Lorenzo Javier Martín García Juan Antonio Velasco Mate. En este trabajo se utiliza el Sistema de Cálculo Simbólico

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1 8 Suas de Rieann con Sisteas de Cálculo Sibólico noviebre, pp Lorenzo Javier Martín García Juan Antonio Velasco Mate ARTÍCULOS En este trabajo se utiliza el Sistea de Cálculo Sibólico Maple para ilustrar el concepto de líite de las suas de Rieann de una función real y continua en un intervalo copacto, resaltando que aunque la interpretación geoétrica sea uy clara, el cálculo ediante la propia definición es prácticaente iposible en la ayoría de los casos aunque se disponga de una potente herraienta. LA INTEGRAL DEFINIDA b a f x dx de una función real, continua y no negativa, f, en un intervalo cerrado y acotado, [a, b], coincide con el área del recinto liitado por la gráfica de la función, el eje de abscisas y las rectas paralelas al eje de ordenadas que pasan por los extreos del intervalo considerado. Sin ebargo, la definición de la integral coo líite de las correspondientes suas de Rieann presenta serios probleas conceptuales puesto que, al no ser nuerable el núero de particiones de un intervalo no se habla exactaente del líite de una sucesión ni tapoco del de una función, porque para cada partición se pueden realizar suas diferentes sin ás que variar el punto escogido en cada subintervalo generado por ella. En este trabajo se utiliza el Sistea de Cálculo Sibólico Maple para ilustrar el concepto de líite de las suas de Rieann de una función real y continua en un intervalo copacto, resaltando que aunque la interpretación geoétrica sea uy clara, el cálculo ediante la propia definición es prácticaente iposible en la ayoría de los casos aunque se disponga de una potente herraienta. Por ello, no se puede prescindir de las propiedades teóricas, coo la integrabilidad de funciones continuas, que aseguren parcialente el éxito de los cálculos realizados o, en su defecto, peritan una interpretación lo ás ajustada posible a la realidad. Integral de Rieann Dado un intervalo copacto [a, b], se llaa partición de [a, b] a una secuencia finita de puntos, P ={x i : i =,,,n}, que verifican a = x < x < x n < x n = b. 47

2 Evidenteente, dos puntos consecutivos, x i y x i+, de una partición generan un subintervalo de longitud Dx i = x i x i. A la ayor de las longitudes de los subintervalos de una partición P se le llaa alla de P y se denota { } P = ax Dxi: i =,, º, n En la figura se representa la partición P ={,,5,,7,,5,,,, } del intervalo [, ], observándose inediataente que su alla es P =,5.,5,7,5, Figura. Una partición del intervalo I = [, ] Si f es una función real definida en el intervalo [a, b] y P ={x i,,,,n}, es una partición de dicho intervalo, se llaa sua de Rieann de f relativa a la partición P a toda sua del tipo n S( f, P) =  f( ci) D xi donde cada c i es un eleento cualquiera del intervalo [x i,x i+ ]. El poder elegir libreente los puntos de evaluación, c i, perite construir diversas suas de Rieann una vez fijadas la función, el intervalo y la partición. Una posibilidad consiste en toar coo puntos de evaluación a todos los eleentos de la partición enos el últio. Así pues, si consideraos la función f(x) = xe x, el intervalo [,], la partición P ={x i = i/6: i =,,,6}, que origina la división de [, ] en 6 subintervalos de igual longitud, y los puntos de evaluación c i = x i con i =,,,5, la sua de Rieann correspondiente es 4 i  ie =, 5 La representación gráfica de la figura proporciona una interpretación geoétrica de esta sua: se aproxia al valor del área, A, de la región plana coprendida entre la función f(x) y el intervalo [, ]; para ello, se adosan rectángulos cuyo área puede calcularse fácilente. En este caso, adeás, puede deducirse que S(f, P) <A y que se ha calculado y representado la enor de las suas asociadas a P porque la función f es creciente y está evaluada en los extreos inferiores de los subintervalos. La pregunta que surge de fora natural es: se puede obtener el área A considerando particiones uy pequeñas? De