UNIDAD 2: DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIA Y REPRESENTACIONES GRÁFICAS

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1 UNIDAD 2: DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIA Y REPRESENTACIONES GRÁFICAS Para el desarrollo de este capítulo, vaya revisando conjuntamente con esta guía el capítulo 2 del texto básico, págs. 21 a la INTRODUCCIÓN: Una vez que hemos llegado a comprender los elementos iniciales del estudio de la estadística, vamos a iniciar el tratamiento de las herramientas que nos permiten llegar a cumplir con el objetivo de la misma. Conforme habíamos indicado, la estadística nos permite llegar a recoger, organizar, clasificar y presentar los datos. Sabemos ya, que si tenemos pocos datos que podemos analizarse de manera simple, no es necesario establecer ningún proceso adicional para presentarlos. De igual manera si existen datos con pocos valores de la variable los podemos presentar a través de una SERIE ORDENADA, por ejemplo si en un grupo de 30 alumnos las calificaciones obtenidas en un determinado examen son las siguientes: 15, 12, 16, 18, 14, 15, 12, 19, 20, 14, 16, 18, 15, 18, 19, 20, 17, 13, 16, 14, 14, 17, 16, 15, 12, 15, 16, 18, 19, 18 Procedemos primero a ordenar los datos, generalmente lo hacemos en orden ascendente. Rellene usted en su cuaderno, los cuadros con cada uno de los valores: Una vez ordenados podemos identificar los valores máximo y mínimo, en este caso usted los puede escribir: Xmáx = y Xmin. = Con ello podemos determinar que la variable recorre 9 puestos incluidos los valores máximo y mínimo. Si contamos los puestos o hacemos la diferencia y sumamos 1, esto se denomina amplitud de variación, rango o recorrido: AV = = 9

2 Si el rango o recorrido es menor que 15, se puede trabajar con una serie ordenada de frecuencias, por lo que los datos quedarían de la siguiente manera: Tabla N 1 Calificación Tabla de conteo frecuencia 12 /// 3 13 / 1 14 //// 4 15 ///// 5 16 ///// 5 17 // 2 18 ///// 5 19 /// 3 20 // 2 total 30 Esta tabla es auxiliar. Cuando tengamos experiencia se la puede obviar Como nos podemos dar cuenta, este caso no reviste mayor dificultad, pues lo importante es llegar a determinar la posibilidad de presentar los datos de esta manera, considerando que se lo puede hacer solamente cuando el rango o recorrido no es mayor a 15. De igual manera podemos proceder cuando tenemos un conjunto de datos cuya variable es cualitativa, en donde a cada una de las categorías le corresponderá una frecuencia. Por ejemplo, si queremos presentar un informe que nos diga que en una concesionaria de vehículos en el mes de septiembre del año 2009 se han registrado las siguientes ventas, por cada marca: mazda 15, chevrolet 21, Toyota 18 y nissan 35. Para apreciar mejor la información detallada, la podemos presentar a través del siguiente cuadro: Tabla N 2: Volumen de ventas durante el mes de septiembre de 2009 Marca Vehículos vendidos Mazda 15 Chevrolet 21 Toyota 18 Nissan 35 Total 89 Cuando tenemos una mayor cantidad de información y la variable tiene un recorrido mayor de posiciones desde el valor menor hasta el mayor, es necesario llegar a presentarla de manera

3 resumida, por lo que recurrimos a la construcción de tablas de frecuencia, que permiten llegar a identificar las características del conjunto de datos. Para ello es necesario acudir a varios pasos que los detallaremos a continuación. 2.2 ELABORACIÓN DE UNA DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS Para trabajar esta parte realice una lectura comprensiva del tema que se encuentra desarrollado en el texto básico y trate de enunciar una definición propia sobre lo que significa una distribución de frecuencias. Encontró usted que para definir tuvo que referirse a los siguientes elementos?: Herramienta útil para resumir información Establece niveles que son mutuamente excluyentes A cada nivel le corresponde un número de observaciones De acuerdo. Si usted lo ha considerado, entonces está en lo correcto ELEMENTOS QUE INTERVIENEN EN LAS DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS Esta parte se encuentra desarrollada en el texto básico en lo referente a la construcción de distribuciones de frecuencias, de manera que resumiendo podemos señalar los siguientes elementos: Rango, recorrido o amplitud de variación Intervalos de clase o categorias Elementos de una Distribución de Frecuencias Límites de clase Límites reales de clase Número de clases o intervalos Tamaño o anchura de clase Frecuencia Marcas de clase Veamos cada uno de ellos, con mayor detalle y con su procedimiento correspondiente, ya que en el texto se encuentran explicados de manera muy general: a. Rango, Recorrido o Amplitud de Variación: identifica el número de puestos que recorre la variable desde el valor mínimo hasta el valor máximo. En este caso consideramos dos excepciones: si trabajamos con variables continuas, llegamos a

