CURSO DE NIVELACIÓN FÍSICA PROGRAMA

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1 CURSO DE NIVELACIÓN PROGRAMA FÍSICA 1. Magnitudes 2. Derivación e Integración 3. Cálculo Vectorial 4. Cinemática de la Partícula 5. Dinámica de la Partícula: Leyes de Newton 6. Dinámica de la Partícula: Trabajo y Energía UNIVERSIDAD DE HUELVA ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA Huelva, junio de 2011

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3 ÍNDICE DE CONTENIDOS 1. MAGNITUDES 1 José Enrique Martín Domínguez 1.1. Concepto de Magnitud Magnitudes Fundamentales, Derivadas y Adimensionales Análisis Dimensional Unidades, Sistemas de Unidades y Factores de Conversión Notación Científica y Notación Técnica Ejercicios Respuestas DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN 11 Miguel Carvajal Zaera 2.1. Introducción Definición de derivada Interpretación geométrica de la derivada Diferencial de una función Derivada y diferencial de segundo orden Propiedades de las derivadas Integración Propiedades de las integrales Integral definida Problemas Soluciones... 19

4 3. CÁLCULO VECTORIAL 21 José Rodríguez Quintero 3.1. Introducción teórica Sistemas de coordenadas Vectores y escalares Definiciones Vectores y sistemas de referencia Cálculo del vector que une dos puntos Algunas propiedades de los vectores Suma Opuesto de un vector Resta de vectores Producto de un vector por un escalar Producto escalar Producto vectorial Vectores unitarios Momento de un vector respecto a un punto Momento de un vector respecto a un eje Problemas CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA 29 Francisco Pizarro Navarrete 4.1. Introducción Movimiento y sistemas de referencia Vector de posición. Trayectoria. Desplazamiento... 29

5 4.2. Velocidad y aceleración Rapidez media e instantánea Velocidad media e instantánea Aceleración media e instantánea Movimientos rectilíneos Movimiento rectilíneo uniforme Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado Movimiento en caída libre Movimientos circulares Magnitudes angulares Movimiento circular uniforme Movimiento circular uniformemente acelerado Problemas DINÁMICA DE LA PARTÍCULA: LEYES DE NEWTON 47 Enrique Gutiérrez de San Miguel Herrera 5.1. Introducción Cantidad de movimiento Fuerza Impulso de una fuerza Leyes de Newton Energía cinética Colisiones Problemas... 51

6 6. DINÁMICA DE LA PARTÍCULA: TRABAJO Y ENERGÍA 57 Ismael Martel Bravo 6.1. Trabajo Potencia Teorema del trabajo y la energía cinética Fuerzas conservativas y energía potencial Conservación de la energía mecánica Problemas propuestos Bibliografía... 65

7 1. MAGNITUDES José Enrique Martín Domínguez Concepto de Magnitud Cualquier propiedad de un sistema que pueda medirse es una magnitud (la belleza no los es, el tiempo sí). Medir consiste en comparar una expresión concreta de una propiedad con otra expresión concreta de la misma propiedad tomada como referencia. Esta referencia recibe el nombre de unidad. Por tanto, el resultado de la medida de una magnitud queda correctamente expresado, en principio, indicando tanto el número de veces que la expresión de la magnitud contiene a la unidad como la unidad empleada en la medida. Las magnitudes se suelen escribir mediante símbolos. Estos símbolos suelen estar formados por una letra, o por varios carácteres. Las letras pertenecen a los alfabetos griego o latino (Tabla 1). A nivel internacional sólo se dan recomendaciones sobre qué símbolos usar para cada magnitud, esto hace que para cada magnitud podamos encontrar diferentes símbolos. ALFABETO GRIEGO ( en o el}.wikipedia.org/wiki/wikipedia) 1ª Alfa [Alpha] Α α 13ª Ni [Nu] Ν ν 2ª Beta (Vita) Β β, ϐ 14ª Xi Ξ, Ξ ξ 3ª Gamma Γ γ 15ª Ómicron Ο ο 4ª Delta δ 16ª Pi Π π, ϖ 5ª Épsilon Ε ε, 17ª Ro [Rho] Ρ ρ, 6ª Dseda [Zeta] (Sita) Ζ ζ 18ª Sigma Σ σ, ς 7ª Eta (Ita) Η η 19ª Tau (Taf) Τ τ 8ª Zeta [Theta] (Zita) Θ, Θ θ, ϑ 20ª Ípsilon [Upsilon] Υ υ 9ª Iota Ι ι 21ª Fi [Phi] Φ ϕ, φ 10ª Kappa Κ κ, 22ª Ji [Chi] Χ χ 11ª Lambda (Lamda) Λ λ 23ª Psi Ψ ψ 12ª Mi [Mu] Μ µ 24ª Omega Ω ω Tabla 1. Aparecen fuera de corchetes y paréntesis los nombres actuales de las letras fijados por la RAE Real Academia Española de la Lengua ( Entre corchetes se indican, si difieren del español en más de la tilde, los nombres en inglés (la pronunciación no tiene porque ser literal). Entre paréntesis se refleja, si varía de la española, la pronunciación en griego moderno usando el abecedario, no el alfabeto fonético internacional. 1

8 CURSO DE NIVELACIÓN: FÍSICA 1.2. Magnitudes Fundamentales, Derivadas y Adimensionales Las magnitudes de un sistema están, en principio, relacionadas a través de ecuaciones matemáticas. De entre todas las posibles magnitudes que pueden tener los sistemas se han designado hasta la fecha por convenio a siete de ellas a nivel internacional como magnitudes fundamentales. El resto de magnitudes se conocen, entonces, como magnitudes derivadas, ya que se pueden expresar en función de las magnitudes fundamentales utilizando las ecuaciones que las relacionan. Las magnitudes fundamentales son: longitud, masa, tiempo, corriente eléctrica, temperatura termodinámica, cantidad de sustancia e intensidad luminosa. Puede ocurrir que una magnitud derivada sea el resultado del cociente entre dos magnitudes del mismo tipo, por ejemplo: longitudes. Este hecho conduce a una magnitud sin unidad, o magnitud de unidad uno, al simplificarse las unidades. Estas magnitudes se conocen como magnitudes adimensionales o magnitudes de dimensión uno. No obstante, algunas de ellas suelen acompañarse de una unidad de valor uno para clarificar a qué nos estamos refiriendo. Dos ejemplos de este tipo de magnitudes son el ángulo plano y el ángulo sólido (y la cantidad de sustancia si se la considera magnitud derivada). Si se divide un arco de circunferencia (una longitud) entre, «por ejemplo», el radio de la misma (otra longitud), se obtiene el número de veces que una longitud contiene a la otra; esta magnitud adimensional, ya que no posee unidad, se denomina ángulo plano. Ahora bien, para indicar que se trata de un angulo en «dos dimensiones» se añade como unidad (de valor uno) el radián (rad) una circunferencia tiene 2π rad. Si se divide una porción de superficie esférica (un área) entre una superficie cuadrada de lado el radio de la esfera (otra área), se obtiene el número de veces que un área contiene a la otra; esta magnitud adimensional, ya que no posee unidad, se denomina ángulo sólido. Ahora bien, para indicar que se trata de un ángulo en «tres dimensiones» se añade como unidad (de valor uno) el estereorradián (sr) una superficie esférica tiene 4π sr. Existen otro tipo de magnitudes adimensionales (sin unidad) o de dimensión uno (unidad uno), que no son magnitudes derivadas, ya que no se pueden obtener a partir de las fundamentales. Estas magnitudes están relacionadas con «contar». Un ejemplo de estas magnitudes sería, por ejemplo: número de manzanas en un cesto. La medida de estas magnitudes da simplemente un número, no posee unidad (o es uno), aunque como antes se le añada una (de valor uno) para clarificar a qué nos estamos refiriendo (esa unidad en el ejemplo sería manzana/s) Análisis Dimensional Las magnitudes de un sistema, exceptuando las adimensionales, si se consideran de forma genérica (abstracta), es decir, sin concretar números ni unidades, constituyen aspectos de un sistema, por ello, se dice que son dimensiones del sistema o que poseen dimensión. A nivel internacional se introducen sólo símbolos, y de carácter obligatorio, para las dimensiones de las siete magnitudes fundamentales (Tabla 2). La expresión simbólica de la dimensión de cualquier magnitud derivada: un producto de potencias de las dimensiones fundamentales, se puede obtener teniendo presente las ecuaciones que la relacionan con ellas de una manera genérica. Para indicar que se está dando la dimensión de una magnitud derivada, se añade delante del símbolo de la magnitud la palabra «dim» o se sitúa el símbolo de la magnitud entre corchetes. Superficie: dim S = [S] = L 2 Volumen: dim V = [V] = L 3 2

