TALLER N 7 DE ESTADÍSTICA

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1 UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL MAULE FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS PEDAGOGÍA EN MATEMÁTICA Y COMPUTACIÓN TALLER N 7 DE ESTADÍSTICA Alumno : Victor Córdova Cornejo (victormatematica@live.cl) : Rodrigo Gutiérrez Aguilar (ayudante.pmc@gmail.com) Carrera : Pedagogía en Matemática y Computación Profesor de Cátedra : Marcelo Rodríguez Fecha : 18/01/2012

2 Universidad Católica Del Maule Facultad de Ciencias Básicas Pedagogía en Matemática Y Computación Estadística I Taller 7 - Regresión curvilinea-multiple 23 de Enero del Problema 1. Un banco en Atlanta que se especializa en créditos para vivienda intenta analizar el mercado de finca raíz, midiendo el poder explicativo que las tasas de inters tienen sobre el número de casas vendidas en el área. Se compilaron los datos para un período de 10 meses, así: Mes Interés 12,3 10,5 15,6 9,5 10,5 9,3 8,7 14,2 15,2 12 Casas Ajuste una ecuación de regresión lineal simple y β 0 + β 1 x, además calcule r 2. Desarrollo: Sean: x Interés (Variable Independiente). y N de casas vendidas (Variable Dependiente). x i y i (x i x) (y i y) (x i x)(y i y) (x i x) 2 (y i y) 2 12, ,52-0,8-0,416 0,2704 0,64 10, ,2-112,896 1, ,24 15, ,82-71,8-274,276 14, ,24 9, ,28 28,2-64,296 5, ,24 10, ,28 51,2-65,536 1, ,44 9, ,48 106,2-263,376 6, ,44 8, ,08 68,2-210,056 9, ,24 14, ,42-94,8-229,416 5, ,04 15, ,42-91, , , ,22-82,8-18,216 0, ,84 Prom 11,78 196,8 Suma ,44 56, ,6 Parámetros: β 1 S xy S xx (x i x)(y i y) 1552, 44 56, 576 (x i x) 2 β 1 27, 44

3 β 0 y β 1 x 196, 8 ( 27, 44 11, 78) 196, , 2432 β 0 520, 0432 Ecuación de regresión lineal simple: y 502, , 44 x r 2 : r 2 10 (x i x)(y i y) 2 (x i x) 2 (y i y) 2 ( 1552, 44) 2 56, , , , 3322 r 2 0, 753 Diagrama de dispersión y curva de regresión (lineal simple).

4 2. Ajuste una ecuación logarítmica y β 0 + β 1 ln[x] además calcule r 2. Desarrollo: Sean: x Interés (Variable Independiente). y N de casas vendidas (Variable Dependiente). t i ln(x i ) y i (t i t) (y i y) (t i t)(y i y) (t i t) 2 (y i y) 2 2, ,06-0,8-0,048 0,0036 0,64 2, ,1 88,2-8,82 0, ,24 2, ,3-71,8-21,54 0, ,24 2, ,2 28,2-5,64 0,04 795,24 2, ,1 51,2-5,12 0, ,44 2, ,22 106,2-23,364 0, ,44 2, ,29 68,2-19,778 0, ,24 2, ,2-94,8-18,96 0, ,04 2, ,27-91,8-24,786 0, ,24 2, ,05-82,8-4,14 0, ,84 Prom 2,45 196,8 Suma -0, ,196 0, ,6 Parámetros: β 1 S ty S tt (t i t)(y i y) 132, 196 0, 4015 (t i t) 2 β 1 329, 26 β 0 y β 1 t 196, 8 ( 329, 26 2, 45) 196, , 687 β , 487 Ecuación de ecuación logarítmica: y 1003, , 26 t como t ln(x), entonces y 1003, , 26 ln(x)

5 r 2 : r 2 10 (t i t)(y i y) 2 (t i t) 2 (y i y) 2 ( 132, 196) 2 0, , , , 4674 r 2 0, 77 Diagrama de dispersión y curva de regresión (logarítmica).