4 obtenerla directamente a través de la diferencia simple, pero si se trata de una variable discreta, entonces a la diferencia entre estos valores le agregamos la unidad porque se consideran los dos valores extremos: AV = H L Variable continua AV= H L + 1 Variable discreta Donde: H = X máx = valor máximo de la variable L = X min = valor mínimo de la variable b. Intervalos de clase o categorías, corresponde a cada uno de los niveles, clases o categorías en los que se distribuye la variable. c. Límites de clase, son los límites de los intervalos y por ello vamos a tener el límite inferior y el límite superior. Cuando la variable es continua el límite superior es igual al límite inferior de la siguiente clase o intervalo, en cambio cuando se trata de una variable discreta, el límite superior de una clase es diferente al límite inferior de la siguiente. Especialmente cuando se está trabajando con una variable discreta, y se requiere volverla continua a la distribución, se identifican los límites reales de clase, que se los obtiene restando la media unidad al límite inferior y sumando la media unidad de la variable al límite superior. De esta manera observaremos que los límites superior e inferior de la clase inmediata son iguales. Otra manera de establecer los límites reales es a través de la semisuma entre los límites superior de una clase e inferior de la siguiente, por ejemplo: Si tenemos los siguientes intervalos, podemos llegar a establecer los límites reales: Tabla N 3 Intervalos de clase (con límites nominales) Intervalos de clase (con límites reales) = ( )/

5 En el ejemplo anterior como la variable cambia en la unidad, entonces se van sumando y restando 0,5. Si la variable tuviera una separación de 0,1 entonces se debería sumar y restar 0,05 y así hay que considerar la variable con la que se encuentra trabajando. d. Número de clases, las clases o intervalos corresponden a cada uno de los niveles en los que se va a presentar a todo el conjunto de observaciones, vienen a constituirse en cada una de las categorías en las que se distribuyen los datos recogidos en la investigación. No existe una norma para definir exactamente cuántas clases se deberían construir, puesto que esto depende de la información que se haya recogido. Sin embargo, como el objetivo de toda distribución de frecuencias consiste en presentar de forma resumida una información, se aconseja que no sean menos de 5 ni más de 20, esto por qué razón?: si hacemos una distribución con menos de 5 intervalos se pueden perder rasgos o características del conjunto investigado, y luego si se realiza una distribución de frecuencias con más de 20 intervalos, perdería su función básica cual es la de resumir la información y presentarla como para que se pueda analizar e interpretar. Al número de clases se lo representa por k y se puede seguir la siguiente regla para determinar el número de clases a desarrollarse: 2 k n Donde: n es el número total de observaciones k, es un número entero positivo que representa el número de clases a utilizar Por ejemplo, si en una investigación hemos recogido 50 observaciones, entonces procedemos a sustituir las letras por los números, con lo que tendremos: 2 k 50 Busque ahora usted el valor de k, cuyo resultado sería: Correcto, usted por simple inspección, ha establecido su valor, puesto que: Luego, en este caso se deberían distribuir en 6 clases a las 50 observaciones. Si fuera dado el tamaño de clase, al número de intervalos lo encontraremos aplicando la siguiente fórmula: Número de clases= Rango o recorrido ancho del intervalo

