Transformada de Laplace

Transcripción

1 ransformaa e Laplace Problema Estuar la Aplcabla e la ransformaa e Laplace en Sstemas e Ingenería. Defncones ransformaa e Laplace problema transformacón recta problema Sea la señal f(t), entonces la ransformaa e Laplace e f(t), enotaa por f(s) es, fícl solucón transformacón nversa fácl solucón f( s) f( t) e st t la transformaa nversa resulta ser, Domno orgnal Domno e la transformacón f( t) c j f( s) e st s j c j Caso f a ( t) : Φ( t) Escalón f a ( s) : f a ( t) e st t f a ( s) : s Caso f b ( t, a) : e at Φ ( t ) Exponencal ecrecente f b ( s, a) : e st t f b t, a f b ( s, a) : s a Caso f c ( t, ) : ( Φ( t) Φ( t ) ) Impulso aproxmao Impulso f c ( s, ) : f c ( t, ) e st t f c ( s, ) : e s s lm f c ( s, ) Capítulo III - ransformacones e Sstemas Lneales Dnámcos

2 Caso ransformaa Blateral e Laplace Sea la señal f(t), entonces la ransformaa Blateral e Laplace e f(t), enotaa por f (s) es, f ( s) : N: 45 f( t) e st t m:.. N M : f m, n rz z m n f( t) : Φ( t ) Φ( t ) n:.. N f ( s) rz :. m ( ) R : Re f m, n rz z m n : f( t) e st t exp( 4s) exp( s) s m N z : m m 4 N ( ) I : Im f m, n rz z m n exp( 4s) exp( s) s M M Caso t f( t) : e f ( s) f ( s) f ( s) f( t) e st : t f( t) e st t : : s s s Caso f( t) : Φ( t) e t Φ( t) f ( s) f ( s) f ( s) f( t) e st : t f( t) e st t : : s s s( s ) Caso 4 f( t) : ( t ) Φ( t ) tφ( t)... ( t ) Φ( t ) f ( s) f ( s) : f( t) e st t : exp( s) exp( s) Capítulo III - ransformacones e Sstemas Lneales Dnámcos s

3 Propeaes Lneala f a ( t) f a ( s) f b ( t) f b ( s) α a f a ( t) α b f b ( t) α a f a ( s) α b f b ( s) Escalamento en tempo f( t) f( s) f( at) a f s a Despl. en tempo Despl. en frecuenca f( t) f( s) f( t a) e as f ( s ) f( t) f( s) e at f( t) f( s a) Dervacón f( t) f( s) t f( t) sf( s) f( t ) Integracón f( t) f( s) t f( t) t f( s) s Valor Incal f( t) f( s) lm t f( t) lm s sf( s) Valor Fnal Señales Perocas Convolucón f( t) f( s) lm f( t) lm t s f o ( t) f o ( s) f( t) f o ( t ) f( s) e s f o ( s) f( t) f( s) g( t) g( s) f( t τ) g ( τ ) τ sf( s) f( s) g( s) Convolucón Compleja f( t) f( s) g( t) g( s) f( t) g( t) c j j c j g ( ω ) f s ω ω Capítulo III - ransformacones e Sstemas Lneales Dnámcos

4 Aplcacones Manpulacón e Dagrama e Bloques h( s) f e ( s) f s ( s) v( s) u( s) f s ( s) h( s) v( s) k c e( s) e( s) s f s ( s) v( s) k c s e( s) f s ( s) h( s) h( s) v( s) k c s v( s) k c s s ( h ( s) h ( s ) ) f s ( s) ( h ( s) h ( s ) ) f s ( s) h - e k c s Controlaor u v(s) Válvula f e f s - Estánque h h( s) v( s) k c s s h( s) k c s v( s) h s ( s) f s ( s) Dagrama e Bloques Orgnal h( s) v( s) k c s s v( s) h ( s) k c s s f s ( s) v( s) v( s) k c s s h ( s) k c s s v( s) f s ( s) k c s s h( s) v( s) v( s) k c s s k c s s h ( s) v( s) k c s s f s ( s) f s h( s) g( s) v( s) c( s) g( s) v( s) c( s) h ( s) h( s) h ( s) h ( s) h ( s) f s ( s) g( s) g( s) v( s) c( s) f s ( s) Dagrama e Bloques Resultante h h (s) h (s) h Capítulo III - ransformacones 4 e Sstemas Lneales Dnámcos

