Ejercicios de optimización

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1 Ejercicios de optimización 1. Calcular los extremos locales de las siguientes funciones: i)f(x,y)=(x 1) 2 +y 2 ii)f(x,y)=x 4 +y 2 +4x iii)f(x,y)=xy iv)f(x,y)=2x 2 y 2. Consideremos las tres funciones: (a)f(x,y)= x 4 y 4 (b)f(x,y)=x 4 +y 4 (c)f(x,y)=x 3 +y 3 Probarqueel(0,0)esunpuntoestacionarioparacadaunadeellasyque el hessiano, en él, se anula. Estudiando las funciones directamente, probar que el (0,0)es, respectivamente enlos casos (a)y(b), unmáximoyun mínimoyquenoesunextremoenelcaso(c). 3. Calcular los extremos globales de las siguientes funciones: i)f(x,y)= 2x 2 2xy 2y 2 +36x+42y 158 ii)f(x,y)=x 2 +y 2 6x+8y Calcular los extremos locales de las siguientes funciones condicionados por las restricciones que se indican: i)f(x,y)=x+y,condicionadosporx 2 +y 2 =1 ii)f(x,y)=x 2 +y 2,condicionadosporx 2 y=1 iii)f(x,y)=(x 2) 2 +(y 1) 2,condicionadospory=0 iv)f(x,y)=(x 2) 2 +y 2,condicionadosporx+y=2 v)f(x,y)=10x+8y x 2 2y 2,condicionadosporx+y=4 5. Calcular los extremos globales de las siguientes funciones en los conjuntos que se indican: i)f(x,y)=2x+y, X={(x,y) R 2 /x 2 +y 4,x 0,x+2y 4}. ii)f(x,y)=x y, X={(x,y) R 2 /y 2 x,x y+2}. iii)f(x,y)=(x 1) 2 +(y 2) 2, X={(x,y) R 2 /x 2y 0,x 3,x y 0}. iv)f(x,y)=x 2 +(y 1) 2, X={(x,y) R 2 /y x 2 1,y 3}. v)f(x,y)=(x 2) 2 +(y 1) 2, X={(x,y) R 2 /x 0,x y}. vi)f(x,y)=y x 2, X={(x,y) R 2 /x 2 +y 2 4,x y}. vii)f(x,y)=y+(x+1) 2, X={(x,y) R 2 / 2 x 2, 2 x+2y 2}. viii)f(x,y)=xy, X={(x,y) R 2 /x+y 2 1,x y 1. ix)f(x,y)=xy 2, X={(x,y) R 2 /x+y 2 1,x 0,y 0}. x)f(x,y)=(x+1)(y+2), X={(x,y) R 2 /x+y 3,2x y,2y x}. 6. Calcularlosextremosglobalesdelafunciónf(x,y)=2x 2 y 2 2xenel conjuntox= { (x,y) R 2 /x 2 +y 2 1 }. 1

2 7. Calcularlosextremos globales delafunciónf(x,y)=4x+xy+y enel conjuntox= { (x,y) R 2 /x+y 2 2,x y 0 }. 8. Calcular los extremos globales de la función f(x,y) = x(y+2) en el conjuntox= { (x,y) R 2 /x+y 6,x 0,y 0 }. 9. Una empresa produce dos tipos distintos A y B de un bien. El coste diariodeproducirxunidadesdeaeyunidadesdebes C(x,y)=0,04x 2 +0,01xy+0,01y 2 +4x+2y+500 Supongamos que la empresa vende toda su producción a un precio unitario de15$paraeltipoay9$parab.hallarlosnivelesdeproducciónque maximizan el beneficio. 10. Sea y = f(k,l) = K 1/2 L 1/2 la función de producción de una empresa donde K y L representan el capital y trabajo, respectivamente. Si el precio unitariodel trabajoes w L =1 u.m. y el delcapital w K =4 u.m., qué cantidades de capital y trabajo debe utilizar la empresa si su objetivo es producir dos unidades con el menor coste posible? 11. Una panificadora produce dos tipos de pan 1 y 2. Las variables x e y recogen las toneladas de producción del tipo 1 y 2, respectivamente. La función de beneficios (en ) correspondiente es: f(x,y) = 2xy+2x+ 4y+100. Lasproduccionesxey vienendeterminadasporlarestricción 2x+4y 120querecogeladisponibilidaddeharinaysudistribuciónen ambas producciones. Se desea conocer: i)laproduccióndecadatipodepanquemaximicelosbeneficioscondicionado a la disponibilidad de harina. ii) Interesaría comprar cantidades adicinales de harina? En caso afirmativo, á qué precio? 12. Una empresa produce dos bienes 1 y 2. El precio unitario de venta de cadaunoesp 1 =200$yp 2 =360$. Sufuncióndecosteses: C(q 1,q 2 )=q 2 1+2q 1 q 2 +2q Calcularlascantidadesq 1 yq 2 quedebeproducirdecadabienparamaximizar su beneficio. 13. Unaempresautilizadosfactores1y2paraproducirunbienmediantela siguientefuncióndeproducción: y=f(x 1,x 2 )=x 1/2 1 x 1/2 2. Silosprecios unitariosdelosfactoressonw 1 =w 2 =1u.m.,ylacantidadmáximadel factor 2 que puede utilizarse es 25 unidades qué cantidades de los factores 1y2debeutilizarlaempresasisuobjetivoesproducir20unidadescon el menor coste posible? Y si desea producir 30 unidades? 2

