Colegio San Agustín (Santander) Página 1
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- María Concepción Márquez Fuentes
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1 Colegio San Agustín (Santander Página OPERACIONES CON MATRICES Dadas las matrices A= ( B= ( C= ( a Calcula (A+B C t b Comprueba que (A+B C t = AC t +BC t a (A+B C t = ( ( = ( b AC t +BC t = ( ( + ( ( = ( Por lo tanto demostramos que la igualdad se cumple. Dadas las matrices: M= ( N= ( a Calcula M -N b Calcula (M+N (M-N a M -N = ( ( = ( b (M+N (M-N = ( ( = ( Matemáticas ºBachillerato Aplicadas a las Ciencias Sociales era evaluación. Matrices
2 Dada la matriz A=(, comprueba que A =A I. Además calcula A A =( ( =( A-I= ( ( ( Observamos que la igualdad se cumple. Calculamos ahora A, sabiendo que A =A I A = ( ( = A + I -A = (A-I + I -A = 8A I +I -A = 8A I +I -A = A-I A = A-I = ( ( = ( Tenemos la matriz A= ( donde a,b y c son tres números reales. a Encuentra A n para todo natural n. b Calcula ( A =( ( ( A = A A= ( ( ( Observamos entonces que A =, por lo tanto A n = si n b Nos piden que resolvamos ( ( ( ( Colegio San Agustín (Santander Página
3 Dadas las matrices A= ( B=( a Calcula A -, B -, (A - y ( b Comprueba que (A - = A - c Comprueba que ( = B - d Comprueba que [( ( ] = B - A - a A - = ( B - =( (A - =( ( = ( b (A - = A - ( = ( = ( Por lo tanto esta igualdad se cumple. c ( = B - ( = ( =( Por lo tanto esta igualdad se cumple. d [( ( ] = B - A - ( ( = ( ( = ( ( = ( [( ( ] = ( B - A - = ( ( = ( B - A - =( [( ( ] = B - A - Por lo tanto comprobamos que la igualdad se cumple. Colegio San Agustín (Santander Página
4 Dadas las matrices : A= ( B= ( a Calcula el valor de t para que el producto AB dé como resultado la matriz nula. b Para el valor de t hallado, calcula el resultado de BA+BAB+BAB a AB = ( ( ( ( = ( ( = ( t= b BA+BAB+BAB Tenemos que AB= BA + B + B (AB B = BA + + B B = BA = ( ( ( 7 Sea la matriz A=( y n, un número natural cualquiera. Encuentra el valor de A n para cada n y halla A -A Aplicaremos el método de inducción. Calculamos las primeras potencias de A. A = ( ( ( A =A A= ( ( ( Suponemos que A n =( Vemos que. Se verifica para n=. Si se cumple para n, también se cumple para n+, ya que: A n+ =A n A=( ( ( ( En consecuencia, nuestra suposición es cierta. Luego A n =( Por tanto: A -A = ( ( ( Colegio San Agustín (Santander Página
5 MATRIZ INVERSA 8 Calcula las matrices inversas de : D= ( D= ( F F ( F F ( F F -F ( F - F ( F F -F ( F F ( ( f f + f ( D - = ( C=( C= ( ( ( ( ( ( C - = ( Colegio San Agustín (Santander Página
6 Colegio San Agustín (Santander Página RANGO DE UNA MATRIZ 9 Calcula el rango de la siguiente matriz A=( Calculamos el rango de la matriz dada: ( ( ( ( Por tanto el rango de la matriz rg(a= Aplicando el método de Gauss, calcula el rango de las siguientes matrices: a B=( B=( f f -f ( f f +f ( rg(b= b C= ( C= ( ( 8 ff-f( rg(c=
7 ECUACIONES MATRICIALES Si la matriz A=( determina los valores de x e y para que se cumpla la igualdad A +x A+y I=. I representa la matriz identidad de orden. Calculamos A =( ( ( Tenemos que A +x A+y I= ( ( ( ( } Si I es la matriz identidad de orden y A= ( halla el valor que deben tener X para que A -x A+yI= A =( ( =( A -xa-yi = ( ( ( ( ( } } Dada la matriz A=( a Calcula A t A y A A t, donde A t es la traspuesta A b Encuentra las matrices de la forma X= ( tales que: A A t X=X c Encuentra todas las matrices de la forma Y= ( tales que: A t AY=Y La matriz traspuesta de A es: A t = ( A t A= ( ( ( A A t =( ( ( Colegio San Agustín (Santander Página 7
8 b A A t X=X ( ( ( ( =( { Por tanto X=( donde xϵr c A t A Y=Y ( ( ( { { Solución: Y=( donde bϵr Resuelve la ecuación matricial XA=B, siendo A= ( y B= ( Solución: Despejamos X multiplicando por A - por la derecha: XAA - = BA - X=BA - Hallamos A - =( Así que X= ( ( X= ( Resolver la ecuación de matrices : A X=B, siendo: A= ( B= ( Solución: Multiplicando la ecuación dada por A - a la izquierda, resulta: A - (A X = A - B Teniendo en cuenta que la multiplicación de matrices es asociativa, que A - A=I y que I X=X, se obtiene: X=A - B=( ( ( Resolver la ecuación matricial X A=B+C A=( B=( C=( Solución: Multiplicando a la derecha por la inversa A - de A se obtiene: X=(B+C A - Como B+C=( y A - = (, resulta la solución: X=( ( = (, Colegio San Agustín (Santander Página 8
9 7 Resolver la ecuación: M X+N=P, siendo: M=( N=( P=( Solución: Si designamos por I la matriz unidad, se puede escribir M= -I La ecuación dada se escribe entonces en la forma: -I X+N=P, y como -I X=-X, resulta: X=N-P = ( ( ( 8 Resolver la ecuación matricial A X B=C, siendo: A=( B=( C=( Solución: Teniendo en cuenta que la matriz A es la matriz unidad, la ecuación dada se escribe en la forma X B=C. Multiplicando a la derecha por B - se obtiene: X= C B - =( ( ( 9 Resuelve el siguiente sistema matricial: X-Y = ( ; X+Y=( Vamos a llamar A a la matriz ( y vamos a llamar B a la matriz ( Si aplicamos este cambio nos queda un sistema de la forma: { resolvemos el sistema y nos queda que X= ( e Y= ( X= ( = [( ( ] ( ( Y= ( = [ ( ( ] ( ( Colegio San Agustín (Santander Página 9
10 Matriz Inversa por el método de Gauss-Jordan Comprueba que el rango de A=( es y observa qué ocurre si se intenta calcular A - por el método de Gauss. ( F F -F ( F F - F ( rg(a= ( F F -F ( F F -F ( El hecho de que en la parte izquierda de la expresión aparezca una fila de todo ceros indica que la matriz no tiene inversa. Calcula X de forma que XA B = C A = ( B = ( C= ( XA = C + B XAA - = (C+BA - XI = (C+BA - X=(C+BA - Calculamos A - A=( f f ( f f - f ( A - =( X= [ ( ( ] ( = ( ( = ( X= ( Colegio San Agustín (Santander Página
11 Halla la matriz X tal que A X + BX = C, siendo A= ( B= ( C=( ( X = C (A +B - (A +B X = (A +B - C I X=(A +B - C X= (A +B - C = [( ( ] ( = ( ( = ( Resuelve la siguiente ecuación: X ( ( ( X ( ( ( X ( ( [( ( ] ( X I = X = ( ( Calculamos ( = ( X= ( ( ( Colegio San Agustín (Santander Página
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