5 Problema Estuar el uso e la.l. en la respuesta a mpulso. Parámetros L: 5 C: 6 R: :. o :.5 e o : 6 e: :. Moelo Promeo. Punto e operacón v ( ) C v e L v( ) t R t e o v o v o : v o o : o R ( o) o u o : o p o : e o e(t) - L (t) Sw(t) v(t) - C R Moelo Lneal. o o v C v e L t R t v v o o v Moelo Lneal Normalzao. v v o v n o n o n e e o e n Defncón e Varables Normalzaas t v n o v RC n RC n RC ( o) n Moelo Normalzao y Orenao t n R L o v n R ( L o) o n R L o e n o RC RC RC A n : b ( o) R n : e L ( o ) R n : R ( L o) o L ( o ) c n : ( ) Capítulo III - ransformacones 5 e Sstemas Lneales Dnámcos

6 Respuesta Gráfca a Impulso en la Entraa u n (t) (t). Smulacón. el ( t, ) D t, x D t, x : ( Φ( t) Φ( t ) ) x x x u n ( t, ) : el ( t, ) x : A n b n u n ( t,. ) e n p n ( t) x : A n b n u n ( t,.5 ) e n p n ( t) x D ( t, x) : A n b n u n ( t,.5 ) e n p n ( t) p n ( t) : CI: t f :. Z no : rkfxe CI,, t f,, D Z no : rkfxe CI,, t f,, D Z no : rkfxe CI,, t f,, D : n:.. t f t:,.. t f Entraa mpulso aproxmaa Respuesta (tensón) a mpulso aproxmao e(t) - L (t) Sw(t) v(t) - C R Capítulo III - ransformacones 6 e Sstemas Lneales Dnámcos

7 Respuesta Matemátca a Impulso en la Entraa u n (t) (t). t v n t n o v RC n RC n RC ( o) n R ( L o) R v n ( L R o) o n L o e n ra a Moelo Normalzao y Orenao Dervano la ra ec.: Reemplazano la a ec. en la anteror: t t v n t t v n s v n RC t v n RC t v n RC s v n o RC t n RC o LC RC R L o o t n R v n L R ( o) o n L o o v n s RC ( o) LC o o e n o RC( o ) t n Con n δ(t) y e n o s RC o h n ( s) v n ( s) LC s s RC LC ζω n s ω n h n ( s) k p s ζω n s ω n omano Laplace Inversa. h n ( t) : k p exp ζ ω n t o o o ( ζ ) ωn ζ sn ω n ζ t ζ Defneno ω n : LC ζ: RC ζω n ζ ζ o LC k p : o o o cos ω n ζ t Φ( t) 5 Respuesta (tensón) a Entraa Impulso e(t) - L (t) Sw(t) v(t) - C R Capítulo III - ransformacones 7 e Sstemas Lneales Dnámcos

