COMPETENCIA No. 1: Concepto de circunferencia y algunos de sus elementos. Material de aprendizaje

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1 COMPETENCIA No. 1: Concepto de circunferencia y algunos de sus elementos. Material de aprendizaje Circunferencia: Es la curva, tal que la distancia de todos sus puntos a un punto fijo c (h, k) es constante. El punto C (h, k) es el centro de la circunferencia y la distancia del centro a cualquiera de su puntos P (x, y) es el radio. El radio es la distancia que va desde el centro o "p" hasta el límite de la circunferencia. Tangente: es toda recta que tiene un solo punto en común con la circunferencia, y ambas están en un mismo plano. El punto en común se llama punto de /a tangente. En una circunferencia, un radio siempre es perpendicular a la tangente en el punto tangente. ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE: Encierre en un círculo la respuesta correcta: 1) Es la distancia que va desde el centro hasta el límite de la circunferencia: a) Tangente b) Radio c) Secante ) Es toda recta que tiene un solo punto en común con la circunferencia y ambas están en un mismo plano: a) Tangente b) Radio c) Secante 3) Es la curva, tal que la distancia de todos sus puntos a un punto fijo c (h, k) es constante:.a) Elipses b) Circunferencia c) Parábola Página

2 COMPETENCIA No. : Determinar la ecuación de la circunferencia con centro en el origen de la coordenada y el punto p (x, y) es el punto cualquiera de la circunferencia. Material de Aprendizaje Al sustituir la fórmula de distancia, nos queda: x + y = r x + y = r (x h) + (x k) = r c(h, k) (x h) = (x) (x)(h) + (h) = x xh + h (y k) = (y) (y)(k) + (y) = y yk + k ACTIVIDADES DE APRENDZAJE: 1.- Encuentre la ecuación de la circunferencia con centro en el origen de radio 4 cm. x + y = r x + y = (4) x + y = 16.- Encuentre la ecuación de la circunferencia cuyo centro se halla en el origen y que pasa por el punto A (3, 4). La distancia desde el centro al punto de p, se le llama radio. x = 3 e y = 4 c(h, k) c(0, 0) AC = (3) + (4) AC = AC = 5 AC = 5 x + y = r x + y = (5) x + y = Encontrar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el origen y a tangente 3x + 4y + 15 = 0 Distancia de un punto a una recta h = 0, k = 0; A = 3; B = 4 C = 15 d = r = Ax 1 + By + C A + B d = r = 3(0)+4(0)+15 d = r = d = r = 3 x + y = r x + y = (3) x + y = 9 Página 3

3 RESOLVER LOS SIGUIENTES EJERCICIOS O PROBLEMAS 1.- Determine la ecuación de un abanico de la planta generadora de electricidad ITABO II cuyo centro está en el origen y su radio es 6mts..- Encuentre la ecuación de la circunferencia de un aro de bicicleta cuyo centro se halla en el origen y que pasa por el punto B( 5,3) 3.- Encontrar la ecuación de la circunferencia de un eje radical cuyo centro es el origen y que sea tangente a la recta 6x 8y + 50 = 0 Página 4

4 Competencia No 3: Determinar la ecuación de la circunferencia conocido el centro y el radio. Material de Aprendizaje: En este punto se conoce el radio y su centro, C (h, k). Para encontrar la ecuación ordinaria se utiliza la siguiente formula: (x h) + (y k) = r ; donde a representa el punto del eje de la h (abscisa) y k el punto del eje de la y (ordenada). (x h) = (x) (x)(h) + (h) = x xh + h (y k) = (y) (y)(k) + (y) = y yk + k Con esta ecuación se determina la ecuación general de la circunferencia que es x + y + Ax + By + C = 0 ACTVIDADES DE APRENDIZAJE: Ejemplos: Cuál es la ecuación que debe tener la turbina de la planta eléctrica de los Minas, si su centro es 5mts, -7mts y posee un radio de 1 metros. h = 5m, k = 7m r = 1 m (x h) = (x) (x)(h) + (h) = x xh + h (y k) = (y) (y)(k) + (y) = y yk + k (x h) + (y k) = r (x 5) + (y + 7) = 1 x 10x+5 + y + 14y + 49 = 144 x + y + Ax + By + C = 0 x + y 10x + 14y = 0 x + y 10x + 14y 75 = 0 Determina la ecuación que debe tener el reloj de la Catedral Primada de América, si su punto es (4m, m) y el radio es 5 m. h = 4m, k = m, r = 5 m (x h) + (y k) = r x 8x y + 4y + 4 = 5 x + y 8x 4y 5 = 0 x + y 8x 4y = 0 Página 5

5 Determine la ecuación de la circunferencia de la Plaza de la Bandera, Avenida 7 de Febrero con Avenida Gregorio Luperón, si su centro es (15 m y 11 m) y su radio es 5 m h = 15m, k = 11m r = 5 m (x h) + (y k) = r x 30x y + y + 11 = 65 x + y 30x + y = 0 x + y 30x + y 79 = 0 RESOLVER LOS SIGUIENTES EJERCICIOS O PROBLEMAS 1. Centro en (5,1), radio 3. Se desea conocer la ecuación de la circunferencia para la tapa de una leche en polvo donde tiene un punto de (,4) y un radio de 8 cm Página 6

