Elementos del lenguaje de la Dinámica de Sistemas

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1 Elementos del lenguaje de la Dinámica de Sistemas Sebastián Dormido Canto Dpto. de Informática y Automática de la UNED Estructura de la sesión: Conceptos sobre Dinámica de Sistemas Ejemplo completo de un sistema simulado mediante Dinámica de Sistemas Introducción al programa VENSIM Ejemplo completo de un sistema simulado mediante VENSIM PLE 1

2 Conceptos sobre Dinámica de Sistemas Proceso de modelado Estructuras de realimentación Estructuras sencillas: Bucle de realimentación negativo Bucle de realimentación positivo Estructuras complejas: Arquetipo del crecimiento sigmoidal Arquetipo de la adicción Arquetipo de la inversión insuficiente Diagramas de Forrester Variables de estado Variables de flujo Variables auxiliares Programación del modelo en un computador Conceptos sobre Dinámicas de Sistemas (1/39) En qué se basa la dinámica de sistemas? Cuál es el objetivo de la dinámica de sistemas? En el comportamiento de sistemas mediante la construcción de un modelo de simulación informática que ponga de manifiesto las relaciones entre la estructura del sistema y su comportamiento 2

3 Conceptos sobre Dinámicas de Sistemas (2/39) Modelado mediante Dinámica de Sistemas Proceso de modelado: proceso mediante el cual se construye un modelo de un aspecto problemático de la realidad. En Dinámica de sistemas comprende 4 pasos fundamentales: 1. Modelo mental 2. Diagrama de influencias 3. Diagrama de Forrester 4. Modelo informático Conceptos sobre Dinámicas de Sistemas (3/39) Modelo mental: representación informal de un cierto aspecto de la realidad, pero que recoge la experiencia que poseen los especialistas en el problema correspondiente. (punto de partida del proceso de modelado) Diagrama de Influencias: grafo donde sus nodos son los elementos del sistema y cuyas aristas indican las influencias entre ellos. Constituye una representación gráfica de la estructura del sistema. Pero para alcanzar el objetivo de conocer el comportamiento global del sistema se requiere que la relación entre las partes de un sistema posea un contenido matemático más rico que el simple establecimiento de las relaciones de influencia. Diagrama de Forrester 3

4 Conceptos sobre Dinámicas de Sistemas (4/39) MUNDO REAL Fases de construcción de un modelo CONCEPTUALIZACIÓN Diagrama de Influencias MODELO MENTAL FORMULACIÓN Diagrama de Forrester MODELO FORMAL Modelo Informático EVALUACIÓN Tiempo Conceptos sobre Dinámicas de Sistemas (5/39) Estructuras de realimentación simple Bucle de realimentación negativa Bucle de realimentación positiva 4

5 Conceptos sobre Dinámicas de Sistemas (6/39) Estructuras complejas de realimentación En la práctica es frecuente que la estructura de un sistema presente múltiples bucles de realimentación entrelazados Arquetipos sistémicos: Arquetipo del crecimiento sigmoidal Arquetipo de la adicción Arquetipo del crecimiento de la inversión insuficiente Conceptos sobre Dinámicas de Sistemas (7/39) Arquetipo del crecimiento sigmoidal Consideremos como ejemplo el crecimiento de una población en un hábitat que es capaz de sustentarla pero en el que los recursos son limitados. Existen dos bucles, uno positivo que es el responsable del proceso de crecimiento y otro negativo que limita el crecimiento (condición limitadora). 5

6 Conceptos sobre Dinámicas de Sistemas (8/39) En la fase inicial, cuando se desencadena el crecimiento de la población, la limitación de los recursos no es perceptible domina el bucle positivo. Al crecer la población la limitación de los recursos comienza a manifestarse domina el bucle negativo. Crecimiento asintótico Bucle negativo Crecimiento exponencial Bucle positivo Conceptos sobre Dinámicas de Sistemas (9/39) Ejemplos de procesos con crecimiento sigmoidal: proceso de difusión de una innovación tecnológica introducción de un nuevo producto en el mercado la difusión de un rumor en un medio social la propagación de una epidemia Se tiene una fase inicial en la que se produce un crecimiento exponencial y a medida que se alcanzan los límites como consecuencia del carácter finito del medio donde se desarrollan se produce una limitación que aborta el crecimiento. 6

