TEMA 10. CONTROL DE PROCESOS EN TIEMPO DISCRETO. Conversor electroneumático

Transcripción

1 Control de procesos en tiempo discreto.- 37 EMA. CONROL DE PROCESOS EN IEMPO DISCREO.. Elementos de un sistema digital de control. Control Conversor electroneumático Elemento final control Proceso ransductor Sensor La figura muestra todo el hardware necesario en un lao con controlador analógico. Al reemplaar el controlador analógico por uno digital, este último ejecutará las órdenes a través de un programa que reside en la memoria del ordenador. El controlador digital requiere la toma de datos de la señal medida a intervalos discretos de tiempo, así mismo emite órdenes de actuación a intervalos discretos de tiempo. Este hecho es la principal diferencia y de donde surgen los problemas de incompatibilidad entre procesos continuos y control digital. Se hace necesario el uso de interfaces discreto/continuo y viceversa.... Samplers. Las medidas derivadas del proceso (flujos, presiones, temperaturas, etc.) son suministradas de forma continua por los sensores y transductores. Sin embargo, dado que los ordenadores manejan datos en tiempo discreto debido a: el ordenador necesita un tiempo para leer la información que le llega, calcular el error y procesar una orden de control. Si durante este tiempo, la salida cambia, este cambio no es reconocido por el ordenador. Por tanto, el controlador digital lee en intervalos discretos de tiempo dados por el sampler. El sampler es un simple dispositivo que se abre y se cierra en el período de muestreo. En otras palabras, el sampler convierte la señal continua que le llega en una serie de valores discretos a tiempo,, 3, etc.... Holder. Los elementos finales de control (esencialmente válvulas) actúan con señales continuas, sin embargo la señal que sale del controlador digital está discretiada. El dispositivo que convierte la señal discreta en continua se llama holder.

2 Control de procesos en tiempo discreto Conversor A/D La señal proveniente del sampler esta discretiada pero es una señal analógica (normalmente eléctrica). Este tipo de señal no es reconocida por un ordenador el cual procesa señales digitales codificadas en bits. Esta transformación es realiada por un conversor AD...4. Conversor D/A. De forma similar al caso anterior, los holders trabajan con señales analógicas que son producidas por los conversores D/A a partir de la señal digitaliada enviada por el controlador. La figura muestra los cambios necesarios para pasar de control analógico a digital. Set point Perturbación D/A Holder Conversor electroneumático Elemento final control Proceso sampler A/D ransductor Sensor.. Muestreo de señales continuas. al como se indicaba anteriormente, el sampler procesa datos simplemente a intervalos discretos de tiempo, así, en la figura se muestra el efecto producido por un sampler con =, 3 y 5 al que entra una señal contínua. al como se observa, la señal de salida solo presenta valores en los múltiplos naturales del período de muestreo. Cuando tiende a cero se obtiene una señal más parecida a la señal continua, mientras que para valores altos de el número de datos se hace más pequeño y por tanto la reconstrucción de la señal original es más defectuosa. El sampler (muestreador) es un dispositivo físico que permanece cerrado por un tiempo finito de tiempo Δt alrededor del instante de muestreo. En este instante la salida del sampler coincide con la señal

3 Control de procesos en tiempo discreto continua que le llega tomando una forma aproximada a una campana de gauss o de forma más ideal al pulso de duración Δt. Suponiendo la idealidad de Δt se puede desarrollar una descripción matemática del sampler. El impulso obtenido en los períodos de muestreo vendrá dado por: y*(n) = y(n)δ(t-n) [.] donde δ(t-n) es la función delta de Dirac. Desarrollando la ecuación anterior para cualquier tiempo se obtiene: y*(t) = y*() + y*() + y*() + y*(3) + = y() δ(t) + y() δ(t-) + y() δ(t-) o lo que es lo mismo: y*(t) = y(n) δ (t-n) [.] -ns omando la transformada de Laplace: y*(s) = y(n)l [ δ(t-n) ] = y(n)e L [ δ(t) ] Que finalmente resulta en: y*(s) = y(n)e -ns.3. Reconstrucción de señales continuas a partir de valores en tiempo discreto. al como se apuntaba anteriormente, los elementos finales de control necesitan de señales continuas para obtener un uso adecuado de los mismos. Dado que la señal de salida de un controlador digital está discretiada, la misión de los holders es la reconstrucción de la señal de salida del ordenador (una ve se ha transformado en analógica). Considérese una señal procedente del controlador cada segundos, de forma matemática: m*(t) = m() δ(t), m*() = m()δ(t-), m*() = m()δ(t-)... La forma más sencilla de reconstruir la señal discretiada es mantener el valor de la señal en el tiempo n hasta recibir la nueva información en (n+), en este momento la señal tomará el nuevo valor y así sucesivamente. La señal continua resultante m(t) es: m(t) = m(n) for n < t < (n + ) and n =,,,... [.3] t m( t) = m() particulariando: t m( t) = m( ) t 3 m( t) = m( )...