9 MAGNITUDES Magnitud Fundamental Magnitud Símbolo Dimensión Longitud l, x, r... L Masa m M Tiempo t T Corriente Eléctrica I, i I Temperatura Termodinámica T Θ Cantidad de Sustancia n N Intensidad Luminosa I ν J Tabla 2. Símbolos habituales de cada una de las magnitudes fundamentales y, en cada caso, el de uso obligatorio para referirse a su dimensión. Considerando una ecuación matemática que relacione magnitudes de un sistema. Si se sustituye cada magnitud por el resultado de su medida (número unidad) y se opera en cada miembro de la ecuación, para que se verifique la igualdad debe ocurrir que tanto el número como la unidad final obtenida para el primer miembro sea igual a los hallados para el segundo. Si se analiza la ecuación desde un punto de vista más genérico, tiene que verificarse que la dimensión final del primer miembro coincida con la del segundo. Llevar a cabo este estudio se conoce como análisis dimensional. Para que se verifique la igualdad en este caso, tiene que ocurrir que los sumandos de cada miembro posean la misma dimensión (unidad), y que no posean dimensión (unidad), o que posean dimensión uno (unidad uno), tanto los exponentes de potencias (índices de raíces), como los argumentos de funciones (logaritmos, funciones trigonométricas) Unidades, Sistemas de Unidades y Factores de Conversión Las unidades empleadas en las medidas de las magnitudes deben escribirse, en principio, respetando las reglas ortográficas y gramaticales (manzana/s). Ahora bien, si existe un símbolo de uso habitual a nivel internacional, o en el ámbito en que nos movamos, se debe utilizar para contribuir a una comunicación eficaz de los resultados de las medidas. Por ejemplo si se mide un intervalo de tiempo, obteniéndose un valor de siete segundos, la forma correcta de expresar el resultado es: 7 s, ya que «s» es el símbolo internacionalmente asumido para la unidad de tiempo. No se debe escribir: 7 segundos, 7 segs., 7 S, 7 ss Los símbolos establecidos para las unidades no se pluralizan, ni son abreviaturas; es decir, no se les añade un punto, excepto si están al final de una frase. Si se escribe un producto de unidades se deben separar con espacios en blanco cuando deban evitarse errores de interpretación (m/s = m s -1 ms -1 = milisegundo -1 ). A nivel internacional se han establecido, y definido, las unidades de las siete magnitudes fundamentales (Tabla 3). La unidad de cualquier magnitud derivada se puede deducir empleando, de nuevo, las ecuaciones que las relacionan con las fundamentales. Por este motivo, las unidades de las magnitudes derivadas son un producto de potencias de las unidades fundamentales. Puede ocurrir que una misma unidad derivada corresponda a varias magnitudes, (es el caso del julio: unidad de energía, calor y trabajo) y que una unidad derivada pueda expresarse con diferentes combinaciones de unidades fundamentales. 3

10 CURSO DE NIVELACIÓN: FÍSICA Magnitud Fundamental Nombre Unidad Símbolo Longitud Metro m Masa Kilogramo kg Tiempo Segundo s Corriente Eléctrica Amperio A Temperatura Termodinámica Kelvin K Cantidad de Sustancia Mol mol Intensidad Luminosa Candela cd Tabla 3. Unidades de las magnitudes fundamentales y símbolo de uso obligatorio. Notas: La unidad de temperatura es el kelvin, no el grado kelvin; y su símbolo es K, no ºK. El símbolo del kilogramo es kg, no Kg. El primer carácter del símbolo está en mayúscula si se adoptó en honor de una persona. De entre todas las magnitudes derivadas, hay veintidos, hasta la fecha, a cuya unidad se le ha dado un símbolo alternativo. Aparte de algunas de dimensión uno (unidad uno), como el ángulo plano y el ángulo sólido (símbolo alternativo a la unidad uno: rad y sr), un buen número de magnitudes electromagnéticas y otras varias, cabe destacar las magnitudes fuerza (N: newton), energía (J: joule), intervalo de temperatura (ºC: grado celsius 1 ºC tiene el mismo tamaño que 1 K ), carga eléctrica (C: coulomb) y frecuencia (Hz: hertzio = s -1 ). Estos símbolos pueden ser utilizados junto a los de las unidades fundamentales para expresar la unidad de cualquier otra magnitud derivada. El conjunto formado por las siete unidades asignadas a las magnitudes fundamentales (Tabla 3), junto a las unidades deducidas para las magnitudes derivadas utilizando las ecuaciones que las relacionan, se dice que es un sistema coherente de unidades, ya que no necesita de relaciones matemáticas adicionales. Cualquier otro conjunto de unidades formado definiendo las unidades de las magnitudes fundamentales de diferente manera y utilizando las mismas ecuaciones es otro conjunto coherente de unidades. Pero si se mezclan unidades de diferentes sistemas, el conjunto deja de ser coherente, ya que hacen falta relaciones matemáticas que transformen las unidades a un mismo sistema. Lo mismo ocurre si se emplean como unidad submultiplos o múltiplos de las unidades de un sistema. Normalmente, cada relación matemática adicional es un cociente entre la unidad resultante de la transformación y la unidad a transformar, de valor unidad, por el que debe multiplicarse la unidad a transformar. Estos cocientes se denominan factores de conversión. Una excepción se tiene por ejemplo con: T(ºC) = T(K) 273,15. A nivel internacional se trata de implantar lo que se conoce como Sistema Internacional de Unidades (SI también en inglés ). Este sistema se adoptó en 1948 en la 9ª Conferencia General de Pesos y Medidas y sufre una continua evolución. El sistema está formado ahora por las unidades fundamentales que aparecen en la Tabla 3, sus unidades derivadas y las unidades derivadas de ambos conjuntos múltiplos y submultiplos decimales de ellas. La tarea de implantación llevará su tiempo porque junto al SI coexisten unidades o sistemas de unidades de uso habitual en determinados campos (técnico, científico, económico ), entornos culturales (anglosajón) o simplemente con una profunda implantación. Las magnitudes pertenecientes a este último grupo cuyo uso es aceptado junto al SI son las que aparecen en la Tabla 4. 4