7 Conceptos sobre Dinámicas de Sistemas (10/39) Cómo tratar de atenuar los efectos negativos que pueda tener la limitación al crecimiento? Intuitivamente se intenta fomentar el propio crecimiento cuando este parece abortarse actuar sobre el bucle positivo (actuación ineficiente) Solución: Se debe de identificar y cambiar el efecto limitador que es el verdadero responsable de los límites del crecimiento, siempre que sea posible. Conceptos sobre Dinámicas de Sistemas (11/39) Formulación matemática del crecimiento sigmoidal A este diagrama puede asociarse la ecuación: d x = F1 F2 dt donde los flujos, en el caso de una influencia lineal son: F1= k1 X F2 = k2 D = k2 (Xd X) Sustituyendo: d x = (k1 k2) X k2 Xd dt 7

8 Conceptos sobre Dinámicas de Sistemas (12/39) Según el valor relativo de K1 y K2 tenemos: F K2 < K1 F K2 = K1 F K2 > K1 X X X X K2 < K1 X K2 = K1 X K2 > K1 tiempo tiempo tiempo En ninguno de estos casos se produce crecimiento sigmoidal Conceptos sobre Dinámicas de Sistemas (13/39) El crecimiento sigmoidal se produce cuando la relación entre flujos se cortan entre sí: F1 F2 X Formas no lineales de las relaciones entre F y X El flujo conjunto F = F1 F2 será: F Fmax X 8

9 Conceptos sobre Dinámicas de Sistemas (14/39) Arquetipo de la adicción La adicción se presenta cuando: Hay un síntoma problemático que requiere atención. El síntoma está generado por un problema cuya solución es difícil o no se conoce bien. Se tratan los síntomas en lugar del problema. Se obtienen éxitos a corto plazo, pero el problema fundamental sigue subyacente. Un ejemplo lo presenta el problema del estrés que produce el exceso de trabajo. Si nuestro trabajo se incrementa más allá de nuestra capacidad de acometerlo y como consecuencia de ello caemos en una situación de estrés, la única solución es autolimitarnos con respecto a la aceptación de más trabajo. Conceptos sobre Dinámicas de Sistemas (15/39) FÁRMACOS ESTRÉS DISMINUCIÓN DEL TRABAJO DEPENDENCIA Única solución (solución fundamental): autolimitarnos con la aceptación de más trabajo. Solución adoptada (solución sintomática): aliviar el estrés mediante acciones duras (alcohol, fármacos,...) Estas actuaciones no resuelven el problema del exceso de trabajo, sólo lo enmascaran temporalmente aliviando el estrés. El problema sigue latente y periódicamente reaparece, con lo que se incrementa la dependencia y se llega a la adicción. 9

10 Conceptos sobre Dinámicas de Sistemas (16/39) SOLUCIÓN SINTOMÁTICA SÍNTOMA SOLUCIÓN FUNDAMENTAL EFECTO COLATERAL Se tienen dos procesos de realimentación negativa. Los dos tratan de corregir el mismo síntoma problemático. EL superior persigue una solución rápida y superficial, el inferior tiene un cierto retraso (los efectos tardan más tiempo en ser evidentes). Con frecuencia, se presenta un bucle adicional positivo, generado por los efectos colaterales de la solución sintomática hacen más difícil llegar a la solución fundamental. Conceptos sobre Dinámicas de Sistemas (17/39) Este tipo de estructura permite explicar una amplia variedad de comportamientos en los que soluciones bien intencionadas a corto plazo empeoran las cosas a largo plazo. IMPORTACIÓN ESCASEZ DE ENERGÍA AHORRO Y DESARROLLO DE ENERGÍA PROPIA ADICCIÓN A LA IMPORTACIÓN Diagrama de Influencias del arquetipo de la dependencia energética 10