8 ransformaa e Fourer (Señales No-Perocas) Problema Estuar señales en el campo e la frecuenca. Defncones ransformaa e Fourer Sea la señal f(t), entonces la ransformaa e Fourer e f(t), enotaa por f(ω) es, f( ω) f( t) e jωt t Nótese que correspone a la ransformaa Blateral e Laplace, reemplaznao s por jω. Caso : f t ( t) : Φ( t ) Φ( t ) f t ( s) f tω ( ω) f t ( t) e st e s e s t s f t ( t) e jωt t e jω e jω jω ransformaa Blateral e Laplace, por lo tanto la ransformaa e Fourer es: j sn( ω ) cos ω... ( cos( ω) jsn( ω) ) jω jsn ω jω sn ω f tω ω : ω Señal a grafcar t : 6 t f : 6 n t : ω : ω f : n ω : t f t t: t, t.. t t ω f ω ω: ω, ω.. ω ω.5 Señal en el empo 6 Señal en Frecuenca Capítulo III - ransformacones 8 e Sstemas Lneales Dnámcos

9 Caso f t ( t) : e t Señal a grafcar f t ( s) t : 6 s t f : 6 n t : ransformaa Blateral e Laplace, por lo tanto la ransformaa e Fourer es: t f t t: t, t.. t t ω :.5 ω f :.5 f tω ω : ω n ω : Señal a grafcar ω f ω ω: ω, ω.. ω ω.5 Señal en el empo Señal en Frecuenca Caso f t ( t) : t f tω ( ω) f t ( t) e jωt t f tω ( ω) : f t ( t) e jωt t Señal a grafcar t :.5 t f :.5 n t : t f t t: t, t.. t t ω : 6 ω f : 6 n ω : ω f ω ω: ω, ω.. ω ω Señal en el empo 8 6 Señal en Frecuenca Capítulo III - ransformacones 9 e Sstemas Lneales Dnámcos

10 ransformaa e Fourer (Señales No-Perocas) Problema Revsar su nversa, ejemplos y propeaes. Determne la funcó(t) s su.f. es f(ω) δ(ω - ω o ). R.: f(t) jωot () e jω δ ω ot e () δ ω jωt f ( ω) e ω j ot e ω. Nótese que s ω o ; entonces la.f. e f(t) j t ( o ) e ω δ ω ω ω es δ(ω). Determne la.f. e f(t) cos(ω o t). R.: Como f(t) cos(ω o t) (e jω ot e -jω ot )/, y utlzano el resultao anteror se tene que f(ω) δ(ω - ω o ) δ(ω ω o ). jnωt Determne la.f. e f(t) δ( t l ). R.: Como la señal es peróca, se puee escrbr como f(t) cne, one ω / y c n l jnωt jnωt δ( t) e t / ; por lo tanto, f(t) e n δ( ω nω ) ω δ ω nω n n. jnωt y f(ω) e n n jn t ω F { e } F n Smetría e la.f.. Sea f(t) con.f. f(ω), s g(t) f(ω) ω t, entonces, g(ω) f(t) t -ω. Dem.: jωt jωt jωt g( ω ) g( t) e t f t e t f ( t) e t ω ω. j( ω) Ω f ( Ω) e Ω f ( t) t ω Convolucón. Sea f(t) con.f. f(ω) y g(t) con.f. g(ω), entonces, f(t)*g(t) f(ω)g(ω). Dem.: F - jωt jωτ jωt { f ( ω) g( ω )} f ( ω) g( ω) e ω f ( τ) e τg( ω) e ω ω ω τ τ τ τ τ jω( t τ) g e f g( t ) f g( t)* f ( t). Capítulo III - ransformacones e Sstemas Lneales Dnámcos

