MATEMÁTICA I, INGENIERÍA Y ARQUITECTURA

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1 MATEMÁTICA I, INGENIERÍA Y ARQUITECTURA CICLO 0 01 Sección 0. Prof. Ing. Marta Lidia Merlos Aragón HOJA DE EJERCICIOS ADICIONALES APLICACIONES DE LA DERIVADA PARTE I: SOBRE RECTA TANGENTE Y RECTA NORMAL 1. Encuentre el área de los triángulos delimitados entre los ejes coordenados y las 1 rectas tangentes a la curva fx ( ). Nota: Utilice un punto general con x coordenadas P(x 0,y 0 ), ver figura adjunta. R/. Localizar los puntos en los que la gráfica de la ecuación 5x 16y 00 x 160 y tiene recta tangente horizontal y normal horizontal. R/ Recta tangente horizontal en (-4,0) y (4,0). Recta normal horizontal en (0,5) y (-8,5). Encontrar las ecuaciones de las rectas tangentes y normales a la elipse definida x y por 1 que pasan por el punto P(4,0). 4 9 R/ y - - x - 1 y x Encontrar un polinomio de tercer grado P( x) Ax Bx Cx D tangente a la recta y 14x 1 en el punto P 1 (1,1) y normal a la recta P (-1,-). R/ P( x) x 4x y x en el punto

2 5. Para construir una autopista es necesario rellenar una parte del valle donde los declives (pendientes) son 9% y 6% (ver figura adjunta). La parte superior de la región rellenada tendrá la forma de un arco parabólico que es tangente a las dos pendientes en los puntos A y B, ubicados a una distancia horizontal de 1000 m. Suponga que se trabajará con un sistema de ejes coordenados en el cual el origen se encuentra ubicado en el punto de intersección entre las dos pendientes. Determine: a) Una función cuadrática y ax bx c con 500 x 500 que describa la 75 parte superior de la región rellenada. R/ y x x b) Cuál será el punto más bajo de la autopista terminada? Estará directamente sobre el punto donde se juntan las dos pendientes? R/ Punto mínimo (100,18) PARTE II: SOBRE VELOCIDAD Y ACELERACIÓN 1. En la figura adjunta se muestra la gráfica de una función posición, que representa la distancia recorrida por una partícula, en metros, que se mueve durante 10 s. A partir de ella, elaborar un boceto de la función de velocidad correspondiente. Además cómo esperaría que fuera la gráfica de la función aceleración? Explique su respuesta.

3 . La ecuación de posición de una partícula en movimiento rectilíneo horizontal es S( t) t t t 6t. Determinar: 4 a) Los intervalos de tiempo en los cuales la partícula se desplaza hacia la derecha y aquellos en los cuales se desplaza hacia la izquierda. R/ Hacia la derecha 0,1,. Hacia la izquierda 1,. b) Si la rapidez de la partícula está aumentando o disminuyendo en t=0.5 y t=.5. R/ En t=0.5 s la partícula está frenando y en t=.5 s la partícula está acelerando. c) El tiempo y la posición del objeto cuando alcanza su velocidad mínima. R/ t=.1 s y S=-1.8 m. PARTE III: SOBRE RAZÓN DE CAMBIO 1. La temperatura T de los alimentos colocados en un congelador, en F, es: T t t Donde t es el tiempo en horas. A partir de está ecuación calcular: a) El cambio promedio en la temperatura entre 1 y horas de refrigeración. R/ -7 F/h. b) La razón de cambio instantánea para t=1 h y t= h. R/ Para t=1 h, razón de cambio instantánea -8.8 F/h. Para t= h, razón de cambio instantánea F/h.

