Matemáticas III (L.A.D.E.)

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1 Matemáticas III (L.A.D.E.) Relación de Problemas Curso Parte I PROGRAMACIÓN LINEAL 1.1 MODELIZACIÓN Y RESOLUCIÓN GRÁFICA 1. Una empresa dedicada a la venta de sal se abastece de dos salinas distintas. Mensualmente puede recibir hasta un máximo de 600 Tm. de sal procedente de la salina A y Tm. de sal procedente de la salina B. Mezclándolas se pueden obtener dos tipos de sal de distinta calidad cuyo precio en el mercado es de 0,5 euros./kg. (sal de 1 a ) y 0,60 euros./kg. (sal de a ). Una Tm. de sal de 1 a calidad se obtiene mezclando 0, Tm. de tipo A y 0, Tm. de tipo B; una Tm. de sal de a calidad se obtiene mezclando 0,4 Tm. de tipo A y 0,6 de tipo B. Hallar las cantidades de sal de 1 a y a calidad que deben prepararse mensualmente para maximizar los ingresos.. El alimento de ciertos animales ha de constar de 4 compuestos A, B, C y D. Diariamente, como mínimo, cada animal necesita 0,4 Kg. de A, 0,6 de B, de C y 1,7 de D. En el mercado pueden encontrarse los productos M y N que contienen estos compuestos en las siguientes cantidades 1 Kg. de M contiene 0,1 Kg. de A, 0,1 Kg. de C y 0, Kg de D. Por otra parte, 1 Kg. de N contiene 0,1 Kg. de B, 0, Kg. de C y 0,1 Kg. de D. El precio por Kg. es de 10 unidades para M y de 4 unidades para N. Hallar las cantidades de M y N por animal y día que satisfagan las necesidades nutritivas y para las cuales se minimice el costo.. Una compañía encuestadora tiene contratado un estudio con las siguientes exigencias Debe de haber al menos entrevistas (personales o por teléfono). Al menos 00 entrevistas deben de ser personales. Al menos 500 entrevistas se deben hacer por la noche, (personales o por teléfono). Al menos el 60% de las entrevistas diurnas se deben realizar por teléfono. Sabiendo que el coste calculado de una entrevista es 0 euros por entrevista personal y de día; euros. por personal y de noche; 10 euros por teléfono y de día; 14 euros por teléfono y de noche, plani car las entrevistas con un coste mínimo. 4. Una compañía de líneas aéreas tiene un nuevo avión que piensa adaptar para combinar asientos de primera y segunda clase. Un billete de primera clase tiene un precio de 600 euros para un viaje de ida a cierto lugar, y uno de segunda 400. La capacidad del avión es la equivalente a 00 asientos de segunda clase. Un asiento de primera clase ocupa 1, veces el área ocupada por uno de segunda. Se considera que un pasajero de primera y su equipaje pesan 110 kgs., mientras que uno de segunda y su equipaje pesan 100 Kgs. Si el límite de peso en el avión es de 0.50 Kgs., cuántos asientos de cada tipo deberán instalarse para maximizar los ingresos de cada viaje si se supone que todos los asientos de ambas clases serán vendidos? 5. Una empresa dedicada a la elaboración de productos aleados, necesita abastecerse mensualmente de al menos 1 Tm. de estaño, 0 Tm. de zinc y 1 Tm. de cobre. Además la cantidad mensual de estaño no debe exceder de 4 Tm. Para abastecerse de estos materiales la empresa recibe suministros de dos materias primas M 1 y M. 1 Tm. de M 1 contiene /0 Tm. de cobre, 0, Tm. de estaño y 0,4 Tm. de zinc. 1 Tm. de M contiene 0,4 Tm. de cobre, 0, Tm. de estaño y 0, Tm. de zinc. Sabiendo que el costo por Tm. de M 1 es de 6 y el de M 9 por Tm., obtener el número de Tm. de M 1 y M de que se debe abastecer mensualmente la empresa para minimizar los costos. 6. Una fábrica elabora dos tipos de piezas A y B. Tienen que producirse mensualmente al menos 00 piezas de cada tipo para mantener el negocio. Con la planta actual la producción máxima de A es de.500 unidades/mes y además para que el proceso funcione se tienen que producir por lo menos unidades del tipo A por cada unidad del tipo B. En el taller se necesitan 5 hombres como mínimo independientemente de la producción y no pueden trabajar más de 10. Por otra parte, se requieren 0,5 horas-hombre por unidad de A y 0,5 horas-hombre por unidad de B. siendo el total 1

2 de horas trabajadas por un sólo hombre 00 horas al mes. Si los bene cios por pieza del tipo A son 50 euros y del tipo B euros, cuántas piezas de cada tipo deben producirse para maximizar el bene cio? 7. Sea el problema Max (x 1 + Ax ) < x 1 + x 6 sa x 1 + x x i 0; i = 1; Para qué valores del parámetro A sería el punto (4,) una solución óptima del problema resultante?. Un país produce anualmente automóviles y.000 tractores. Unas cantidades de esta producción anual se destinan a la exportación. Cada automóvil exportado proporciona un ingreso de $.000 y cada tractor exportado proporciona un ingreso de $500. Por otra parte, el resto de los paises no permiten que exporte más de unidades anualmente entre automóviles y tractores. Si el país quiere maximizar el valor de esas exportaciones anuales, cuántos automóviles y tractores exportará anualmente? Variaría la solución del problema si la producción anual de automóviles fuera sólo de unidades? 9. Una empresa fabrica dos tipos de máquinas alternadores y motores. La fábrica está dividida en tres talleres. El taller A fabrica las partes activas de las máquinas, empleando horas para un alternador y 1/ hora para un motor. El taller B fabrica las carcasas de las máquinas empleando 4/ h. tanto para un alternador como para un motor. El taller C se dedica al montaje nal, empleando 4/ h. para un alternador y / h. para un motor. Se pide a) Si los bene cios por alternador y motor son respectivamente 10 y 100 euros y las horas trabajadas en cada taller no han de superar las 40 h. semanales, hallar la producción semanal de alternadores y motores para la que se maximiza el bene cio. b) Para el programa de producción óptimo obtenido, se agotan las horas disponibles en los tres talleres? c) Cuál habría de ser el bene cio por motor para que, manteniéndose en 10 euros para alternadores, el bene cio máximo se obtuviese indiferentemente fabricando las cantidades obtenidas en el apartado a) o produciendo únicamente motores? d) Si en el taller B no hubiese limitación de horas de trabajo, pudiendo hacer horas extraordinarias, cuál sería la producción semanal para la que se maximizaría el bene cio? e) Calcular los precios sombra de las tres restricciones. 10. Una empresa fabrica dos productos P 1 y P a partir de dos materias primas M 1 y M. Para la producción de 1 Tm. de P 1, se necesitan 0, Tm. de M 1 y 0,4 de M. Para la producción de 1 Tm. de P se necesitan 0,6 Tm. de M 1 y 0,6 Tm. de M. Se dispone semanalmente de un máximo de 6 Tm. de M 1 y de 4 Tm. de M. Debido a los pedidos contratados con los clientes jos la producción semanal de P 1 y P no debe ser inferior a 15 Tm. de P 1 y 10 Tm. de P respectivamente, suponiéndose, por lo demás, ilimitada la demanda de ambos productos. a) Hallar el programa de producción semanal de P 1 y P para el que, satisfaciéndose las condiciones anteriores, la producción de P 1 sea máxima. b) Si los costos del proceso de producción son para P 1 de 1000 euros/tm. y para P de 400 euros/tm. (sin incluir los costos de materias primas) y los precios en el mercado de las materias primas son 1500 euros por Tm. de M 1 y 000 euros por Tm. de M, hallar el programa de producción semanal para maximizar el bene cio, si los precios en el mercado son 500 euros/tm. de P 1 y 000 euros/tm. de P.

