HYPATIA REVISTA MATEMÁTICA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS I.E.S. BARRIO DE BILBAO OCTUBRE 2005 GANADORES DEL CONCURSO DE PROBLEMAS CURSO 2004/05

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1 GANADORES DEL CONCURSO DE PROBLEMAS CURSO 2004/05 Queremos dar la enhorabuena a los ganadores del concurso del año pasado que se llevaron magníficos regalos: Nivel I: 1º Premio: Jonás Fuentes 2º Premio: Lucía Lara 3º Premio: Irene Andrés y Jaime López HYPATIA REVISTA MATEMÁTICA Nivel II: Nivel III: 1º Premio: Cecilia Turatti 2º Premio: Laura Lope 3º Premio: Bei Bei Chen y Silvia Lope 1º Premio: Arturo Cerón 2º Premio: Raquel de Lera Esperamos que otros muchos os animéis a participar este año Una pulga cae tras un gran salto en una de estas baldosas, en cuál de ellas es más probable que caiga sobre negro? DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS I.E.S. BARRIO DE BILBAO OCTUBRE 2005

2 Bienvenidos a este nuevo curso escolar. Como el año pasado, el Departamento de Matemáticas quiere invitaros a conocer algunos hechos matemáticos o relacionados con ella que no están en los libros de texto. Además os proponemos problemas y acertijos para que os comáis el coco un rato. Esta revista está dedicada a la probabilidad y los juegos de azar. Esperamos que os guste y que disfrutéis resolviendo los problemas. El Departamento de Matemáticas ha adquirido algunos libros de matemática recreativa y de lectura relacionados con esta asignatura y que están a vuestra disposición en la biblioteca de centro. Si hay algún libro en particular que os interesa y que no esté allí, por favor, hacédnoslo saber, intentaremos conseguirlo. Tenemos una dirección de correo electrónico para que preguntéis dudas, enviéis sugerencias y todo aquello que se os ocurra. Para que leamos y contestemos vuestros correos debéis identificaros en Asunto con vuestro nombre y curso. La dirección es: bb_mates@hotmail.com CONCURSO DE PROBLEMAS Te recordamos las bases del concurso: En cada revista te propondremos dos problemas. Tienes que resolverlos y depositarlo en el buzón del hall dentro del plazo establecido. Hay tres categorías, cada una con un premio: Nivel I: 1º Ciclo de ESO (1º y 2º) Nivel II: 2º Ciclo de ESO (3º y 4º) Nivel III: Bachillerato y Ciclos * Los problemas se puntuarán del siguiente modo: Hasta 1/3 del valor del problema por la respuesta correcta. Hasta 1/3 por el razonamiento, método y originalidad a la hora de resolverlo. El último tercio por el modo de exponer las ideas, observaciones, organización y presentación de la solución. Aquél que finalizado el concurso sume más puntos será el ganador. En caso de empate el departamento de matemáticas organizará actividades de desempate. * Para el Nivel III sólo se propondrán problemas en las dos primeras revistas. Si quieres más información pregunta a tu profesor de matemáticas. Biografía Pierre-Simon Laplace nació en 1749 en la Normandía francesa. Vivió la época convulsa de la revolución, trabajando tanto para la monarquía de Luis XVI, los diferentes gobiernos de la revolución, el gobierno imperial de Napoleón y, finalmente, para la monarquía borbónica restaurada. Llegó a septuagenario. No participó directamente en la Revolución, por carecer de convicciones políticas concretas. Durante este periodo trabajó en la Academia de Ciencias, con otros famosos matemáticos como Lagrange y Legrendre, y en