MATEMÁTICAS II Examen del 2/12/2004 Solución Importante

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1 MATEMÁTICAS II Examen del //004 Solución Importante Las calificaciones se harán públicas en la página web de la asignatura y en el tablón de anuncios del Dpto. de Métodos Cuantitativos en Economía y Gestión Módulo D 3ª planta el 7//004. La revisión será el //04 y //04 de -3 horas en la sala D-4. (Hemeroteca).

2 Las respuestas correctas suman 4 puntos las incorrectas restan puntos y las que se dejan en blanco no puntúan. Modelo Pregunta A B b b c a 3 b c 4 b b 5 a c 6 b c 7 b b 8 a a 9 a a 0 b b c c b a 3 a c 4 b c 5 c c

3 MATEMÁTICAS II / / 004 Tipo A Departamento de Métodos Cuantitativos en Economía y Gestión. (U. de las Palmas de Gran Canaria) Lic. en Economía Lic. Admón. y Dir. Empresas y Dipl. CC. Empresariales a a. Dada la matriz 5. Si A= a a 3 + entonces: A= diag b 3a entonces: (a) rango( A) = si a = y b = 3 a. 5 (b) rango( A) = si a = y b = 3 a. (a) A = diag 3. 3 (c) rango( A) = 3 si a o b 3 a La solución del sistema (b) A = diag. 3 3 x+ y+ z = 4 3 3x+ y z = 4 (c) A = diag 3. 5 es:. Dado el sistema ( λ A) x = ( b λc) con (a) 5z + 4 5z 8 z : z. 5 5 λ 0 un número real y A M 0 n A bc M n entonces su (b) 5z z + z : z. 5 5 solución viene dada por: (a) x = λ A b A c. (c) 5z + 8 5z 4 + z : z. (b) x = λa b λa 5 5 c. 7. Dada la matriz (c) x = A b A c. 0 0 λ 3. Dada la matriz A = a a 0 A= a a 0 a a (a) ( ) es vector propio de A con entonces: valor propio λ =. (a) sus valores propios son λ = 0 λ = a (b) ( ) es vector propio de A con y A no es diagonalizable. valor propio λ =. (b) sus valores propios son λ = 0 λ = a (c) ( ) no es vector propio de A. y A es diagonalizable. (c) sus valores propios son λ = 0 λ = a y 8. Dado el problema de programación lineal: opt x y A es diagonalizable. 4. Dado el problema de optimización s.a: x restringida y opt x y xy 0 s.a: x+ y = (a) el problema de máximo no tiene el punto crítico ( 3) es: solución. (a) máximo local y el valor objetivo es (b) el problema de mínimo no tiene. solución. (b) mínimo local y el valor objetivo es (c) es no factible.. (c) punto de silla.

4 9. La solución óptima del problema min x+ 3x s.a: 3x+ x 3 x+ 8x 6 x x 0 * * 9 6 es ( x x) =. Entonces la solución óptima del problema dual es: * * 0 7 (a) ( y y) =. * * 3 40 (b) ( y y) =. * * 7 0 (c) ( y y) =. 0. Dadas las matrices a 0 0 A= B 0 = 0 el determinante ( A+ B) n es igual a: n (a) a. a (b) ( ) (c) ( a) n. n.. Dada la siguiente matriz ampliada de un sistema de ecuaciones lineales 0 Ab= un vector básico asociado al conjunto de soluciones del sistema es:. (a) ( ) (b) ( ). (c) ( ).. Dada la matriz A = λ = 0 es valor propio de A con: (a) α = m =. (b) α = m = 3. (c) α = m = La siguiente matriz asociada a una forma cuadrática 0 A= a a es definida negativa para: (a) a >. (b) a <. (c) ningún valor real de a. 4. El dual del siguiente problema de programación lineal max x+ x s.a: x+ x 6 x x x 0 (a) tiene solución única. (b) es no factible. (c) es no acotado. 5. Dada la función 3 x xy f ( x y) = + xy+ 3 (a) en el punto ( ) existe un máximo local. (b) en el punto ( ) existe un punto de silla. (c) en el punto ( ) existe un mínimo local.