3 c) En las condiciones del apartado anterior, hallar los precios sombra de las materias primas M 1 y M. Sería interesante disponer de más toneladas de M 1? 11. Una persona dispone de un capital de euros para invertir en dos tipos de acciones A 1 y A. El dividendo anual para las acciones A 1 es del 1% y del % para las de tipo A. En esta situación, el inversor desea invertir en acciones A 1 al menos tanto capital como en acciones A y no más de euros en acciones A 1. a) Se desea averiguar cuál es la distribución adecuada de dicho capital en orden a optimizar la renta anual. Cuál es el interés que estaría dispuesto a pagar por un crédito? Cuál es la cantidad que pediría como crédito? b) Determinar entre qué valores puede oscilar el tipo de interés de las acciones A 1 sin que la solución óptima sea modi cada. 1. Un taller se dedica a la fabricación y venta de dos tipos de máquinas M 1 y M, obteniendo un bene cio de.000 y.000 unidades monetarias respectivamente en su venta. Debido a las limitaciones de espacio y equipo, la máxima producción posible de máquinas de tipo M 1 es de 0 al mes y la producción conjunta de ambos tipos de máquinas no puede superar las 40 unidades mensualmente. En razón de la demanda existente el número de máquinas de tipo M 1 producidas no debe exceder en más de 10 unidades a la producción mensual de máquinas del tipo M. Se pide a) número de máquinas de cada tipo que deben fabricarse y venderse. b) hallar la relación en que habrían de estar los bene cios por unidad de M 1 y M, para que el bene cio óptimo se diese indistintamente produciendo las cantidades obtenidas en el apartado anterior o produciendo únicamente máquinas de tipo M. 1. Un granjero se dedica a la explotación de ganado vacuno. Dicho ganado se alimenta de alfalfa y remolacha. En cada tonelada de alfalfa se encuentran 0 y 0 unidades nutritivas de tipo A y B respectivamente. En cada tonelada de remolacha se encuentran 0 y 5 unidades nutritivas de tipo A y B respectivamente. La cantidad total de elemento nutritivo que diariamente se necesita en la granja es de 600 unidades de tipo A y 00 de tipo B. Una tonelada de alfalfa cuesta 500 unidades monetarias y una tonelada de remolacha 000 unidades monetarias. a) Determinar la cantidad de cada alimento que se debe adquirir diariamente para que el coste para el granjero sea mínimo. b) Determinar la solución óptima para el caso en que el precio de la remolacha subiera a 000 u.m. c) Si la alfalfa perdiese calidad, descendiendo el contenido por Tm. de unidades nutritivas de tipo B de 0 a 5, seria distinta la solución óptima de la obtenida en a)? d) Si se desea incrementar el número de unidades nutritivas de tipo A en la dieta del ganado, en qué cantidad es posible hacerlo sin que se altere la solución óptima inicial? 14. Una empresa petrolífera que suministra crudos tiene dos depósitos, D 1 y D, situados en distintos puertos y con capacidad para 140 y 40 Tm. respectivamente. Dos clientes, C 1 y C, hacen sendos pedidos de 100 y 50 Tm respectivamente. El cliente C 1 está a 60 km. de D 1 y a 0 km. de D ; el cliente C está a 0 km. de D 1 y a 0 km. de D. El coste de transporte es cierta cantidad ja K por tonelada y kilómetro. a) Cómo deben servirse los pedidos para minimizar el coste? b) Cómo se vería afectada la solución del problema si se decide ampliar la capacidad del depósito D a 60 Tm. de crudo?

4 c) In uiría en la solución del problema un incremento en el precio del transporte de 5 euros? d) Si el cliente C solicita que se le envíen 5 Tm. más de crudo, cuál sería la solución óptima del problema? 15. Una compañía puede promocionar sus productos anunciándolos en TV y en una radio local. Su presupuesto para publicidad alcanza los $ 1000 mensuales. Cada minuto de radio cuesta $ 5 y cada minuto de TV cuesta $ 100. La compañía desea utilizar la radio al menos 5 veces más que la TV. La experiencia pasada muestra que cada minuto de TV genera 5 veces de utilidad más que cada minuto de radio. Determinar la asignación óptima del presupuesto mensual para publicidad. Si un nuevo Consejo de Administración en la TV quiere reducir la duración de sus espacios de publicidad permitiendo a cada empresa un máximo de 5 minutos mensuales, cuál sería, en este caso, la asignación óptima? 16. Un agricultor posee 1000 Ha. para dedicarlas al cultivo de trigo y cebada. Para obtener 1 Tm. de trigo necesita Ha. y para 1 Tm. de cebada 1 Ha. El coste en semillas, fertilizantes, maquinaria, etc., para producir 1 Tm. de trigo es 1000 u.m. y el de 1 Tm. de cebada 000 u.m. y tiene un presupuesto de u.m. Por otra parte, la Administración no le permite dedicar más de 00 Has. de sus tierras al cultivo de cebada y además ha jado el precio de cada cereal en 1000 u.m./tm. para la cebada y 0000 u.m./tm. para el trigo. Cuántas Has. debe dedicar a cada cultivo para obtener el máximo bene cio? Le conviene al agricultor alquilar nuevos terrenos? En caso a rmativo, cuántas Has. estaría dispuesto a alquilar y a qué precio? Si la Administración concede créditos de muy bajo coste para la compra de semillas, fertilizantes, etc., le interesa al agricultor pedirlos?, por qué? Si la Administración quisiera que la producción de trigo aumentara, sería una política adecuada bajar el precio de la cebada a 6000 u.m./tm.?, por qué? En el caso en que se jara este nuevo precio, le interesa al agricultor que la Administración le conceda los créditos anteriormente mencionados? 17. Un país dispone de millones para presupuesto militar. El 60 % lo dedica a la compra de aviones y misiles. Cada avión le cuesta 5 millones y cada misil millones. Los expertos aconsejan comprar al menos 00 unidades de cada tipo y como máximo 00 misiles. Aconsejan también que el número de aviones no debe superar al triple del de misiles y el número de misiles debe ser a lo sumo el doble que el de aviones. El responsable de la compra estima que la utilidad de un misil es el doble que la de un avión. a) Hallar la asignación óptima del presupuesto. b) Si la compañía constructora de aviones soborna al responsable de estimar la utilidad de estas armas, en qué proporción debe pretender que está la utilidad de aviones y misiles para que el número de aviones adquiridos sea máximo? 1. En el Ayuntamiento de una ciudad se ha decidido adquirir cierto número de autobuses y trenes para cubrir el servicio de transporte a los ciudadanos. El presupuesto con que cuenta el municipio es de 60 millones de euros, siendo el coste por autobús de euros y el de un tren 1 millón de euros. Diversos estudios realizados aconsejan que el número de autobuses que han de adquirirse no debe ser mayor de 00 ni menor de 0, mientras que el de trenes no debe exceder las 50 unidades ni ser inferior a 10. Además la capacidad de transporte debe ser superior a viajeros, siendo la capacidad de un tren de 400 viajeros y la de un autobús de 60. Por último, se estima que por cada 15 autobuses debe haber como máximo 4 trenes. a) Calcular cuántos autobuses y trenes se deben comprar para minimizar el coste. b) Y para maximizar la capacidad de transporte? c) Si cada tren pudiera transportar 500 viajeros, variaría la respuesta anterior? 4