el Comité Nacional de Pesos y Medidas, el organismo que uniformizó las unidades de medidas usadas en toda Francia, dando origen al embrión de lo que llegará a ser el Sistema Internacional de Medidas usado actualmente. En 1812, publica el libro Théorie analytique des probabilités. En él sienta las bases del cálculo de probabilidades, que ya había sido previamente estudiado por los matemáticos Fermat y Pascal. Él considera que en el fondo, la teoría de probabilidades es sólo sentido común expresado con números. Uno de sus logros fue proponer la forma de medir lo difícil que es encontrar una aguja en un pajar, pues encontró la solución al problema de Bufón-Laplace, Si consideramos una cuadricula formada por dos haces perpendiculares de rectas paralelas de equidistancias a y b, cuál es la probabilidad de que una aguja de longitud l, menor que a y b, lanzada al azar corte una de estas rectas?. No obstante, sus aportaciones científicas más notables se encuentran en su obra Mécanique Celeste donde desarrolló métodos para estudiar el movimiento de los planetas, y donde aparece una de las ecuaciones más famosas de la Física-Matemática, la ecuación de Laplace. En su obra de divulgación Exposition du système du monde planteó su famosa conjetura para explicar como se originó el sistema φ φ φ + + = 0 solar (Hipótesis Nebular de Laplace). x y z

3 PASATIEMPOS SUDOKU Rellena las casillas con números del 1 al 9 de forma que en cada fila, cada columna y cada cuadradito de 3 x 3 aparezcan todas las cifras (y, naturalmente, no se repita ninguna) LA FIGURA MÁGICA Completa los círculos las cifras del 1 al 9 sin repetir, de modo que los números de los vértices de cada triángulo sumen lo que en el centro del triángulo se indica EL ADIVINO DE LOS DADOS Un estafador de pacotilla dice leer el futuro con ayuda de estos dados. = Felicidad total = Amor verdadero = Riqueza infinita = Malo, malo Primero lanza los tres dados, si obtiene sentencia que no tienes ningún futuro y no sigue. Eso sí, tiene la deferencia de no cobrarte la visita. Qué probabilidad tienes de irte sin pagar? Una vez superada esta primera etapa con éxito te da a escoger dos dados y los vuelve a lanzar. Qué dos dados debes elegir para tener mayor probabilidad de alcanzar la Felicidad total? Cuál será, con tu elección de dados la probabilidad de? Y de obtener al menos un? TELÉFONOS Supón que todos los números de siete cifras, excepto los que empiezan por 0 o por 1, son números de teléfono. Qué fracción de los números de teléfono empieza por 9 y acaba en 0? LA ENVASADORA DE ACEITE En esta máquina de envasado de aceite el aceite entra de forma constante por los puntos A, B y C en la misma cantidad por cada uno de ellos y discurre a través de los conductos de la estructura hasta los puntos D, E, F, G. Se quieren llenar botellas iguales. Suponiendo que los caminos de botella no representan pérdida alguna de aceite ni de tiempo, cuántas botellas se llenarán en cada uno de los puntos D, E, F, G