fora visual, las utilidades gráficas de los Sisteas de Cálculo Sibólico periten realizar aniaciones que aclaran todo tipo de dudas. Sin ebargo, para poder responder ateáticaente a esta pregunta, se necesita fijar sin abigüedades el significado exacto de «particiones uy De fora visual, las utilidades gráficas de los Sisteas de Cálculo Sibólico periten realizar aniaciones que aclaran todo tipo de dudas..5 Figura. Una de las uchas suas de Rieann de f(x) =xe x pequeñas». Por ello se introduce el concepto de líite de suas de Rieann. Se dice que el núero real I es el líite cuando la alla de P tiende a de las suas de Rieann de la función f en el intervalo [a, b] si y sólo si para todo e > existe un d > tal que cualquier partición de [a, b], P, cuya alla sea enor que d verifica S(f, P) I < e, independienteente de los puntos de evaluación que se escojan para S(f, P). Cuando esto sucede, n I = li S( f, P) = li  f( ci) Dxi P Æ P Æ i = Cuando existe el líite de sus suas de Rieann se dice que la función es integrable en el intervalo considerado en el sentido de Rieann y al líite de las suas se le llaa integral definida de f en el intervalo [a, b]. La notación habitual es I b f x dx a = Si, adeás, la función f es no negativa, la integral coincide con el área coprendido entre la función y el eje de abscisas. Cálculo exacto de suas de Rieann Aunque para dilucidar si una función es integrable o para deostrar los resultados teóricos resulta necesaria e iprescindible, la definición dada de integral de Rieann es un ejeplo no infrecuente 48

3 en las Mateáticas de descripción copletaente inútil desde el punto de vista operacional. El cálculo de integrales definidas siepre se realiza ediante la regla de Barrow cuando es posible encontrar una función priitiva, ediante referencia a funciones conocidas coo la función G o ediante étodos nuéricos. En uy raros casos se calculan las suas de Rieann y ucho enos su líite, ni siquiera para encontrar una aproxiación nuérica razonable. Es cierto que la definición dada reite a la coprobación de ciertas propiedades sin proporcionar ningún ecaniso de cálculo. Sin ebargo, habiendo asegurado la integrabilidad de la función, si se tiene la suerte de encontrar una sucesión de particiones cuya alla tendiera a para la que se pudieran calcular tanto las suas de Rieann coo el líite de la sucesión nuérica que originan, se habría calculado la integral debido a la unicidad de este valor. Los Sisteas de Cálculo Sibólico pueden utilizarse coo herraienta para la realización de cálculos de este tipo. En particular, Maple dispone de coandos específicos que calculan sibólica y nuéricaente algunas suas de Rieann. Concretaente leftsu, iddlesu y rightsu proporcionan el valor de las suas de Rieann obtenidas al considerar respectivaente coo punto de evaluación el extreo inferior, el punto central y el extreo superior de cada subintervalo originado por una partición forada por puntos equiespaciados. Aplicando estas utilidades a la función anteriorente considerada, f(x) =xe x en el intervalo [, ], calculando su valor y siplificando, se obtienen las siguientes expresiones: e e e e SuIz ie i = =  e - La sentencia Maple que calcula la sua lateral izquierda es Sulz:=siplify(value(student[lef tsu](x*exp(x), x=..,))); La sentencia Maple epleada para el líite de la sua lateral izquierda es liit(sulz,=infinity); La sentencia Maple que origina exactaente esta igualdad es Int(x*exp(x),x=..)=int(x*exp( x),x=..); - ( + ) ( + ) SuDe ( + ) ( + ) ( + ) e e e e ie i  e - = = Afortunadaente en esta situación, Maple ha sido capaz de desarrollar los suatorios y encontrar una expresión genérica que sólo depende del núero de subintervalos asociados a la partición. Es evidente que esto no sucede en todos los casos; la respuesta habitual del prograa es la notación sibólica de la sua, coo sucede con la función gx = + cos x en el intervalo [ p/, p/] donde la respuesta ofrecida para la sua lateral izquierda no es otra que - p  sen ip + Puesto que la función f(x) es continua, tabién es integrable en el sentido de Rieann