4 . El costo C de pedido y transporte de elementos utilizados para la fabricación de un producto es: 100 x C 100 x 1 x x 0 Donde C se mide en miles de dólares y x es el tamaño del pedido en cientos. Encontrar el ritmo de cambio de C respecto a x cuando: a) x=10, b) x=15 y c) x=0. Qué implican estos ritmos de cambio cuando el tamaño del pedido aumenta? R/ a) b) c) -1.1 PARTE IV: SOBRE RAZONES AFINES 1. Una persona de 6 pie de estatura camina hacia un edificio a una velocidad de 4 pie/s. Si hay una lámpara en el piso a 40 pie del edificio qué tan rápido disminuye la sombra del hombre proyectada en el edificio cuando él está a 0 pie de éste? R/ -9.6 pie/s. Una partícula se mueve sobre la gráfica y su posición aumenta con un ritmo de 1 cm/s. Determine: x, cuando x=8, la componente y de a. A qué velocidad se modifica la componente x en ese momento? R/ 1 cm/s b. A qué velocidad se modifica su distancia desde el origen en ese momento? Nota: Observe que en éste caso la posición de un objeto no es igual a la distancia con respecto al origen. R/ cm/s. Se deja caer desde el reposo una pelota desde una altura de 15 m. La persona que tiene la pelota está ubicada a 6 m a la derecha de un farol de 15 m de altura. A medida que la pelota cae su sombra se mueve a lo largo del suelo. A qué ritmo se está moviendo la sobra a 1 s después de soltar la pelota? Nota: Recordar que 4

5 1 la posición de un objeto en caída libre se modela como s() t s0 v0t gt, donde s 0 es la posición inicial, v o la velocidad inicial y g la gravedad, que para éste ejercicio puede considerar igual a 9.8 m/s. R/ m/s 4. Un barco zarpó a mediodía del puerto de La Unión con rumbo al oeste a 0 nudos. A las 6 p.m. un segundo barco zarpó del mismo puerto y navega hacia el noroeste a 45º a 15 nudos Qué tan rápido se alejan los barcos cuando el segundo ha recorrido 90 millas náuticas? Nota: El nudo es una medida de velocidad utilizada tanto para la navegación aérea como la marítima y equivale a una milla náutica por hora. R/ 1.4 nudos 5. Un embudo en forma cónica tiene un diámetro de 10 in en su parte superior y 8 in de profundidad. El agua entra al embudo a una razón de 1 in /s y sale de él a una razón de 4 in /s Qué tan rápido se eleva la superficie del agua cuando está tiene 51 una profundidad de 5 in? R/ 65 in s 6. Se deja caer desde el reposo un costal de arena desde un globo aerostático que se encuentra a 60 m de altura, en dicho momento el ángulo de elevación del sol con respecto a la horizontal es de 0. Encontrar el ritmo al que se mueve la sombra del costal sobre el piso cuando éste está a una altura de 5 m. Notas: Utilice la misma recomendación que en ejercicio. Advierta que independientemente de la posición del paquete el ángulo de elevación del sol con respecto a la horizontal permanece constante. R/ -8.4 m/s PARTE IV: SOBRE MÁXIMOS Y MÍNIMOS 1. Los cantones El Naranjo, El Diamante, Tihuicha y Zapua del municipio de Jujulta, Ahuachapán se encuentran ubicados en las cuatro esquinas de un cuadrado de 1 km. El consejo municipal de dicha ciudad está planeando la construcción de una serie de caminos vecinales que comuniquen a los cuatro cantones, cuyo diseño final se presenta en la figura adjunta. Demuestre que la menor longitud de los caminos que unen estos cantones, según el arreglo establecido, viene dado por aquellos caminos que se interceptan en un ángulo de 10. NOTA: Para esto utilice la variable x que se indica en la figura. R/ La longitud de los caminos es mínima cuando x

6 . Trazar la gráfica de la función fx ( ) x x 4. La rigidez de una viga rectangular es proporcional al producto de su anchura (w) por el cubo de su profundidad (h). Así, su rigidez (S) de una viga de este tipo se puede modelar como S kwh, donde k es la constante de proporcionalidad. Determine la relación profundidad/anchura ( h w ) de la viga más rígida que puede cortarse de un tronco de diámetro dado (D)? (Ver figura). Si el diámetro del tronco es igual a 4 in Cuáles son las dimensiones de dicha viga? R/ a) h w b) w=1 in y h=1 in. 4. Trazar la gráfica de la función f( x) 6x x 6

7 5. Calcular la distancia mínima del punto P(6,) a la parábola de ecuación y x. R/ 17 Para pensar: 1. Encuentre el punto de la elipse 7x 7xy 5y 500 más cercano al origen. Sugerencia: Encuentre la distancia del origen a la elipse en términos de x y y, luego derive implícitamente con respecto a x y encuentre y en términos de la relación x/y. Luego puede encontrar el puntos (x,y) sustituyendo en la ecuación original R/ (4,-) y (-4,) 7

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