11 Conceptos sobre Dinámicas de Sistemas (18/39) METAS LOGROS ACCIONES PARA MODIFICAR METAS DISCREPANCIA ACCIONES PARA ALCANZAR METAS Un caso especial que se deriva del arquetipo de la adicción se produce cuando existe un proceso de erosión de metas. Ocurre cuando existe una discrepancia entre nuestros objetivos y el estado que hemos alcanzado con respecto a ellos. CONCLUSIÓN: Las soluciones sintomáticas son necesarias en muchas situaciones, pero siempre que se reconozcan como tales y se combinen con estrategias a largo plazo. Conceptos sobre Dinámicas de Sistemas (19/39) Arquetipo del crecimiento con inversión insuficiente Es una combinación de los arquetipos anteriores. Ejemplo: Comportamiento de una empresa que desarrolla un nuevo tipo de producto de gran éxito inicial. Hay una gran demanda para su producción y no existen aparentemente problemas de financiación. Ventas Situación inicial: Durante los 3 primeros años las ventas se duplican Años 11

12 Conceptos sobre Dinámicas de Sistemas (20/39) Problema: la cartera de pedidos empieza a crecer en el segundo año el suministro de los pedidos comienza a retrasarse. Solución: Aumentar la capacidad de producción Situación real de la empresa: se retrasa la decisión de aumentar la producción empieza el descenso de las ventas. Situación adoptada por la empresa: intenta aumentar las ventas mediante incentivos y campañas publicitarias Conceptos sobre Dinámicas de Sistemas (21/39) Ventas Años Se alternan periodos de crecimiento y crisis bancarrota. CONCLUSIÓN: la empresa no puede adaptarse al mercado. En condiciones normales hubiese tenido un crecimiento sostenido y un éxito a largo plazo. 12

13 Conceptos sobre Dinámicas de Sistemas (22/39) Análisis mediante arquetipos sistémicos Inicialmente hay un proceso de crecimiento bucle positivo. PROMOCIÓN VENTAS La empresa apuesta por incrementar la capacidad del dpto. de ventas. Conceptos sobre Dinámicas de Sistemas (23/39) Todo proceso de crecimiento lleva asociado el proceso que lo limita. En el ejemplo considerado la limitación al crecimiento debería producirse porque el mercado alcanza sus propios límites. Lo que sucede: el límite es causa de los retrasos acumulados en el suministro del producto. PROMOCIÓN VENTAS RETRASO EN SUMINISTRO CAPACIDAD PRODUCCIÓN Se tiene una estructura de crecimiento sigmoidal 13

14 Conceptos sobre Dinámicas de Sistemas (24/39) Error: actuar sobre el bucle positivo (incentivar las ventas). Solución: Cambiar el efecto limitador (disminuir el retraso aumentar la capacidad de producción. Por qué no se detecta a tiempo el problema del retraso en los suministros? Solución sintomática Síntoma VENTAS RETRASO EN SUMINISTRO INVERSIONES ESTÁNDAR DE SUMINISTRO Solución fundamental CAPACIDAD PRODUCCIÓN Se actúa sobre la solución sintomática (promocionar las ventas) arquetipo de la dicción Conceptos sobre Dinámicas de Sistemas (25/39) Combinando el arquetipo sigmoidal y el de la adicción se obtiene el arquetipo del proceso de crecimiento con inversión insuficiente. PROMOCIÓN VENTAS RETRASO EN SUMINISTRO INVERSIONES ESTÁNDAR DE SUMINISTRO CAPACIDAD PRODUCCIÓN 14

15 Conceptos sobre Dinámicas de Sistemas (26/39) Ventas Años Comportamiento satisfactorio de la empresa mediante un modelo de simulación Conceptos sobre Dinámicas de Sistemas (27/39) Diagrama de Forrester Los distintos elementos que constituyen el Diagrama de Influencias se representan por medio de variables (v. estado, v. flujo y v. auxiliares). Para entender el significado de estas clases de variables recurrimos a un símil hidrodinámico: Se representan 3 depósitos donde se acumulan 3 niveles las variaciones de los niveles vienen determinadas por las actuaciones sobre unas válvulas. La decisión sobre la apertura de estas válvulas se toma teniendo como única información los valores alcanzados por los niveles (en el instante de tiempo considerado). De forma análoga, los valores alcanzados por los niveles dependen de los valores tomados por las variables de flujo que alimentan dichos niveles. 15