4 Control de procesos en tiempo discreto.- 4 La figura escalonada se muestra en la figura. Este tipo de reconstrucción se conoce como eroorder hold, aunque no es la única manera de reconstruir señales sí es la más utiliada. Así, si se consideran dos valores discretos consecutivos tal como m [(n - ) ] y m (n ) se puede asumir para el siguiente período entre valores discretiados n < t < (n + ), que la señal continua se puede reconstruir por extrapolación lineal de los valores previos: m(t) = m(n) + /*[m(n)-m[(n-)]]*{t-n} Esta ecuación corresponde al holder de primer orden, el cual Orden cero necesita al menos dos valores iniciales para realiar la reconstrucción. Es posible desarrollar holders de mayor orden con, obviamente un mayor número de valores discretos iniciales. A medida que el orden se incrementa la labor computacional se dificulta con mejoras marginales únicamente. En la práctica es er orden mejor utiliar un holder de bajo orden (normalmente cero) y disminuir en la medida de lo posible el período de muestreo. La base matemática para la construcción del holder, independientemente del orden es: Considérese la señal continua m(t) construida a partir de valores discretos m(), m( ), m(3 ),... el desarrollo en series de aylor de m(t) alrededor de un valor muestreado m(n) viene dado por: mt mn t n t n dm d m ( ) = ( ) + ( ) + ( )... + dt t= n dt t= n Manteniendo solo el primer término de la serie se obtiene el holder de orden cero: mt () = mn ( ) n t ( n+ ) Manteniendo el primer y segundo término de la serie se obtiene el holder de orden uno: dm mt () = mn ( ) + ( t n) dt t= n dm m( n ) m(( n ) ) La derivada (dm/dt) t=n se aproxima a: = dt t= n mn ( ) m(( n) ) Y sustituyendo: mt () = mn ( ) + ( t n) [.4] De forma similar se obtienen holders de orden superior teniendo en cuenta sucesivos términos y aproximaciones de la derivada.

5 Control de procesos en tiempo discreto.- 4 La salida del holder de orden cero es como un pulso con altura m(n) y duración. La transformada de Laplace viene dada por tanto por: e ms () = mn ( ) s s la función de transferencia es: s e Ho() s =. s Para el caso de holder de primer orden: s + s e H() s = s.4. Conversión de modelos en continuo a tiempo discreto. Al analiar un lao de realimentación con control digital se pueden puntualiar las siguientes observaciones:. El proceso presenta entradas y salidas continuas, por tanto puede ser descrito por modelos en continuo (ecuaciones diferenciales o funciones de transferencia dependiendo del dominio).. La salida discretiada del conjunto sampler-conversor A/D se modela en función de la señal -ns continua de entrada según: y*(s) = y(n)e. 3. El holder se representa por las ecuaciones anteriormente vistas. 4. El controlador digital posee entradas y salidas discretas. Consecuencia de ello es la imposibilidad de utiliar modelos en continuo. Supóngase la ecuación de un controlador PID analógico: de( t) ct () = cs + KC et () + etdt () τ D τ + l dt La tarea es convertir la ecuación diferencial anterior en una ecuación en diferencias capa de procesar errores en tiempo discreto y generar acciones de control también en tiempo discreto..4.. Modelo en tiempo discreto para un controlador PID A partir de los términos individuales de un controlador PID analógico se derivará la correspondiente expresión en diferencias:. Acción proporcional. El error discretiado en un tiempo n viene definido por la diferencia entre el setpoint y el valor discreto a ese mismo tiempo: ε(n) = y sp (n)-y(n). La acción proporcional simplemente incrementa el valor de esta diferencia: K C ε(n)

