SISTEMAS DE CONTROL I MODELADO DE SISTEMAS FÍSICOS
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- José Ramón Martin López
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1 SISTEMAS DE CONTROL I MODELADO DE SISTEMAS FÍSICOS Ing. Miguel G. Alarcón Agosto de 2011
2 Temario Sistema Físico. Modelado del Sistema Real. Sistemas Eléctricos. Sistemas Mecánicos. Sistemas Térmicos.
3 Qué es un sistema? Límite del sistema Parte del sistema Relación Es un conjunto delimitado de partes inter-relacionadas. Existe en un medio ambiente separado por sus límites. Sistema Físico: La inter-relación involucra intercambio de materia, energía o información. Sistema Físico Dinámico: Hay almacenamiento de materia, energía o información.
4 Dónde están los sistemas? Los sistemas son construcciones mentales. Corresponden a la representación mental de los objetos del mundo real. Cada sistema depende del punto de vista del observador (modelador). Corresponden a modelos de la realidad (modelo mental) Diferentes Personas Diferentes Visiones Diferentes Sistemas
5 Análisis Experimental La Ciencia y sus métodos proveen respuestas a los interrogantes humanos sobre sistemas y sus propiedades. Los métodos científicos se basan en la experimentación, que consiste en la realización de ensayos sobre el sistema, en la observación de las reacciones del mismo, y en la obtención de leyes de su comportamiento, expresadas por lo general mediante el lenguaje matemático. El método experimental no siempre es viable ya que en algunos casos existen factores que limitan o impiden su aplicación. Por ejemplo: Costos, Riesgos, experimento irrealizable (por inexistencia del sistema o incapacidad humana de experimentar). Cuando no se puede experimentar sobre los sistemas se recurre a su modelado.
6 EXPERIMENTAR CON EL SISTEMA REAL FORMAS DE ESTUDIAR UN SISTEMA: Modelo físico EXPERIMENTAR CON UN MODELO DEL SISTEMA (VALIDACIÓN) Solución analítica Modelo matemático Simulación
7 Temario El concepto de planta como un sistema físico. Modelado del Sistema Real Sistemas Eléctricos. Sistemas Mecánicos. Sistemas Térmicos.
8 Modelos Es una abstracción de la realidad. Es una representación de la realidad que ayuda a entender cómo funciona. Es una construcción intelectual y descriptiva de una entidad en la cual un observador tiene interés. Se construyen para ser transmitidos. Supuestos simples son usados para capturar el comportamiento importante. Un modelo de un sistema es básicamente una herramienta que permite responder interrogantes sobre este último sin tener que recurrir a la experimentación sobre el mismo. Es una representación siempre simplificada de la realidad (si el sistema físico existe) o es un prototipo conceptual (ModeloFísico).
9 Modelos físicos Modelos a escala Modelos analógicos Modelos matemáticos. Modelos Icónicos y Abstractos icónico Exactitud abstracto Abstracción 1. Planta piloto 2. Modelo de un átomo, globo terráqueo, maqueta 3. Reloj, medidores de voltaje, gráfica de volumen/costo 4. Modelos de colas, modelos de robots 5. Velocidad, ecuaciones diferenciales. Modelo analógico. Son aquellos en los que una propiedad del objeto real está representa-da por una propiedad sustituida, por lo que en general se comporta de la misma manera.
10 Modelos matemáticos Son expresiones matemáticas que describen las relaciones existentes entre las magnitudes que caracterizan el sistema. Pueden ser sistemas de ecuaciones, inecuaciones, expresiones lógicomatemática, etc. Todas estas formas vinculan variables matemáticas representativas de las señales (señal: representación de una información a través de valores de una magnitud física) en el sistema, obtenidas a partir de las relaciones entre las correspondientes magnitudes físicas
11 Estocástico - Determinístico Estocástico Si el estado de la variable en el siguiente instante de tiempo no se puede determinar con los datos del estado actual Determinístico Si el estado de la variable en el siguiente instante de tiempo se puede determinar con los datos del estado actual x i y i x i y i Método analítico: usa probabilidades para determinar la curva de distribución de frecuencias Método numérico: algún método de resolución analítica
12 Continuo - Discreto Continuo El estado de las variables cambia continuamente como una función del tiempo e = f (t) Discreto (*) El estado del sistema cambia en tiempos discretos del tiempo e = f(nt) Método analítico: usa razonamiento de matemáticas deductivas para definir y resolver el sistema Método numérico: usa procedimientos computacionales para resolver el modelo matemático.