11 MAGNITUDES Magnitud Nombre Unidad Símbolo Valor Tiempo Minuto min 60 s Hora h 60 min = 3600 s Día d 24 h = 1440 min = s Ángulo plano Grado º (π/180) rad Minuto (1/60)º = (π/10 800) rad Segundo (1/60) = (1/3600)º = (π/ ) rad Área Hectárea ha hm 2 = 10 4 m 2 Volumen Litro L, l 1 dm 3 = 10 3 cm 3 = 10 3 m 3 Masa Tonelada t 10 3 kg Tabla 4. Unidades no pertenecientes al SI de uso aceptado. Nota: En el caso del litro no se ha descartado, por el momento, a uno de los dos símbolos. El primero se introdujo porque el segundo, el que siempre se ha utilizado, podría confundirse con el número 1. En el mundo anglosajón el SI convive con unidades que pueden diferir en su valor en los EEUU respecto al que tienen en el resto de países de habla inglesa (Sistema Imperial de Unidades IS en inglés ). En la Tabla 5 se muestran algunas de estas unidades, aquéllas que nos suenan, indicando su factor de conversión al SI. La unidad de tiempo utilizada es la misma: el segundo. Magnitud Nombre Unidad Símbolo Valor Longitud Pulgada Inch in, (1/36) yd = (1/12) ft = 2,54 cm Pie Foot ft, 12 in = (1/3) yd = 30,48 cm Yarda Yard yd 36 in = 3 ft = 91,44 cm Milla Mile mi, m 1760 yd = 1609,344 m Volumen Pinta Pint pt (1/8) gal = (1/2) qt = 0, L Cuarto Quart qt 2 pt = (1/4) gal 1,14 L Galón Gallon gal 4 qt = 8 pt 4,55 L Masa Onza Ounce oz (1/16) lb 28,35 g Libra Pound lb, # 16 oz = 0, kg Temperatura Intervalo de temperatura Grado Farenheit Farenheit degree ºF T(ºF) = 32 + (9/5) T(ºC) T(ºF) = (9/5) T(ºC) Tabla 5. Algunas unidades no pertenecientes al SI de uso no recomendado usadas en el mundo anglosajón ( Nota: El valor de las unidades de volumen es diferente en los EEUU. 5

12 CURSO DE NIVELACIÓN: FÍSICA 1.5. Notación Científica (o Exponencial) y Notación Técnica A la hora de expresar el número obtenido en la medida de una magnitud, se tiene, en principio, total libertad. Eso implica dos cosas: se puede elegir la base en que se expresa el número y también la posición de la coma (o punto) decimal. En este último caso, no obstante, hay que compensar cualquier cambio de posición multiplicando el número resultante por una potencia adecuada de la base elegida. 1 peseta = 166,386 = 1, = Habitualmente la base elegida es la base 10 o decimal en la que los dígitos de los números son enteros del 0 al 9. Sin embargo, dentro del ámbito de la informática, la electrónica y las telecomunicaciones se utilizan también otras bases: la binaria (base 2), en que los digitos son 0 o 1; la octal (base 8), en que son enteros entre 0 y 8; y la hexadecimal (base 16), en que son enteros entre 0 y 15, pero a partir del 10, para representarlos con una sola cifra, se usan las letras de la A a la F en mayúsculas. Para obtener la expresión de un número en una determinada base basta con dividir el número, primero, y luego los sucesivos restos resultantes, por potencias enteras descendentes de la base, desde la primera inferior al número en valor, hasta aquella para la que el resto sea cero. Los cocientes que se van obteniendo son las cifras del número en la base elegida. Base 10 Base 2 Base 8 Base FF A nivel internacional se ha establecido que para separar la parte entera de la parte decimal del número se pueden utilizar tanto la coma como el punto, pero abajo, no arriba. Para ayudar a visualizar el número también se ha establecido que se tienda a separar la parte entera y la decimal desde la coma (o el punto) en grupos de tres números como máximo, si el numero de cifras en la parte correspondiente es mayor de cuatro, pero sin usar ni comas, ni puntos, entre esos grupos de números. La RAE recoge estas dos directrices, pero indica que los números de años no se separen, así como de portales, códigos postales, páginas, artículos, leyes, documentos contables y cuando se arriesgue la seguridad. Los símbolos % y ppm (parte por millón) pueden ser utilizados con el SI para escribir números representando los números 0,01 y 10 6, respectivamente (16 % = 16 0,01 = 0,16). Y a la hora de expresar productos o cocientes de números, de resultados o de magnitudes, los paréntesis deben ser usados para evitar ambigüedades. En el caso de producto de números, o de resultados, sólo el símbolo debería ser empleado. En el caso de producto de magnitudes, éstas pueden no separarse, o separarse con un espacio en blanco o con los símbolos o. Aunque a la hora de expresar un número se tenga total libertad, existen a nivel internacional dos formas de expresar un número (notaciones) que deben comentarse: la notación científica (o exponencial) y la notación técnica. La notación científica consiste en expresar un número, distinto de cero, en base 10 mediante un número en el intervalo [1,10) no incluye el 10 denominado mantisa, y una potencia de 10 de exponente entero denominada orden de magnitud excepto si es 10 0 (=1) que no se indica. Se llama así a la potencia porque expresado el número como se ha indicado muestra en cuánto a grandes rasgos es el número mayor o menor que la unidad utilizada (x = 3, m la longitud «x» es cientos de miles de veces más grande que el metro, en concreto 3,4 cientos de miles de veces; y = 8, m la longitud «y» 6