11 Proucto. Sea f(t) con.f. f(ω) y g(t) con.f. g(ω), entonces, f(t)g(t) f(ω)*g(ω)/(). Dem.: jωt jψt jωt f ( t) g( t) f ( t) g( t) e t f ( t) g e e t ψ ψ. j t ω ψ f ( t) e tg( ψ) ψ f ( ω ψ) g( ψ) ψ f ( ω)* g( ω) F{ } Moulacón AM (caso especal el proucto). Sea f(t) con.f. f(ω), entonces, la.f. e f(t)cos(ω o t) es, /f(ω - ω o ) /f(ω ω o ). Dem.: { f ( ω ω o) f ( ωωo )} F{ f ( t)cos( ω t) } F{ f ( t) }* F{ cos( ω t) } f ( ω)* { δ( ω ω ) δ( ωω )} o o o o. Muestreo con Impulsos (caso especal el proucto). Sea f(t) con.f. f(ω), entonces, la.f. e f ( t) δ( t l ) es f ( ω nω ). Dem.: l F n f ( t) δ( t k ) f ( ω)* F δ( t l ) k l. f ( ω)* ω δ( ω nω ) f ( ω nω ) n n eorema e la Potenca. Sea f(t) con.f. f(ω) y g(t) con.f. g(ω), entonces * f g ω ω ω. Dem.: * f ( t ) g ( t) t * * j t ω * jωt f ( t) g ( t) t f ( t) g( ω) e ω t f ( t) g( ω) e ωt. * * g( ω) f ( ω) ω f ( ω) g( ω) ω Capítulo III - ransformacones e Sstemas Lneales Dnámcos

12 eorema e la Energía (eorema e Raylegh y caso especal el eorema e Potenca). Sea f(t) con.f. f(ω), entonces f ( t ) t f ( ω) ω. Dem.: Dao que f ( x ) * f ( x) f ( x ) se emuestra con el teorema anteror..5 a) f(ω) /(ω ).5 f(t) e - t δ( t l ) l b) ω δ( ω nω ) n e - t δ( t l ) l c) f ( ω nω ) / n 5 5 ω / Capítulo III - ransformacones e Sstemas Lneales Dnámcos

13 ransformaa e Fourer (Señales Perocas) Problema Estuar señales perocas en el campo e la frecuenca. Defncones ransformaa e Fourer para Señales Perocas Sea la señal f(t) e peroo ω o, entonces la ransformaa e Fourer e f(t), enotaa por f(mω o ) es, f( n) f( n) f to ( s) ω ω o o f( t) e jn ω o t t o f( t) e jn F o t t e s e s : f s toω ω Nótese que correspone a la ransformaa e Fourer para un peroo e la señal evaluaa erecuencas múltples e ω ο. Defncón para valores múltples e la frecuenca F ο /. Caso : : 6 F o : f to ( t) : Φ( t ) Φ( t ) f tp ( t) o ransformaa Blateral e Laplace e f to (t). ransformaa e Fourer e f to (t). sn ω : f tpω ( n) : ω ransformaa e Fourer Dscreta e f tp (t). t : t f : n t : ω :. ω f : n ω : n : 6. : 6 t f t ω f ω n t: t, t.. t ω: ω, ω.. ω t n: n, n.. n ω : l f to t l sn n F o nf o.5 Señal en el empo 6 4 Fourer Contnua y Dscreta (por o) Capítulo III - ransformacones e Sstemas Lneales Dnámcos

14 Caso : : 4 F o : f to ( t) : ( t ) Φ( t ) tφ( t) ( t ) Φ( t ) f tp ( t) o f toω ω exp jω exp jω f toω ω ( jω) cos ( ω ) :. e F. ω e f to (t). t : t f : n t : ω :. ω f : n ω : n : 6. l : 6 t f t ω f ω n t: t, t.. t ω: ω, ω.. ω t n: n, n.. n ω : f to t l f tpω ( n) : cos n F o n F o. e F. Dscreta e f tp (t). Señal en el empo 6 4 Fourer Contnua y Dscreta (por o) Caso : : 6 F o : f to ( t) : ( t ) Φ( t ) tφ( t) ( t ) Φ( t ) f tp ( t) : f to t l o l f toω ( ω) cos ( ω ) cos( n :. e F. e f ω to (t). F o ) f tpω ( n) :. e F. Dscreta n F e f o tp (t). Señal en el empo 6 4 Fourer Contnua y Dscreta (por o) Capítulo III - ransformacones 4 e Sstemas Lneales Dnámcos