13 Estático - Dinámico Estático Si el estado de las variables no cambian mientras se realiza algún cálculo f [ nt ] = f [ n(t+1) ] Dinámico (*) Si el estado de las variables puede cambiar mientras se realiza algún cálculo f [ nt ] f [ n(t+1) ] Método analítico: algún método de resolución analítica. Método numérico: usa procedimientos computacionales para resolver el modelo matemático.
14 Proceso de modelado. La primera de ellas consiste en la delimitación del modelo en función de los fenómenos que resultan relevantes de acuerdo al problema que se quiere resolver. Esta es una etapa que no puede sistematizarse fácilmente y que requiere por ende de una cierta dosis de intuición y por sobre todo de una vasta experiencia en relación con el sistema a modelar. Una vez delimitados los fenómenos que se consideraron relevantes para la construcción del modelo, se pasa a la siguiente etapa en la que se deben formalizar las relaciones constitutivas y estructurales asociadas respectivamente a los fenómenos considerados y a la forma en que estos se disponen dentro del sistema. En los sistemas físicos, estas relaciones constitutivas y estructurales encuentran su expresión formal (matemática) en las leyes fundamentales de los dominios de la física asociados a los fenómenos mencionados. Por este motivo, el modelado analítico de un sistema físico no es posible sin un conocimiento de las leyes físicas elementales asociadas a los fenómenos en cuestión.
15 Temario El concepto de planta como un sistema físico. Modelado del Sistema Real Sistemas Eléctricos. Sistemas Mecánicos. Sistemas Térmicos.
16 Sistemas Eléctricos Los circuitos eléctricos se basan en elementos pasivos y fuentes de voltaje y corriente. Los elementos pasivos se tabulan abajo Elemento Voltaje y corriente Voltaje y carga Impedancia Admitancia
17 Ecuaciones de equilibrio. Se basan en: Ley de Voltajes de Kirchhoff (LVK). Ley de Corrientes de Kirchhoff (LCK). Definiciones: Estructura: topología de un circuito Rama : Línea representativa del elemento. Nodo: Punto al que acuden 2 o más ramas. Malla: Trayectoria cerrada formada por varias ramas Gráfica: Todas las ramas y nodos que representan al circuito.
18 Ley de Voltajes de Kirchhoff. Esta Ley establece que para cualquier circuito eléctrico con m número de ramas y l número de mallas, la suma algebraica de voltajes en cualquiera de sus mallas es igual a cero. Ley de Corrientes de Kirchhoff. Para cualquier circuito eléctrico con n número de nodos y m número de ramas, la suma algebraica de corrientes de cualquiera de sus nodos es igual a cero ELEMENTO 1 ELEMENTO 7 ELEMENTO ELEMENTO 6 ELEMENTO ELEMENTO ELEMENTO 4 + -
19 Temario El concepto de planta como un sistema físico. Modelado del Sistema Real Sistemas Eléctricos. Sistemas Mecánicos. Sistemas Térmicos.
20 Modelado de sistemas mecánicos traslacionales. Los sistemas mecánicos tienen tres elementos pasivos básicos. El resorte almacena energía potencial, la masa almacena energía cinética y el amortiguador viscoso disipa energía en forma de calor. Los elementos lineales se identifican con los siguientes parámetros: el resorte con el parámetro K, relativo a su módulo de elasticidad; la masa con el parámetro M y el amortiguador con el coeficiente de fricción viscosa f v
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22 El modelo de sistemas mecánicos lineales se desarrolla empleando las ecuaciones de los elementos involucrados y su ecuación diferencial de conjunto se conoce como ecuación de movimiento. El modelado requiere proponer una dirección positiva del movimiento. También se requiere el diagrama de cuerpo libre en donde se indican todas las fuerzas que actúan sobre él.
23 Se emplea la segunda Ley de Newton del movimiento para formar la ecuación diferencial de movimiento y el Principio de D Alembert. Al sumar las fuerzas del diagrama de cuerpo libre, teniendo cuidado con los signos asignados, e igualando la suma a cero. M d2 x(t) dt 2 + f v dx(t) dt + Kx t = f(t)
24 Modelado de sistemas mecánicos traslacionales complejos. En los sistemas mecánicos, el número de ecuaciones de movimiento es igual al número de movimientos linealmente independientes que también se designan grados de libertad. La independencia lineal de movimiento implica que un punto de movimiento del sistema todavía pueda moverse, aún cuando el resto de los puntos de movimiento se mantengan fijos. Para trabajar este problema se traza el diagrama de cuerpo libre de cada punto de movimiento y luego se aplica la superposición.