16 Conceptos sobre Dinámicas de Sistemas (28/39) Símil hidrodinámico de un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden F1 F4 X1 F2 X2 X3 F3 Conceptos sobre Dinámicas de Sistemas (29/39) Símbolos que aparecen en los Diagramas de Forrester Nube: representa una fuente o un pozo; puede representarse como un nivel que no tiene interés y es inagotable. Estado o Nivel: representa una acumulación de un flujo, es la variable de estado. Flujo: representa la variación de un nivel, representa un en el estado del sistema. Canal de material: canal de transmisión de una magnitud física, que se conserva. Canal de información: canal de transmisión de una cierta información, que no es necesario que se conserve. 16

17 Conceptos sobre Dinámicas de Sistemas (30/39) Variable auxiliar: variable que representa un paso intermedio en el cálculo de una variable de flujo. Constante: un elemento del modelo que no cambia de valor. Variable exógena: representa una acción del medio sobre el sistema. Retardo: un elemento que simula retrasos en la transmisión de información o material Conceptos sobre Dinámicas de Sistemas (31/39) Variables de Estado Es el conjunto de variables cuya evolución es significativa para el estudio del sistema. Las variables de estado representan magnitudes que acumulan los resultados de acciones tomadas en el pasado; esta función de acumulación puede asimilarse a la del nivel alcanzado por un líquido en un depósito, de ahí viene su denominación de variable de nivel. La elección de los elementos que se representan por variables de estado depende del problema específico que se esté considerando (aquí será muy importante la experiencia del diseñador del modelo). Una característica común a todos los estados es que cambian lentamente en respuesta a las variaciones de otras variables. 17

18 Conceptos sobre Dinámicas de Sistemas (32/39) Expresión matemática de una variable de estado y su aproximación por el método de EULER de integración numérica (esta aproximación es la que se emplea comúnmente en Dinámica de Sistemas): d X = Fe Fs X(t) = X(0) ( Fe dt T 0 F s ) dt X( t Δt ) = X(t) Δt ( Fe (t) Fs (t) ) Conceptos sobre Dinámicas de Sistemas (33/39) Variables de Flujo Las variables de flujo determinan las variaciones en los niveles del sistema. Se trata de variables que no son medibles en sí, sino por los efectos que producen en los estados o niveles con los que están relacionadas. Siguiendo el símil hidrodinámico las variables de flujo se pueden asociar a válvulas que regulen los caudales que alimentan determinados depósitos (variables de estado o nivel). El bloque de una variable de flujo admite, como señal de entrada, la información que viene de los estados, de las variables auxiliares o de las constantes y suministra como salida el flujo que alimenta a un estado. 18

19 Conceptos sobre Dinámicas de Sistemas (34/39) Las unidades en que se mide una variable de flujo deben ser consistentes con las de las variables que relaciona. Una variable de flujo vendrá siempre medida por la unidad del estado o nivel al que alimenta partido por la unidad de tiempo que se considere. Dos variables de flujo no pueden conectarse entre sí (basta con fijarse en el símil hidrodinámico). Conceptos sobre Dinámicas de Sistemas (35/39) Variables Auxiliares Las variables auxiliares representan pasos o etapas en que se descompone el cálculo de una variable de flujo. Ejemplo: Las variables VA1 y VA2 como pasos intermedios en la determinación de F1 en función de X1, X2 y X3. F1 X3 X1 X2 VA2 VA1 19