6 3. Ajuste una ecuación potencia y β 0 x β 1 además calcule r 2. Desarrollo: Sean: x Interés (Variable Independiente). y N de casas vendidas (Variable Dependiente). Mes t i ln(x i ) w i ln(y i ) (t i t) (w i w) (t i t)(w i w) (t i t) 2 (w i w) 2 1 2,51 5,28 0,06 0,08 0,0048 0,0036 0, ,35 5,65-0,1 0,45-0,045 0,01 0, ,75 4,83 0,3-0,37-0,111 0,09 0, ,25 5,42-0,2 0,22-0,044 0,04 0, ,35 5,51-0,1 0,31-0,031 0,01 0, ,23 5,71-0,22 0,51-0,1122 0,0484 0, ,16 5,58-0,29 0,38-0,1102 0,0841 1, ,65 4,63 0,2-0,57-0,114 0,04 0, ,72 4,65 0,27-0,55-0,1485 0,0729 0, ,50 4,74 0,05-0,46-0,023 0,0025 0,2116 Pro 2,45 5,2 Sum -0,03 0-0,7341 0,4015 2,7085 Parámetros: β 1 S tw S tt (t i t)(w i w) 0, , 4015 (t i t) 2 1, β 1 1, 83 b w β 1 t 5, 2 ( 1, , 45) 5, 2 + 4, , b 9, 68 Así β 0 e 9, , 8 Ecuación de la curva de regresión potencial: y 15988, 8 x 1,83

7 r 2 : r 2 10 (t i t)(y i y) 2 (t i t) 2 (y i y) 2 ( 0, 7341) 2 0, , , , r 2 0, Diagrama de dispersión y curva de regresión (Potencia).

8 4. Ajuste una ecuación compuesto y β 0 β 1 x además calcule r 2. Desarrollo: Sean: x Interés (Variable Independiente). y N de casas vendidas (Variable Dependiente). x i w i ln(y i ) (x i x) (w i w) (x i x)(w i w) (x i x) 2 (w i w) 2 12,3 5,28 0,52 0,08 0,0416 0,2704 0, ,5 5, ,45-0,576 1,6384 0, ,6 4,83 3,82-0,37-1, ,5924 0,1369 9,5 5,42-2,28 0,22-0,5016 5,1984 0, ,5 5,51-1,28 0,31-0,3968 1,6384 0,0961 9,3 5,71-2,48 0,51-1,2648 6,1504 0,2601 8,7 5,58-3,08 0,38-1,1704 9,4864 0, ,2 4,63 2,42-0,57-1,3794 5,8564 0, ,2 4,65 3,42-0,55-1,881 11,6964 0, ,74 0,22-0,46-0,1012 0,0484 0,2116 Prom 11,78 5,2 Sum 0 0-8,643 56,576 2,2693 Parámetros: m S xw S xx (x i x)(w i w) 8, , 576 (x i x) 2 0, m 0, 15 b w m x 5, 2 ( 0, , 78) 5, 2 + 0, b 6, Ecuación de la curva de regresión compuesto: w 7, 3 0, x como w ln(y), entonces ln(y) 6, , x.

9 Luego y e 6, e 0, x y 1096, 2 0, 86 x r 2 : r 2 10 (x i x)(w i w) 2 (x i x) 2 (w i w) 2 ( 8, 643) 2 56, 576 2, , , r 2 0, Diagrama de dispersión y curva de regresión (Compuesto).

10 5. Ajuste una ecuación inverso y β 0 + β 1 1 x además calcule r2. Desarrollo: Sean: x Interés (Variable Independiente). y N de casas vendidas (Variable Dependiente). t i 1 x i y i (t i t) (y i y) (t i t)(y i y) (t i t) 2 (y i y) 2 0, ,0072-0,8 0, , ,64 0, , ,2 0, , ,24 0, , ,8 1, , ,24 0, , ,2 0, , ,24 0, , ,2 0, , ,44 0, , ,2 1, , ,44 0, , ,2 1, , ,24 0, , ,8 1, , ,04 0, , ,8 2, , ,24 0, , ,8 0, , ,84 Prom 0, ,8 Suma , , ,6 Parámetros: β 1 S ty S tt (t i t)(y i y) 11, , (t i t) 2 β , 12 β 0 y β 1 t 196, 8 (3824, 12 0, 0882) 196, 8 337, 3 β 0 140, 5 Ecuación de la curva de regresión inversa: y 140, , 12 t como t 1 x, entonces y 140, , 12 1 x

11 r 2 : r 2 10 (t i t)(y i y) 2 (t i t) 2 (y i y) 2 (11, ) 2 0, , 6 122, , r 2 0, 75 Diagrama de dispersión y curva de regresión (inversa).

