Nivelación Restitutiva. Grupo. Nivel 1. Matemática. Geometría. 1º Medio

Transcripción

1 Nivelación Restitutiva Grupo Nivel Matemática Geometría 1º Medio

2 Material elaborado por: Facultad de Educación, Pontificia Universidad Católica de Chile Equipo Desarrollo Pedagógico - Programa Liceo Para Todos

3 Esta bitácora pertenece a: Nombre Curso Liceo

4

5 Figuras geométricas: Sus propiedades y sus clasificaciones. Transformaciones isométricas Sabías que la primera prueba documental de la celebración de los Juegos Olímpicos data del año 776 a. C. en la localidad griega Olimpia, en la península mediterránea del Peloponeso? Uno de los deportes más importantes es el tiro del disco, deporte del cual se sabe que el ángulo de lanzamiento ideal es 45. Sabías que ángulo significa codo flexionado, el cual deriva del sustantivo latino ángulus y éste del griego ankýlos que significa doblado? Completa la siguiente tabla indicando el tipo de ángulo y la medida de éste. Descripción del ángulo Dibujo que representa la situación planteada Nombre del ángulo Medida del ángulo El brazo está totalmente extendido y está paralelo al suelo. El antebrazo está flexionado verticalmente respecto del suelo. El codo está flexionado en una abertura menor cuando está en posición vertical al suelo. El codo está flexionado en una abertura mayor cuando está en posición vertical al suelo. Observa las siguientes imágenes e identifica los ángulos agudos, rectos, obtusos y extendidos según correspondan.

6 Toma nota: La clasificación de los ángulos en agudos o ángulos que miden menos de 90, rectos o ángulos que miden 90, obtusos o ángulos que miden más de 90, pero menos de 180 ; y extendido o ángulo que mide 180, es anterior a Platón y quizás de origen griego, así como el concepto de perpendicular o de intersección en 90. Sabías que la natación tiene diversos estilos de competencia (espalda, crol, mariposa, natación sincronizada, entre otros). El estilo libre o crol se origina en Australia simulando la técnica de nado de los nativos; la primera versión de este estilo se le atribuye al inglés John Arthur Trudgen en el año 1870? Ahora dibuja sobre las imágenes los ángulos agudos, rectos, obtusos y/o extendidos según corresponda. En Básquetbol el árbitro comunica las faltas de los jugadores mediante señales con sus brazos. Escribe sobre cada dibujo si los brazos forman un ángulo agudo, recto, obtuso o extendido. Lucha Falta de jugador Pasos Falta técnica 3 segundos en zona Puntos anotados Falta personal Triple Bloqueo 6

7 Sabías que el concepto de ángulo complementario era frecuentemente utilizado por los astrónomos árabes, quienes explicaban que era lo que le falta a la medida de un ángulo para completar noventa grados? Completa y responde la siguiente tabla calculando el complemento de cada ángulo. Medida ángulo Complemento Medida ángulo Complemento = 37 = 45 = 79 = 62 Tiene sentido calcular el complemento de un ángulo obtuso? Argumenta tu respuesta. Observa la siguiente imagen y encierra en un círculo cuándo se presente al mismo tiempo un ángulo y su complemento. Elementos de una cercha Observa las siguientes figuras geométricas y marca con una A los ángulos agudos; con una R los ángulos rectos y con una O los ángulos obtusos. Toma nota: Recuerda que todo ángulo está constituido por dos segmentos que se unen en un punto en común (estos puntos, de unión de dos segmentos, reciben el nombre de vértice) y su denominación se realiza de la siguiente forma: ABC. 7

8 Sabías que la palabra vértice significa remolino, girar o dar vueltas? Observa las siguientes insignias, dibuja los triángulos, los cuadrados, los círculos, los rectángulos u otros cuadriláteros, según corresponda. No olvides escribir el nombre de la figura geométrica al lado de cada dibujo realizado. Completa la siguiente tabla indicando los elementos básicos de cada figura geométrica. Nombre de la figura Dibuja la figura indicando sus vértices y el Nº de éstos Dibuja la figura indicando sus ángulos y el Nº de éstos Dibuja la figura indicando sus lados y el Nº de éstos Triángulos Cuadrados Rectángulos 8