25 En el diagrama de cuerpo libre del primer punto de movimiento, primero se trazan las fuerzas debidas al movimiento del punto en cuestión, manteniendo inmóviles los otros puntos de movimiento. Después se trazan las fuerzas provocadas por el movimiento de los otros puntos de movimiento, tomados por separado. a) Fuerzas sobre M 1 debidas a su propio movimiento b) Fuerzas sobre M 1 debidas al movimiento de M 2 c)superposición de fuerzas en M 1
26 Se procede de manera similar con los restantes puntos de movimiento. a) Fuerzas sobre M 2 debidas a su propio movimiento b) Fuerzas sobre M 2 debidas al movimiento de M 1 c)superposición de fuerzas en M 2
27 Modelado de sistemas mecánicos rotacionales El par sustituye a la fuerza y el desplazamiento angular al traslacional Los sistemas mecánicos rotacionales tienen tres elementos pasivos básicos: el resorte con su parámetro K; el momento de inercia con el J y el coeficiente de fricción viscosa D
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29 El número de ecuaciones de movimiento es igual al número de movimientos linealmente independientes que también se designan grados de libertad. La independencia lineal de movimiento implica que un punto de movimiento al giro del sistema todavía pueda moverse, aún cuando el resto de los puntos de movimiento se mantengan fijos. Para trabajar este problema se traza el diagrama de cuerpo libre de cada punto de movimiento y luego se aplica la superposición.
30 En el diagrama de cuerpo libre del primer punto de movimiento, primero se trazan los pares debidos al giro del punto en cuestión, manteniendo inmóviles los otros puntos de movimiento. Después se trazan los pares provocadas por el giro de los otros puntos de movimiento, tomados por separado. a) Pares sobre J 1 debidas a su propio giro b) Pares sobre J 1 debidas al giro de J 2 c)superposición de pares en J 1
31 Se procede de manera similar con los restantes puntos de movimiento. a) Pares sobre J 2 debidas a su propio movimiento b) Pares sobre J 2 debidas al movimiento de J 1 c)superposición de Pares en J 2
32 Modelado de un Motor DC El motor dc convierte energía eléctrica en forma de corriente continua en energía mecánica rotacional. Una gran parte del par generado en el rotor del motor esta disponible para mover una carga externa. El voltaje de entrada se puede aplicar a los terminales de campo de armadura.
33 El flujo en el espacio de aire del motor es proporcional a la corriente de excitación siempre que el campo no este saturado. φ = K f i f Se supone que el par desarrollado por el motor esta relacionado linealmente con f y con la corriente de armadura: T m = K 1 φ i a (t) = K 1 K f i f (t) i a (t) Es evidente que para tener una ecuación lineal debe mantenerse una corriente constante. Por lo que se desarrollará el modelo del motor controlado por corriente de campo. Por lo tanto en el dominio de Laplace: T m s = K 1 K f I a I f s = K m I f (s) Donde Ia es una corriente de armadura constante y Km se define como la constante del motor. La corriente de excitación esta relacionada con el voltaje de excitación: V f s = R f + L f s I f s
34 El par motor Tm es igual al par proporcionado a la carga. Esta relación puede expresarse como: T m s = T L s + T d s Donde TL es el par de carga y Td es el par de perturbación, que no suele tenerse en cuenta. Sin embargo, el par de perturbación, debe considerarse en sistemas sujetos a fuerzas externas, como las ráfagas de viento en las antenas. El par de carga para una inercia de rotación se escribe como: T L s = J s 2 θ s + b s θ s Despreciando Td, reordenando y reemplazando en las ecuaciones anteriores se obtiene la función de transferencia del sistema: θ(s) V f s = K m /JL f s s + b/j s + R f /L f
35 Temario El concepto de planta como un sistema físico. Modelado del Sistema Real Sistemas Eléctricos. Sistemas Mecánicos. Sistemas Térmicos.
36 Sistemas Térmicos Los modelos dinámicos de Sistemas Térmicos involucran el flujo de calor y el almacenamiento de energía calorífica. Los elementos lineales se identifican con los siguientes parámetros: la resistencia térmica con el parámetro R y la capacidad térmica con el parámetro C.
37 Ecuaciones de Equilibrio Estas ecuaciones se derivan a partir de un caso particular de las Primera Ley de la Termodinámica: du = dq dw Donde: U: energía interna. Q: cantidad de calor transferida al sistema. W: Trabajo realizado por el sistemas. La expresión anterior puede ser escrita como: ρv du = Q net dt dw Donde: : densidad V: Volumen du : Energía interna por unidad de masa Qnet: tasa neta de flujo de calor dentro del sistema.