en cualquier intervalo copacto de la recta real. Por tanto, parece razonable pensar que si se puede calcular el líite cuando tiende a infinito de SuIz, SuCe o SuDe, éste tiene que coincidir con la integral de la función f entre y. De nuevo Maple resulta una ayuda eficaz porque es capaz de calcular exactaente el líite de estas tres expresiones li i Ê ˆ ie li i e( i+ ) li ie i  =  + Á =  = Æ Æ Ë Æ - i = - i = i = Obviaente, coo la función f es no negativa, se ha calculado tanto el valor de la integral coo el área coprendido entre la función y el eje de abscisas. La coprobación del resultado es inediata porque ediante cálculo directo xe x dx = Cálculo nuérico de suas de Rieann Debido a la dificultad de encontrar sucesiones cuyo térino general pueda anejarse con relativa facilidad, lo que peritiría calcular su líite con posterioridad, surge la idea de considerar el valor nuérico de la sucesión de núeros reales asociada a una deterinada partición e intentar establecer una tendencia hacia algún valor concreto. Para coprobar el alcance de esta estrategia y aprovechando que Maple aneja las tablas con relativa facilidad, SuCe - ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) Ê ˆ e e e e e e i e( i+ )  Á = Ë e - = + 4

4 se ha construido la tabla donde en sus colunas, y 4 se han calculado con diez dígitos significativos los valores de las suas de Rieann laterales y centradas 4 de la función f(x) =xe x en el intervalo [, ] para =,,, subintervalos, representados en la priera coluna. Asiiso, se ha diseñado una función no disponible coo coando Maple y se le ha asignado el nobre SuaAleatoria. Esta función, que toa coo arguentos la función, los extreos de un intervalo y el núero natural que representa el núero de subintervalos deseados, evalúa una sua de Rieann aleatoria basándose en una partición equiespaciada y eligiendo aleatoriaente los puntos de evaluación 5. Los resultados de aplicar SuaAleatoria aparecen en la últia coluna de la tabla. A la vista de estos datos pueden aventurarse que el líite buscado es. Sin ebargo, el núero de eleentos de la sucesión es uy alto ya que, salvo para las suas centrales donde la aproxiación se realiza pronto y rápidaente, las otras sucesiones convergen lentaente, téngase en cuenta que en el térino la diferencia entre el valor exacto y el aproxiado es superior a 4. Tabién queda palpableente reflejado que, por tratarse de una función creciente en el intervalo de integración, las suas que consideran el extreo inferior del intervalo proporcionan un valor enor que cualquier otra elección de puntos de evaluación y las suas que consideran el extreo superior proporcionan el ayor valor posible para una partición dada. Obviaente las suas por la izquierda crecen a edida que auenta el núero de subintervalos 4 El coando Maple utilizado para la priera sua lateral izquierda es evalf( student[leftsu](x*exp(x), x=.., A)); 5 Su código Maple es SuaAleatoria:=(f,a,b,n)-> su(f(a+(b-a) /n*(j+evalf(rand()/^ ))) *(b-a)/n,j=o..n-); 6 Alguno no aparece porque su altura es. Subint. Suas Izquierda Suas Centro Suas Derecha Suas Aleatorias, ,8544,688,6674,585,5785,68448,74645,54768,745,454578, , ,88448,46, 5,787,66,776, ,77574,4867,666,66 7,854,6,485, ,8655,7,654,75856,848,777,56,67,86488,85,55,6548,876477,847,5888,857,88676,876,874,64,85475,87,457,8644 4,76,57,74,5756 5,477,8,658,6 6,568,75,8468,468 7,65,5,76,866 8,4556,4,755,7474,84765,4,7544,86444,5,54,6766,8447 Tabla. Valores de algunas suas de Rieann de f(x) =xe x en [, ] ientras que las suas por la derecha decrecen hasta converger abas en un iso punto. Las suas centrales y las obtenidas aleatoriaente se encuentran entre las anteriores; las centrales van creciendo, ientras que las aleatorias oscilan de fora no controlada. Llaa la atención la iportancia de escoger buenos puntos de evaluación. En este caso, la elección de los puntos interedios es anifiestaente ejor que las otras aunque o tal vez por eso su expresión exacta es ás coplicada. Esta fragilidad supone una iportante liitación a la hora de coparar esta técnica con las