5 MATEMÁTICAS II / / 004 Tipo B Departamento de Métodos Cuantitativos en Economía y Gestión. (U. de las Palmas de Gran Canaria) Lic. en Economía Lic. Admón. y Dir. Empresas y Dipl. CC. Empresariales 5. Dado el problema de programación lineal:. Dada la siguiente matriz ampliada de un opt x y sistema de ecuaciones lineales s.a: x 0 y Ab= 4 0 xy (a) el problema de mínimo es no acotado. un vector básico asociado al conjunto de soluciones del sistema es: (b) el problema de máximo tiene solución única. (a) ( ). (c) el problema de mínimo tiene solución única. (b) ( ). 6. Dado el problema de optimización restringida (c) ( ).. Dada la matriz b b B= b b 0 b b entonces: (a) sus valores propios son λ = 0 λ = b y B es diagonalizable. (b) sus valores propios son λ = 0 λ = b y B no es diagonalizable. (c) sus valores propios son λ = 0 λ = b y B es diagonalizable. 3. La solución del sistema x y+ z = 4 x + y + z = 7 es: (a) {( z+ 3 z z) : z }. (b) {( z 3 z) : z }. (c) {( 3 z z) : z }. 4. Dada la matriz 0 0 A = 0 (a) ( 3) no es vector propio de A. (b) ( 3) es vector propio de A con valor propio λ =. 3 es vector propio de A con valor propio λ =. (c) ( ) opt x + y s.a: x+ y = entonces el punto crítico ( 3 ) es: (a) máximo local y el valor objetivo es. (b) punto de silla. (c) mínimo local y el valor objetivo es. 7. La solución óptima del problema min 3x+ 4x s.a : x+ 6x 6 4x+ x 6 x x 0 * * 9 es ( x x) =. Entonces la solución óptima del problema dual es: * * 4 0 (a) ( y y) =. * * 0 4 (b) ( y y) =. * * 7 0 (c) ( y y) =. 8. Dado el sistema ( αa) x = ( b αc) con α 0 un número real y A Mn A 0 b c M n entonces su solución viene dada por: (a) x = A b A c. α (b) x = α A b A c. (c) x = αa b αa c.

6 9. Dada la matriz A = λ = 0 es valor propio de A con: (a) α = 3 m =. (b) α = m =. (c) α = m = La siguiente matriz asociada a una forma cuadrática 0 A= a es definida negativa para: (a) a >. (b) a <. (c) ningún valor real de a.. El dual del siguiente problema de programación lineal max x+ x s.a: x+ x 6 x x x 0 (a) tiene solución única. (b) es no factible. (c) es no acotado.. Dada la función 3 y x y f ( x y) = + xy+ 3 (a) en el punto ( ) existe un mínimo local. (b) en el punto ( ) existe un máximo local. (c) en el punto ( ) existe un punto de silla Si A= a a b + entonces: a a 3a (a) rango( A) = 3 si a o b 3 a. (b) rango( A) = si a = y b = 3 a. (c) rango( A) = si a = y b = 3 a. 4. Dadas las matrices 0 a 0 A= B 0 = 0 el determinante ( A+ B) n es igual a (a) ( a ) n. n (b) a. n (c) ( a). 5. Dada la matriz 3 A= diag 3 5 entonces: 3 (a) A = diag (b) A = diag (c) A diag =. 3 3