15 Caso 4 : 6 F o : f to ( t) :.sn t Φ( t) Φ t ( ( o ) )... o.5sn t ( Φ( t) Φ( t ) )....sn 5 t ( Φ( t) Φ( t ) ) f tp ( t) l f to t l t f t n t : 6 t f : 6 n t : t: t, t.. t n : 8 : 8 n: n, n.. n t : f tpω ( n) o f t tp ( t) e jn F o t : o. e F. Dscreta e f tp (t). 5 Señal en el empo Fourer Dscreta Caso 5 :.5 t : : 6 t f : 6 F o : n t : t f t t: t, t.. t t n : f to ( t) : Φ( t ) Φ t... Φt Φ t o : 6 f tp ( t) : l f to t l n n: n, n.. n f tpω ( n) o f t to ( t) e jn F o t : o. e F. Dscreta e f tp (t). 5 Señal en el empo 4 Fourer Dscreta (por ) 4 cos Capítulo III - ransformacones 5 e Sstemas Lneales Dnámcos

16 Caso 6 Crcuto Elevaor. Coefcentes e Fourer. u n ( t) : Φ( t) Φ( t.5) Φ( t.) :.45 F o : u np ( t) : u n ( t m ) t f t o m t f : t : : t: t, t.. t n:.. n f f e(t) Entraa - L (t) Sw(t) v(t) - C R Laplace e la entraa u n (t) que se enotará por u ns (s) es, Laplace e la sala y n (t) que se enotará por y ns (s) es, ζω n s ω n exp(.5s) exp(.s) y ns ( s) : k p s s ζω n s ω n. e F. e la sala peroca y np (t) que se enotará por y npn (n) es, y npn ( n) n : 9 u ns ( s) exp(.5s) exp(.s) : s. e F. e y n (t) que se enotará por y nω (ω) es, y nω ω k p ζω n jω ω n ( jω) ζω n ( jω) ω n ζω n j nf o k ω n exp.5 j nf p o exp. j nf o : o j ( nf o) ζω n j ( nf o) j ω n ( nf o) 9 n ω f ω : 9 n: n, n.. n ω : 4 ω f : 4 n ω : ω: ω, ω.. ω n f ω : Laplace e la respuesta a mpulso h n (t) que se enotará por h ns (s) es, ζω n s ω n h ns ( s) : k p s ζω n s ω n exp.5jω exp.jω jω.. Mo. (x o). e F. e la Sal. Per. Fase e la. e F. e la Sal. Per Capítulo III - ransformacones 6 e Sstemas Lneales Dnámcos

17 .. Mo. (x o). e F. e la Sal. Per. Fase e la. e F. e la Sal. Per Coefcentes e Fourer e la sala y n (t) para una entraa peróca u n (t) aa..5 Móulo e los Coefcentes e Fourer 8 Fase e los Coefcentes e Fourer Reconstruccón e la Sala en base a cuatro e los Coefcentes e Fourer. ( ) ( ) ( ) ( ) Sal 4 ( t) : y npn cos F o t arg y npn y npn cos F o t arg y npn... y npn ( ) cos F o t arg y npn ( ) y npn ( 4) cos 4 F o t arg y npn ( 4) Capítulo III - ransformacones 7 e Sstemas Lneales Dnámcos

18 Smulacón el sstema con la Entraa Peroca. u n ( t) : u np ( t) p n ( t) : t f : t : : t f t t: t, t.. t f n:.. Smulacón para encontrar la C.I. x D( t, x) : A n x b n u n ( t) e n p n ( t) CI: Z p : rkfxe CI,, t f,, D Smulacón x D( t, x) : A n x b n u n ( t) e n p n ( t) CI: Z pnf, Z p, Z p : rkfxe CI,, t f,, D Entraa y salas. Z pn, Sal 4 ( t) u n ( t) Z pn, t, t, Capítulo III - ransformacones 8 e Sstemas Lneales Dnámcos