5 19. Una empresa posee una super cie de 4750 m donde planea construir parcelas de aparcamiento de dos tamaños parcelas para coches de gama alta y baja respectivamente. Se calcula que como máximo la super cie útil de las parcelas puede llegar al 0% de la super cie total. Un coche de gama alta ocupa m y parcelas de coches de gama alta ocupan lo mismo que 4 de la gama baja. Según las estimaciones se venderán como máximo parcelas pequeñas por cada parcelas grandes. El precio de venta de una parcela grande es de euros y el de una pequeña es de euros Por otra parte la empresa ha obtenido unas subvenciones del ayuntamiento por aceptar las siguientes condiciones al menos debe construir 600 parcelas pequeñas; y el número de parcelas grandes no debe superar al doble del de parcelas pequeñas. a) Cuántas parcelas de cada clase se deben construir para maximizar el bene cio? b) Cuál es la mínima subvención que la empresa aceptaría por cumplir las condiciones del ayuntamiento? c) Halla el precio sombra de la restricción sobre los m disponibles. Es este el precio que pagaría por cada m que pudiera disponer de más? (interprétalo) d) Si el precio de las parcelas grandes subiera a euros, cambiaría la distribución óptima de las plazas?, y el precio sombra de la restricción sobre los m disponibles?. Cuál sería ahora la mínima cantidad que aceptaría del ayuntamiento por aceptar sus condiciones?. 0. Una empresa minera produce lignito y antracita y puede vender toda la producción que obtiene de ambos minerales con un bene cio unitario de 40 y 0 euros por tonelada vendida, respectivamente. El proceso de producción consta de tres fases corte del mineral, tamizado y lavado. Para producir una tonelada de lignito o antracita es preciso utilizar la maquinaria disponible en cada una de las tres fases durante los tiempos que indica la siguiente tabla, donde también se ofrecen las disponibilidades máximas de dicha maquinaria, expresada en horas/semana. Corte Tamizado Lavado Lignito 4 Antracita 4 Disponibilidad máxima a) Si el objetivo de la empresa minera es maximizar su bene cio, cuántas toneladas de cada clase de mineral debe producir a la semana? b) Suponiendo que el bene cio por tonelada de antracita no se modi ca, cuál debería ser el bene cio por cada tonelada de lignito para que se agote la disponibilidad máxima de la maquinaria en la fase de corte? c) Estaría dispuesta la empresa a aumentar la disponibilidad máxima de la maquinaria en alguna de las tres fases?. En tal caso, en cuántas horas y a qué precio?. d) Teniendo en cuenta que, en razón de la demanda existente, el número de toneladas de lignito producidas semanalmente no debe exceder en más de 4 unidades a la producción de antracita, qué ocurre con la solución óptima del problema? 1. Un carpintero tiene 90 m de madera de pino, 0 m de roble y 50 m de haya con los que quiere hacer dos tipos de muebles. Para hacer el primer tipo se requieren m de pino, 1 m de roble y 1 m de haya y para el segundo tipo 1, y 1 m respectivamente. El primer tipo de mueble lo vende a 100 euros cada uno y el segundo a 1000 euros. a) Cuántos muebles de cada tipo debe hacer para obtener el máximo ingreso? b) Cambiaría su distribución óptima si vendiese el primer tipo de mueble a 1000 euros y el segundo a 100 euros? 5

6 c) Un carpintero amigo le ofrece 50 m de madera de haya que le han sobrado a 700 euros/m. Le interesaría a nuestro carpintero comprarla? d) Cambiaría la solución si se impusiera la condición de que tiene que fabricar como máximo el doble de muebles del primer tipo que del segundo?. Un taller se dedica al ensamblaje y control de calidad de televisores y vídeos. Para ensamblar un televisor se necesitan horas, y para un vídeo 1 hora; además, para pasar el control de calidad se necesitan horas tanto para un televisor como para un vídeo. Debido a la estructura del taller, se pueden dedicar como máximo un total de 00 horas para el ensamblaje y 0 para el control de calidad. Si se obtiene un bene cio de 400 euros por televisor y 50 por vídeo, cuál es la asignación óptima de televisores y videos para maximizar el bene cio? Tras un estudio de mercado, se descubre que el número de televisores debe exceder en cuarenta o más unidades al de vídeos. Teniendo en cuenta este dato, cuál sería la nueva asignación óptima de aparatos? Cuánto se estaría dispuesto a pagar en este caso por veinte horas extras en el ensamblaje? Si se mantiene el bene cio del vídeo, y se quisiera vender únicamente televisores cuál debería ser el bene cio de estos últimos para que esa solución fuese óptima?. Una empresa elabora dos productos P 1 y P a partir de dos materias primas A y B. Para producir una tonelada de P 1 se necesita una tonelada de A y dos de B, mientras que para producir una tonelada de P se necesitan una tonelada de A y una de B. La disponibilidad semanal es de 6 Tm. de A y 10 Tm. de B. Con la planta actual, la producción semanal máxima de P es de 4 Tm. El precio de venta de P 1 es de 00 de euros por tonelada y el de P de 600 euros por tonelada. a) Halla la producción semanal que debe elaborarse para maximizar los ingresos. b) Se agotan las disponibilidades de los dos recursos? En qué proporción deberían estar los precios de venta para que los dos recursos fuesen escasos? c) Si la Administración quisiera que la producción de P disminuyera, qué medida política sería más conveniente imponer una producción semanal máxima de Tm. de P, o bien incentivar la producción de P 1 aumentando su precio de venta a 00 euros por tonelada? Cuál de las dos resultaría más perjudicial para el empresario? d) Supongamos que la Administración adopta la segunda de las medidas anteriormente citadas. Calcula los precios sombras de ambos recursos. Si los precios de coste de las materias primas coincidiesen con sus respectivos precios sombra, qué sería más interesante para el empresario, aumentar en toneladas la disponibilidad de A o de B? 4. Una empresa comercializa dos productos P 1 y P, cuyos precios de venta son 00 euros y 150 euros respectivamente. La empresa dispone de dos trabajadores con una jornada laboral de 40 horas semanales cada uno y de una máquina que únicamente puede trabajar 4 horas semanales como máximo. Por último, los proveedores sólo pueden suministrar a lo sumo 100 toneladas semanales de materia prima para fabricar dichos productos. Para producir una tonelada de producto P 1 se consumen horas/hombre, 0,5 horas/máquina y Tm. de materia prima mientras que para cada tonelada de P se consumen 1 hora/hombre, 1 hora/máquina y Tm. de materia prima. a) Encuéntrese la producción óptima semanal si la empresa quiere maximizar los ingresos. b) Le interesaría a la empresa contratar a un nuevo trabajador a tiempo parcial? Si así fuera, cuánto estaría dispuesta a pagarle por hora y por cuántas horas le contrataría? c) Cambiaría la solución óptima del apartado a) si se decidiera que la producción de P 1 fuera como máximo el doble que la de P? d) En los supuestos del apartado a), manteniendo el precio de P 1, cuál debería ser el precio de P para que se utilice al máximo la máquina? 6