7 MATEMÁTICAS II / / 004 Problema Departamento de Métodos Cuantitativos en Economía y Gestión. (U. de las Palmas de Gran Canaria) Lic. en Economía Lic. Admón. y Dir. Empresas y Dipl. CC. Empresariales Problema Tipo A Dadas α A 0 = b β = con α β se pide: (a) Discutir el sistema Ax = b. (5 ptos.) (b) Resolver el sistema Ax = b cuando sea posible. (5 ptos.) (c) Para α = 0: (c) Obtener los valores propios de A. ( ptos.) (c) Es A diagonalizable? Justificar la respuesta. ( ptos.) (c3) Calcular los vectores propios asociados a uno de los valores propios de A. ( ptos.) (Como sugerencia tomar aquel valor propio que sea entero.) (c4) Escribir una matriz diagonal semejante a A. ( ptos.) (c5) Utilizando el teorema de Cayley-Hamilton comprobar que: A ( A I ) = A + A. ( ptos.) 3 Problema Tipo B Dadas A 0 = b β = α con α β se pide: (a) Discutir el sistema Ax = b. (5 ptos.) (b) Resolver el sistema Ax = b cuando sea posible. (5 ptos.) (c) Para α = 0: (c) Obtener los valores propios de A. ( ptos.) (c) Es A diagonalizable? Justificar la respuesta. ( ptos.) (c3) Calcular los vectores propios asociados a uno de los valores propios de A. ( ptos.) (Como sugerencia tomar aquel valor propio que sea entero.) (c4) Escribir una matriz diagonal semejante a A. ( ptos.) (c5) Utilizando el teorema de Cayley-Hamilton comprobar que: A + A= A( A A). ( ptos.)

8 (a) Como Solución al problema Tipo A α 0 = α 0 0 entonces será un SCD para todo α 0. Cuando α = 0 la matriz ampliada resultante es 0 Ab= 0 β de donde se deduce que rango( A ) = y que el único determinante de orden 3 que puede ser distinto de cero en la matriz ampliada es β = β. 0 0 Entonces: Si α 0 se trata de un SCD. Si α = 0 y β = se trata de un SCI. Si α = 0 y β se trata de un SI. (b) Para α 0 la regla de Cramer proporciona α α x = β 0 = 0 y = β 0 = β α α β z = β = α α 0 0 β β y la única solución es 0 β = 0 β. α α 0 Para α = 0 y β = se tiene Ab= 0 donde se observa que la segunda fila es suma de las otras dos. Las ecuaciones linealmente independientes son x+ y = x = 0 y como z es también variable las infinitas soluciones de este sistema son {(0 z) : z }. (c) (c) En este caso y el polinomio característico es 0 A = p ( ) ( ) A λ = A λi = λ λ λ cuyas soluciones (valores propios) son 0. ± (c) Es diagonalizable porque los valores propios son reales y distintos. 3

9 (c3) Los vectores propios asociados al valor propio λ = 0 son las soluciones no triviales del sistema ( A λi3) x = 0 es decir x+ y = 0 x+ y= 0 x = 0 teniendo en cuenta que z es también variable. Por tanto el conjunto de vectores propios es (00 z) : z z 0. { } (c4) La matriz D = es semejante a A. 0 0 (c5) Desarrollando A ( A I ) = A + A. y pasando todo al segundo miembro de la igualdad se obtiene 3 3 A + A + A= 03 lo cual es cierto ya que el teorema de Cayley-Hamilton asegura que p ( A A ) = A ( A A I ) 0 3 = 3 (a) Como Solución al problema Tipo B 0 = α α 0 0 entonces será un SCD para todo α 0. Cuando α = 0 la matriz ampliada resultante es Ab= 0 β de donde eliminando la fila de ceros para el estudio de los rangos se deduce que rango( A) = rango A b = < n y que por tanto de trata de un SCI. ( ) Entonces: Si α 0 se trata de un SCD. Si α = 0 se trata de un SCI (independientemente de β ). (b) Para α 0 la regla de Cramer proporciona x = β 0 = 0 y = β 0 = β α α α 0 0 y la única solución es ( β β ) Para α = 0 se tiene son 0. z = β = β α α 0 0 Ab= 0 β de donde las ecuaciones linealmente independientes