19 ransformaa Z Problema Estuar la Aplcabla e la ransformaa Z en Sstemas e Ingenería. Defncones La sere nfnta: k k k r k por otro lao: por lo tanto: r r r... r k... r k r k ( r r...) r r... r r... r r 4r 5r 4... k r k k r ( r ) k k r ( k) r k s y sólo s r k k r r < ( r r r...) k r r r ( r ) k r ransformaa Z Sea la señal f(k), entonces la ransformaa Z e f(k), enotaa por f(z) Z{f(k)} es, f( z) f( k) z k f f( ) z f( ) z f( ) z... k Caso f a ( k, ) : δ ( k ) f a ( z, ) : k f a ( k, ) z k Caso f b ( k, ) : Φ( k) f b ( z, ) : f b ( k) z k k Caso f c ( k, ) : k f c ( z, ) : kz k z z... k Impulso Escalón Rampa f a ( z) : f b ( z) : z f c ( z) z : ( z ) Capítulo III - ransformacones 9 e Sstemas Lneales Dnámcos

20 Propeaes Lneala Escalamento en tempo Despl. en tempo Despl. en frecuenca f a ( k) f a ( z) f b ( k) f b ( z) α a f a ( k) α b f b ( k) α a f a ( z) a f( k) f( z) f( ak) f z f( k) f( z) f( k a) z a f ( z ) f( k) f( z) a k f( k) f a z α b f b ( z) Valor Incal f( k) f( z) lm k f( k) lm z f( z) Valor Fnal Señales Perocas Convolucón Dervacón f( k) f( z) f o ( k) f o ( z) f( k) f( k) f( z) g( k) g( z) lm f( k) lm t z ( z ) f( z) f o ( k p) f( z) f( ) g( k ) f( z) g( z) f( k) f( z) f( k) f( k ) z z p f z f o ( z) Integracón f( k) f( z) k f( ) f( z) z Capítulo III - ransformacones e Sstemas Lneales Dnámcos

21 ransformaa e Fourer (Señales Dscretas No-Perocas) Problema Estuar señales scretas en el campo e la frecuenca. Defncones ransformaa e Fourer Sea la señal f(k ), entonces la ransformaa e Fourer e f(k ), enotaa por f(ω) es, f( Ω) k e f k jω k Nótese que correspone a la ransformaa Z (blateral) e la señal f(k ), reemplazano z por e jωτ m. Caso : f t ( t) : Φ( t ) Φ( t ) Señal en el empo :.5 f k ( k) : Φ k Señal Dscreta Φ( k ) f k ( z) k f( k) z k z z z z ransformaa Z; por lo tanto, la ransformaa e Fourer es: e j Ω f kω Ω e jω ransformaa e : f tω ω : Fourer Señal jω jω Dscreta e e sn ω ω ransformaa e Fourer Señal Contnua k : k f : n k : k f k ω :.5 ω f.5 : n m ω : Ω :.5 Ω m f :.5 n m Ω : t : k t f : k f m k f k ω f ω Ω f Ω t f t k: k, k.. k ω: ω, ω.. ω k Ω : Ω, Ω.. Ω ω t: t, t.. t Ω f.5 Señal en el empo Contnuo y Dscreto 6 Señal en Frec. (cont., scr. por m) Capítulo III - ransformacones e Sstemas Lneales Dnámcos

22 Caso f t ( t) : e t Señal contnua :.5 f k ( k) : e k Señal screta f kω ( Ω) f kω ( Ω) k exp e j f k k Ω k e k e jω k e k e jω k exp k k m jω ( exp( ) ) cos( Ω ) exp( ) f kω ( Ω, ) : exp ( exp( ) ) cos( Ω ) exp( ). e F. Señal Dscreta exp jω. e F. Señal Contnua f tω ω : ω k : k f : n k : k f k ω ω f : : n ω : Ω Ω f : : n Ω : t : k t f : k f k f k k: k, k.. k k ω f ω ω: ω, ω.. ω ω Ω f Ω Ω : Ω, Ω.. Ω Ω t f t t: t, t.. t f.5 Señal en el empo Contnuo y Dscreto Señal en Frec. (cont., scr. por m) Capítulo III - ransformacones e Sstemas Lneales Dnámcos