9 Completa la siguiente tabla que clasifica los triángulos según la medida de sus lados o según la medida de sus ángulos. Descripción del triángulo Dibujo del triángulo con todos sus datos Nombre del triángulo descrito Tiene sus tres ángulos y sus tres lados de igual medida o congruentes. a a a Triángulo equilátero Tiene dos ángulos y dos lados congruentes. Tiene sus tres ángulos y sus tres lados de distinta medida. Tiene sus tres ángulos de distinta medida y son todos agudos. Tiene un ángulo obtuso y dos ángulos que son agudos. Tiene un ángulo recto y dos ángulos que son agudos. Toma nota: La clasificación de los triángulos según la medida de sus lados es: equiláteros, isósceles y escalenos. En cambio, la clasificación de los triángulos según la medida de sus ángulos es: agudo, recto y obtusángulo. La palabra Isósceles significa de piernas iguales. Proviene del adjetivo griego isoskelés, compuesto de isos (igual) y skélos (piernas). Dos cabezas piensan más que una: Reúnete con tu compañero de banco y contesten la siguiente tabla. No olviden argumentar sus respuestas. Triángulo obtusángulo Triángulo isósceles Definición. Dibujo. 9

10 A continuación les presentamos los signos que podrán utilizar para explicitar toda la información necesaria en una representación gráfica de una figura geométrica. Signo Significado de los signos El dibujar un entre dos segmentos significa que el ángulo mide 90 o que los segmentos son perpendiculares. El dibujar una línea en sentido contrario en variados segmentos significa que éstos tienen igual medida o congruentes. El dibujar en variados ángulos significa que éstos tienen la misma medida o congruentes. Dibuja la figura geométrica que se indica y señala a través de los signos correspondientes las propiedades específicas de cada concepto. Figura Geométrica Dibujo de la figura con sus respectivos signos Cuadrado: Tiene sus cuatro lados congruentes y sus cuatro ángulos miden 90. Rectángulo: Tiene sus cuatro ángulos de 90 y los lados opuestos son paralelos y congruentes. Rombo: Tiene los cuatro lados congruentes, pero un par de ángulos son agudos y el otro par de ángulos son obtusos. Romboide: Paralelógramo que tiene dos lados opuestos iguales y dos pares de ángulos opuestos congruentes. 10

11 Dos cabezas piensan más que una: Reúnete con tu compañero de banco, observen la siguiente imagen y completen la argumentación respecto de las semejanzas entre un cuadrado y un rectángulo. Semejanzas entre el cuadrado y el rectángulo El cuadrado y el rectángulo tienen como característica que sus lados son: El cuadrado y el rectángulo tienen sus ángulos: El cuadrado y el rectángulo tienen lados perpendiculares, lo que implica: Dado el siguiente cuadro (Piet Mondrian, Tableau N 0 4, Galería Nacional de Arte, Washington), indica y dibuja las figuras geométricas (triángulos, cuadriláteros, entre otros) que se observan en ella, registrando además las propiedades que posee cada figura, (n 0 de lados, n 0 de ángulos, etc). Nombre de la figura Dibuja la figura indicando toda sus propiedades 11

12 Observa las siguientes figuras geométricas y completa la tabla y responde las preguntas respectivas (Las líneas dibujadas sobre los segmentos indican que los lados tienen igual medida). Nombre de la figura Cantidad de lados Cantidad de ángulos Cuadrilátero ABCD Cuadrilátero A`B`C`D` Cuadrilátero A```B```C```D``` Observa con atención la siguiente figura ABC y responde las siguientes preguntas. La figura ABC es la misma que la figura AB`C`, AB``C`` y AB```C```? Se giró en 90 o 180 la figura ABC con respecto a la figura AB 1 C 1? Qué nombre recibe la figura geométrica ABC? Cuáles son sus propiedades? De cuántas maneras se puede dibujar una misma figura geométrica? 12

13 Toma nota: La rotación de una figura geométrica tiene como propiedad que la figura rotada (en un ángulo determinado y a partir de un punto específico) tiene la misma forma y medida que la inicial, es decir, son figuras congruentes. Recuerda que una rotación en 90 es un cuarto de giro; en 180 es medio giro; en 270 es tres cuartos de giro y en 360 es un giro completo. Ahora aprenderemos la manera de argumentar por qué los triángulos anteriores tienen la misma forma y medida, es decir, porque son triángulos congruentes. Observa nuevamente la imagen y responde las preguntas. En cuánto ha girado el segmento AB respecto del segmento AB``? Y el segmento B``C`` y B``A? Podemos afirmar que el triángulo AB``C`` tiene igual forma y medida que el triángulo ABC? En cuánto ha girado el segmento AB``` respecto del segmento AB? Y el segmento AC``` y C```B```? Podemos afirmar que el triángulo AB```C``` tiene igual forma y medida que el triángulo ABC? 13