habitualente epleadas para la evaluación nuérica de integrales definidas ya que las interpolatorias o las fórulas de cuadratura son ucho ás robustas, sencillas y eficaces. Las diferencias existentes entre los cálculos realizados tienen su clara interpretación geoétrica. En la figura aparecen los 6 rectángulos 6 asociados a la función f(x)=xe x y originados por una partición de 7 eleentos equiespaciados del intervalo [, ] cuando se escogen de fora diferente los puntos de evaluación. Conviene resaltar que las cuatro gráficas son exactas, queriendo decir con ello que no tienen ningún tipo de deforación ni de variación de escala, salvo las originadas por los ecanisos de ipresión, y que se ha escogido el intervalo [, ] y el núero 6 para que las representaciones reales puedan verse tal coo son y no coo aproxiaciones trucadas de lo que se quiere reflejar. Si se escoge un intervalo ás aplio o se auenta considerableente el núero de eleentos de la partición, los dibujos que se obtienen no son significativos. Queda patente que la suas de las área de los rectángulos de la gráfica de la izquierda es inferior al área buscada y lo será siepre que escojaos coo puntos de evaluación los extreos inferiores de los subintervalos; lo contrario ocurre en la tercera gráfica, donde se calcula el área por exceso. Coo ya se dijo, esto ocurre porque la función f es creciente. En las dos gráficas restantes se produce un cierto equilibrio entre las partes que sobrepasan al área y las que no la 5

5 cubren; siendo enos ajustado en la gráfica de la derecha y ás ponderado cuando se toa coo referencia el punto central de cada subintervalo. Izquierda Centro Derecha Aleatorio Situaciones desfavorables Los resultados anteriores podrían hacer pensar que con una fuerte herraienta de cálculo, se obtendrían buenas aproxiaciones. Sin ebargo, si se realiza un pequeño cabio en las hipótesis, la situación puede variar considerableente. En la tabla se han realizado los isos cálculos que en la tabla anteniendo la función, f(x)=xe x, pero toando el intervalo [, ] en lugar del [, ]. Coo se sabe, por los resultados anteriores, que las suas centrales proporcionan una buena aproxiación de x xe dx si hubiera que escoger entre los datos de la tabla, se elegiría xe x dx ª 4, 7664 aunque ninguna de las cuatro sucesiones nuéricas da pistas sobre el posible valor de la integral. En el caso anterior se iba buscando un núero natural, pero en este caso es posible que el valor sea un núero irracional, lo que dificulta su localización. El valor de la diferencia SuaDerecha SuaIzquierda = =,84, es una cota del error coetido al toar coo valor de la integral el eleento de cualquiera de las sucesiones asociadas a las suas de Rieann. Aunque esta agnitud pueda reducirse a la itad escogiendo la edia entre los valores extreos de las dos sucesiones, hay que calificarla de «elevada» con relación al recorrido realizado en las sucesiones. En consecuencia, no resulta aconsejable seguir este procediiento para el cálculo aproxiado de la integral. Sin ebargo, la búsqueda del valor exacto ediante el estableciiento del térino general de las sucesiones, que a priori Figura. Representación gráfica de las diferentes suas de Rieann epleadas Subint. Suas Izquierda Suas Centro Suas Derecha Suas Aleatorias 4,775 4,6886 4, ,488 4,766 4,7 4, ,4546 4, ,7746 4,4788 4, , , ,7485 4, ,544 4, ,587 4,8 6 4,576 4,7 4,8867 4, ,478 4,7 4,66 4, , ,776 4,8447 4,585 4,776 4,77 4,7575 4,66 4, ,7448 4,6586 4,7575 4,8854 4,744 4,5 4, ,5744 4,758 4,4645 4,746 4,58 4,7565 4,465 4, , , , , ,8468 4,766 4,56 4, ,4665 4,76 4, , ,768 4,7655 4,46 4, ,8787 4, ,66 4,6855 4,5 4,7656 4,866 4,8885 4,5867 4,7664 4,688 4,87 Tabla. Valores de algunas suas de Rieann de f(x) =xe x en [, ] pudiera parecer enos aconsejable que el cálculo nuérico, proporciona, en esta situación, ejores resultados. Para particiones del intervalo [, ] con + eleentos equiespaciados y para la función f(x) =xe x, Maple proporciona directaente los siguientes valores i e e e e SuIz = ie = Â 6 - e + e - 5