13 MAGNITUDES es decenas de millones de veces más pequeña que el metro, en concreto 8,6 decenas de millones de veces). En algunos lenguajes de programación, programas informáticos y calculadoras científicas, la base 10 de la potencia es sustituida por la letra e mayúscula y se reserva un espacio para el signo del exponente (si es + puede que no se refleje), y uno, o dos, para su módulo; si éste tiene sólo un dígito y se reservan dos espacios, el primero se indica como cero (1,8 E 07; 2,7 E+03). Notación Científica: [1,10) 10 Z ó E±N La notación técnica consiste en expresar el número, distinto de cero, como en notación científica, en base 10, pero con un mantisa que sea un número en el intervalo [1, 1000) y una potencia de 10 con un exponente múltiplo entero de tres excepto si es 10 0 (=1) que no se indica. Esta forma de expresar un número es la que resulta más cómoda para su lectura (3, m 340 km; 8, nm). Tanto la notación técnica como la notación científica evitan la escritura de ceros a izquierda o derecha de la coma (3, = ; 8, = 0, ). Notación Técnica: [1,1000) 10 3Z prefijo decimal Habitualmente las potencias en notación técnica se sustituyen por una letra (Tabla 6). Esta letra se une a la unidad como prefijo, dando lugar, desde el punto de vista del SI, a una nueva unidad múltiplo o submúltiplo decimal de la unidad empleada en la medida. El uso de los prefijos que no son múltiplos de tres en notación técnica conlleva que se acepta que formen parte de la unidad. 10 Z Nombre Símbolo 10 Z Nombre Símbolo 10 1 Deca da 10 1 Deci d 10 2 Hecto h 10 2 Centi c 10 3 Kilo k 10 3 Mili m 10 6 Mega M 10 6 Micro µ 10 9 Giga G 10 9 Nano n Tera T Pico p Peta P Femto f Exa E Atto a Zetta Z Zepto z Yotta Y Yocto y Tabla 6. Prefijos del Sistema Internacional de Unidades. Notas: En el caso de la magnitud fundamental masa las unidades múltiplos y submúltiplos decimales del kilogramo (kg), su unidad fundamental, no se forman añadiendo estos prefijos a kg, sino a g, al gramo corresponde a un millardo (mil millones) 10 9 a una mil millonésima ; a un billón (millón de millones); a un billardo; a un trillón; a un trillardo; y a un cuatrillón. En el mundo anglosajón, en EEUU, sobre todo, corresponden a un billón (10 9 ), un trillón (10 12 ), un cuatrillón (10 15 ), un quintillón (10 18 ), un sextillón (10 21 ) y un septillón (10 24 ). 7

14 CURSO DE NIVELACIÓN: FÍSICA En el ámbito de la informática, la electrónica y las telecomunicaciones se utiliza la notación técnica pero con una modificación: se utiliza «K» en lugar de «k» para 10 3 (1 KB = 1 kilobyte). Aparte, como la base 2 se emplea habitualmente, se usa también una notación técnica modificada. En esta notación se expresa un número distinto de cero con una mantisa en el intervalo [1, 1024) 1024 es la potencia de 2 (2 10 ) más cercana a 1000, y una potencia, si se indica (si no es igual a uno), con base 1024 (2 10, 2) y exponente un número natural. La Comisión Electrotécnica Internacional ha establecido los prefijos para estas potencias binarias, para las más usadas, para que no se confundan con los de las decimales (Tabla 7). Notación Técnica Modificada: [1,1024) 2 10N prefijo binario 1024 N (2 10 ) N 2 10N 10 X Nombre Símbolo (2 10 ) ,01 Kibi Ki (2 10 ) ,02 Mebi Mi (2 10 ) ,03 Gibi Gi (2 10 ) ,04 Tebi Ti (2 10 ) ,05 Pebi Pi (2 10 ) ,06 Exbi Ei Tabla 7. Prefijos establecidos para potencias de 2 de uso recomendado. Nota: El nombre y símbolo de casa prefijo se obtiene de la siguiente manera, por ejemplo: 1024 = 1 Kilo binario Kibi nombre del prefijo; Ki símbolo [1 KiB = 1024 B (1 kibibyte)] Ejercicios 01) De las siguientes expresiones: (4/3)πr 3, 4πr 2, πr 2 h, 2πr, 2πrh + 2πr 2, πr 2 ; cuáles podrían corresponder a la longitud de una circunferencia, al área de un círculo, a la superficie de una esfera y al volumen de una esfera, siendo r y h longitudes? 02) Cuál es la dimensión (y la unidad) en el Sistema Internacional de las magnitudes derivadas p = mv, F = ma, E C = (1/2) mv 2 y E P = mgh sabiendo que m es la masa de un cuerpo, v su velocidad en m/s, a su aceleración en m/s 2, g la aceleración debida a la gravedad y h la altura del cuerpo respecto a la superficie terrestre? 03) Se tiene la expresión: x = x o + v o t + (1/2) a t 2, donde x es la posición de un cuerpo en el eje X, en m, respecto al origen de coordenadas y t el tiempo transcurrido, en s, en el movimiento observado del cuerpo. Qué dimensiones (y unidades) deben tener x o, v o y a para que la expresión sea dimensionalmente correcta? 2 -αx 04) Se tiene la expresión: y = A e sen( ωt + κx + φ), donde x es posición en el eje X, en m, y la posición en el eje Y, en m, y t el tiempo transcurrido, en s. Qué dimensiones (y unidades) deben tener A, α, ω, κ y φ para que la expresión sea dimensionalmente correcta? 8

15 MAGNITUDES 05) La densidad de un cuerpo coincide con el cociente entre su masa y su volumen (densidad media) cuando éste es homogéneo, qué densidad tiene una muestra de agua de densidad 1 g/l expresada en unidades fundamentales del SI? 06) Cuánto valen en la unidad del SI ángulos de 45º, 90º, 135º,180º, 225º, 270º y 315º? 07) Al medirse Pau Gasol en EEUU en un centro comercial el resultado fue aproximadamente igual a En dicho centro se compró una televisión de plasma con una pantalla de 46 de diagonal y 2 in de espesor. Cuánto miden Pau y la pantalla de su televisor expresados en el SI? 08) Nos vamos de vaciones a UK con nuestro seat ibiza que tiene un depósito que ronda los 45 L. El primer día llenamos el depósito por completo en un Carrefour (o similar) y nos tomamos unas pintas de cerveza. Cuántos galones de gasolina le habremos echado al depósito y cuántas pintas completas se puede tomar el que conduzca, y los demás por solidaridad, para no infringir la tasa de alcoholemia, al menos la de España, que es de 0,5 g/l en sangre? Para alcanzar esa tasa, si fuese un hombre de unos 70 kg, debería tomar sobre 2 latas de cerveza de 33 cl cada una. 09) Para donar sangre se debe poseer un masa mayor de 50 kg y no estar enfermo, por ejemplo, no tener fiebre (temperatura inferior a 38 ºC). Si un donante gibraltareño que vaya a un hospital de La Línea indica que tiene una masa de 100 lb y una temperatura de 100 ºF, puede donar? 10) El color de cualquier punto de la pantalla de un PC o de un televisor es normalmente la combinación de un tono rojo, uno verde y otro azul (sistema RGB: Red Green Blue) cada uno de ellos entre 256 posibles nominados de 0 a 255. Qué número de seis cifras en base hexadecimal, formado por los correspondiente a los tres colores del sistema, le corresponde al color gris (color gris = R:128 G:128 B:128? 11) Cúal de las siguientes expresiones del valor del euro en pesetas corresponde a notación científica y cuál a notación técnica? 1ª: 0, ª: 1, ª: 16, ª: 1 peseta = 166,386 5ª: 1663, ª: , ª: ) Antes de la implantación de los prefijos binarios se empleaban los decimales tanto para potencias binarias como para potencias decimales. Si un fabricante fabricaba un disco duro de 200 GB, considerando que G era un prefijo binario (hoy sería Gi), y un vendedor espabiladillo calculaba los bytes del disco y luego los expresaba en gigas, pero decimales, con un número redondeado sin parte decimal, en cuánto engordaba el número de bytes tanto de manera absoluta como relativa en %? 13) Si circulas por una autopista con un límite de 120 km/h a 35 m/s. Te sancionará la DGT si te caza, si tolera actualmente un margen del 10 % sobre el límite? 14) La información en un CD, DVD o BD (BluRay) se encuentra almacenada en circunferencias. La distancia entre el centro de esas circunferencias en el caso de un CD es la mayor y es de 1, cm. Qué distancia hay entre ellas expresada en µm y en nm? 9