6 Control de procesos en tiempo discreto.- 4. Acción integral. Este modo de acción integra el error a lo largo del tiempo. Dado que el error está discretiado, la integral ε(t) dt es aproximada de forma numérica mediante rectángulos para dar lugar a la expresión: t n ε() tdt ε( k). Así pues la acción integral se presenta en diferencias como: k = K n C τ I k = ε ( k ) 3. Acción derivativa. Igual que en el caso anterior, la derivada es aproximada mediante un método dε ε( n) ε(( n) ) numérico. Una aproximación de primer orden da lugar a: = dt K C D y por tanto la acción derivativa se convierte en: { ε( n ) ε(( n ) )} La suma de acciones lleva al controlador PID digital: n τ D cn ( ) = cs + KC ε( n) + ε( k) + { ε( n) ε(( n) ) } τ I k = El procedimiento se puede generaliar para cualquier modelo en tiempo continuo. τ t= n. Proponer la ecuación de modelo continuo.. Aproximar las derivadas mediante diferencias finitas. 3. Aproximar las integrales mediante un esquema de integración numérica. error t ε() tdt ε( k) n k = error dε ε( n) ε(( n) ) = dt t= n dy.4.. Modelo en tiempo discreto de un sistema de primer orden: τ P + y = Km P dt

7 Control de procesos en tiempo discreto.- 43 dy yn+ yn Usando la aproximación de adelanto de la derivada = y sustituyendo: dt y y K τ + y = K m ; y = y + m n+ n P P n P n n+ n n τp τp d y dy.4.3. Modelo en tiempo discreto de un sistema de segundo orden. τ + δτ + y = Km P dt dt dy d dt y + y + y La aproximación de adelanto de la derivada segunda es: + dt y sustituyendo: τ n+ n+ n n+ n n n n y y + y y y + δτ + yn = KPmn, finalmente se obtiene: y y = δ δ + y + K m τ τ τ τ n+ n+ n P n.4.4. Modelo en tiempo discreto de un sistema de primer orden con tiempo muerto: dy τ P + y = KPm( t td) dt Suponiendo que el tiempo muerto es proporcional al periodo de muestreo t d =k, el modelo en K P tiempo discreto resultante es: y = y + m τp τp n + n n k.5. ransformada Z. El uso de la transformada Z ofrece un método simple y elegante para resolver ecuaciones lineales en diferencias, resultado de la conversión de modelos en continuo a tiempo discreto. La transformada Z permite:. El desarrollo de modelos entrada-salida en tiempo discreto que son la base del diseño de laos de control en sistemas digitales.. Análisis directo de forma cualitativa y cuantitativa de la influencia de cambios en las entradas al sistema discreto. En otras palabras, su papel es comparable a la transformada de Laplace en sistemas en continuo..5.. Definición Considerése una función continua y(t) muestreada cada cierto periodo. La secuencia de valores muestreados es: y(), y(), y(),...

8 Control de procesos en tiempo discreto.- 44 La transformada Z se define como: Z { } y(), y(), y(),... = yn ( ) Aunque intrínsecamente la transformada se refiere a una serie de valores muestreados, es costumbre referirse a la función continua de la que proceden dichos valores. Z { y(), y(), y(),...} = Z{ y( t) } = y( ) = y( n) Notas:. La transformada Z convierte valores en el dominio del tiempo a la variable en el dominio Z.. La transformada Z depende del período de muestreo (ver definición). 3. Dos señales en continuo distintas pueden dar lugar a la misma transformada Z si poseen el mismo valor en los tiempos de muestreo. Un claro ejemplo lo constituye la función escalón unitario y la función coseno muestreada en los máximos = 6.8 s, ω =. rad/s (ver figura): n n Se tiene: Z( escalón unitario) = Z(cos(. t)) = = 4. La transformada Z existe si la suma de todos los términos que aparecen en su definición da lugar a un valor finito. 5. Si y(t) es la señal continua que entra al sampler y y*(t) es la secuencia de valores producidos por el sampler ideal, la transformada de Laplace de y*(t) es: ns y *( s) = y( n) e. Si e s =, entonces: n y *( s) = y( n) = y( ) es decir, la transformada Z de una serie de valores muestreados es un caso especial de la s transformada de Laplace cuando se cumple que = e.

9 Control de procesos en tiempo discreto ransformada Z de funciones básicas. i- Escalón unitario: Demostración: cuenta la serie == = = = n Z( escalón unitario)... La transformada existe si / - /<, que hace la serie convergente a un valor finito. eniendo en n λ = ; λ <, es sencillo llegar a la demostración. λ El resultado anterior también se puede obtener por división de polinomios. ii- Función exponencial at Ze ( ) = = La demostración es directa: Z( e ) = e at an n at at e e a Haciendo λ = e se aplica la serie que se vio anteriormente para el caso del escalón. iii- Función rampa La expresión anterior se consigue: a Zat ( ) = = a ( ) ( ) ( ) Z( at) a a 3 a... a... 3 = = = La transformada existe para / - / <. a ( ) iv- Funciones trigonométricas. Prueba: Ζ sen [sen ω t] = ω cos ω + cosω Ζ[cos ω t] = cos ω + jωn jωn n e e n n jωn n jωn ( ) Ζ[sen ω t] = sen ω n = = e e j j j ( ) ( ) jω jω e e jωt jωt = Z e Z e = = j j j e j e j+ e + e jω jω jω jω