6 SuCe = - Ê i + ˆ Á e ( 6 i + )  = Ë ( + 6) ( + 6) ( + 6) ( + 6) e e e e e e = e6 + e - SuDe ie i  = = e + e - e - e e6/ e / + Aunque estas expresiones puedan parecer largas y coplicadas, puede calcularse su líite cuando el núero de subintervalos,, tiende a infinito: - li ie i Ê i + ˆ li e ( i+ ) li ie i  = 6  Á =  = + e Æ Æ Ë Æ - Coo era de esperar, el resultado es un núero irracional. Su valor expresado con dígitos significativos es + e = 4,7784 Si se hubiera pedido a Maple que proporcionara el valor exacto y nuérico de la integral, resultaría 7 Conclusiones x xe dx = + e ª 4, 7784 Dentro de unos líites razonables, el Sistea de Cálculo Sibólico Maple es capaz de calcular el valor nuérico de cualquier sua de Rieann siepre que se especifique la función, el intervalo, la partición y los puntos de evaluación. Este hecho no es uy relevante porque, al fin y al cabo, se trata de realizar una sua finita ás o enos grande de productos nuéricos. En el ejeplo presentado, tabién es capaz de encontrar la expresión del térino general de algunas sucesiones obtenidas al toar coo puntos de evaluación los extreos o el centro de los subintervalos originados por particiones equiespaciadas y con alla tendiendo a cero. Este térino general ha peritido calcular de fora sibólica el único valor posible del líite de las suas de Rieann. Coo la función escogida es continua y, por consiguiente, integrable, el valor obtenido es la integral definida de la función dada en el intervalo considerado. El cálculo directo de la integral sirve para corroborar el resultado. Es evidente que este proceso no siepre proporciona buenos resultados aunque se aneje una función integrable. La evolución nuérica de sucesiones de las suas superior e inferior de Rieann proporciona siepre cotas del valor 7 Las sentencias Maple utilizadas para la realización de estos cálculos son Int(x*exp(x),x=..)=inte(x*exp (x),x=..); y Int(x*exp(x),x=..)=evalf(inte( x*exp(x),x=..)); Lorenzo J. Martín ETS Ingenieros de Telecounicación. Universidad Politécnica de Madrid Juan Antonio Velasco IES Ángel del Alcázar de Segovia. Sociedad Castellano-Leonesa de Profesores de Mateáticas buscado, pero la convergencia es ás bien lenta con relación al núero de eleentos que debe tener una partición para que la aproxiación sea razonableente buena. En cualquier caso, conocidas estas cotas, tabién se conoce una cota del error coetido al toar coo valor el punto entre edias de abos. Desde el punto de vista docente, las utilidades gráficas, nuéricas y sibólicas de los Sisteas de Cálculo Sibólico representan una ayuda inestiable para explicar el concepto de integral de Rieann. La posibilidad de experientar diferentes situaciones (odificar la función, considerar diferentes intervalos de integración y diferentes particiones para cada intervalo, cabiar los puntos de evaluación, calcular los valores nuéricos de las suas ) de una anera uy siple y sin necesidad de confeccionar prograas específicos perite al aluno descubrir los puntos donde se encuentran las dificultades teóricas y de cálculo de la integral de Rieann. Bibliografía AMILLO, F., R. BALLESTEROS, L. GUADALUPE y J. MARTÍN (6): Cálculo: Teoría, Probleas y Sisteas de Coputación, Mc- Graw Hill, Madrid. BALLESTEROS, L. y J. MARTÍN () «Sisteas de Cálculo Sibólico y su docencia en el ábito universitario», en Conociiento, étodo y tecnologías en la educación a distancia. Actas de las jornadas UNED-, Universidad Nacional de Educación a Distancia, Palencia, BALLESTEROS, L. y J. MARTÍN (): «Sisteas de Cálculo Sibólico: Herra-ienta de usuario final o sistea de ayuda en el aprendizaje?», en VIII Congreso de Innovación educativa en Enseñanzas técnicas, Universidad del País Vasco», voluen, San Sebastián, MARTÍN, J. y A. VELASCO (): «Los Sisteas de Coputación Mateática coo recurso didáctico de apoyo para la presentación del concepto de derivada», en IX Jornadas para el aprendizaje y la enseñanza de las Mateáticas, JAEM, Mateáticas de ENCI- GA, Septiebre, Lugo. ROANES, L. y M. ROANES (): Cálculos Mateáticos por ordenador con Maple V Release 5, Rubiños, Madrid. 5