16 CURSO DE NIVELACIÓN: FÍSICA 15) Queremos pintar nuestro cuarto. Tiene una planta rectangular de 2,5 3,5 m 2, sin columnas, y una altura de 2,4 m. Habría que descontar las superficies de la ventana y de la puerta, en torno a 4 m 2. El fabricante indica para la pintura un rendimiento de 5-7 m 2 /kg para una capa de 100 µm de espesor en humedo (una capa de pintura). Cuántas latas de 5 kg tendríamos que adquirir como máximo? 1.7. Respuestas 01) 2πr; πr 2 (círculo), 4πr 2 (esfera), 2πrh + 2πr 2 (cilindro); idem anterior;(4/3)πr 3, πr 2 h (cilindro). 02) p: MLT -1, kg m s -1 ; F: MLT -2, kg m s -2 (= N); E C, E P : ML 2 T -2, kg m 2 s -2 (= J). 03) x o : L, m; v o : LT -1, m s -1 ; a: LT -2, m s ) A: L, m; α: L -2, m -2 ; ω: T -1, s -1 ; κ: L -1, m -1 ; φ: 1, rad. 05) 1000 kg/m 3. 06) π/4; π/2; 3π/4; π; 5π/4; 3π/2; 7π/4. 07) 215 cm; 116,84 cm; 5,08 cm. 08) Alrededor de 10 galones (9,9 gal); solo una. 09) No, no tiene fiebre (37,8 ºC), pero no alcanza la masa mínima (45,4 kg). 10) ) La 2ª; la 4ª. 12) 15 B, 7,5 %. 13) No, vas a 126 km/h, por lo que no superas los 132 km/h. 14) 1,6 µm; 1600 nm. 15) 1. 10

17 2. DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN Miguel Carvajal Zaera 2.1. Introducción En este tema se pretende introducir el concepto de derivada e integración y sus nociones básicas con el objeto de abordar los problemas que pudieran surgir en el estudio de la Física. Se hará un especial hincapié en su significado geométrico para entender las aplicaciones que tienen estas herramientas matemáticas. La variable independiente respecto de la cual se deriva y se integra se denota, a lo largo de este capítulo, por la letra x. Usualmente, en el estudio de la Física, la variable independiente x viene dada por el tiempo o la distancia recorrida por un móvil Definición de derivada Cuando se dice que y es una función de la variable x, quiere decir que para cada valor de x existe un valor correspondiente para y. Que y sea función de x se denota como: y = f(x) (1) La derivada de la función y respecto de x se define como el límite de la razón: (f(x + x) f(x)) / x (2) cuando el incremento de x tiende a cero ( x 0). Dicho límite se expresa matemáticamente como: Entonces, la derivada de y respecto de x viene dada como: y, f (x), dy/dx o df(x)/dx (3) dy/dx = df(x)/dx = lim x 0 y/ x = lim x 0 (f(x+ x) f(x)) / x (4) Por tanto, de la definición de derivada de la función y se puede deducir que es la tasa de cambio de la función y cuando cambia ligeramente el valor de la variable independiente x, esto es, la velocidad de variación de la función f(x) en el punto x. Por ello, la derivada de la función y nos indicará si ésta crece (dy/dx > 0), decrece (dy/dx < 0) o permanece constante (dy/dx=0) cuando se varía el valor de la variable independiente x. 11

18 CURSO DE NIVELACIÓN: FÍSICA Interpretación geométrica de la derivada En la Figura 1 se representa la función de la ecuación (1) en un sistema de coordenadas cartesiano. La pendiente de la recta secante que une los puntos (x 1, y 1 ) = (x, y) y (x 2, y 2 ) = (x+ x, y+ y), donde y 1 = f(x) y y 2 = f(x+ x), viene dada por y/ x. Si se hace el límite de la pendiente de la recta secante (ver Ec. (4)) para cuando x 0, se obtendría la pendiente de la recta tangente en el punto (x 1, y 1 ) = (x, y), que está determinada por la derivada dy/dx. Por tanto, la derivada de la función es la tangente del ángulo α que forma la recta tangente con la dirección positiva del eje coordenado x. dy/dx = tan α (5) Por este motivo, cuando la derivada de una función en un punto es positiva, la función es creciente. Si la derivada fuese negativa, la función es decreciente. Y si la derivada en un punto fuese nula, éste podría ser un máximo, un mínimo o un punto de inflexión, dependiendo del valor de la derivada segunda (ver el apartado 2.2.3). Figura 1. Representación gráfica de una función para la interpretación de la derivada 12

19 DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN Diferencial de una función Sea una función y=f(x), se da el nombre de diferencial dx de la variable independiente x a su incremento x cuando éste tiende a cero, es decir, cuando el incremento es infinitesimal. Debido a que y es función de x, cualquier variación de la variable independiente x afectará en y. Si la variación de x es infinitesimal, la variación de la función y=f(x) también es infinitesimal y se denomina diferencial dy, el cual se expresa por la derivada f (x) del modo siguiente: dy = df = df(x)/dx dx = f (x) dx (6) Esta ecuación representa que el incremento dy de la función es igual al producto de la tasa de cambio f (x) (ver subsección 2.2.1) que experimenta la función al variar infinitesimalmente el valor de la variable independiente x por el incremento dx de ésta. La ecuación (6) se obtiene a partir de la ecuación (3). Si una función z depende de dos variables independientes x e y, ésta se expresaría como z=f(x,y), y el diferencial dz depende del incremento de la función f(x,y) con respecto a cada una de las variables x e y por separado. La tasa de cambio de la función z con respecto a x se obtiene al considerar que la variable independiente y permanece constante: z/ x = f(x,y)/ x = lim x 0 z/ x = lim x 0 (f(x+ x,y) f(x,y)) / x (7) y la tasa de cambio de la función z con respecto a y se obtiene al considerar que la variable independiente x permanece constante: z/ y = f(x,y)/ y = lim y 0 z/ y = lim y 0 (f(x, y+ y) f(x,y)) / y (8) Las definiciones de las ecuaciones (7) y (8) se denominan derivadas parciales. Con esta definición, y generalizando la ecuación (6), se define el diferencial de la función z de dos variables independientes x e y como: dz = df(x,y) = f(x,y)/ x dx + f(x,y)/ y dy (9) Por tanto, la variación infinitesimal dz de la función z=f(x,y) se debe a la suma de incrementos que experimenta la función al cambiar cada una de las variables independientes por separado Derivada y diferencial de segundo orden La derivada segunda o de segundo orden de una función y=f(x) se designa como: y, f (x) o d²f(x)/dx² (10) y es la derivada de la derivada de la función: y = f (x) = d/dx [df(x)/dx] = d/dx f (x) = d²f(x)/dx² (11) 13