14 A continuación observa la imagen que muestra a un trabajar listo para limpiar las ventanas de un edificio. Cuál era el estado inicial? Dibújalo. Estado final 1. Anota lo que entiendes por traslación y da otro ejemplo de la vida real. 2. Qué elementos de una figura (posición, tamaño, largo de sus lados, magnitud de sus ángulos, etc.) cambian al trasladarla? Cuáles no cambian? Toma nota: La traslación es el movimiento más sencillo que podemos realizar con una figura sin modificar su forma y sus medidas, ya que es un desplazamiento que tiene un punto de referencia o inicio, un punto de llegada o final, una dirección y un sentido en que se realizó la traslación. 14

15 Dibuja un triángulo cualquiera ABC y dibuja otro congruente, a 6 cm. hacia arriba y a 4 cm. hacia la derecha (haz el primer triángulo en el costado derecho de tu cuaderno para que puedas dibujar el segundo triángulo). Luego une los vértices (haz una fecha) del triángulo ABC con los vértices del triángulo que trasladaste Qué características en común tienen las flechas que dibujaste? Por qué crees que dibujaste esas flechas? Traslada la figura siguiente en la dirección, sentido y magnitud que indica la flecha. Sabías que Embaldosar o Teselar, significa recubrir el plano con figuras que se trasladan de modo que las figuras recubren completamente el plano y la intersección de dos figuras es sin espacios? Explica con tus palabras cómo se puede Teselar a partir de esta baldosa. Dibuja en tu cuaderno un ejemplo de Teselación. 15

16 Sabías que la idea de simetría es inherente a la percepción humana? Por lo tanto, es apropiado recurrir a algunos ejemplos de simetría, de gran belleza, que se dan en la naturaleza. Eje de simetría interno Observa las siguientes imágenes y responde la pregunta, según corresponda. Qué características poseen las figuras que se forman al trazar un eje de simetría interno? Toma nota: Diremos que una figura es simétrica, cuando, al trazar una línea recta en el centro de ella, la parte que está a un lado de la línea es exactamente igual a la parte que está al lado opuesto de esa misma línea. Por ejemplo, en la tijera, si dibujamos una línea vertical en el centro de ella, el lado derecho es exactamente igual al lado izquierdo. Dos cabezas piensan más que una: Reúnete con tu compañero de banco y observen que hay imágenes de situaciones de la realidad que poseen ejes de simetría externos. Qué se puede concluir respecto del eje de simetría gris? Qué se puede concluir respecto del eje de simetría negro? 16

17 Dibuja todos los ejes de simetría interno de esta baldosa. Argumenta tu respuesta: Dibuja el eje de simetría externo o interno según corresponda y explica el porqué de tu respuesta. Argumenta tu respuesta: Observa la siguiente imagen y dibuja el o los ejes de simetría según corresponda. Qué características poseen las figuras que se forman al trazar un eje de simetría interno? 17

18 Sabías que circunferencia significa lo que lleva alrededor, es decir, es el conjunto de puntos que equidistan de un punto llamado centro; y círculo significa pequeño espacio circular; es decir, es el conjunto de puntos que equidistan del centro y el conjunto de puntos de la región interior de dicha circunferencia? Indica cuál es el círculo y cuál es la circunferencia. Toma nota: El matemático suizo Leonhard Euler, en 1737, utilizó la letra, como símbolo para el cociente entre el perímetro de un círculo y la longitud de su diámetro (La letra griega es la inicial de la palabra perímetro). El radio de una circunferencia corresponde a la distancia entre el centro y un punto cualquiera de ella. El diámetro de una circunferencia equivale al doble de la medida del radio. Un arco de circunferencia es una sección o segmento de circunferencia. Una cuerda es un segmento que une dos puntos de la circunferencia. 18