6 Competencia No. 4: Determinar la ecuación de la circunferencia conocido su centro y el punto. Material de Aprendizaje r = (x h) + (y k) C(h, k) y el punto (x, y) Siendo el punto que toca la circunferencia. El centro y el punto solamente se utilizan para determinar el radio, luego se procede con la ecuación general. (x h) = x hx + h (y k) = y ky + k x + y + Ax + By + C = 0 ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE: Ejemplo: Calcular la ecuación de la circunferencia de C(1,1) y el punto (, 3) r = (x h) + (y k) r = ( 1) + (3 1) r = ( 3) + () r = r = 13 (x h) = (x) (x)(h) + (h) = x xh + h (y k) = (y) (y)(k) + (y) = y yk + k (x 1) + (y 1) = ( 13) x x y y + 1 = 13 x + y x y = 0 x + y x y 11 = 0 Calcular la ecuación que debe tener la rotonda que está en la de plaza de la Bandera si su centro está en un eje coordenado a (5mts, -1.5mts) y contiene al punto (-40 m, 58.5 m). Estos valores no son reales, es una suposición. h = 5m, k = 1.5 m, x = 40m y = 58.5 m r = (x h) + (y k) r = ( 40 5) + (58. 5 ( 1. 5)) r = ( 45) + (60) r = r = 565 Como resulta exacta se busca la raíz cuadrada r = 75 Página 7

7 (x h) + (y k) = r (x 5) + (y ( 1. 5)) = (75) (x 5) + (y + 1.5) = (75) x 10x y + 3y +.5 = 565 x + y 10x + 3y = 0 x + y 10x + 3y 565 = 0 Calcular la ecuación que deben tener tas tapas de las botellas de refresco, si su centro está en un eje de coordenada (.4 mm, 3 mm), y contiene al punto (3.8 mm, 4. mm). Estos valores no son reales, es una suposición. r = (x h) + (y k) r = (3.8.4) + (4. + 3) r = (1.4) + (1.) r = r = 3. 4 (x h) + (y k) = r (x 3.8) + (y 4.) = ( 3.4) x 7.6x y = 3.4 x + y 7.6x + 8.4y = 0 x + y 7. 6x 8. 4y = 0 RESOLVER LOS SIGUIENTES EJERCICIOS O PROBLEMAS 1. Determinar la ecuación de la circunferencia que debe tener un aparato de resonancia magnética de centro (,), y que contiene al punto (-3,-3), para que los pacientes se encuentren cómodos. Página 8

8 . Calcular la ecuación de la circunferencia que debe tener la turbina de la planta de la Presa de Tavera, si su centro es (1 m 16 m) y contiene al punto (.4 m, -3..m). Competencia No. 5: Hallar la ecuación de la circunferencia conocido su centro y la recta tangente. Material de Aprendizaje: La ecuación es Ax + By + C = 0 (la recta). El centro representa (h, k) Para determinar el radio, se debe saber que el radio es la distancia del centro a una recta tangente. d = r = Ax 1 + By + C A + A ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE: Ejemplo: Hallar la ecuación de la circunferencia que se piensa construir en la esquina Independencia con Italia, si en su centro (4, 5) y es tangente a la avenida Italia cuya recta 3x y + 1 = 0 Datos: A = 3, B =, C = 1, x = 4, y = 5, Ax + By + C d = r = A + B d = r = 3 4+( )5+1 d = r = (3) +( ) 3 13 d = r = (x h) = (x) (x)(h) + (h) = x xh + h (x 4) = (x) (x)(4) + (4) = x 8x + 16 (y k) = (y) (y)(k) + (y) = y yk + k Página 9

9 (y 5) = (y) (y)(5) + (5) = y 10y + 5 (x h) + (y k) = r x 8x y 3 10y + 5 = ( 13 ) x + y 8x 10y + 41 = 9 13 x + y 8x 10y = 0 x + y 8x 10y = 0 1. Se tiene un centro de una rotonda X y una calle que es tangente a ella, su centro (-3, 4) y su ecuación tangente x + 5y 8 = 0. Qué radio se necesita para esta ecuación? Qué ecuación se genera? Datos: A =, B = 5, C = 8, x = h = 3, y = k = 4, d = r = Ax 1 + By + C A + B d = r = 3+(5)4 8 d = r = d = r = () +(5) (x h) = (x) (x)(h) + (h) = x xh + h (x ( 3)) = (x) + (x)(3) + (9) = x + 6x + 9 (y k) = (y) (y)(k) + (y) = y yk + k (y 4) = (y) (y)(4) + (4) = y 8y + 16 (x h) + (y k) = r x + 6x y 8y + 16 = ( 6 9 ) x + 6x y 8y + 16 = 36 9 x + y + 6x 8y = 0 x + y + 6x 8y = 0 Lic. Genaro Zorrilla, Cristo te ama y murió por ti y por mí. Página 10

