ẋ 1(t) ẋ 2(t)) Dynamics of Mechanical Systems II (rotational)

44 Descripción Matemática de sistemas p. 44/52 Dinámica de sistemas mecánicos Dynamics of Mechanical Systems II (rotational) Newton s Law is modified to be: M = Jα (or I α) Vector sum of moments = moment of inertia times angular acceleration. ( moment = torque ). EXAMPLE: Satellite control. Satellites require attitude control so that sensors, antennas, etc., are properly pointed. Let s consider one axis of rotation. d θ(t) Gas jet F c (t) moment = F c (t) d, so, F c (t)d = J θ(t).... θ(t) = F c(t)d J

45 Descripción Matemática de sistemas p. 45/52 Dinámica de sistemas mecánicos torques twice double-integrator plant. EXAMPLE: Torsional pendulum. A torsional pendulum is used, for example, in clocks enclosed in glass domes. A similar device is the read-write head on a hard-disk drive. k k: Springiness of suspension wire. J b τ, θ b: Viscous friction. M = J.. θ(t) J θ(t).. = τ(t) b θ(t). kθ(t).. θ(t) + b. θ(t) + k τ(t) θ(t) = J J J

46 Descripción Matemática de sistemas p. 46/52 Dinámica de sistemas mecánicos J J J Important components for mechanical rotational systems: 1. Inertia J 2. Spring k θ 1 (t) θ 2 (t) τ(t) = k(θ 1 (t) θ 2 (t)) 3. Damper b θ 1 (t) θ 2 (t) τ(t) = b(. θ 1(t). θ 2(t))

47 Descripción Matemática de sistemas p. 47/52 Dinámica de sistemas mecánicos EXAMPLE: NONLINEAR Rotational Pendulum. Moment of intertia: J = ml 2... M = J θ(t) θ(t), τ(t) l.. θ(t) + g l } sin(θ(t)) {{ } mg Nonlinear! If motion is small, sin (θ(t)) θ(t)... θ(t) + g τ(t) θ(t) = l ml 2 This is a preview of linearization. J.. θ(t) = τ(t) mgl sin(θ(t)) = τ(t) ml 2 Linear.

48 Descripción Matemática de sistemas p. 48/52 Dinámica de sistemas mecánicos Summary of Developing Models for Rigid Bodies: 1. Assign variables such as x(t) and θ(t) that are both necessary and sufficient to describe and arbitrary position of the object. 2. Draw a free-body diagram of each component, and indicate all forces acting on each body and the accelerations of the center of mass with respect to an inertial reference. 3. Apply Newton s laws: F = ma, M = Jα. 4. Combine the equations to eliminate internal forces. 5. The final form must be in terms of ONLY the input to the system and its derivatives, and the output of the system and its derivatives.

49 Descripción Matemática de sistemas p. 49/52 Formulación de modelos en E.E. How do we Formulate Them? A variety of ways. e.g., from E.O.M. Also from transfer functions. Three cases: 1] Transfer function is only made up of poles. 1 G(s) = = Y (s) s 3 + a 1 s 2 + a 2 s + a 3 U(s) y(t) a 1 ẏ (t) + a 2 ẏ(t) + a 3 y(t) = u(t) Choose output and derivatives as the state. [.ẏ. ] T x(t) = (t) y(t) y(t). Then.....

50 Descripción Matemática de sistemas p. 50/52 Formulación de modelos en E.E. = [ ]. x(t) =... y(t).. y(t). y(t) = y(t) = a 1 a 2 a [ ] [ x(t) +.. y(t). y(t) y(t) ] 0 u(t) u(t) 2] Transfer function has poles and zeros, but is strictly proper. G(s) = b 1s 2 + b 2 s + b 3 s 3 + a 1 s 2 + a 2 s + a 3 = Y (s) U(s) Break up transfer function into two parts. V (s) U(s) poles of Y (s) U(s). Then, Y (s) = [b 1s 2 + b 2 s + b 3 ]V (s). Or, y(t) = b 1.. v(t) + b2. v(t) + b3 v(t). 3 2 contains all of the

51 Descripción Matemática de sistemas p. 51/52 Formulación de modelos en E.E y(t) = b 1 v(t) + b 2 v(t) + b 3 v(t). But, V (s)[s 3 + a 1 s 2 + a 2 s + a 3 ] = U(s), or, v(t) + a 1 v(t) + a2 v(t) + a3 v(t) = u(t). The representation for this is [..v(t) ]. T the same as in Case [1]. Let x(t) = v(t) v(t). Then. x(t) =... v(t).. v(t). v(t) = a 1 a 2 a v(t). v(t) v(t) u(t) represents the dynamics of v(t). All that remains is to couple in the zeros of the system. Y (s) = [b 1 s 2 + b 2 s + b 3 ]V (s) [ ] [ ] y(t) = b 1 b 2 b 3 x(t) + 0 u(t)

52 Descripción Matemática de sistemas p. 52/52 [ ] [ ] Formulación de modelos en E.E 3] Non-proper transfer function. G(s) = b 0s 3 + b 1 s 2 + b 2 s + b 1 s 3 + a 1 s 2 + a 2 s + a 3 = β 1s 2 + β 2 s + β 3 s 3 + a 1 s 2 + a 2 s + a 3 + D, where the β i terms are computed via long division. The remainder D is the feedthrough term. Matlab command tf2ss(num,den) converts a transfer function form to state-space form. We will see that we have a lot of freedom when making our state-space models (i.e., in choosing the components of x(t)).