23 .5 Señal en el empo Contnuo y Dscreto Señal en Frec. (cont., scr. por m) Caso f t ( t) : e t Señal contnua : f k ( k) : e k Señal screta k : 6 k f : 6 n k : k f k ω : 6 ω f : 6 n ω : Ω : 6 Ω f : 6 n Ω : k f k k: k, k.. k k ω f ω ω: ω, ω.. ω ω Ω f Ω Ω : Ω, Ω.. Ω Ω.5 Señal en el empo Contnuo y Dscreto Señal en Frec. (cont., scr. por m) Capítulo III - ransformacones e Sstemas Lneales Dnámcos

24 ransformaa e Fourer (Señales Dscretas Perocas) Problema Estuar señales scretas perocas en el campo e la frecuenca. Defncones ransformaa e Fourer para Señales Dscretas Perocas Sea la señal f(k ) e peroo Ω o, entonces la ransformaa e Fourer e f(k ), enotaa por f(mω o ) es, f( mω o ) N f( k) e jm Ω o k f mω N o k N N k f( k) e jm N k Nótese que correspone a la. e F. para un peroo e la señal evaluaa erecuencas múltples e Ω ο. Nótese que F ο /, one / N. f( Ω) k e j f k Ω k f( m) k e j f k m Ω o k f( m) f( m) N N k N N k e j f k e f k m Ω o k jm k o f( m) N N k e f k jm N k Capítulo III - ransformacones 4 e Sstemas Lneales Dnámcos

25 Caso : : 6 F o : :.5 f ko ( k) : Φ k f kp ( k) : Φ( k ) l f ko k l f koω Ω e j Ω : jω e e jω jω e N: f kpω ( m) : N N k jm N f kp ( k) e k k : k f : k f k k: k, k.. k k f k f Ω Ω f.5 :.5 : Ω f Ω Ω : Ω, Ω.. Ω Ω n Ω : 6 m : 5 m f : 5 m f m m: m, m.. m m f m f.5 Señal Dscreta 6 4 Frec. (cont. x m, scr. x o) Capítulo III - ransformacones 5 e Sstemas Lneales Dnámcos

26 Caso : : 4 F o : :.5 f ko ( k) : k o k : k f : Ω :.5 Ω f :.5 n m Ω : m : 5 m f : 5 m k f k Ω f Ω m f m k: k, k.. k k f k f Ω : Ω, Ω.. Ω m: m, m.. m Ω m f m f Señal Dscreta Frec. (cont. x m, scr. x o) 6 f kp ( k) 4 ( ) Φ k k Φ( k) ( k ) Φ k N jm k o N. e F. e la señal : f ko k l N: f peroca f kp (t) y la no m kpω ( m) : f l m N kp ( k) e f koω Ω k peroca f ko (k). : k f ko ( k) e jω k 5 5 Caso : : 6 F o : :.5 f ko ( k) : ( k ) Φ( k ) k Φ( k) ( k ) Φ( k ) o N jm k o N. e F. e la señal f kp ( k) : f ko k l N: f peroca f kp (t) y la no m kpω ( m) : f l m N kp ( k) e f koω ( Ω) f ko ( k) e jω k : k peroca f ko (k). k Señal Dscreta 6 4 Frec. (cont. x m, scr. x o) 5 5 Capítulo III - ransformacones 6 e Sstemas Lneales Dnámcos