19 Cuánto has aprendido? Los siguientes problemas te permitirán autoevaluar tus aprendizajes desarrollados hasta aquí. 1. Indica el nombre de los siguientes triángulos según la medida de sus lados y según la medida de sus ángulos. 2. Completa la tabla indicando el nombre de cada una de las figuras geométricas que aparecen en la siguiente imagen e indica sus propiedades a través de un dibujo según corresponda. Nombre de la figura geométrica Propiedades de la figura geométrica 3. Escribe el nombre del concepto dada la definición de éste. A) Es el segmento que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia. La frase corresponde al concepto de B) Es un segmento que une dos puntos cualquiera de la circunferencia. La frase corresponde al concepto de C) Corresponde a una sección de la circunferencia. La frase corresponde al concepto de 19

20 4. Cuál de las alternativas representa la rotación de la figura? a) b) c) d) Argumenta tu respuesta tanto para la respuesta correcta, como para alternativas falsas. 5. Describe el movimiento de traslación que realiza el planeta Tierra. Argumenta tu respuesta: 20

21 Polígonos Regulares e Irregulares y Cuerpos Geométricos 21

22 22

23 Sabías que la palabra Polígono significa que es una figura geométrica que tiene muchos ángulos? Es la transcripción del adjetivo griego polygonos (de polys que significa muchos, y gonía que significa ángulo). Completa la siguiente tabla siguiendo el ejemplo de la primera fila de la tabla. Dibujo de la figura Características: n = n de lados y m = n de ángulos Medidas de los ángulos Nombre de la figura n = 3 ángulos congruentes cuya medida es Polígono regular denominado Triángulo equilátero. m = n = ángulos congruentes cuya medida es Polígono regular denominado m = n = Polígono regular denominado m = n = Polígono regular denominado m = n = Polígono regular denominado m = Toma nota: Todo polígono es una figura plana y cerrada formada al unir tres o más segmentos rectilíneos. Un polígono regular es aquel cuyos lados son congruentes y cuyos ángulos interiores congruentes están formado por dos lados consecutivos. 23

24 Sabías que los cuerpos geométricos tienen largo, ancho y alto, lo que los convierte en cuerpos geométricos u objetos de 3 dimensiones? A continuación, observa el cuerpo geométrico denominado paralelepípedo. El paralelepípedo está constituido por 6 caras rectangulares, es decir, posee 6 figuras geométricas llamadas rectángulos! El paralelepípedo tiene 12 aristas, es decir, posee 12 intersecciones entre 2 caras! El paralelepípedo tiene 8 vértices, es decir, tiene 8 puntos en donde concurren siempre 3 caras rectangulares! Completa la siguiente tabla a partir de los conocimientos aprendidos en la actividad realizada anteriormente. Qué figuras geométricas necesitas para armar una pirámide de base cuadrangular, y cuántas de cada una? Qué figuras geométricas necesitas para armar un cubo, y cuántas de cada una? 24

25 Completa la siguiente tabla a partir de los conocimientos aprendidos en la actividad realizada anteriormente. Nombre del cuerpo geométrico Características del cuerpo geométrico Cubo Tiene 6 caras cuadradas de igual medida Que concurren 3 de ellas en cada vértice. Tiene vértices y aristas. Tetraedro regular Tiene caras, que concurren en cada vértice. Tiene vértices y aristas. Paralelepípedo Tiene caras, que concurren en cada vértice. Tiene vértices y aristas. Toma nota: El cubo, el tetraedro, el octaedro y el dodecaedro son poliedros regulares, y cualquier cuerpo poliedro podemos observar 3 elementos básicos: caras, aristas y vértices. Ejemplo: El cubo tiene 6 caras cuadradas, 12 aristas y 8 vértices. 25

26 Observa los siguientes cuerpos geométricos. Pirámide con base pentagonal Prisma Octaedro Completa la siguiente tabla a partir de las características de cada cuerpo geométrico. Nombre del cuerpo geométrico Características según caras, vértices y aristas Sabías que algunos polígonos irregulares tienen la propiedad de poder formar mosaico empleando polígonos de igual forma y tamaño? 26

27 Recuerda que un polígono irregular es una figura geométrica cuyos lados y ángulos tienen diferentes medidas. Describe la figura geométrica de color gris respecto de lados y ángulos: Responde las siguientes preguntas teniendo como base la información anterior sobre los polígonos irregulares. En la figura de arriba, Cuál es la relación entre el polígono de color gris y color blanco respecto de sus propiedades y/o características? Pueden ser congruentes los polígonos irregulares? Argumenta tu respuesta. A investigar!: Otro ejemplo de mosaico son los realizados por Mac Escher, quien ha construido obras de arte utilizando diversas figuras que se repiten periódicamente en vez de los polígonos regulares e irregulares. 27