20 CURSO DE NIVELACIÓN: FÍSICA Del mismo modo como se ha definido la derivada segunda, la segunda diferencial o diferencial de segundo orden es la diferencial de la primera diferencial y se designa como: Por definición, d²y o d²f (12) d²y = d(dy)= f (x) dx² (13) Las derivadas segundas de una función tienen, del mismo modo que la primera derivada (ver apartado 2.2.1), una interpretación geométrica y sirve para investigar el comportamiento de las funciones. Las derivadas segundas de las funciones están relacionadas con la curvatura de la función en un punto dado. En los puntos donde la derivada primera se anula (f (x)=0), si la derivada segunda es positiva (f (x)>0) nos encontramos en un mínimo (curva cóncava), si fuera negativa (f (x)<0) estaríamos en un máximo (curva convexa), y si fuese nula (f (x)=0) estaríamos en un punto de inflexión Propiedades de las derivadas 1. Derivada de una constante k por una función u=u(x) es igual a la constante multiplicada por la derivada de la función. d/dx(ku)= k du/dx (14) 2. Derivada de una suma de dos funciones u=u(x) y v=v(x) es igual a la suma de las derivadas de las funciones. d/dx(u + v) = du/dx + dv/dx (15) 3. Derivada de un producto de dos funciones u=u(x) y v=v(x) es igual a la derivada de la primera función multiplicada por la segunda sin derivar más la primera sin derivar multiplicada por la derivada de la segunda. d/dx(u v) = (du/dx) v + u (dv/dx) (16) 4. Derivada de un cociente de dos funciones u=u(x) y v=v(x) viene dado por: 5. Derivada inversa: d/dx(u/v) = ((du/dx) v u (dv/dx))/v 2 (17) La derivada de una función u=u(x) respecto de x es igual a la inversa de la derivada de x respecto de u siempre que ninguna de ellas sea nula du/dx = (dx/du) 1 si y sólo si du/dx y dx/du 0 (18) 14

21 DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN 2.3. Integración La integración es la operación inversa de la derivada, esto es, la función de x resultante de realizar la inversa de la derivada. Por tanto, la función F(x) es la integral de f(x) si se cumple que la derivada de F(x) es f(x), que viene dado por la relación siguiente: df/dx = f(x) (19) Ello implica que el diferencial de F será el producto de f(x) por el diferencial de x: La integral de f(x) se suele representar matemáticamente como: df = f(x) dx (20) F(x) = f ( x ) dx (21) que se denomina integral indefinida. Ésta se llama así porque su resultado no está definido por una constante C Propiedades de las integrales Las integrales de las funciones se pueden obtener de la tabla de derivadas (Tabla I) teniendo en mente que una integral es la inversa de la derivada. Esto implica que las funciones para integrar se encuentran bajo la columna Derivada y la integral resultante se encuentra en la columna Función de la Tabla I. Por tanto, la integral viene dada por la Tabla I pero siguiendo el orden inverso de lectura, se leería de derecha a izquierda. A modo de ejemplo, algunas integrales elementales vienen dadas en la Tabla II. A continuación se muestran algunas de las propiedades de las integrales: 1. Integral de una constante k por una función u=u(x) es igual a la constante multiplicada por la integral de la función. ku(x) dx = k u(x) dx (22) 2. Integral de suma de dos funciones u=u(x) y v=v(x) es la suma de integrales: (u(x)+v(x)) dx = u(x) dx + v(x) dx (23) 3. Integral de una potencia n de una función u=u(x): u n du = u n du/dx dx = u n+1 /(n+1) + C si n 1 (24) donde n toma valores enteros o semienteros. 4. Integral de la inversa de una función u=u(x): 1/u du = du/dx 1/u dx = ln(u) + C (25) 15

22 CURSO DE NIVELACIÓN: FÍSICA 5. Integral de una exponencial de una función u=u(x): exp(u) du = exp(u) du/dx dx = exp(u) + C (26) 6. Integral de una función seno y coseno de u=u(x): sin(u) du = sin(u) du/dx dx = cos(u) + C cos(u) du = cos(u) du/dx dx = sin(u) + C (27) 7. Integral por partes. Sean dos funciones u=u(x) y v=v(x), la integral del producto de ambas viene dada por: donde dv = dv/dx dx y du = du/dx dx. u dv = u v v du (28) Tabla I. Derivadas de funciones elementales y compuestas. La variable independiente respecto de la cual se deriva viene dada por x, k es una constante cualquiera, n es un número entero o semientero, y u=u(x) y v=v(x) son funciones de x, cuyas derivadas son respectivamente u =du/dx y v =dv/dx. Función Derivada Función Derivada k 0 ku k u x 1 u u x n n x n-1 u n n u n-1 u x 1/(2 x) u u /(2 u) exp(x) exp(x) exp(u) exp(u) u k x k x ln(k) u v vu v-1 u + u v ln(u) v ln(x) 1/x ln(u) u /u log(x) 1/x log(e) = 1/(x ln(10)) log(u) u /u log(e) = u /(u ln(10)) log a (x) 1/x log a (e)=1/(x ln(a)) log a (u) u /u log a (e)=u /(u ln(a)) sin(x) cos(x) sin(u) u cos(u) cos(x) -sin(x) cos(u) -u sin(u) tan(x) 1/cos 2 (x)=sec 2 (x) tan(u) u /cos 2 (u) cotan(x) -1/sin 2 (x)=-cosec 2 (x) cotan(u) -u /sin 2 (u) arcsin(x) 1/sqrt(1- x 2 ) arcsin(u) u /sqrt(1- u 2 ) arccos(x) -1/sqrt(1- x 2 ) arccos(u) -u /sqrt(1- u 2 ) arctan(x) 1/(1+ x 2 ) arctan(u) u /(1+ u 2 ) arccotan(x) -1/(1+ x 2 ) arccotan(u) -u /(1+ u 2 ) sh(x)=(e x - e -x )/2 ch(x) sh(u) u ch(u) Ch(x)=(e x + e -x )/2 sh(x) ch(u) u sh(u) 16