20 Conceptos sobre Dinámicas de Sistemas (36/39) Las variables auxiliares se pueden utilizar para representar las no linealidades que aparecen en el sistema. Si las variables A y B están ligadas por una expresión de la forma B = f(a), donde f(a) es una función no lineal, su representación será: A B B Conceptos sobre Dinámicas de Sistemas (37/39) Programación del modelo en el computador El siguiente paso es desarrollar el modelo del sistema en el computador, es decir, realizar un programa que permita simularlo. Para ello es necesario definir de forma unívoca el sistema dinámico que se pretende simular. Con el diagrama de Forrester sólo quedan definidas las ecuaciones de las variables de estado. Es necesario especificar las relaciones del resto de las variables. El modelo se puede programar con cualquier lenguaje de alto nivel (FORTRAN, PASCAL, C, etc.). Preferible utilizar los entornos informáticos de simulación que utilizan lenguajes específicos parta la dinámica de sistemas: DYNAMO, STELLA, POWERSIM o VENSIM. 20

21 Conceptos sobre Dinámicas de Sistemas (38/39) Aunque utilizando un lenguaje de alto nivel el programador se libera de aprender un nuevo entorno de programación (incluso en muchos casos del coste de adquisición del nuevo paquete informático). Existen desventajas que convienen tener en cuenta: Es necesario programar métodos numéricos de integración de ecuaciones diferenciales. El orden en el que se escriben las ecuaciones no es indiferente, por lo que se debe invertir un cierto tiempo y esfuerzo en ordenarlas. No se dispone de herramientas adicionales para la gestión de los resultados de las diversas simulaciones que se realicen. Conceptos sobre Dinámicas de Sistemas (39/39) La programación de modelos en los entornos específicos de simulación se puede realizar de dos maneras distintas: Escribiendo las ecuaciones en un lenguaje determinado, de manera similar a como se hace en un lenguaje de alto nivel, con las ventajas mencionas anteriormente. Convencional DYNAMO Ec. de estado X(tΔt) = X(t)Δt [FE(t)FS(t)] N.K = N.JDT (FE.JKFS.JK) Ec. de flujo F(t) = TN M(t) N(t) F.KL = TN M.K N.K No linealidad A = f(b) A.K= TABLE(AT,B.K,B 1, B 5, Δ) AT = A 1 /A 2 /A 3 /A 4 /A 5 Utilizando un entorno gráfico con el que se dibuja el diagrama de influencias o el de Forrester y se escriben después las ecuaciones que definen cada variable. 21

22 Ejemplo completo de un sistema simulado mediante Dinámica de Sistemas Ejemplo de Dinámica de Sistemas (1/6) Modelo sencillo de población Enunciado: Se pretende estudiar, con un modelo, la evolución de la población en una determinada región en los próximos cien años. Las ecuaciones que definen el modelo: d POB (t) (1) = NAC (t) MU (t) dt (2) NAC (t) = TN POB (t) POB (t) (3) MU (t) = TVM 22

23 Ejemplo de Dinámica de Sistemas (2/6) Definición de las variables: POB: Población NAC: Número de nacimientos MU: Número de fallecimientos TN: Tasa de natalidad TVM: Tiempo de vida medio Diagrama de influencias: Ejemplo de Dinámica de Sistemas (3/6) Clasificación de las variables, especificar sus unidades: Variables de estado: POB: personas Variables de flujo: NAC: personas / año MU: personas / año Constantes: TN: año 1 TVM: año Ejemplo del cálculo de las unidades de TN y TVM: personas NAC (t) De la ecuación (2) TN = = año = año 1 POB (t) personas De la ecuación (3) POB (t) personas TVM = = = año MU (t) personas año 23

24 Ejemplo de Dinámica de Sistemas (4/6) Diagrama de Forrester: POB NAC MU TN TVM Tratamiento de las ecuaciones en ausencia de un programa de modelado y simulación: dx dt = x (t Δt) x(t) Δt Ejemplo de Dinámica de Sistemas (5/6) d POB (t) (1) = NAC (t) MU (t) dt (1) POB (t Δt) = POB (t) Δt [ NAC (t)mu (t) ] (2) NAC (t) = TN POB (t) POB (t) (3) MU (t) = TVM Condiciones iniciales, condiciones de simulación y constantes: POB (2002) = 1600, Δt = 1 año, TN = 0.04 y TVM = 80 24