28 Sabías que las pirámides son construcciones que se encuentran cerca de El Cairo, Egipto, y que son las más antiguas y las únicas conservadas de las Siete Maravillas del mundo? Ahora estudiaremos en concepto de Pirámide desde la Geometría. Se define como un poliedro (cuerpo geométrico cuyas caras son polígonos) limitado por una base, que es un polígono cualquiera, y varias caras laterales, que son triángulos con un vértice común llamado vértice de la pirámide. A continuación observa las siguientes pirámides y descríbelas según la medida de los ángulos y lados que conforman cada cara de la pirámide. Cuáles son los posibles polígonos que pueden ser base de una pirámide? Dibújalas y descríbelos según sus características (caras, aristas, vértices, etc.) Se sabe que una pirámide es regular si su base es un polígono regular, y si el vértice se proyecta sobre el centro de la base perpendicularmente, es decir, en noventa grados. Cuáles serían las posibles pirámides regulares e irregulares? Haz solamente el dibujo de la pirámide, según corresponda. Ayuda: Las pirámides regulares son las que tienen un polígono regular como base y sus caras laterales son triángulos isósceles. Ayuda: Las pirámides irregulares pueden tener como base polígonos irregulares, o bien, que alguna de sus aristas laterales tenga distinta medida. 28

29 Ahora aprenderemos a armar las pirámides con sus respectivas redes. Une con una línea la red con su respectiva pirámide. Qué condición debe cumplirse entre las medidas de la cara basal y las caras laterales del cuerpo geométrico? Cómo debe ser la red de una pirámide regular de base pentagonal? Dibújala e indica qué relación hay entre las medidas de las caras triangulares y las medidas de la cara pentagonal. Dibujo de la red Propiedades de la red 29

30 Copia las siguientes redes geométricas en una hoja y arma el cuerpo geométrico correspondiente. Haz el dibujo de cómo es el cuerpo geométrico en base a su red. Clasifica los cuerpos geométricos anteriores según los siguientes criterios: Prismas Rectos, si sus aristas laterales son perpendiculares a las bases. Prismas Oblicuos, si sus aristas laterales no cumplen esa condición. Prismas rectos Prismas oblicuos 30

31 A investigar!: Investiga sobre los cuerpos geométricos denominados poliedros y los cuerpos geométricos redondos. Completa la siguiente tabla dibujando un ejemplo de cada cuerpo geométricos según la siguiente clasificación. Cuerpos poliedros Poliedros irregulares: (Prisma recto, prisma trunco, paralelepípedo) Cuerpos redondos Cilindros: (cilindros rectos, cilindros oblicuos), Conos: (conos inclinados, cono tronco inclinado) y Esféricos: (esfera) Cuánto has aprendido? 1. Identifica cada uno de los cuerpos geométricos que aparecen en la imagen. Nombre del cuerpo geométrico Dibujo del cuerpo geométrico 31

32 2. Dada la red geométrica, escribe el nombre del cuerpo geométrico, según corresponda. 3. Dada la red geométrica, escribe el nombre del cuerpo geométrico. según corresponda, y describe cada una de las caras que conforman cada cuerpo geométrico. Nombre y dibujo del cuerpo geométrico Descripción de las caras del cuerpo geométrico 32

33 Regularidades, argumentaciones y teoremas 33

34 34

35 Sabías que la palabra Regularidad en Matemática significa descubrir las relaciones conceptuales o patrones que se cumplen siempre? Ahora aprenderás el concepto de Constante. Observa la siguiente imagen que muestra las medidas de una cancha de fútbol. Se sabe que en una cancha de fútbol las medidas pueden ser variables respecto del largo y del ancho (puede medir entre 90 y 120 m de largo y entre 45 y 90 m de ancho) que dan origen a una forma rectangular. Pero, respecto de las medidas de la portería, éstas tienen que ser siempre 7,32 m entre los postes y 2,44 m de altura. Qué medidas pueden variar en una cancha de fútbol? Qué medidas no pueden variar o se mantienen constante en una cancha de fútbol? Completa la siguiente tabla marcando con una X si la afirmación corresponde a una información que implica variación o si implica constante. Afirmación Variación Constante El ancho del área grande sigue siendo la misma: 16,5 metros. La altura del arco es de 2,44 metros. El partido de fútbol consta de dos tiempos o mitades que duran 45 minutos cada uno. Las medidas de las canchas de fútbol difieren levemente según los países. 35