7 5. Una compañía produce puertas y ventanas. Para ello dispone de tres plantas. En la planta 1 se hacen los marcos, en la planta se fabrica el vidrio y en la planta se realiza el montaje nal de los productos. En la tabla se resumen los horas semanales requeridas para fabricar una unidad de cada producto, así como el bene cio obtenido por unidad producida. La compañía sabe que puede vender la cantidad que desee de ambos productos con la capacidad disponible en las tres plantas. Puertas Ventanas Horas semanales disponibles Planta Planta 70 Planta Bene cio (euros) a) Si la compañía pretende maximizar sus bene cios, formúlese el problema de programación lineal y hállese la solución óptima de dicho problema. b) Cómo ha de ser la relación entre los bene cios de ambos productos para que la solución óptima sea la misma del apartado anterior? c) En qué plantas sería conveniente aumentar la capacidad horaria semanal disponible? Cuánto estaría dispuesta a pagar la empresa por cada hora añadida a la capacidad respectiva de estas plantas? d) Según un estudio de mercado se aconseja que el número de puertas producidas no supere el 40% del total de unidades producidas. Cambiaría la solución óptima? 6. A partir de trigo, lúpulo y malta, una empresa fabrica dos tipos de cerveza rubia y negra. Actualmente dispone de 40 kg. de trigo, 0 kg. de lúpulo y 40 kg. de malta. Un litro de cerveza rubia se vende a 4 euros y requiere 0.1 kg. de trigo, 0.1 kg. de lúpulo y 0. kg. de malta. Un litro de cerveza negra se vende a 5 euros, y se necesitan 0. kg. de trigo, 0.1 kg. de lúpulo y 0.1 kg. de malta. La empresa puede vender toda la cerveza que produce. a) Formula un programa de programación lineal para maximizar los ingresos de la empresa, y halla la solución óptima de dicho programa. b) Encuentra el intervalo de los valores del precio de la cerveza rubia para que la solución óptima siga siendo la misma que en el apartado a). c) En el caso de que dispusiera de 4 kg. más de malta, cuál sería la solución óptima? Cuánto estaría dispuesta a pagar esta empresa por esos 4 kg. de más? d) Si un estudio de mercado recomendara que la cerveza negra no superara el 40% de la producción total, cuál sería la solución óptima? 7. Una empresa produce mesas y sillas de un tipo determinado, de las cuales obtiene un bene cio de 0 y 5 euros respectivamente. El proceso de fabricación requiere que cada mesa o silla pase por tres divisiones distintas de la empresa. Una mesa necesita 1, y 1 horas en las divisiones A, B y C respectivamente, mientras que una silla requiere h., 1 h. y h. respectivamente. Las divisiones A y B trabajan un máximo de 16 y 1 horas diarias respectivamente mientras que la C trabaja como mínimo 9 horas diarias. a) Encuentra la producción óptima diaria si la empresa se propone maximizar el bene cio. b) Cómo debería ser el bene cio de cada mesa para que lo mejor para la empresa fuera producir el máximo número posible de sillas? c) Bajo las condiciones iniciales, si la empresa pudiera aumentar una hora de trabajo diario en sólo una de las divisiones A y B, cuál elegiría? 7

8 d) Tras un estudio de ventas la empresa decide fabricar por cada mesas al menos 7 sillas, cambiaría la solución óptima inicial?. Una empresa produce 4 tipos (1,, y 4) de aceite empleando en distintas cantidades dos variedades de aceitunas (A y B). En la siguiente tabla se recoge la cantidad requerida de kilos de aceituna de cada variedad para obtener un litro de cada tipo de aceite 1 4 A 1 B 4 1 Se han de considerar las siguientes restricciones - Se dispone de 100 toneladas semanales de aceituna A y 150 toneladas de B. - La cantidad de aceite de tipo 1 y en total no ha de ser menor que la suma de y 4. - Por cada litros de tipo 1 se han de producir por lo menos 4 litros entre y. - La producción del tipo 1 no puede ser superior al 75% de la de tipo 4. Plantea (sin resolver) un problema de programación lineal si se desea maximizar la producción total de aceite. 9. Una empresa produce dos tipos de levadura una para pastelería y otra para pan. La producción semanal de levadura para pastelería ha de ser al menos de 1000 kg y la de pan de 500 kg. Además por cada kg de levadura para pastelería se han de producir al menos 5 kg de levadura para pan. Por último la producción semanal de levadura para pan ha de superar al menos en 000 kg a la de pastelería. a) En la actualidad se dispone de una única planta A de producción. Los bene cios en esta planta son de 15 e por kg de levadura para pastelería y de e por kg para la de pan. Formular el problema con el objetivo de maximizar los bene cios. b) La empresa ha comprado una nueva planta B en la que también va a producir los dos tipos de levadura. Los bene cios en esta planta B son de 1 e por kg de levadura para pastelería y de 10 e por kg para la de pan. Formular el problema para determinar las cantidades de levadura que se producirán semanalmente en cada planta con objeto de maximizar los bene cios, si se tiene en cuenta que en cada planta se han de producir por lo menos 500 kg semanales de cada tipo de levadura. 0. Una empresa fabrica productos P 1, P y P mezclando únicamente dos materias primas M 1 y M en diferentes proporciones para producir P se mezclan M 1 y M a partes iguales. Cada kg de P 1 contiene un 0% de M 1 y un 0% de M, y cada kg de P contiene un 60% de M 1 y un 40% de M. La disponibilidad semanal es de 1000 Kg. de M 1 y 000 Kg. de M, cuyos precios son y u.m. por kilo de M 1 y de M respectivamente. Cada kilo producido genera un coste de producción (exceptuando el coste de materias primas) de u.m. En razón de la demanda existente, por cada kilos de P 1 se deben producir al menos kilos de P y la producción de P debe ser a lo sumo el doble de la de P. Si los precios de venta de los productos son 10, 15 y 0 u.m. por cada kilo de P 1, P y P, respectivamente, plantea (sin resolver) un problema de P. L. si se desea maximizar los bene cios. 1. Un cierto producto se elabora en dos fábricas F1 y F. Estas fábricas tienen una capacidad de producción máxima de 150 toneladas de producto cada una de ellas. Parte de su producción es enviada para su distribución a ciudades C1, C y C. La demanda de dicho producto en las ciudades es de 5, 65 y 50 toneladas respectivamente. En la tabla adjunta se presentan los costes de envío, por toneladas, en miles de euros, entre cada una de las fábricas y las ciudades. Fábricas C1 C C F1 7 F 5 6