23 DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN Tabla II. Integrales indefinidas de funciones elementales. La variable independiente respecto de la cual se deriva viene dada por x, k es una constante cualquiera, n es un número entero o semientero, y C es la constante de integración. Función Integral Función Integral k k x + C exp(kx) 1/k exp(kx) + C x x 2 /2 + C cos(x) sin(x) + C x n x n+1 /(n+1) + C si n 1 cos(kx) 1/k sin(kx) + C 1/x ln(x) + C sin(x) - cos(x) + C exp(x) exp(x) + C sin(kx) - 1/k cos(kx) + C Integral definida La integral definida de f(x) es una integral indefinida pero con límites de integración. Si el límite inferior de integración es x 1 y el superior es x 2, ésta se expresa matemáticamente como: x 2 x1 f ( x )dx (29) Si F(x) es la integral indefinida de f(x), la integral definida entre los límites de integración x 1 y x 2 es la diferencia de los valores de F(x) en x 2 y x 1. Esta definición viene dada por la ecuación: x2 x2 f ( x )dx = F( x ) = F( x2 ) F( x1 ) (30) x1 x1 La integral definida se puede interpretar geométricamente como el área bajo la curva que describe la función y=f(x) desde el punto (x 1, y 1 ) al punto (x 2, y 2 ) donde y 1 =f(x 1 ) y y 2 =f(x 2 ) Problemas 1.- Haciendo uso de la definición de derivada como paso al límite, encuentre la derivada de las funciones siguientes: a) f(x) = 2x + 3; b) f(x) = cos(x) 2.- Haciendo uso de la definición de derivada como paso al límite, encuentre la derivada de las funciones siguientes: a) f(y) = 2 y 3 + 7; b) f(y) = 3 sin(2y) 3.- Calcule la primera derivada de las siguientes funciones: a) f(x) = 2x 2 + 3x +5; b) f(x) = (2x 2 + 3x + 5) 2 ; c) f(x) = (2x 2 + 3x + 5) 10 17

24 CURSO DE NIVELACIÓN: FÍSICA 4.- Calcule la primera derivada de las siguientes funciones: a) f(x) = 2x 2 + 5/x; b) f(x) = 5/(x + 4); c) f(x) = 5/(x + 4) Calcule la primera derivada de las siguientes funciones: a) f(t) = (5 t 2 + 3/2 t + 1)/t; b) f(t) = ((5 t 2 + 3/2 t + 1)/t) 2 ; c) f(t) = (5 t 2 + 3/2 t + 1)/t Calcule la primera derivada de las siguientes funciones: a) f(x) = sin(2x); b) f(x) = sin(x 2 + 3); c) f(x) = cos(x 2 + 3) Calcule la primera derivada de las siguientes funciones: a) f(x) = sin 2 x; b) f(x) = sin 2 (2x 2 + 3); c) f(x) = sin 2 (2x 2 + 3) Calcule la primera derivada de las siguientes funciones: a) g(t) = exp(-7t); b) g(t) = exp(-2t 2 ); c) g(t) = exp(2t 2 + 5t) 9.- Calcule la primera derivada de las siguientes funciones: a) f(x) = ln x; b) f(x) = ln (5x 3 + 1); c) f(x) = ln (exp(5x 3 + 1)) 10.- Calcule la primera derivada de las siguientes funciones: a) f(x) = ln (cos x); b) f(x) = ln (cos 2 (2x 2 + 3)) 11.- Calcule la primera derivada de las siguientes funciones: a) f(x) = ln ((3x + 5)/(x + 9)); b) f(x) = (ln (x 6 3x))/(x + 9) 12.- Calcule la primera derivada de las siguientes funciones: a) f(z) = 8 log10 z ; b) f(z) = 5 (2 + z²) 13.- Calcule la primera derivada de las siguientes funciones: a) f(x) = arccos (exp(3x) +1); b) f(x) = arcsin(ln (sqrt(6x + 2))) 14.- Calcule la primera derivada de las siguientes funciones: a) f(t) = (sin 5t) 3t ; b) f(t) = (tan t) t Diga si las siguientes funciones son crecientes o decrecientes en el punto (t=1): a) f(t) = (sin π t) 3 ; b) f(t) = (tan t) t Diga si las siguientes funciones son crecientes o decrecientes en el punto (t=0.5): a) f(t) = (sin π t) 3 ; b) f(t) = (tan t) t Diga si las siguientes funciones son crecientes o decrecientes en el punto (x=1): a) g(x) = exp(-2π x 2 ); b) g(x) = -3x 3 exp(-2x) 18.- Utilizando la definición de diferencial, encuentre dy/dx, sabiendo que las variables y y x están relacionadas implícitamente mediante las ecuaciones siguientes y que y=f(x): a) sin y = cos 2x; b) y 2 sin x + y = arctan x 18

25 DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN 19.- Calcule las siguientes integrales: a) x 2 dx; b) 1/x 2 dx; c) (5 x 4 + 2x -1) dx 20.- Calcule las siguientes integrales: a) cos 8x dx; b) 3 sin 4x dx 21.- Calcule las siguientes integrales: a) x/(9 + x 2 ) dx; b) tan x dx; c) (5 cos x + 2 3x 2 + 1/x 4 /(x 2 +1)) dx 22.- Calcule las integrales por partes: a) x exp(x) dx; b) (4 x 2 ) 1/2 dx 23.- Calcule las integrales definidas siguientes: a) 1 x 2 dx ; b) 0 π sin x dx Calcule las siguientes integrales definidas: a) 2 ln x dx ; b) 2 2 exp( x ) dx Soluciones 1.- a) 2; b) -sin (x) 2.- a) 6 y 2 ; b) 6 cos(2y) 3.- a) 4x + 3; b) 2 (3 + 4 x) (5 + 3 x + 2 x²)= x + 36 x² + 16 x³; c) 10 (3 + 4 x) (5 + 3 x + 2 x²) a) - 5/x² + 4 x; b) -5/(4 + x)²; c) -10/(4 + x)³ 5.- a) 5 1/t²; b) 15-2/t³ - 3/t² + 50 t; c) -(4 + 3 t)/(2 t³) 6.- a) 2 cos(2 x); b) 2 x cos(3 + x²); c) -20 x (3 + x²) 9 sin (3 + x²)¹ 7.- a) sin (2x) = 2 cos x sin x; b) 8 x cos(3 + 2 x²) sin(3 + 2 x²); c) 80 x (3 + 2 x²) 9 cos (3 + 2 x²)¹ sin (3 + 2 x²)¹ 8.- a) -7 exp(-7 t); b) -4t exp(-2t 2 ); c) (5+4t) exp(2t 2 + 5t) 9.- a) 1/x; b) 15 x²/(1 + 5 x³); c) 15x 2 19