4 POR QUÉ NO JUEGO A LA RULETA Las Matemáticas, que no pueden dejar de meterse en todo, también han estudiado los juegos de azar y han inventado algo que se llama juego justo. La idea es bastante sencilla, veámosla en distintos ejemplos: Lanzamos una moneda, si sale cara tú me das 1 y si sale cruz yo te doy a ti 1. Este es un juego justo pues ambos tenemos la misma probabilidad de ganar (1/2 ) Lanzamos un dado, si sale par tú me das 1, si sale impar te lo doy yo a ti. Igual que antes ambos tenemos igual probabilidad de ganar (3/6 = 1/2) Lanzamos un dado, si sale par tú me das 1, si sale 5 yo te doy 1. Crees que este juego es justo? Claramente no, yo tengo mayor probabilidad que tú de ganar. En realidad yo estoy apostando por tres números (2, 4, 6), luego la probabilidad de que gane yo es 3/6, mientras que tú sólo apuestas por uno, luego tu probabilidad de ganar es 1/6. El juego si sería justo de este modo: Lanzamos un dado, si sale par tú me das 1, si sale 5 yo te doy 3. Al hacer yo 3 apuestas debo poner en juego 3 euros de mi bolsillo y tú haciendo una apuesta sólo pones 1. El juego puede ser el mismo, sólo debemos cambiar la apuesta para hacerlo justo. Son justos los siguientes juegos? Sacamos una carta de la baraja española. Si sale bastos me das 6, si sale figura yo te doy 5. Lanzamos dos monedas. Si salen dos caras ganas 1, si salen una cara y una cruz yo gano 1. Lanzamos dos dados. Si la suma es 3 te gano 4 si es 9 tú ganas 2. Lanzamos dos dados, si suman 7 te gano un euro, si suman 8 me lo ganas tú a mí. En aquellos juegos que no creas justos, cómo tendrían que ser las apuestas para que sí lo fueran? Si uno juega muchas veces a un juego justo en promedio ni gana ni pierde dinero y puede pasar un buen rato con los amigos. Pero recuerda, nunca estamos totalmente libres de tener una mala racha y que nos desplumen. Y vamos con la ruleta. La ruleta normal es, en principio un juego justo. Consiste en apostar a números ganadores del 1 al 36. Hay diferentes tipos de apuesta, pero nosotros vamos a centrarnos en la apuesta a número ganador. Yo apuesto por un número, el 8 por ejemplo, (tengo 1 posibilidad entre 36 de ganar) y mi contrincante (la banca del casino) apuesta por los 35 números restantes (luego NIVEL II EL CONCURSO En un concurso donde debes contestar sí o no, llevas acertadas el 80% de las 450 primeras preguntas. Si, al continuar jugando, quieres elevar tu porcentaje de aciertos a un 90% con el menor número de preguntas, cuántas preguntas seguidas tienes que acertar? NIVEL III Dados para todos los gustos Pedro y Juan se van a jugar a los dados. Pedro juega con dos dados cúbicos y suma las dos puntuaciones mientras que Juan lanza solamente uno dodecaédrico. Gana aquél que obtiene una puntuación par. Es justo el juego?. Y si el juego consistiera en que gana el que saca en total un dos. sería justo?. Finalmente, sería justo el juego si Pedro tuviera que sacar suma tres y Juan el siete? El genio Pedro y Juan han encontrado unos cromos y están discutiendo quién se los lleva. Entonces un genio les proporciona una curiosa máquina de juego. Tiene nueve agujeros situados en los vértices, puntos medios de los lados y centro de un cuadrado de lado 2 cm. Al darle a un pulsador la máquina levanta dos marcianitos en dos agujeros escogidos aleatoriamente de entre los nueve. El genio les propone el siguiente envite: Vamos a pulsar 100 veces, y en cada ocasión vamos a ver si los marcianitos distan más o menos que la mitad de la diagonal del cuadrado. Si al final hay mas ocasiones en que distan más, Pedro se llevará los cromos, si por el contrario hay más ocasiones en que distan menos se los llevará Juan y si ambos casos han aparecido por igual cada uno os llevaréis la mitad de los cromos. Ambos aceptaron y jugaron. Cómo crees que se distribuyeron los cromos?.