10 Control de procesos en tiempo discreto.- 46 Aplicando las relaciones de Euler: jω jω jω jω ( ) ( ) jsen ω = e e y cosω = e + e Ζ sen [sen ω t] = ω cos ω +

11 Control de procesos en tiempo discreto Propiedades de la transformada Z i- Linealidad. La transformada Z es un operador lineal, Z[a f (t) + a f (t)] = Z[a f (t)] + Z[a f (t)] = a Z[f (t)] + a Z[f (t)]. ii- eorema del valor final Permite calcular el valor final de una función a partir de su transformada. [ ] = ( ) lim yt ( ) lim y ( ) t Demostración: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n y = yn = yn yn = = y y + y y + y y + () () ( ) ( ) ( ) ( )... Cuando tiende a, la serie anterior tiende a y(n) con n. iii- eorema del valor inicial Este teorema dice que lim [ yt ( )] = lim [ y ( )] t Se demuestra tomando límites: [ y ] n lim ( ) = lim y( n) Cuando, los términos -n para n =,,... El único término distinto de cero corresponde a n = [i.e., y()]. iv- eorema de traslación real (sistemas con tiempo muerto). Z[f(t-k)]= -k F(), la prueba: n Z[f (t k)] = f (t k),sustituyendo i= n k i k k i Z[f(t k)] = f(i) = f(i) i= k i= v- eorema de traslación compleja. Z[exp(-at)f(t)]= F( ), donde = * exp(a) ( ) n at an n a Z[e f(t)] = e f(n) = f(n) e a = e vi- eorema de diferenciación parcial. n n Z[ f(t,a)] = f(n,a) = f(n,a) = F(,a) a a a a

12 Control de procesos en tiempo discreto.- 48 vii- ransformada Z de integrales y derivadas. Dependen de las aproximaciones utiliadas en ambos casos. Considérese la integral: t= n y() t = f() t dt, aplicando la aproximación numérica de la regla del trapecio: ( n) ( ) n f( n) + f n y( n) = y ( n ) f( t) dt y( n) y ( n ) + = = + omando la transformada Z: f( ) + f( ) y( ) = y( ) +, y despejando: + y ( ) = f() f[n] f[(n-)] rapecio (n-) n f[n] f[(n-)] f[(n-)] Simpson (n-) (n-) n Si por el contrario se usa la regla de Simpson: ( n ) ( ) ( ) n f( n) + 4f n + f n y( n ) = y ( n ) f ( t) dt y ( n ) + = + 3 Aplicando la transformada Z: y ( ) = 3 f() Si ahora se tiene una derivada df(t)/dt una aproximación de primer orden da lugar a: ( ) df () t f( n) f n y() t = = ; y( ) = ( ) f( ) dt mientras que una aproximación de segundo orden: ( ) df () t f( n) f n y() t = = ; y( ) = ( ) f( ) dt

13 Control de procesos en tiempo discreto Inversión de transformada Z La antitransformada Z trata de obtener los valores muestreados de una función a partir de su expresión en el dominio Z: Z - [y()] = {y(), y(), y().}. Notas:. La antitransformada Z proporciona los valores de una función en los tiempos de muestreo únicamente. No dice nada sobre la función continua de la que proviene.. La antitransformada Z no permite obtener el periodo de muestreo. 3. La antitransformada Z puede dar varias funciones diferentes ya que funciones continuas distintas pueden dar lugar a valores similares muestreados. Existen dos métodos para llegar a la inversa de la transformada Z: i- Expansión parcial en fracciones simples. Este método es similar al ya visto para obtener la antitransformada de Laplace.. La transformada Z es normalmente un cociente de polinomios en - (o ): y()=q( - )/P( - ) con Q de orden m y P de orden n. C C C3 Cn. Se expande y() en fracciones simples: y ( ) = r( ) r ( ) r ( ) r ( ) 3 donde r ( - ), r ( - ),, r n ( - ) son polinomios de orden bajo en Se computan los valores de C, C,, C n. 4. Se encuentra la inversa de cada fracción simple. Debido a la linealidad del operador Z, la suma de antitransformadas Z dará la antitransformada global. C C C 3 C n Z [ y( ) ] = Z Z Z... Z r( ) r( ) r3( ) rn ( ) n Observaciones:. Los coeficientes C, C, - - -, C n se obtienen de forma similar a como se vio en el caso de la transformada de Laplace.. La inversa de cada fracción simple se computa directamente o a través de tablas, que normalmente proporcionan una función continua en función de. Ejemplo : y ( ) = = ,