10 x+ y+ z = x+ y = β y pasando la variable y al segundo miembro se tiene que las infinitas soluciones de este sistema ( β yy β y): y. son { } (c) (c) En este caso A = y el polinomio característico es p ( ) ( ) A λ = A λi3 = λ λ λ cuyas soluciones (valores propios) son 0±. (c) Es diagonalizable porque los valores propios son reales y distintos. (c3) Los vectores propios asociados al valor propio λ = 0 son las soluciones no triviales del sistema ( A λi3) x = 0 es decir x+ y+ z = 0. x+ y = 0 Pasando la variable y al segundo miembro y resolviendo el sistema resultante el conjunto de vectores propios es ( yy y): y y 0. { } (c4) La matriz D = es semejante a A. 0 0 (c5) Desarrollando A + A= A( A A) y pasando todo al primer miembro de la igualdad se 3 obtiene A + A + A= 03 lo cual es cierto ya que el teorema de Cayley-Hamilton asegura que p ( ) ( ) 0 A A = A A A I = 3 3

11 MATEMÁTICAS II / / 004 Problema con ordenador Departamento de Métodos Cuantitativos en Economía y Gestión. (U. de las Palmas de Gran Canaria) Lic. en Economía Lic. Admón. y Dir. Empresas y Dipl. CC. Empresariales Problema con ordenador Tipo A Una empresa produce tres tipos de fertilizante F F y F3. El proceso de producción consta de dos fases A y B. El tipo F requiere horas en la fase A y 3 horas en la fase B y su margen de beneficio es 36 u.m. El tipo F requiere horas en cada fase y su margen de beneficio es 8 u.m. El tipo F3 requiere 4 horas en la fase A y en la fase B siendo su margen de beneficio igual a 3 u.m. La empresa desea determinar las cantidades de fertilizante que debe producir para maximizar los beneficios teniendo en cuenta que dispone de 8 horas en cada una de las fases. (a) Plantee el problema de maximización de beneficios. (5 ptos.) (b) Resuelva el problema. Indique la cantidad de fertilizante de cada tipo que debe fabricarse y el beneficio óptimo obtenido. (5 ptos.) (c) Para cada fase de producción se utiliza toda la capacidad horaria disponible? Justifique la respuesta. (3 ptos.) (d) Si el fabricante pudiera disponer de más horas en la fase A (d) cuánto estaría dispuesta a pagar por una hora adicional en esta fase? ( ptos.) (d) qué cantidad máxima de horas adicionales pagaría a este precio? ( ptos.) (e) Indique los valores que debe asignarse a α y β en el enunciado siguiente: Si c representa el margen de beneficio aportado por el fertilizante F y se cumple la relación 36-α c 36+β entonces el problema de maximización de beneficios con c tiene la misma solución óptima que el resuelto en el apartado (b) (3 ptos.) Problema con ordenador Tipo B En una granja avícola se crían pollos que deben recibir diariamente al menos 4 unidades de hierro y 8 de vitaminas. Los animales se alimentan con maíz harina de huesos y una mezcla especial para aves. El maíz proporciona unidades de hierro y 5 de vitaminas. La harina de huesos aporta 4 unidades de hierro y de vitaminas. La mezcla proporciona unidades de hierro y de vitaminas. El coste del maíz la harina de huesos y la mezcla es 40 0 y 60 u.m. por unidad de alimento respectivamente. Se desea conocer qué cantidad de alimento de cada tipo debe utilizarse para minimizar el coste de alimentar a los pollos. (a) Formule el problema de minimización de costes. (5 ptos.) (b) Resuelva el problema. Indique las cantidades de alimento que minimizan el coste y el coste mínimo obtenido. (5 ptos.) (c) Si la cantidad de vitaminas requerida aumentara en 5 unidades cuál sería el coste mínimo? (3 ptos.) (d) La cantidad de hierro que proporciona la dieta óptima supera la cantidad mínima requerida? Justifique la respuesta. ( ptos.) (e) Si el coste de la mezcla para aves aumentara (e) se obtendría la misma dieta óptima que se calculó en el apartado (b)? (.5 ptos.) (e) valdría la misma respuesta para cualquier aumento de este coste? (.5 ptos.) (f) Si el coste de la mezcla para aves disminuyera para qué valores de este coste podríamos asegurar que la dieta óptima es la misma que se obtuvo en el apartado (b)? ( ptos.)