12 6. Si la tasa de inters es del 9,5 %, cuántas casas se venderían de acuerdo a cada uno de los modelos? -Modelo Lineal: Si x 9, 5 entonces y 502, , 44 9, 5 -Modelo Logarítmico: y 241 Si x 9, 5 entonces y 1003, , 26 ln(9, 5) -Modelo Potencial: Si x 9, 5 entonces y 15988, 8 9, 5 1,83 -Modelo Compuesto: Si x 9, 5 entonces y 1096, 2 0, 86 9,5 -Modelo Inverso: Si x 9, 5 entonces y 140, , De los modelos cuál utilizaría? y 262 y 260 y , 5 y 262 Para escojer que modelo entrega una mejor reprensetativad utilizaremos los valores de r 2 entregados por el SPSS, ya que entrega valores más reales, pues nuestros datos son aproximaciones. -Modelo Lineal: r 2 0, 753 -Modelo Logarítmico: r 2 0, 760 -Modelo Potencial: r 2 0, 763 -Modelo Compuesto: r 2 0, 759 -Modelo Inverso: r 2 0, 755 De acuerdo a lo anterior, podemos decir que el modelo que entrega una mejor representatividad es el modelo Potencial.

13 Problema 2. Considere los siguienes datos y x 1 x Considere el siguiente modelo ŷ β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2, Escriba el modelo en forma matricial. Desarrollo Primeramente debemos identificar las matrices tanto de los coeficioentes, contantes como las icógnitas Y ; X y β Luego mi modelo en forma matricial sería de la siguiente manera β β β β 0 β 1 β 2 Encuentre las matrices: X T X, (X T X) 1 y X T Y Desarrollo Antes de encontrar la matriz, debemos identificar la traspuesta de mi matriz X, lo que es: X T Enseguida calculamos el valor de 1) X T X Como ya tenemos X y X T, ahora solo debemos calcular el producto de esas matrices que está dado por:

14 el orden de la matriz es de 3x6 y el orden de la segunda matriz es 6x3, por ende mi matriz resultante va a ser de orden 3x3, entonces realizando el producto llegamos a que: X T X ) (X T X) 1 aplicando operaciones elementales fila, llegamos que mi matriz ampliada (X T X/I 3x3 ) llegamos a nuestra matriz inversa que es: (X T X) ) X T Y Para encontrar ese producto matricial solo debe reemplazar nuestras matrices y operar. entonces X T e Y Entonces X T Y 24 2 Encuentre los parámetros del modelo y plantee la ecuación de regresión β (X T X) 1 X T Y Entonces la ecuación de regresión es: β ŷ x x

15 2. Considere el siguiente modelo ŷ β 0 + β 1 x 2 1. Escriba el modelo en forma matricial. Desarrollo Primeramente debemos identificar las matrices tanto de los coeficientes, constantes como las icógnitas Y ; X y β ( ) β0 β Luego mi modelo en forma matricial sería de la siguiente manera ( ) β0 1 4 β Encuentre las matrices: X T X, (X T X) 1 y X T Y Desarrollo Antes de encontrar la matriz, debemos identificar la traspuesta de mi matriz X, lo que es: ( ) X T Enseguida calculamos el valor de 1) X T X Como ya tenemos X y X T, ahora solo debemos calcular el producto de esas matrices que está dado por: 1 4 ( ) el orden de la matriz es de 2x6 y el orden de la segunda matriz es 6x2, por ende mi matriz resultante va a ser de orden 2x2, entonces realizando el producto llegamos a que: ( ) 6 24 X T X ) (X T X) 1 Como el determinante de X T X ( ) 6 24 es 0, La matriz X T X no tiene inversa, así (X T X) 1 no existe. ( ) (6 96) (24 24) 0

16 3) X T Y Para encontrar ese producto matricial solo debe reemplazar nuestras matrices y operar. entonces ( ) X T e Y ( ) 276 Entonces X T Y 1104 Encuentre los parámetros del modelo y plantee la ecuación de regresión. Es imposible obtener los parámetros, ya que de acuerdo al producto matricial β (X T X) 1 (X T Y ), necesitamos obtener la matriz inversa de M (X T X), matriz que no existe pues M 0, y de este modo no es posible plantear la ecuación de regresión.