36 Sabías que los números figurados son los números que se pueden expresar como una cierta configuración geométrica de puntos, es decir, la cantidad de puntos representa al número? Identifica la figura geométrica asociada a cada número figurado. Imagen Figura geométrica 4º Nº figurado asociado,,,,,, Completa la siguiente tabla indicando las características de las figuras geométricas que se conforman a partir de los números figurados. Dibuja dos figuras geométricas con todos los signos que indiquen sus respectivas características. Las figuras dibujadas son semejantes o congruentes? Semejantes, ya que sus ángulos tienen igual medida pero sus lados son distintos. Las figuras dibujadas son regulares o irregulares? Las figuras dibujadas son regulares ya que las medidas de sus cuatro ángulos y sus 4 lados son iguales. 36

37 Te desafío a resolver: Los números figurados presentan diversas propiedades que aprenderemos a continuación. Observa atentamente cada imagen. Propiedad 1: Todo número figurado triangular se puede escribir como la suma de números enteros. Observa que T 4 significa que el número figurado triangular es igual a la suma de los 4 primeros números enteros. Por lo tanto, la suma es: T 4 = = 10 Completa la siguiente tabla teniendo como ejemplo el problema anterior. Nº figurado triangular Indica la suma de los números enteros Dibujo del Nº figurado triangular Valor del Nº figurado triangular T 5 T 7 T 10 Toma nota: Recuerda que la suma de los n primeros números naturales es equivalente a lo siguiente: n (n + 1) 2 T n = n = Ejemplo: T 4 = = ( 4 5 ) / 2 = 20 / 2 = 10 37

38 Sabías que Teorema significa investigación, meditación o estudio? Esta palabra proviene del sustantivo griego theórema, a su vez derivado del verbo theoréo, que significa contemplar o examinar. Qué datos debemos conocer sobre dos triángulos, para ser capaces de concluir que podemos superponer uno exactamente sobre el otro sin trasladarlo, estirarlo, doblarlo, ni romperlo? Lee atentamente las siguientes afirmaciones, luego dibuja las figuras geométricas que correspondan y argumenta si puedes responder la pregunta anteriormente formulada. Dado los triángulos ABC y A`B`C`, se sabe que el lado AB es congruente con A`B`, el lado BC es congruente con B`C`, y el lado CA es congruente con el lado C`A`. Dibuja el triángulo ABC Dibuja el triángulo A`B`C` Podemos concluir que el triángulo ABC se puede superponer al triángulo A`B`C` sin romper o trasladar ninguno de los triángulos? Argumenta la respuesta en tu cuaderno. Dado los triángulos ABC y A`B`C`, se sabe que el ángulo determinado por ABC es congruente con el ángulo determinado por A`B`C`, que el ángulo determinado por BCA es congruente con el ángulo determinado por B`C`A`, y que el ángulo determinado por CAB es congruente con el ángulo determinado por C`A`B`. Dibuja el triángulo ABC Dibuja el triángulo A`B`C` Podemos concluir que el triángulo ABC se puede superponer al triángulo A`B`C` sin romper o trasladar ninguno de los triángulos? Argumenta la respuesta en tu cuaderno. 38

39 Toma nota: El triángulo ABC es congruente (que tiene igual forma y superficie) con el triángulo A`B`C`, sí y sólo sí, el triángulo ABC tiene sus lados de igual medida con el triángulo A`B`C`. C AB = 6,14 cm BC = 5,68 cm C A B = 6,14 cm B C = 5,68 cm CA = 5,48 cm C A = 5,48 cm A B A B Por lo tanto, debemos tener presente que si dos triángulos tiene sus tres ángulos de igual medida, y sus tres lados también son de igual medida. Entonces los triángulos son congruentes. Dos cabezas piensan más que una: Reúnete con tu compañero de banco y desarrollen las actividades propuestas. Cuáles son los datos necesarios y suficientes, respecto de los lados y ángulos, para saber si dos triángulos son congruentes? La idea central es encontrar combinaciones de datos referidas a lados y/o ángulos para responder a la pregunta realizada. Completen la Tabla Nº 1: Valores conocidos: Si tienes la medida de un lado y la medida de un ángulo Cuál es el otro dato necesario para construir un triángulo y determinar si es congruente con otro triángulo? Lado AB mide 6 cm. Ángulo ABC mide 60 Dibujen dos triángulos a partir de la información obtenida en la Tabla Nº 1 39