3 14. Unconsumidorpuede comprardostiposde bienes1y2. Elprecio, por unidaddelbien1esde2 yelpreciodelbien2esde4. Supresupuesto paragastarentreestosdosbienesesde112. Seanx 1 y x 2 lascantidades consumidas, respectivamente, del bien 1 y del 2. Cuánto consume de cada biensiloquebuscaelconsumidoresmaximizarsuutilidaddeacuerdoa lafunciónu(x 1,x 2 )=x 2 1 +x2 2 2x 1+1? 15. Unconsumidorpuedecomprardos tiposde bienes1y2. Sufunciónde utilidadesu(x 1,x 2 )=x 1 x 2.Elpreciounitariodelbien1esde2u.m. y elpreciodebien2esde3u.m.. Elpresupuestoquecomomáximopuede gastar entre estos dos bienes es de 360 u.m.. En consumir una unidad del bien 1 emplea 1 unidad de tiempo, mientras que en consumir una unidaddelbien2emplea4u.t. Sientotaldisponede80u.t.,calcularlas cantidades x 1 y x 2 que debe de comprar de cada bien para maximizar su utilidad. Estudiar además si cambiaría la solución óptima cuando la funcióndeutilidadfueseu(x 1,x 2 )=x 2 1x Unpaísproductordeunciertomineralseveobligadoaexportaranualmente una cantidad del producto no inferior a 2000 toneladas ni superior a 4000 toneladas. La venta del producto se puede hacer en el mercado internacional a 2000 unidades monetarias la tonelada o bien a un país vecinoaunpreciop=5000 xunidadesmonetariasportonelada, siendo xelnúmerodetoneladasvendidasadichopaís. Elgobiernodeseasaber qué cantidad del mineral producido(y) debe vender en el mercado internacionalyquécantidad(x)alpaísvecinosisuobjetivoesmaximizarlos ingresos. 17. Unaempresadedicadaalaventadesalseabastecededossalinasdistintas. Mensualmente puede recibir hasta un máximo de 600 t de sal procedente de la salina A y 1400 t de sal procedente de la salina B. Mezclándolas se pueden obtener dos tipos de sal de distinta calidad cuyo precio en el mercadoesde25céntimosde /kg(salde1 a )y20céntimosde /kg(sal de2 a ). Unatdesalde1 a calidadseobtienemezclando0,2tdetipoay 0,8tdetipoB;unatdesalde2 a calidadseobtienemezclando0,4tde tipoay0,6detipob.plantear,sinresolver,unmodelodeprogramación Linealquepermitacalcularlascantidades desal de1 a y2 a calidadque deben prepararse mensualmente para maximizar los ingresos. 18. Elalimentodeciertosanimaleshadeconstarde4compuestosA,B,Cy D.Diariamente, comomínimo, cadaanimalnecesita0,4kgdea,0,6de B,2deCy1,7deD.EnelmercadopuedenencontrarselosproductosM ynquecontienenestoscompuestosenlassiguientescantidades: 1kgde Mcontiene0,1kgdeA,0,1kgdeCy0,2kgdeD.Porotraparte,1kg de Ncontiene 0,1kg de B, 0,2 kg de Cy0,1 kg de D. El precio por kg esde10 paramyde4 paran.plantear,sinresolver,unmodelode Programación Lineal que permita calcular las cantidades de M y N por animal y día que satisfagan las necesidades nutritivas y para las cuales se minimice el coste. 3