5 PROBLEMAS DEL CONCURSO Debes entregar tus soluciones antes del jueves 15 de diciembre NIVEL I EL TELÉFONO DE ROMEO Julieta conoció el otro día a un chico y éste le dio su teléfono. Con los nervios no lo anotó, convencida de que no lo olvidaría. Pero ahora no recuerda cómo era exactamente. De las 9 cifras recuerda perfectamente las siete primeras. De las dos últimas recuerda que solamente una de ellas era un 2, pero no sabe cuál y que la última no era un cero. Cuántas combinaciones posibles hay? Si sólo tiene saldo para hacer tres llamadas, qué probabilidad tiene Julieta de hablar con su Romeo? Jugando a las cartas: Tu amigo y tú jugáis como pareja a un juego de cartas en la que se reparten todas las cartas de una baraja española entre los cuatro jugadores. Qué es más probable, que entre tú y tu amigo tengáis todos los oros o que entre él y tú no tengáis ninguno? Justifica claramente tu respuesta NIVEL II EL PROFESOR VAGO Una vez, hace muchos años, conocí a un profesor muy vago que para no corregir usaba el siguiente método de calificación: Primero tiraba una moneda, si salía cara el alumno estaba suspenso. Si salía cruz, sacaba una bola de una urna en la que había una bola con la palabra suficiente, tres bolas con la palabra bien, dos con la palabra notable y una con la palabra sobresaliente. Con este método aproximadamente qué fracción de las notas será notable? Yo fui su alumna y saqué la nota más probable. Qué nota saqué? (En realidad este profesor nunca existió, pero como yo sabía algo de matemáticas les conté esta absurda historia a mis padres y me creyeron. A veces saber matemáticas es útil...) tiene 35 posibilidades entre 36 de ganar). Así pues, para que el juego sea justo, si yo gano la banca me dará 35 (que junto con el que yo he apostado hacen 36 ) y si gana la banca se queda con 1 que yo he apostado. Hasta aquí todo es justo, aunque para mi gusto un poquito aburrido. Lo trampa del juego viene porque el casino se saca de la manga el cero. Es un número al que yo no puedo apostar y cuando sale, la banca se queda con todo. De modo que en realidad cuando vamos al casino jugamos a la ruleta con cero. Se sortea un número: Si ese número es cero (esto ocurre una de cada 37 veces, que no es poco) pierdes todo. Si tienes suerte y el número no es cero, entonces juegas a la ruleta normal, que sí es justo y por tanto en promedio ni ganarás ni perderás en esta segunda parte. Tu probabilidad de ganar es de 1/37 mientras que la del casino es de 36/37, sin embargo la apuesta es de 1 a 35 y no de 1 a 36 y esto no es en absoluto justo. Por eso los casinos son un buen negocio para sus dueños y uno muy malo para los incautos jugadores que tienen todas las de perder. En conclusión en los casinos es muy probable perder y la ruleta es un juego bastante aburrido, por eso yo no juego. Otros juegos de azar en los que casi siempre se pierde: Mucha gente juega a la Primitiva, la Lotería, la Quiniela, etc. Pero nunca se han parado a pensar qué probabilidad tienen de ganar ni mucho menos lo que ahorrarían si no jugaran. Si lo hicieran, verían que lo más probable es que nunca ganen nada y apuesta a apuesta, mes a mes, habrán gastado una fortuna. La Primitiva: Es un juego que consiste en elegir 6 números del 1 al 49. En total hay apuestas posibles!! Eso significa que, en promedio, ganarás una de cada catorce millones de veces. La Quiniela: En la Quiniela haces apuestas a qué equipos ganarán 15 partidos de fútbol. El número de apuestas posibles es y sólo una de ellas es la ganadora. Aún suponiendo que una semana en 6 de esos partidos está claro qué equipo ganará (y yo no sé mucho de fútbol, pero eso es mucho suponer) todavía hay que jugarse en los otros 9 y el número de posibilidades es Con casi veinte mil apuestas distintas, hasta los expertos en fútbol lo tendrían esa semana muy difícil. Si quieres saber cómo se hacen los cálculos del número de apuestas posibles que hay en cada caso, piénsalo un rato empezando con números pequeños. Si no te sale, pregunta a tu profe de matemáticas.