26 CURSO DE NIVELACIÓN: FÍSICA 10.- a) -tan x; b) -8 x tan (3 + 2 x²) 11.- a) 22/((9 + x) (5 + 3 x)); b) ( x 5 )/((9 + x) (-3 x + x 6 )) - (ln(-3 x + x 6 ))/(9 + x)² 12.- a) 8 ln z /ln 10 ln 8/(z ln 10); b) 5 (2 + z²) z ln 5/ (2 + z²) 1/ a) -3 exp(3 x)/ (1 - (1 + exp(3 x))² ) 1/2 ; b) 3/( (2 + 6 x) (1 ln² ((2 + 6 x) 1/2 )) 1/2 ) 14.- a) 3 (5 t cotan(5 t) + ln(sin(5 t))) (sin(5 t)) 3 t ; b) (ln(tan t) + (6 + t) cosec t sec t ) (tan t) 6 + t 15.- a) Punto de inflexión; b) Creciente 16.- a) Máximo; b) Creciente 17.- a) Decreciente; b) Decreciente 18.- a) 2 sin 2x/cos y = 2 sin 2x/(cos (arcsin(cos 2x))); b) (1 y² (1 + x²) cos x)/( (1 + x²) (2 y sin x + 1) ) 19.- a) x 3 /3 + C; b) -1/x + C; c) x 5 + x 2 -x + C 20.- a) 1/8 sin 8x + C; b) 3/4 cos4x + C 21.- a) ½ ln x C; b) - ln cos x + C; c) 5 sin x + 2x x 3 + ln x 4 arctan x + C 22.- a) x exp(x) exp(x) + C; b) ½ x (4 - x 2 ) 1/2 + 2 arcsin x/2 + C 23.- a) 1/3; b) a) 2 ln 2 1; b) (e 4-1)/2 20

27 3. CÁLCULO VECTORIAL José Rodríguez Quintero 3.1. Introducción teórica Sistemas de coordenadas La Física se ocupa en muchas ocasiones de la descripción matemática del movimiento de un objeto. Es preciso, por tanto, tener un procedimiento con el que especificar la posición de un objeto en el espacio. Para poder especificar la posición de un objeto sobre una línea es suficiente con especificar un número, su coordenada. En un plano se requieren dos números, es decir, dos coordenadas, mientras que en el espacio se precisan tres coordenadas. Para poder especificar las coordenadas es imprescindible tener un sistema de coordenadas. Figura1. Coordenadas cartesianas en el plano Un sistema de coordenadas se define mediante: Un punto de referencia O, denominado origen. Un conjunto de direcciones (ejes), con unas etiquetas y escala. Instrucciones acerca de cómo etiquetar un punto del espacio respecto a dicho sistema. El sistema de coordenadas más usado es el sistema cartesiano, también llamado sistema de coordenadas ortogonal (vea figura Fig.1). Éste tiene como características el tener unos ejes perpendiculares entre sí, especificándose las coordenadas con un par de puntos La primera coordenada se corresponde con el eje, siendo éste el eje horizontal, mientras que la segunda con el eje que es el eje vertical. Caso de trabajar en tres dimensiones, aparecerá una tercera coordenada denominada Las etiquetas, y, así como las mencionadas orientaciones suelen ser la notación más habitual, aunque dependiendo del autor o del contexto pueden variar. 21

28 CURSO DE NIVELACIÓN: FÍSICA Figura 2. Ejemplo de coordenadas polares planas En dos dimensiones, existe otro sistema de coordenadas muy útil denominado coordenadas polares planas (vea Fig.2). Verificándose: O de modo equivalente: 3.2. Vectores y escalares Definiciones Definición de escalar: magnitud física que queda completamente especificada mediante un número real y las unidades apropiadas. Definición de vector: magnitud física que debe ser especificada mediante un módulo, una dirección, un sentido y su correspondiente unidad. De forma alternativa se puede especificar mediante un conjunto de 2 números ( ) ó tres números ( ), para dos y tres dimensiones, respectivamente, además de la unidad apropiada. Los vectores suelen escribirse mediante las notaciones: o a. El módulo del vector expresa el tamaño de éste y la dirección y sentido su orientación en el espacio. Figura 3. Expresión de un vector en términos de sus componentes. 22

29 CÁLCULO VECTORIAL Vectores y sistemas de referencia El par de puntos ( ) con el que puede especificarse un vector en dos dimensiones se denomina componentes del vector. Dichas componentes se corresponden con la proyección del vector sobre unos ejes coordenados (vea figura Fig.3): Donde y son los vectores unitarios (vea sección 5) en las direcciones e respectivamente. El módulo de un vector puede expresarse mediante: y su orientación como:,. Donde se corresponde con el ángulo que forma el vector con el eje positivo. Tenga en cuenta que, a excepción de los vectores que indican la posición de un punto (radiovectores), los vectores en general pueden ser desplazados en el espacio manteniendo constante su orientación y módulo. Esto será preciso para realizar diversas operaciones matemáticas con ellos Cálculo del vector que une dos puntos Sean dos puntos y Para calcular el vector que va del punto hasta el punto simplemente se realizará la operación: 3.3. Algunas propiedades de los vectores Suma Para sumar dos vectores, estos deben tener las mismas unidades. Geométricamente la suma se realiza como se indica en la Fig. 4. Si usamos componentes: 23 Figura 4. Suma de vectores

30 CURSO DE NIVELACIÓN: FÍSICA La suma de vectores verifica la propiedad conmutativa: y la asociativa: Opuesto de un vector Geométricamente el opuesto de un vector se construye como un vector de igual módulo y dirección pero sentido opuesto al original. Si usamos componentes: Resta de vectores Geométricamente se corresponde con la suma de un vector con el opuesto de otro vector (vea Fig.5 ). Si usamos Figura 5. Resta de vectores Producto de un vector por un escalar Geométricamente se corresponde con un vector de igual dirección y sentido (si el escalar es negativo el sentido cambia) que el original y con un módulo igual al producto del módulo original por el valor del escalar en valor absoluto. Si usamos componentes: El producto de un escalar por un vector verifica la propiedad distributiva: 3.4. Producto Escalar Operación que se realiza con dos vectores y cuyo resultado es un escalar, Donde θ se corresponde al ángulo que forman y 24

31 CÁLCULO VECTORIAL Si empleamos componentes: 3.5. Producto vectorial Operación que se realiza con dos vectores y cuyo resultado es otro vector. Esta operación sólo puede hacerse con vectores en tres dimensiones. Esta operación se designa mediante Su módulo es: Donde se corresponde al ángulo que forman y Su dirección es perpendicular al plano que forman los vectores y, su sentido viene definido por el uso de la regla del sacacorchos al hacer girar sobre, por el camino más corto. Mediante el uso de componentes, el producto vectorial se calcula mediante un determinante: 3.6. Vectores unitarios Un vector unitario es aquel cuyo módulo es 1. Convertir un vector en unitario es muy sencillo: 3.7. Momento de un vector respecto a un punto Sean un vector a, cuyo origen es un punto P, tales que: a = (a x, a y, a z ) y OP = (p x, p y, p z ); donde O es el origen del sistema de referencia. Se define el momento de un vector respecto al origen, punto O, y se emplea la notación M O, como sigue: 25