14 Control de procesos en tiempo discreto.- 5 Las raíces del denominador son: - A B = y /3. Por tanto: y ( ) = Sustituyendo: y ( ) = A= =.5 B= =.5 3 = = /3 es la transformada del escalón con magnitud -.5. tiene la forma general de la entrada 8 de la tabla multiplicada por.5 K a e. Por tanto exp(-a) = 3 o lo que es lo mismo a=ln 3=.. La antitransformada Z queda finalmente: y(n) = exp(. n). Los valores tabulados para los diferentes tiempos de muestreo son: n 3 4 y(n) Ejemplo : y ( ) = La factoriación del denominador es: 3 4 por lo que factoriando: A B C D + y ( ) = ras obtener los coeficientes: 3.9 y ( ) = El primer término corresponde a un escalón de magnitud 3. El segundo término es la exponencial ya vista con exp(-a) =. o lo que es lo mismo a=ln =.6. El tercer término se asemeja a la entrada 4 de la tabla, es decir una señal sinoidal con sen ωt =.9 y - cos ωt =.84. Esto es ωt = rad = 4.8º. La inversa final es: y(n) = 3+ exp(-.6n) + sen n. Los valores muestreados son:

15 Control de procesos en tiempo discreto.- 5 n 3 y(n) ii- División larga de polinomios. El procedimiento consiste en: -Colocar el denominador a la iquierda separado del numerador a la derecha ambos en orden creciente de exponente en -. -Encontrar el factor que multiplicado por el primer término del denominador dé lugar al primer término del numerador. 3-Multiplicar dicho factor por el denominador y restar el polinomio resultante del numerador. 4-Repetir los pasos y 3 para ir obteniendo de forma sucesiva los diferentes factores cuyos coeficientes representan los valores correspondientes a los períodos de muestreo. La correspondencia es la siguiente: para = el valor a o corresponde al término a o ( - ) ; para = el valor a corresponde al término a ( - ) ; para = el valor a corresponde al término a ( - ) y así sucesivamente. Ejemplo: y ( ) = Ejemplo: Ejemplo 8.6 en Excell.

16 Control de procesos en tiempo discreto ransformada modificada. Mediante el teorema de traslación real se ha comprobado como cuando una función discretiada está retrasada un múltiplo entero (N) del período de muestreo (θ = N), su transformada Z se computa multiplicando por -N la transformada de la función sin retraso. En esta sección se estudiará el caso en el que θ N, es decir θ = (N + Δ) con < Δ <. La transformada Z de un función con tiempo muerto θ sería: [ θ ] Z f( t ) = f( nt N Δ) n. Definiendo m = -Δ y k = n-n- se tiene: k N Z[ f( t θ )] = f( k + m) = k= N N k f( k + m) k =. La transformada Z modificada se define como: m [ ] Z f() t = f( n + m) n, donde m es la variable de la transformada Z modificada con el mismo significado descrito anteriormente. Al hacer N =, la transformada Z modificada proporciona información sobre los valores de una función entre periodos de muestreo consecutivos simplemente mediante variación del parámetro m. Ejemplo: / t τ n / τ m / τ n m / τ ( / τ Z / τ m e = e e = e + e + e...) Z e e t / τ m e = m / τ / τ Ejemplo: [ ] n cos ( ωm ) cos ( ω ( m)) cos( ω) + Z cos ωt = (cos ( ωn + ωm)) = m Las propiedades de la transformada Z se corresponden con los de la transformada modificada con las excepciones: *raslación compleja: Zm e f t = e F e m a a ( m) a () (, ) *eorema del valor inicial: lim f ( t) = lim F(, m) t m = La inversa de la transformada Z modificada se calcula así mismo de forma similar a como se hacía con la transformada Z. Ejemplo: F(, m) =.8..5m.6 e ( ) polinomios, se pueden separar las partes que contienen y no contienen m:. F(, m) = e, aplicando por ejemplo la división larga de.5m

17 Control de procesos en tiempo discreto.- 53 ras hacer la división de polinomios de ambos cocientes en -, se combinan las dos series para dar: F m e e e e.5m.5m.5m 3.5m 4 (, ) = ( ) + ( ) + (.7.8 ) + ( )... Diferentes valores de m proporcionan el valor de la función en tiempos intermedios al periodo de muestreo: M (Más ejemplos en Luyben 65).