12 Solución al problema con ordenador Tipo A (a) La información de este problema de producción se recoge en la siguiente tabla: F F F3 disp. horaria fase A 4 8 fase B 3 8 beneficio Denotando por x i la cantidad a producir del fertilizante Fi i=3 el planteamiento del problema es: max 36x + 8x + 3x3 s.a x + x + 4x3 8 3x + x + x3 8 x x x 0. (b) La salida de LINGO es la siguiente: 3 Objective value:.0000 Variable Value Reduced Cost X X X Row Slack or Surplus Dual Price Por tanto debe fabricarse.4 unidades de F y 0.8 de F3 (nada de F) obteniendo de esta manera un beneficio óptimo de u.m. (c) En cada fase se utiliza toda la capacidad horaria ya que ambas holguras son igual a 0. (d) (d) Por una hora adicional estaría dispuesto a pagar 6 u.m. (precio sombra asociado a la primera restricción.) (d) El análisis de sensibilidad de LINGO (LINGO-Range) proporciona la siguiente tabla: Ranges in which the basis is unchanged: Objective Coefficient Ranges Current Allowable Allowable Variable Coefficient Increase Decrease X X INFINITY X Righthand Side Ranges Row Current Allowable Allowable RHS Increase Decrease

13 Entonces una disponibilidad horaria de la fase A en el intervalo [ ] = [ 5.333] proporciona el mismo precio es decir y = 6. Por tanto a este precio estaríamos dispuestos a pagar un máximo de 4 horas adicionales. (e) Nos preguntan por el rango de variación permitido para el margen de beneficio de F que es = Por tanto α = 0 y β = 60. precisamente [ ] [ ] Solución al problema con ordenador Tipo B (a) La información de este problema de dieta óptima se recoge en la siguiente tabla: maíz harina mezcla requerimiento mínimo hierro 4 4 vitaminas 5 8 coste Denotando por x la cantidad de maíz x la cantidad de harina y x 3 la cantidad de mezcla el planteamiento del problema es: min 40x+ 0x + 60x3 s.a x+ 4x + x3 4 5x+ x + x3 8 x x x 0. (b) La salida de LINGO es la siguiente: 3 Objective value: Variable Value Reduced Cost X X X Row Slack or Surplus Dual Price Por tanto debe utilizarse 0.44 unidades de maíz y 5.78 unidades de harina (nada de mezcla) obteniendo de esta manera un coste mínimo de u.m. (c) El precio sombra de la unidad de vitaminas es y = Entonces si el requerimiento de vitaminas aumentara en cinco unidades el coste mínimo sería = (Nota: Puede comprobarse en la tabla del análisis de sensibilidad que se muestra más abajo que para un aumento de 5 unidades el precio sombra se mantiene igual) (d) No ya que la holgura de la primera restricción es igual a cero. (e) El análisis de sensibilidad de LINGO (LINGO-Range) proporciona la siguiente tabla:

14 Ranges in which the basis is unchanged: Objective Coefficient Ranges Current Allowable Allowable Variable Coefficient Increase Decrease X X X INFINITY Righthand Side Ranges Row Current Allowable Allowable RHS Increase Decrease Entonces un coste de la mezcla para aves en el intervalo [ ) = [ ) proporciona la misma solución. Por tanto: (e) Si; (e) Si. (f) Teniendo nuevamente en cuenta que un coste de la mezcla para aves en el intervalo [ ) = [ ) proporciona la misma solución para cualquier reducción que no supere las unidades la solución es la misma.