40 Redacten (en función de los datos de la Tabla Nº 1) el teorema que indica cuándo dos triángulos son congruentes. Completen la Tabla Nº 2: Valores conocidos: Si tienes la medida de un lado y la medida de un ángulo. Cuál es el otro dato necesario para construir un triángulo y determinar si es congruente con otro triángulo? Lado AB mide 6 cm. Ángulo ABC mide 60 Dibujen dos triángulos a partir de la información obtenida en la Tabla Nº 2 Redacten (en función de los datos de la Tabla Nº 2) el teorema que indica cuándo dos triángulos son congruentes. Toma nota: Otro teorema de congruencia de triángulos es el denominado criterio LAL, que indica que, si al comparar dos triángulos, los lados que forman un ángulo en ambas figuras tienen la misma medida, se denominan triángulos congruentes. Asimismo, el criterio ALA hace alusión a que si dos de los ángulos y el lado adyacente a ambos ángulos tienen la misma medida, implica que los triángulos también son congruentes. 40

41 Trabaja con lo aprendido: Observa la siguiente imagen e indica qué figuras geométricas son congruentes. Nombre de la figura geométrica Dibujo de ambas figuras geométricas Argumenta tu respuesta Dos cabezas piensan más que una: Reúnete con tu compañero de banco y expliquen por qué los criterios LLA, AAA y LAA no son considerados teoremas de congruencia de triángulos. Completen la siguiente tabla. Escribe el significado del criterio según corresponda Dibujen ejemplos en que se cumpla el criterio, pero los triángulos no sean congruentes Criterio LLA Criterio AAA Criterio LAA Toma nota: Los criterios LLA, AAA y LAA nos permiten concluir que dos triángulos son semejantes, es decir, que ambas figuras tienen la misma forma pero distinto superficie o tamaño. 41

42 A investigar!: A continuación se presentan una serie de teoremas que debes investigar y que están relacionados con las temáticas estudiadas anteriormente. Completa la siguiente tabla dibujando las figuras geométricas y propiedades enunciadas en el teorema. Enunciado del Teorema de Pitágoras Representación gráfica del Teorema En un triángulo rectángulo ABC, el área del cuadrado formado a partir la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados formados a partir de los catetos. Completa la siguiente tabla indicando con signos las características de cada una de las figuras geométricas que representan al teorema en estudio. Enunciado del Teorema de Ptolomeo Representación gráfica del Teorema Si el cuadrilátero ABCD está inscrito en una circunferencia, entonces la suma de los productos de lados opuestos del cuadrilátero es igual al producto de las diagonales de éste: AB CD + AD BC = AC BD 42

43 Observa los siguientes dibujos que muestran cómo probar el teorema de Pitágoras. A continuación copia los dibujos en una hoja de block y comprueba el teorema de Pitágoras. Haz una explicación breve en que conste la demostración realizada en cada caso específico. 43

44 44

45 Cuánto has aprendido? 1. Completa la siguiente tabla dibujando las figuras geométricas asociada a cada número figurado. Imagen de los números figurados Dibujo de la figura geométrica Heptágono Número figurado Dodecágono 2. Observa la siguiente imagen que muestra una forma particular de probar el Teorema de Pitágoras. Cuál de las figuras geométricas son polígonos regulares? Argumenta tu respuesta. Cuál de las figuras geométricas son congruentes? Argumenta tu respuesta. C Cuál de las figuras geométricas son polígonos regulares? Argumenta tu respuesta. A B Cuál de las figuras geométricas son congruentes? Argumenta tu respuesta. 45

46 3. Investiga y explica las diferentes formas de probar el teorema de Pitágoras que están en: 4. Completa las siguientes tablas: Número figurado triangular Indica la suma de los números enteros Dibujo del número figurado triangular Valor del número figurado triangular T 9 Número figurado cuadrado Indica la suma de los números triangulares Dibujo del número figurado cuadrado C 9 46

47 5. Explica las siguientes demostraciones gráficas del teorema de Pitágoras. C C A B A B a) b) 47

48 Los triángulos rectángulos que se muestran en la figura a) y b), de la página anterior, son congruentes? Argumenta tu respuesta. 48