6 Si suelto un objeto desde el alfeizar de una ventana, estoy seguro que caerá hasta el suelo. Pero cuando lanzo un dado sobre la mesa, no puedo saber seguro cuantos puntos voy a obtener. En el primer caso el comportamiento es determinista, en el segundo el comportamiento es aleatorio (del latín alea, dado). Se puede ver alguna regularidad en los resultados de una experiencia aleatoria? La respuesta es sí. Si realizamos la experiencia muchas veces (por ejemplo, lanzo la moneda 1000 veces), y anotamos el número de ocasiones que sale cada resultado (anoto cuantas veces obtengo cara, y cuantas cruz ), se observa que el cociente del número de ocasiones que he obtenido un resultado (por ejemplo cara) entre el número total de veces que he realizado el experimento llega un momento que no cambia, obteniendo siempre el mismo número que está entre cero y uno. A ese número lo llamamos probabilidad de ese resultado del experimento. De esta forma a cada resultado (cara o cruz) le asignamos un número probabilidad, y al comparar estos números somos capaces de saber que es lo que ocurriría si realizáramos el experimento muchas veces. Tiene esto alguna utilidad? La respuesta también es sí. Mira estos casos. S o b r e e l u s o d e l a T e o r í a M a t e m á t i c a d e l a P r o b a b i l i d a d Cuántas mostradores debes poner en una oficina de atención al cliente para que los ciudadanos tengan la impresión de ser bien atendidos? Si vienen muchos ciudadanos y hay pocos puestos, habrá largas colas, y el servicio será malo. Si vienen pocos usuarios con muchos puestos, pagaré muchos sueldos, y aunque el ciudadano se irá contento, al ver lo que paga con sus impuestos cambiará de opinión. Cuántos puestos poner para que el servicio sea bueno y válido en coste?. Hay muchos usuarios potenciales, si analizo cuantas personas acuden cada día, en cada franja horaria, y en cada época del año durante bastante tiempo, esos datos me dirán lo probable de tener en cada momento una cantidad de usuarios. Así, sabiendo cuanto se tarda en atender a un cliente y cuanto está este dispuesto a esperar, puedo fijar el número de puestos para que en media, a largo plazo, todo el mundo esté contento. Qué expresamos al decir que la probabilidad de obtener cara al lanzar una moneda es ½? La respuesta es simple. Con una moneda equilibrada, al lanzarla muchas veces, lo natural es que se obtenga la misma cantidad de caras y de cruces. Esto es tanto más cierto cuantas más veces tiremos la moneda. Pero puede ocurrir que lances dos veces la moneda y no obtengas ninguna cara, o incluso lances diez veces la moneda y obtengas siempre la cruz. No hay contradicción con el significado de la probabilidad. Sólo si se lanza muchas veces, la probabilidad tiene sentido. Igual pasa en todos los juegos de azar. Si alguna vez juegas y ganas retírate al instante. Vas a construir un edificio alto en una zona de vientos intensos. El viento va a empujar con fuerza y el edificio debe soportarlo. Cómo fijar el nivel de viento a considerar para el diseño?. Si diseño para un huracán nivel 5 (el Katrina) seguro que aguantaré todo, pero la construcción será muy cara. Si considero vientos flojos la construcción será muy barata, pero se caerá cuando haya un viento fuerte. Qué hacer?. El Instituto Nacional de Meteorología tiene registro diario del viento en las distintas áreas del país desde hace muchos años. Así puedo saber lo frecuente que es donde voy a construir cada nivel de viento (vientos superiores a los 120 m/s se dan una vez en 200 años, vientos de 20 m/s se dan cada dos semanas, vientos de 5 m/s se dan todos los días). Puedo escoger el nivel de viento máximo a soportar de forma que sea superior al observado en la zona con una cierta probabilidad (99,9% por ejemplo), así la resistencia es razonable y el coste asumible. Por ejemplo, escojo viento de 50 m/s que se da una vez en un siglo. Pero ojo la interpretación es probabilística. Si el día de inauguración el viento es de 51 m/s el edificio se caerá. Todos los usos de la teoría de la probabilidad son como estos?. La respuesta es no. Por ejemplo, la ciencia ha aprendido que la temperatura que medimos en un gas da información directa de cuál es la probabilidad de que las moléculas del mismo, que son muchas y se mueven al azar, tengan unas ciertas velocidades. Por si fuera poco, al interactuar con un átomo sólo se puede calcular la probabilidad de observar un cierto resultado. Por ejemplo, con las gafas para mirar al sol durante un eclipse, no se garantiza que ningún fotón de la luz solar las traspase, sólo conocemos la probabilidad de que un fotón las atraviese, y los que lo harán en media durante un cierto tiempo, por eso se limita el tiempo de exposición.