38 En sistemas puramente de transmisión de calor, no se realiza trabajo, por lo que la primera ley puede ser escrita como: O bien: ρv du = Q net dt ρv du dt = Q net Por otro lado, los cambios de temperatura son proporcionales a los cambios de energía interna por unidad de masa, es decir: dt = 1 c du Donde c : es el calor específico, por lo tanto: ρvc dt dt = Q net
39 El término Vc, se define como la capacitancia térmica CT, y por lo tanto: C T dt dt = Q net Finalmente si Qnet se define como la diferencia entre el flujo de calor suministrado al sistema y el cedido por este, la ecuación de equilibrio para sistemas térmicos se puede escribir como: C T dt dt = Q e Q sal
40 Analogías Mecánicas-Eléctricas Existen dos tipos de analogías posibles entre sistemas mecánicos y sistemas eléctricos: Analogía Fuerza-Voltaje. Analogía Fuerza-Corriente.
41 Analogía Fuerza-Voltaje Considerando los siguientes sistemas, se puede determinar el siguiente conjunto de ecuaciones diferenciales: M d2 x(t) dt 2 + f v dx(t) dt + Kx(t) = f(t) L di(t) dt i t + Ri t + 1 C = dq(t) dt i t dt = v(t)
42 Analogía Fuerza-Voltaje Si se expresa la ecuación del sistema eléctrico en función de la carga, se obtiene: L d2 q(t) dt 2 + R dq(t) dt + q(t) C = v(t) Si se compara esta ecuación con la del sistema mecánico se puede observar que son sistema análogos, esto es, tienen una ecuación diferencial idéntica y se puede establecer la relación resumida en la siguiente tabla. M d2 x(t) dt 2 + f v dx(t) dt + Kx(t) = f(t) L d2 q(t) dt 2 + R dq(t) dt + q(t) C = v(t)
43 Analogía Fuerza-Corriente De manera similar podemos considerar ambos sistemas para establecer la relación existente entre las ecuaciones de fuerza de un sistema mecánico y un sistema eléctrico descripto por la ley de corrientes de Kirchhoff M d2 x(t) dt 2 + f v dx(t) dt + Kx(t) = f(t) 1 L v t v t dt + v(t) R = dψ(t) dt dv(t) + C dt = i(t)
44 Analogía Fuerza-Voltaje Fuerza (Par) Sistema Mecánico Masa (Momento de Inercia) Fricción Viscosa F T M J fv D Voltaje Sistema Eléctrico Inductancia Resistencia Constante del Resorte K Capacitancia C Desplazamiento (Desplazamiento Angular) Velocidad (Velocidad Angular) x q v w Carga Corriente V L R q i
45 Analogía Fuerza-Corriente Si se expresa la ecuación magnético, se obtiene: del sistema eléctrico en función del flujo 1 L ψ(t) + 1 dψ(t) + C d2 ψ(t) R dt dt 2 = i(t) Dado que el sistema mecánico ha sido considerado el mismo que para la analogía fuerza-voltaje podemos comparar ambas ecuaciones para obtener las relaciones dadas en la tabla que son denominadas analogías fuerzacorriente. M d2 x(t) dt 2 + f v dx(t) dt + Kx(t) = f(t) 1 L ψ(t) + 1 dψ(t) R dt + C d2 ψ(t) dt 2 = i(t)
46 Analogía Fuerza-Corriente Fuerza (Par) Sistema Mecánico Masa (Momento de Inercia) F T M J Sistema Eléctrico Corriente i Capacitancia C Fricción Viscosa fv D Resistencia Constante del Resorte K Inductancia L Desplazamiento (Desplazamiento Angular) Velocidad (Velocidad Angular) x q v w Flujo Magnético Voltaje R y V
47 Temario Concepto de Analogías. Analogías Mecánicas-Eléctricas. Analogías Térmicas-Eléctricas.
48 Analogías Térmicas-Eléctricas En un circuito térmico se trabaja fundamentalmente con el flujo de energía (calor) y con las diferencias de temperatura. Tradicionalmente, se considera que estas variables son análogas al flujo de carga y la diferencia de potencial de los circuitos eléctricos. Teniendo en cuenta esta analogía se obtiene el equivalente eléctrico de cada fenómeno de conducción de calor.
49 Analogía Fuerza-Corriente Sistema Térmico Sistema Eléctrico Flujo de Calor q Corriente i Diferencia de Temperatura Dq Diferencia de Potencial DV Resistencia Térmica RT Resistencia R Inercia Térmica CT Capacidad C
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