25 Ejemplo de Dinámica de Sistemas (6/6) t = 2002 POB (2002) = 1600 NAC (2002) = TN POB (2002) = = 64 POB (2002) 1600 MU (2002) = = = 20 TVM 80 t = 2003 POB (2003) = POB (2002) Δt [ NAC (2002) MU (2002) ] = [ ] = 1644 NAC (2003) = TN POB (2003) = = 65 POB (2003) 1644 MU (2003) = = = 20 TVM Introducción al programa VENSIM VENSIM PLE 4.1 (Personal Learning Edition) 25

26 Definición: Vensim es una herramienta visual de modelización que permite conceptualizar, documentar, simular, analizar y optimizar modelos de dinámica de sistemas. 26

27 Introducción al programa VENSIM (1/6) Barra de Título Menú Barra principal de herramientas Zona de dibujo Herramientas de dibujo Herramientas de análisis Herramientas de formato Introducción al programa VENSIM (2/6) Variable de estado Variable de flujo Editor de ecuaciones Herramientas de dibujo puntero Ctes y auxiliares Flecha (Canal) comentario Variable shadow borrador Herramientas de simulación Nombre de la simulación Selección de la simulación Simulación con Reality Check Inicialización de una simulación Simular 27

28 Introducción al programa VENSIM (3/6) Herramientas de análisis Relaciones de influencia de la variable seleccionada Bucles que afectan a la variable seleccionada Información textual del modelo (ecuaciones, unidades,...) Muestra todos los gráficos de las variables que afectan a la variable seleccionada Muestra el gráfico de la variable seleccionada Genera la tabla de valores de la variable seleccionada Devuelve las diferencias (constantes y tablas) entre dos simulaciones Introducción al programa VENSIM (4/6) Otras opciones Panel de control 28

29 Introducción al programa VENSIM (5/6) Fases del modelado y simulación con Vensim Construir un nuevo modelo o abrir uno existente: Dibujo del modelo Ecuaciones Unidades de las variables Verificar el modelo y sus unidades Examinar la estructura del modelo con las herramientas de análisis. Simular el modelo. Examinar el comportamiento en el modelo con las herramientas de análisis. Realizar distintos experimentos para entender o refinar el modelo. Introducción al programa VENSIM (6/6) VENSIM PLE PLUS Test de sensibilidad. Optimización de funciones de coste. Herramientas estadísticas. Permite tomar datos de otros programas (hojas de cálculo como Excel y Lotus). Permite crear controles de entrada y salida personalizados para cada modelo. Puede proporcionar múltiples vistas. 29

30 Ejemplo completo de un sistema simulado mediante VENSIM PLE Ejemplo con VENSIM (1/32) Modelo sencillo de población con Vensim 1. Arrancar Vensim 2. Pulsar el botón de nuevo modelo: File > New Model password 30

31 Ejemplo con VENSIM (2/32) 3. Dibujar el correspondiente diagrama de Forrester Ejemplo con VENSIM (3/32) La estructura del modelo está completa. Sin embargo, para poder simular son necesarias las ecuaciones que describen las relaciones entre variables 4. Escribir las ecuaciones del modelo Todas las variables del modelo se ponen negras 31

32 Ejemplo con VENSIM (4/32) Variable de estado: POB Nombre de la variable 1600 Ecuación de estado personas Variables relacionadas Ejemplo con VENSIM (5/32) Variables de flujo: NAC y MU Nombre de la variable Muy importante Vensim (ecuac.) TN POB V. Flujo = V. Auxiliar personas/años Variables relacionadas 32

33 Ejemplo con VENSIM (6/32) POB / TVM personas/años Ejemplo con VENSIM (7/32) Constantes o prámetros: TN y TVM / años 33

34 Ejemplo con VENSIM (8/32) 80 años Ejemplo con VENSIM (9/32) 5. Salvar el modelo poblacion_1.mdl 6. Análisis de influencias en el modelo 7. Verificar la sintaxis del modelo y los errores de unidades Model > Check Model Model > Units Check 34

35 Ejemplo con VENSIM (10/32) Provoquemos un error en las unidades Por ejemplo en TN: 1 / años años Model > Units Check Ejemplo con VENSIM (11/32) 8. Simular el modelo 8.1 Dar nombre a la simulación 8.2 Inicializar la simulación (EULER) 8.3 Simular 9. Análisis de simulación 9.1 Hacer doble click sobre la variable que se quiera analizar por ejemplo POB 9.2 Seleccionar el tipo de análisis 35