10 EVALUACIÓN FORMATIVA:. Se desea saber qué radio debe tener un eje de una planta eléctrica cuyo centro es de (-4, -) y debe ser tangente una salida de piñón lineal cuya ecuación x + y + 3 = 0 3. Qué ecuación debe tener la circunferencia para detener la bobina de una licuadora que tiene un centro (,3) y es tangente al soporte cuya ecuación x 4y + 5 = 0 Página 11

11 Competencia No. 6: Determinar el centro y el radio conocido la ecuación de la circunferencia. Material de Aprendizaje: La ecuación de una circunferencia con centro en (h, k) y radio r es x + y + Ax + By + C = 0 A = h B = k C = a + b r A partir de estos datos se obtienen los siguientes resultados: h = A, B k = r = h + k C r = h + k C Si radio < 0 ha de interpretarse que no existe tal circunferencia y se dirá, en tal caso, que se trata de una circunferencia imaginaria. Si radio = 0, se trata de una circunferencia de radio nulo en el Punto (x, y). Si radio > 1, se trata de una circunferencia de radio mayor que 1. ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE: 1) Determinar el centro y el radio de una rotonda que se quiere construir frente al Palacio Nacional, cuya ecuación es x + y 4x + 6y + 3 = 0 A = 4 B = 6 C = 3 h = A, B k = r = h + k C r = h + k C h = ( 4) h = k = 6 k = 3 r = h + k C r = ( c(h, k) h = k = 3 c(, 3) r = 10 ) Determine el centro y el radio de la siguiente ecuación 4x + 4y = 36 Se divide toda la expresión entre 4 4x + 4y = 36 Dividiendo x + y = 9 x + y 9 = Como no hay termino de A y B el radio está en el origen. c(h, k) 1. Dado las siguientes ecuaciones determinar su centro y su radio r = h + k C r = ( 9) r = 9 r = 9 r = 3 x + y + 6x 1y 3 = 0 x + y + Ax + By + C = 0 A = 6 B = 1 C = 3 h = A B k = r = h + k C Página 1

12 h = 6 h = 3 k = ( 1) k = 6 r = ( 3) + (6) ( 3) r = r = 4 ) Determine el centro y el radio de la siguiente ecuación x + y 6x 8y + 15 = 0 h = ( 6) A = 6 B = 8 C = h = A, B k = r = h + k C C(h, k) h = 3 k = ( 8) k = 4 r = (3) + (4) (5) r = c(3, 4) r = 10 EVALUACION FORMATIVA: 1. Hallar el centro y el radio de una rotonda que se desea construir en la Padre Castellano (17) con Josefa Brea para descongestionar el transitó y se tiene una ecuación de x + y 1x 10y + 15 = 0. Hallar el centro y el radio que se necesita para crear una goma de camión, cuya ecuación se supone que es x + y + 15x + 8y 4 = 0 Página 13

13 Competencia No. 7: Determinar la ecuación de la circunferencia conocidos dos puntos de ellos. Material de Aprendizaje. Debe saber resolver sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas. Debe estudiar la competencia. Determinar la ecuación de la circunferencia conocido su centro y el punto. Si acaso un día me vez pensar no interrumpa ese pensamiento, porque hasta en pensamiento, solo pienso en como agradar a Dios y como mejorar la calidad de la enseñanza en matemática en mi país y en América. (G Zorrilla) ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE: Hallar la ecuación de la circunferencia sabiendo que el radio es 3 y cuyo centro es el punto de intersección de las recta 3x 4y = 18 y x + 3y = 7 3h 4k = 18 { h + 3k = 7 Resolviendo el sistema por cualquier método resulta h = e k = 3 ( x h) ( y k) r ( x ) ( y 3) 9 (x h) + (y k) = r (x ) + (y ( 3)) = (3) (x ) + (y + 3) = (3) x 4x y + 9y + 9 = 9 x + y 4x + 9y + 4 = 0 Hallar la ecuación de la circunferencia de la avenida Luperón y 7 de febrero pasa por el punto A (-8, 5) y cuyo centro es el punto de intersección de la recta. x + 4y = y 4x 5y = h + 4k = { 4h 5k = Resolviendo el sistema de ecuaciones lineales el valor de h = 3 e k = x = 8 e y = 5 r = ( 8 3) + (5 + ) r = ( 11) + (7) r = r = 170 (x h) = (x) (x)(h) + (h) = x xh + h (y k) = (y) (y)(k) + (y) = y yk + k (x 3) + (y ( )) = 170 x 6x y + 4y + 4 = 170 x 6x y + 4y = 0 x + y + 4y 157 = 0 Página 14

14 EVALUACIÓN FORMATIVA: 1. Hallar la ecuación de la circunferencia sabiendo que el radio es 5 y cuyo centro es el punto de intersección de las recta 5w + 6z = 0 y 4w 3z = 3 Esto problemas son de circunferencia Ejercicios página 90-91:, 3, 7 y 31 Análisis matemático Real Francesco Semerari Página 15