9 Se desea enviar al menos 10 toneladas entre cada fábrica y cada ciudad. La cantidad total enviada desde F1 suponga, al menos, el 60% de la cantidad total enviada desde ambas fábricas. Formula, sin resolver, mediante programación lineal cuál debe de ser la cantidad que se debe enviar desde cada fábrica a cada ciudad para que, cubriendo la demanda en las ciudades, se minimice el coste total de transporte.. Un agricultor valenciano produce dos tipos de naranjas A y B que distribuye en España y en Francia. El coste por tonelada de producción de la naranja A es de 00 e y de 50 e por tonelada de B. En caso de distribuirla en Francia se le tiene que añadir el coste del transporte, estimado en un 10% del coste de producción para cada tonelada distribuida a este país y cada tipo de naranja. El agricultor dispone de 1000 ha de terreno. Para obtener una tonelada de naranjas de tipo B requiere 1.5 ha y para obtener una tonelada de A 1 ha. Por lo menos la mitad de la producción de naranjas de tipo B han de distribuirse en Francia. Del total de la producción, se distribuirá en España como máximo el 60%. Por cada toneladas de tipo A distribuidas en España, deben de distribuirse como mínimo en Francia de ese mismo tipo. Han de producirse por lo menos 00 toneladas de cada tipo de naranjas. Plantear (sin resolver) un problema de P.L. que permita calcular cuántas toneladas de naranjas de cada tipo deben producirse con el objeto de minimizar el coste total.. Una compañía produce lavadoras y lavavajillas en tres talleres. En el taller 1 se fabrican los motores y tiene asignados 100 trabajadores; en el taller se producen los demás elementos, y ocupa a 150 trabajadores; nalmente, el taller se dedica al montaje nal de ambos productos, y emplea a 900 trabajadores. Cada operario trabaja 40 horas semanales. En la tabla se resumen el número de horas requeridas en cada taller para elaborar una unidad de cada producto. Lavadoras Lavavajillas Taller 1 1 Taller 4 Taller 1 El bene cio obtenido por cada lavadora asciende a 50 euros y el de cada lavavajillas es de 0. Por otra parte, la compañía conoce que puede vender la cantidad que desee de ambos productos con la capacidad disponible en los tres talleres. a) Calcular la producción óptima de la compañía mediante un problema de programación lineal. b) Si se mantiene jo el bene cio de cada lavavajillas, en qué intervalo debe estar el bene cio de cada lavadora para que la producción óptima sea la misma que en el apartado anterior? c) Calcular los precios sombra de las horas de trabajo de los talleres 1 y. d) A la vista de los resultados obtenidos en el apartado a), el gerente de la compañía observa que en el taller emplea más trabajadores de los necesarios, y decide pasar 15 trabajadores del taller al taller, qué ocurre con el bene cio óptimo? e) Si por exigencias de la demanda de estos productos, la empresa decidiera fabricar como mínimo 7 lavadoras por cada lavavajillas, cuál sería la producción óptima? 4. Una empresa produce dos tipos de hilo, A y B, mezclando hilo de seda y de algodón en las siguientes proporciones. Para obtener hilo de tipo A la proporción es 60% de hilo de seda y 40% de hilo de algodón. Para obtener hilo de tipo B la proporción es 40% de hilo de seda y 60% de hilo de algodón. Un metro de seda cuesta u.m. y un metro de algodón 0,5 u.m. El coste del proceso productivo, excluido el de las materias primas, es de,5 u.m. por un metro de hilo de tipo A y de 1 u.m. por 1 metro de hilo de tipo B. Semanalmente se dispone de un máximo de 1.00 metros de hilo de seda y.400 de algodón. Además, el coste del proceso productivo (excluido el de las materias primas) no puede superar las u.m. El precio de venta es de,5 u.m. y 4,5 u.m., respectivamente, por 1 metro de hilo de tipo A y tipo B. a) Determina la producción semanal que maximice los bene cios totales de la empresa. 9

10 b) Le interesaría a la empresa aumentar el coste del proceso productivo por encima de las u.m.? Hasta qué cantidad? Le interesaría comprar más seda? A cuánto estaría dispuesto a comprarla? c) Manteniendo el precio de 1 metro de hilo de tipo A en,5 u.m., para qué precios del hilo de tipo B decidirá producir únicamente hilo de tipo B? Para estos nuevos precios qué le interesaría a la empresa comprar más seda o más algodón? 5. Dado el siguiente problema Max (4x 1 + x ) x x 70 >< x 1 5 sa x 0 x 1 x > x i 0; i = 1; a) Dibuja el conjunto de soluciones factibles de problema y determina la solución óptima y el valor óptimo del problema. b) Calcula el precio sombra de las restricciones () y (). c) Cuál ha de ser el coe ciente de x 1 en la función objetivo para que en la solución óptima se cumpla x = 0? 6. Sea el siguiente problema de programación lineal a) Resolver el problema grá camente. Max (10x 1 + 7x ) x 1 + x 40 >< x sa 1 + x 60 4x 1 + x 60 > x i 0; i = 1; b) Calcular los precios sombra de las restricciones. c) Si se sustituye el coe ciente de x en la función objetivo por, varía la solución óptima del problema? d) Si se añade la restricción ax 1 x 0 cuál ha de ser el valor de a para que la solución óptima sea la obtenida en el apartado a)? 7. Se considera el problema Max (x 1 + x ) x 1 + x >< x sa 1 + x 10 x 1 + x 15 > x i 0; i = 1; a) Representar grá camente el conjunto de soluciones factibles y calcular la solución óptima. b) Cuál es el rango de variación del coe ciente de la variable x 1 en la función objetivo en el que la solución óptima sea la del apartado anterior? c) Hallar el precio sombra de la segunda restricción. 10