36 Ejemplo con VENSIM (12/32) Ejemplo con VENSIM (13/32) números reales? NAC > MU POB creciente 36

37 Ejemplo con VENSIM (14/32) Intentamos buscar un ejemplo para que NAC < MU antes (Simulac_1) TN = 0.04 TVM = 80 ahora (Simulac_2) TN = 0.01 TVM = 60 POB decreciente Ejemplo con VENSIM (15/32) Comparamos las simulaciones Simulac_1 y Simulac_2 Explicar la opción Datasets del panel de control 37

38 Ejemplo con VENSIM (16/32) Ejercicio: Realizar la simulación Simulac_3 con los datos de la simulación Simulac_1 pero utilizando el método de integración de Runge Kutta. Comparar sus resultados de forma gráfica y en forma de tabla. Ejemplo con VENSIM (17/32) Algunos comentarios sobre el modelo sencillo de población Hasta ahora el valor de MU es directamente proporcional al tamaño de POB MU 1 TVM POB Esto no significa que MU se incrementa linealmente con el tiempo. Lo que significa es que MU crece a la misma velocidad que POB Para expresar esa dependencia lineal se podía haber construido una tabla, pero es más sencillo utilizar una constante (la pendiente de la recta) 38

39 Ejemplo con VENSIM (18/32) Lo que queremos conseguir ahora es que la velocidad en que se producen las muertes sea superior al crecimiento de la población cuando ésta haya alcanzado un cierto límite. Hipótesis real (en las poblaciones grandes se pueden alcanzar los límites de los recursos) Cómo se puede representar ésto? MU TABLA POB Ejemplo con VENSIM (19/32) En nuestro modelo poblacion_1 introducimos dos nuevas variables: NMAX: Número de personas a partir del cual el exceso de población afecta al número de muertes FAMU: Factor que afecta al número de muertes debido al exceso de población Cómo cambian las ecuaciones del modelo? La ecuación (3) cambia a: MU (t) POB (t) = FAMU (t) TVM (4) POB (t) FAMU (t) = f NMAX 39

40 Ejemplo con VENSIM (20/32) Clasificación de las nuevas variables, especificar sus unidades: Variables auxiliares: FAMU: adimensional Constantes: NMAX: personas Valores para la simulación: POB(t) NMAX FAMU (t) NMAX = Ejemplo con VENSIM (21/32) Diagrama de Forrester en Vensim: 40

41 Ejemplo con VENSIM (22/32) Completar y modificar las ecuaciones : 5000 personas Ejemplo con VENSIM (23/32) Valor de entrada a la tabla POB / NMAX Dmnl 41

42 Ejemplo con VENSIM (24/32) POB / NMAX FAMU Ejemplo con VENSIM (25/32) 42

43 Ejemplo con VENSIM (26/32) La ecuación de MU hay que modificarla (POB / TVM) FAMU Ejemplo con VENSIM (27/32) A continuación: verificar el modelo y la consistencia de unidades Simular el modelo: Dar nombre a la simulación Inicializar la simulación (EULER) Simular Qué ocurre con la salida del modelo? Ejercicio: Comparar en una misma gráfica los resultados de la simulación Simulac_1 con los de la simulación Simulac_4 43

44 Ejemplo con VENSIM (28/32) Punto de inflexión Domina el bucle positivo: MU Domina el bucle positivo: NAC Ejemplo con VENSIM (29/32) 44

45 Ejemplo con VENSIM (30/32) Personalización de la salida gráfica con Vensim Ejemplo con VENSIM (31/32) Gráfico_1 MODELO SENCILLO DE POBLACIÓN Time Tiempo (años) POB Simulac_1 CrecEULER 4 person POB Simulac_2 DecrEULER 4 person POB POB Simulac_3 Simulac_4 CrecRUNGE TABLA 4 4 person person 45

46 Ejemplo con VENSIM (32/32) 46