4 19. Una compañía encuestadora tiene contratado un estudio con las siguientes exigencias: Debe de haber al menos 1000 entrevistas (personales o por teléfono). Al menos 300 entrevistas deben de ser personales. Al menos 500 entrevistas se deben hacer por la noche, (personales o por teléfono). Al menos el 60% de las entrevistas diurnas se deben realizar por teléfono. Sabiendoqueelcostecalculadodeunaentrevistaes: 8 porentrevista personal y de día; 8,4 por personal y de noche; 4 por teléfono y de día; 4,8 por teléfono y de noche, plantear, sin resolver, un modelo de Programación Lineal que permita calcular el número de entrevistas de cada tipo que deben realizarse para minimizar el coste total. 20. Unaempresapetrolíferaquesuministracrudostienedosdepósitos,D 1 y D 2, situados en distintos puertos y con capacidad para 140 y 40 t respectivamente. Dosclientes,C 1 yc 2,hacensendospedidosde100y50t respectivamente. ElclienteC 1 estáa60km. ded 1 ya30km. ded 2 ;el clientec 2 estáa80km. ded 1 ya20km. ded 2. Elcostedetransportees cierta cantidad fija K por tonelada y kilómetro. Plantear, sin resolver, un modelo de Programación Lineal que permita calcular como deben servirse los pedidos para minimizar el coste. 21. Una empresa dedicada a la elaboración de productos aleados, necesita abastecersemensualmentedealmenos18tdeestaño,20tdezincy12t decobre. Además,lacantidadmensualdeestañonodebeexcederde24 t. Para abastecerse de estos materiales la empresa recibe suministros de dos materias primas: M 1 y M 2. 1 tde M 1 contiene 2/3 t de cobre, 0,2 t de estaño y 0,4 t de zinc. 1 t de M 2 contiene 0,4 t de cobre, 0,3 t de estañoy0,2tdezinc. SabiendoqueelcostoportdeM 1 esde6u.m. yel dem 2 9u.m. port,obtenerelnúmerodetoneladasdem 1 ym 2 deque se debe abastecer mensualmente la empresa para minimizar los costes. 22. Una empresa fabrica dos tipos de máquinas: alternadores y motores. La fábrica está dividida en tres talleres. El taller A fabrica las partes activas delasmáquinas,empleando3horasparaunalternadory1/2horapara unmotor. EltallerBfabricalascarcasasdelasmáquinasempleando4/3 horatantoparaunalternadorcomoparaunmotor. EltallerCsededica almontajefinal,empleando4/3horaparaunalternadory2/3horapara unmotor. Sepide: (a) Silosbeneficiosporalternadorymotorsonrespectivamente80 y 60 ylashorastrabajadasencadatallernohandesuperarlas40 semanales, hallar la producción semanal de alternadores y motores paralaquesemaximizaelbeneficio. (b) Para el programa de producción óptimo obtenido, se agotan las horas disponibles en los tres talleres? (c) Cuál habría de ser el beneficio por motor para que, manteniéndose en 80 para alternadores, el beneficio máximo se obtuviese indifer- 4