11 1. MÉTODO SIMPLEX 1. Sea el problema Max (100x x ) < 6x 1 + 5x + x = 0 sa x 1 + 4x + x 4 = 0 x i 0; i = 1; ; ; 4 Calcular todas las soluciones básicas factibles.. Sea el problema Max (x 1 x + 5x ) < x 1 + x + x = sa x 1 + 5x + x = a x i 0; i = 1; ; 1 Existe alguna solución básica asociada a B = para algún a R?. Será factible? 5 1. Sea el problema Max (x 1 + x ) < x 1 + x 4 sa x 1 + x 6 x i 0; i = 1; Representar grá camente el conjunto de soluciones factibles y calcular todos sus vértices. b) Plantear este problema en su forma estándar. c) Demostrar que (x 1 ; x ) es un vértice del conjunto soluciones factibles del problema dado si y sólo si (x 1 ; x ; 4 x 1 x ; 6 x 1 x ) lo es para el problema en su forma estándar. d) Calcular todas las soluciones básicas factibles y comprobar que coinciden con los vértices hallados anteriormente. 4. Sea el problema Max (x 1 + x + x ) < x 1 + x + x + x 4 = 6 sa x + x + x 5 = 4 x i 0; i = 1; ; ; 4; 5 a) Comprobar que el punto (1,0,4,0,0) es solución básica factible. b) Sabiendo que la siguiente tabla es la correspondiente a esta solución básica factible, completarla e interpretarla. A 1 A A A 4 A 5 A 1 1 1= 0 1= A Completar la siguiente tabla de un problema de maximización e interpretarla para los diferentes valores de R 11

12 1 0 A 1 A A A 4 A A Sean las tablas A y B correspondientes a un cierto problema. A 1 A A A 4 A 5 h i a g Tabla A A 1 A A A 4 A b 0 1 c 0 j 1 0 d 0 e f k 6 Tabla B Calcular las incógnitas a; b; c; d; e; f; g; h; i; j; k, sabiendo que la tabla A precede a la tabla B. 7. Sea el problema a) Determinar una solución básica factible. Max (x 1 + x ) < x 1 + x + x sa x 1 + x + x 4 x i 0; i = 1; ; b) Aplicar el método simplex partiendo de la solución básica factible del apartado anterior.. Sea el problema Max (x 1 + x ) < x 1 + x 4 sa x 1 + x 6 x i 0; i = 1; Calcular las in nitas soluciones óptimas de este problema mediante el método simplex. 9. Sea el problema Max (x 1 x + x x 4 + x 5 ) x 1 x 4x + x 4 x 5 = 1 >< x sa 1 + x + x + 6x 4 + x 5 = 15 x 1 + x + 6x + 5x 4 + x 5 10 > x i 0; i = 1; ; ; 4; 5 a) Por el método de las penalizaciones, obtener una solución básica factible inicial y su tabla correspondiente. 1

13 b) Completar la siguiente tabla sabiendo que corresponde al problema e interpretarla. A 1 A A A 4 A 5 A 6 b / / Utilizando el método de las penalizaciones para encontrar una solución básica factible inicial, resolver los siguientes problemas a) Max ( x 1 x + 4x ) x 1 + x + x 9 >< x sa 1 + x x x 1 + x + x 4 > x i 0; i = 1; ; b) Max (x 1 + x ) < x 1 + x = 4 sa 4x 1 x x i 0; i = 1; c) Max (x 1 + x ) < x 1 + x 0 sa x 1 6x 1 x i 0; i = 1; d) Min (x 1 + 4x + x ) x 1 + x x 5 >< x sa 1 x + x = x 1 + x + x 1 > x i 0; i = 1; ; 11. Utiliza el método de las penalizaciones para resolver el siguiente problema Max ( x 1 x ) < x 1 + x 4 sa x 1 x 1 x 1 0; x 0 1. Sea el problema Max (x 1 + x ) < x 1 + x 4 sa x 1 + x 6 x i 0; i = 1; Resolverlo mediante el método simplex para los distintos valores de Considérese el siguiente problema de programación lineal a) Resolver dicho problema. Max (x 1 + x x ) < x 1 + x + x sa x 1 + x x 4 x i 0; i = 1; ; b) Si se tuviera que escoger entre incrementar el lado derecho de la primera restricción o el de la segunda, cuál se escogería?, por qué? Cuál es el efecto de este incremento sobre el valor óptimo de la función objetivo? c) En cada uno de los siguientes casos, decir si la a rmación es cierta y por qué i) La solución hallada sigue siendo óptima si el coe ciente de x en la función objetivo se cambia de 1 a 4. 1

14 ii) La solución hallada sigue siendo óptima si el primer recurso disminuyese de a 6. iii) La solución hallada sigue siendo óptima si el segundo recurso aumenta de 4 a 10. d) Supóngase que se añade al problema la siguiente restricción x + x >. Hallar la solución óptima de este problema mediante el método de las penalizaciones. 14. Sea el problema Max (x 1 + 4x + x ) x 1 + 4x + x 600 >< x sa 1 + x + x 400 x 1 + x + x 00 > x i 0; i = 1; ; a) Completar la tabla siguiente sabiendo que corresponde al problema anterior y a partir de ella hallar la solución óptima del problema si ésta existe. 5/ / 00 5/ / 00 1/ 1/ 100 -/ 4/ b) Decir si cada una de las siguientes la a rmaciones es cierta y por qué. i) La solución óptima hallada sigue siéndolo si el coe ciente de x 1 en la función objetivo se cambia de a. ii) Si el primer recurso aumenta de 600 a 00 la base correspondiente a la solución óptima varía. c) Qué ocurre si se propone un nuevo artículo x 4, tal que su coe ciente en la función objetivo es y los correspondientes a los tres recursos son respectivamente 1, 0 y? 15. Sea el problema Max (x 1 + x ) 4x 1 + x 1 (recurso A) >< 4x sa 1 + x (recurso B) 4x 1 x (recurso C) > x i 0; i = 1; Sabiendo que la siguiente tabla es una tabla óptima de este problema A 1 A A A 4 A 5 b A 0 1 1/ -1/ 0 A / / 0 / A / 1/ 0 17/ a) Determinar el estado de cada recurso. b) Determinar el rango de variación del término independiente de cada una de las restricciones para que la base óptima no varíe y determinar los precios sombras. 14