27 Caso 4 : : 6 F o : :. f ko ( k) :.sn k m.5sn k m.sn5 k ( Φ( k ) Φ( k ))... ( Φ( k ) Φ( k )) ( Φ( k ) Φ( k ))... f kp ( k) : l f ko k l N: f kpω ( m) : N N k jm N f kp ( k) e k. e F. e la señal peroca f kp (k). k : 5 k f : 5 Ω : Ω f : n Ω : m : 8 m f : 8 k f k k: k, k.. k k f k f Ω f Ω Ω : Ω, Ω.. Ω Ω m f m m: m, m.. m m f m f 5 Señal Dscreta Fourer Dscreto Capítulo III - ransformacones 7 e Sstemas Lneales Dnámcos

28 Caso 5 :.5 : 6 F o : :. f ko ( k) : Φ k Φk Φ k... Φ k f kp ( k) : l f ko k l N: f kpω ( m) : N N k jm N f kp ( k) e k. e F. e la señal peroca f kp (k). k : k f : Ω : Ω f : n Ω : m : m f : 6 k f k k: k, k.. k k f k f Ω f Ω Ω : Ω, Ω.. Ω Ω m f m m: m, m.. m m f m f 5 Señal Dscreta 4 Fourer Dscreto (por ) 4 cos Capítulo III - ransformacones 8 e Sstemas Lneales Dnámcos

29 Caso 6 Crcuto Elevaor. Coefcentes e Fourer. L: 5 C: 6 R: :. o :.5 e o : 6 e: :. e o v o o v o : o : u o R ( o) o : o p o : e o ω n : o LC k p : ζ: o LC RC o RC RC A n : b R n : L ( o ) o RC o R ( L o) o e n : R L ( o ) c n : ( ) u n ( t) : Φ( t) Φ( t.5) Φ( t.) :.45 F o : Entraa o t f t u np ( t) : u n ( t m o ) t : t f : : 5 t: t, t.. t f m Entraa e(t) - L (t) Sw(t) v(t) - C R n : : n n: n, n.. n. e F. e la sala peroca y np (t) que se enotará por y npn (n) es, y npn ( n) ζω n j nf o k ω n exp.5 j nf p o exp. j nf o : o j nf j nf o ζω n j nf o ω o n 9.5 Móulo e los Coefcentes e Fourer Fase e los Coefcentes e Fourer Coefcentes e Fourer e la sala y n (t) para una entraa peróca u n (t) aa Capítulo III - ransformacones 9 e Sstemas Lneales Dnámcos

30 Sala en base a 4 coef. e la.f. ( ) ( ) ( ) ( ) Sal 4 ( t) : y npn cos F o t arg y npn y npn cos F o t arg y npn... y npn ( ) cos F o t arg y npn ( ) y npn ( 4) cos 4 F o t arg y npn ( 4) Smulacón Muestreo u n ( t) : u np ( t) x D( t, x) : A n x Z p : rkfxe CI,, t f,, D :.45 b n u n ( t) e n p n ( t) k : p n ( t) : t f k f : t f : t : k f k k: k, k.. k k f k f Entraa y salas. : 5 CI: t f t t: t, t.. t f Z p : rkfxe CI,, t f,, D f kp ( k) : Z p k, k f n:.. CI: Z pnf, Z p, Capítulo III - ransformacones e Sstemas Lneales Dnámcos

31 .F.D. m f m N: m : m f : N m: m, m.. m m m f m f f kpω ( m) : N N k jm N f kp ( k) e k.5 Móulo e los Coefcentes e Fourer Fase e los Coefcentes e Fourer Sala en base a 4 coef. e la.f.d ( ) ( ) Sal 4 ( t) : f kpω cos F o t arg f kpω f kpω cos F o t arg f kpω... f kpω ( ) cos F o t arg( f kpω ( ) ) f kpω ( 4) cos 4 F o t arg( f kpω ( 4) ) Entraa y salas. Z pn, Sal 4 ( t) Sal 4 ( t) Z pn, t, t, Capítulo III - ransformacones e Sstemas Lneales Dnámcos