5 entemente fabricando las cantidades obtenidas en el apartado a) o produciendo únicamente motores? (d) SieneltallerBnohubieselimitacióndehorasdetrabajo,pudiendo hacer horas extraordinarias, cuál sería la producción semanal para la que se maximizaría el beneficio? 23. Unapersonadisponedeuncapitalde parainvertirendostipos deacciones: A 1 ya 2. EldividendoanualparalasaccionesA 1 esdel12% ydel8%paralasdetipoa 2. Enestasituación,elinversordeseainvertir enaccionesa 1 almenostantocapitalcomoenaccionesa 2 ynomásde enaccionesa 1. (a) Se desea averiguar cuál es la distribución adecuada de dicho capital enordenaoptimizarlarentaanual. Cuáleselinterésqueestaría dispuestoapagarporuncrédito? Cuáleslacantidadquepediría como crédito? (b) Determinarentre qué valores puede oscilar el tipode interés de las accionesa 1 sinquelasoluciónóptimaseamodificada. 24. Un granjero se dedica a la explotación de ganado vacuno. Dicho ganado se alimenta de alfalfa y remolacha. En cada tonelada de alfalfa se encuentran20y30unidadesnutritivasdetipoaybrespectivamente. En cada tonelada de remolacha se encuentran 30 y 25 unidades nutritivas de tipo A y B respectivamente. La cantidad total de elemento nutritivo que diariamentesenecesitaenlagranjaesde600unidadesdetipoay800de tipob.unatoneladadealfalfacuesta250 yunatoneladaderemolacha 200. (a) Determinar la cantidad de cada alimento que se debe adquirir diariamenteparaqueelcosteparaelgranjeroseamínimo. (b) SisedeseaincrementarelnúmerodeunidadesnutritivasdetipoA enladietadelganado, enquécantidadesposiblehacerlosinquese altere la solución óptima inicial? (c) Determinar la solución óptima para el caso en que el precio de la remolacha subiera a Unagricultorposee1000haparadedicarlasalcultivodetrigoycebada. Paraobtener1toneladadetrigonecesita2haypara1toneladadecebada 1 ha. El coste en semillas, fertilizantes, maquinaria, etc., para producir 1 toneladadetrigoes120 yelde1toneladadecebada30 ytieneun presupuesto de Por otra parte, la Administración no le permite dedicar más de 800 ha de sus tierras al cultivo de cebada y además ha fijadoelpreciodecadacerealen130 /tparalacebaday200 /tpara eltrigo. Cuántashadebededicaracadacultivoparaobtenerelmáximo beneficio? Le conviene al agricultor alquilar nuevos terrenos? En caso afirmativo, cuántas ha estaría dispuesto a alquilar y a qué precio? 5

6 Si la Administración concede créditos de muy bajo coste para la compra de semillas, fertilizantes, etc., le interesa al agricultor pedirlos?, por qué? Si la Administración quisiera que la producción de trigo aumentara, sería unapolíticaadecuadabajarelpreciodelacebadaa60 /t?, porqué? Enelcasoenquesefijaraestenuevoprecio, leinteresaalagricultorque la Administración le conceda los créditos anteriormente mencionados? 26. Una empresa minera produce lignito y antracita y puede vender toda la producción que obtiene de ambos minerales con un beneficio unitario de 40 y 30 por tonelada vendida, respectivamente. El proceso de producción consta de tres fases: corte del mineral, tamizado y lavado. Para producir una tonelada de lignito o antracita es preciso utilizar la maquinaria disponible en cada una de las tres fases durante los tiempos que indica la siguiente tabla, donde también se ofrecen las disponibilidades máximas de dicha maquinaria, expresada en horas/semana. Corte Tamizado Lavado Lignito Antracita Disponibilidad (a) Sielobjetivodelaempresamineraesmaximizarsubeneficio, cuántastoneladasdecadaclasedemineraldebeproduciralasemana? (b) Suponiendo que el beneficio por tonelada de antracita no se modifica, cuáldeberíaserelbeneficioporcadatoneladadelignitoparaquese agote la disponibilidad máxima de la maquinaria en la fase de corte? (c) Estaría dispuesta la empresa a aumentar la disponibilidad máxima delamaquinariaenalgunadelastresfases?. Entalcaso, encuántas horasyaquéprecio? (d) Teniendoencuentaque,enrazóndelademandaexistente,elnúmero de toneladas de lignito producidas semanalmente no debe exceder en másde4unidadesalaproduccióndeantracita, quéocurreconla solución óptima del problema? 27. Apartirdetrigo,lúpuloymalta,unaempresafabricadostiposdecerveza: rubia y negra. Actualmente dispone de 40 kg de trigo, 30 kg de lúpulo y 40 kg de malta. Un litro de cerveza rubia se vende a 40 céntimos y requiere0,1kgdetrigo,0,1kgdelúpuloy0,2kgdemalta. Unlitrode cervezanegrasevendea50céntimos, ysenecesitan0,2kgdetrigo, 0,1 kgdelúpuloy0,1kgdemalta. Laempresapuedevendertodalacerveza que produce. (a) Formular un modelo de Programación Lineal para maximizar los ingresos de la empresa, y halla la solución óptima de dicho programa. 6

7 (b) Encuentra el intervalo de los valores del precio de la cerveza rubia paraquelasoluciónóptimasigasiendolamismaqueenelapartado (a). (c) En el caso de que dispusiera de 4 kg más de malta, cuál sería la solución óptima? Cuánto estaría dispuesta a pagar esta empresa poresos4kgdemás? (d) Si unestudio de mercado recomendara que la cerveza negra no superara el 40% de la producción total, cuál sería la solución óptima? 7