15 c) Determinar el rango de variación de los coe cientes de x 1 y de x en la función objetivo para que la solución óptima no varíe. d) Si denotamos por el coe ciente de x en la función objetivo, calcular las soluciones óptimas correspondientes cuando toma valores mayores o iguales que cero. 16. Considérese el siguiente problema de programación lineal Max (x 1 + x ) < x 1 + x 4 sa x 1 + x 4 x 1 0; x 0 a) Poner el problema en forma estándar y comprobar que el punto (0,4,0,) es una solución básica factible de este problema. b) Calcular la tabla del método simplex asociada a la solución básica factible anterior y, a partir de ella, calcular la solución óptima y el valor óptimo del problema. c) Decir si cada una de las siguientes a rmaciones es cierta o falsa y por qué i) La solución óptima hallada sigue siéndolo si el coe ciente de x 1 en la función objetivo cambia de a 1. ii) Si el término independiente de la primera restricción aumenta de 4 a, la solución óptima no varía. d) Qué ocurre si, en la primera restricción, se cambia la desigualdad por? Razonarlo utilizando el método simplex. 17. Sea el siguiente problema de programación lineal Max (x 1 x + x ) x 1 + 6x + x 6 >< 4x sa 1 + x + x 4 x 1 x + x > x i 0; i = 1; ; a) Completa la siguiente tabla que corresponde a una solución básica factible del problema y a partir de ella halla la solución óptima. 0 1/4 1 -/4 1 1/4 1/ / 1/ 0 b) Cuál es el rango de variación del término independiente de las dos primeras restricciones para que la base óptima no varíe? Cuál es el precio sombra de ambos recursos? c) Seguiría siendo óptima la solución obtenida en el primer apartado si el coe ciente de la primera variable de la función objetivo pasase de a 4? 1. Sea el problema de programación lineal Max (x 1 + x ) < x 1 + x sa x 1 + x 4 x 1 0; x 0 15

16 a) Resuelve el problema utilizando el método de las penalizaciones. b) En cada uno de los siguientes casos decir si la a rmación es cierta y por qué i) La solución hallada sigue siendo óptima si el término independiente de la primera restricción aumenta de a 4. ii) La base asociada a la solución óptima no varía si el término independiente de la primera restricción disminuye de a 1. iii) La solución hallada sigue siendo óptima si el coe ciente de x 1 en la función objetivo se cambia de a 1. c) Si añadimos al problema la restricción x, completa la siguiente tabla del nuevo problema (razona a partir de la tabla óptima del problema inicial) y halla la solución óptima del mismo. A 1 A A A 4 A 5 b A 1 A -1 A Considérese el siguiente problema de programación lineal Max (x 1 + x ) x 1 + x 4 >< x sa 1 + x 6 x 1 1 > x i 0; i = 1; a) Poner el problema en forma estándar y comprobar que el punto (,,0,0,1) es una solución básica factible de este problema. b) Calcular la tabla del método simplex asociada a la solución básica factible anterior; tomar esta tabla como inicial y a partir de ella calcular la solución óptima del problema. c) Decir si cada una de las siguientes a rmaciones es cierta o falsa y por qué i) La solución óptima hallada sigue siéndolo si el coe ciente de x en la función objetivo cambia de 1 a. ii) Si el término independiente de la segunda restricción aumenta de 6 a 9, la base asociada a la solución óptima no varía. d) Si se tuviera que escoger entre incrementar en unidades el término independiente de la primera restricción o el de la segunda, qué restricción se escogería?, por qué?, cuál es el efecto de este incremento sobre el valor óptimo de la función objetivo? e) Qué ocurre si los coe cientes de la variable x en la primera y en la segunda restricción cambian de ser 1 y 1 a ser - y -, respectivamente? 0. Sea el siguiente problema Max (4x 1 + 7x + x ) < x 1 + x + x 11 sa x 1 + x + x 16 x 1 0; x 0; ; x 0 a) Encuentra mediante el método simplex el óptimo del problema. Es único? 16

17 b)? Cuál es el rango de variación del coe ciente de x en la función objetivo para que no varíe la solución óptima hallada en el apartado anterior? c) A partir del óptimo hallado en a), calcula el mayor valor que puede tomar el término independiente de la primera restricción de tal modo que no varíe la base óptima.? Cuál es el nuevo óptimo? Realiza el mismo estudio para la segunda restricción.? Cuál es el incremento de la función objetivo al pasar el término independiente de la primera restricción de 11 a 14? d) Qué sucede si introducimos en el problema inicial una nueva variable x 4 cuyo coe ciente en ambas restricciones es - y el que corresponde a la función objetivo es 10? 1. a) Considérese la siguiente tabla del método simplex correspondiente a un problema de maximización. A 1 A A A 4 A 5 b A -1 a A 4 a A b c Establezca las condiciones que deben cumplir las incógnitas a 1, a, b y c para cada uno de los enunciados siguientes de manera que sean ciertos i) La solución actual es óptima. ii) La solución actual es óptima y hay otras soluciones óptimas. iii) El problema no tiene solución óptima. b) Sea el problema de programación lineal Max (x 1 + x ) x 1 + x 1 >< x sa 1 + x 7 4x 1 + x 4 > x i 0; i = 1; (i) Resuélvase utilizando el método simplex. (ii) A partir de la tabla óptima, hállese el rango de variación del término independiente de la primera y segunda restricciones de modo que la base óptima no varíe. (iii) A partir de la tabla óptima, hállese el rango de variación del coe ciente de x 1 en la función objetivo de modo que la solución óptima no varíe. (iv) Cuáles son los precios sombra de las tres restricciones?. Sea el siguiente problema de programación lineal Max (x 1 + 4x x ) x 1 + x x >< x sa 1 x + x x 1 + x + x > x i 0; i = 1; ; a) Encuentra la solución óptima del problema. b) Determina el rango de variación del término independiente de las dos primeras restricciones para que la base óptima no varíe y determina sus precios sombra. 17

18 c) Determina el rango de variación del coe ciente de la segunda variable en la función objetivo de tal modo que siga siendo óptima la solución inicial,? es única la solución óptima para el menor de los valores obtenidos? Si no es así, calcula todas las soluciones óptimas.. Sea el problema Max (4x 1 + x ) < x 1 + x 4 sa x 1 + x x i 0; i = 1; a) Completar la siguiente tabla sabiendo que corresponde a una solución básica factible de este problema A 1 A A A 4 b b) La siguiente es una tabla óptima de este problema A 1 A A A 4 b A 1 1 1/ 0 1/ 4 A 0-1/ 1 1/ i) Cambia la solución óptima si el término independiente de la segunda restricción es 1? ii) Cuál tiene que ser el término independiente de la segunda restricción para que el óptimo sea el punto (,0)? iii) Si el coe ciente de x en la función objetivo es 6 varía la solución óptima? En caso a rmativo, calcula la nueva solución óptima. iv) Cuál tiene que ser el coe ciente de x 1 en la función objetivo, si se mantienen el resto de los datos del problema, para que el valor óptimo sea 4? 4. Sea el problema Max (x 1 + x ) x 1 + x 9 >< x sa 1 + x 5 x 1 x 0 > x 1 ; x 0 a) Completar la siguiente tabla sabiendo que corresponde a una solución básica factible de este problema A 1 A A A 4 A 5 b b) Sabiendo que la siguiente tabla es una tabla óptima de este problema A 1 A A A 4 A 5 b A 0 1-1/ / 0 A / -1/ 0 A / 7/ / / 0 1 1

19 i) Determinar el rango de variación del término independiente de la primera restricción para que la base óptima no varíe. ii) Cuál tiene que ser el término independiente de la segunda restricción para que el óptimo sea el punto (0,9)? iii) Determinar el rango de variación del coe ciente de x 1 en la función objetivo para que la solución óptima no varíe. iv) Cuál tiene que ser el coe ciente de x en la función objetivo para que el valor óptimo sea 9? 5. Aplicar el método simplex para resolver el problema de minimización de costes de transporte de la empresa petrolífera enunciado en el ejercicio

20 Parte II ÁLGEBRA LINEAL 1. Dada la matriz A = 5= = = 10=. a) Comprobar si (; ) o (; 1) son vectores propios de A. En caso a rmativo hallar el valor propio asociado. b) Comprobar si 4 ó son valores propios de A. En caso a rmativo, hallar el subespacio espectral asociado. c) Resueltos a) y b) diagonalizar A.. Determinar los valores y vectores propios de las siguientes matrices, diagonizándolas y hallando la matriz de paso correspondiente si es posible A 1 = ; A = ; A = ; A 4 = A 7 = A 10 = 4 A 1 = 4 A 16 = ; A 5 = 5 A = ; A 11 = 4 5 ; A 14 = ; A 17 = ; A 6 = = = ; A 9 = ; A 1 = ; A 15 = ; ; Dada la matriz A = 4 a 0 b , con a; b R y b 6= 0, hallar sus valores y vectores 0 0 propios. Para qué valores de a y b será diagonalizable? 4. Discutir, para los distintos valores posibles de los parámetros, la diagonalizabilidad de las siguientes matrices A = 4 0 a a 1=a 0 a 5 a 0 ; a R; a 6= 0; B = ; a; b R 1=a 1 b 1=a 0 C = b 5 ; a; b R D = 4 1 a b 5 ; a; b; c R 0 a 0 0 c 5. Dada la matriz A = ; 5 ; 0

21 a) Hallar una matriz semejante a ella que sea diagonal. b) Hallar una base formada por vectores propios de A. 6. Clasi car las siguientes formas cuadráticas Q 1 (x) =x 1 + x + 4x 1 x ; Q (x) =x x 1 + x 1 x ; Q (x) =x 1 + x + x 1 x ; Q 4 (x) =x 1 + 5x 4x 1 x ; Q 5 (x) =x 1 + x 4x 1 x x ; Q 6 (x) = x 1 x + x x + x ; Q 7 (x) = x 1 + x 1 x x + x x x ; Q (x) =x 1 + 4x 1 x + 4x x + 5x + 5x ; Q 9 (x) =x 1 + 4x + p x x + 6x ; Q 10 (x) =5x 1 + 4x 1 x + x + 1x 1 x + 6x x + 9x ; Q 11 (x) =x 1 + x x 1 x + 4x x + x ; Q 1 (x) =x 1 + 4x 1 x + x 1 x + 4x x + x 7. Discutir el signo de las siguientes formas cuadráticas para los distintos valores posibles del parámetro a R Q 1 (x) =ax 1 + x 1 x + x ; Q (x) =4x 1 + ax + 4x + 4x x ; Q (x) =(a 1)x 1 + p x 1 x + 4x x + ax ; Q 4 (x) =x 1 + ax + x + 6x 1 x ; Q 5 (x) =ax 1 + p 5 x 1 x + x. Sea la forma cuadrática Q(x) = x 1 + x + x 1 x + x 1 x + 4x x. Existe x R tal que Q(x) < 0? Existe x R tal que Q(x) > 0? 9. Dada la familia de formas cuadráticas Q(x) = 4x 1 + x + 4x + ax x, para qué valores del parámetro a R se puede asegurar que la forma cuadrática correspondiente veri ca que existe x R tal que Q(x) < 0? 10. Sea la matriz A = b 0 a 5. a) Para qué valores de a y b es A la matriz de paso P B para alguna base B de R? b) Para qué valores de a y b es A la matriz de representación M(Q) de una forma cuadrática Q R! R? En este caso clasifíquese. 11. Sea la matriz A = a) Hallar sus valores propios b) A partir de lo obtenido en a) puede concluirse directamente si es diagonalizable? 1

22 c) Hallar M(Q), siendo Q(x) = t M(x) A M(x). d) Hallar el conjunto Q 0 = x R Q(x) 0 para la forma cuadrática anterior. 1. Hallar la matriz A M(; ) que veri ca las tres condiciones siguientes a) A = P B, siendo B =< a 1 ; a ; a > y a 1 = (; ; 1), b) A = M(Q), siendo Q(x) = x 1 + 5x + x + ax 1 x + x 1 x + bx x, c) 1 es valor propio de A. 1. Hallar una matriz A M(; ) que veri que las dos condiciones siguientes a) A es la matriz M(Q) de representación de una forma cuadrática semide nida, b) (; 1) es vector propio y 5 su valor propio asociado. 14. Sea la matriz A = donde R. a) Para qué valores de es la matriz A diagonalizable? b) Para = 1 clasi ca la forma cuadrática Q(x) = t M(x) A M(x). 15. Sea la forma cuadrática Q(x) = ax 1 + ax + ax + ax 1 x. a) Para qué valores de a es la matriz de representación de Q diagonalizable? b) Para qué valores de a se cumple x R Q(x) 0 = R? c) Existe algún valor de a para el cual existan x 1 y x de R tales que Q(x 1 ) < 0 y Q(x ) > 0? a 16. Sea A = c b d. a) Si b = 0, para qué valores de a, c y d es A diagonalizable? b) Si b = 1 y c = 1, qué relación debe existir entre a y d para que A sea diagonalizable? 17. a) Sea A M(; ) una matriz cuyos valores propios son 1, y, todos ellos diferentes entre sí; sabiendo que A es simétrica y que (; ; 1) S 1, (1; 0; 0) S y (; ; 1) S, calcula y. a b) Se considera la siguiente matriz C =. Qué relación debe existir entre los parámetros a y b para que C sea diagonalizable? 1. Sea la matriz A = b a 1 0 b 0 1 b 1 0 a) Para qué valores de a y b será A diagonalizable? 5.