6 e. Tamaño o anchura de clase, o intervalo de clase, se refiere al número de puestos que recorre la variable en cada uno de los intervalos desde el límite inferior hasta el límite superior. Si ya tenemos la distribución, al tamaño lo podemos establecer a través de la diferencia entre los límites superior e inferior siempre que la distribución sea continua, en caso contrario la distribución es de carácter discreta (cuando existe separación entre los intervalos) y a la diferencia anterior se le suma la unidad en la que se encuentra identificada la variable. Por ejemplo en la Tabla N 3, el tamaño es 10, con los límites =10 ó 109,5 99,5 = 10 En el caso de que vayamos a construir la distribución de frecuencias, se procede a aplicar la fórmula en la que consideramos el rango o recorrido y el número de intervalos o clases: Rango tamaño de clase= número de clases f. Frecuencia, constituye el número de observaciones que se encuentran dentro de cada uno de niveles, categorías o intervalos de clase, ésta se denomina frecuencia absoluta simple, observe la tabla N 1, para la calificación 12, la frecuencia es 3, ahora usted determine las frecuencias para las calificaciones 14, 18 y 20. Si usted descubrió que eran 4, 5 y 2 respectivamente, está en lo correcto. Para poder determinar esta frecuencia, se aconseja hasta que se vaya teniendo práctica en esto, realizar una tabla de conteo para luego llegar a totalizar por cada intervalo. Una forma de comprobar si se encuentran distribuidos todos los datos, es a través de la suma de la columna de frecuencias que siempre será igual al número de datos recogidos y organizados en la tabla. g. Marcas de clase, una vez que ha realizado ya la tabla de frecuencias, se puede considerar como otro elemento a la marca de clase o también conocido como punto medio, ya que para su determinación se procede a sumar los límites inferior y superior de la misma marca de clase y dividirlos entre 2, puesto que se considera como el punto medio SUGERENCIAS PARA ELABORAR UNA TABLA DE DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS Revise ahora en el texto el ejemplo desarrollado, en el que se elabora una tabla de frecuencias para mostrar el precio típico de venta en diversas concesionarias (tabla 2.4) Ahora realicemos un ejemplo para verificar lo estudiado: En 50 bancos comerciales y/o instituciones de préstamos, se registró el número de solicitudes de préstamos para casas otorgados durante un mes en particular. Los datos son los siguientes:

7 Se solicita presentar la información a través de una tabla de frecuencias. Bien, como en el pedido no nos indica ni tamaño de clase ni número de clases en las que se debe presentar la distribución de frecuencias, procedemos entonces a resolver este pedido de la siguiente manera: 1. Identificamos los valores máximo y mínimo: busque usted los valores máximo y mínimo X máx. = H = X min. = L = 2. Establecemos el rango o recorrido de la variable, en este caso podemos identificar que se trata de una variable discreta porque hablamos de número de solicitudes, entonces tendremos: AV = H L + 1 AV = AV = 33 Significa entonces que la variable recorre 33 puestos desde el valor menor hasta el valor mayor 3. Número de clases o intervalos, como no se nos ha solicitado un número específico procedemos a establecerlo: 2 k 50 Encuentre ahora el valor de k, El resultado es: Esto significa que vamos a distribuir los datos en 6 intervalos 4. Tamaño o anchura de clase, con los datos anteriormente definidos, encontramos el tamaño del intervalo de clase: Rango tamaño de clase= número de clases tamaño de clase= 33 6 tamaño de clase= 5,5 tamaño de clase= 6 En este caso, como no nos ha dado un valor exacto, aproximamos al inmediato superior que sería 6 5. Nuevo rango, debido al resultado anterior debemos encontrar un nuevo rango, si hubiéramos tenido un resultado exacto no hace falta realizar este paso.

8 Nuevo rango=tamaño de clase*número de clases Nuevo rango=6*6=36 Si relacionamos con el rango original (33) vemos que nos van a sobrar 3 datos los mismos que se pueden distribuir entre los valores menores y mayores pero como en este caso el primer valor es 0 solamente podemos agregar los nuevos datos al valor mayor, lo que significaría que vamos a llegar hasta 36 en la distribución de frecuencias. 6. Elaboración de la tabla de frecuencias, una vez que ya contamos con todos los elementos procedemos a elaborar la tabla de frecuencias considerando los intervalos, el conteo y la frecuencia correspondiente: Tabla N 4: Número de solicitudes de préstamos para casas Número de solicitudes Tabla de conteo Frecuencia 0 6 /////////////////////////// 6 12 /////////// /////// /// / / Total 50 Escriba la frecuencia que le corresponde a cada clase Esta columna solo es un elemento auxiliar Para ubicar los datos se puede tomar como criterio, por ejemplo, que si un valor coincide con el límite superior que a la vez es igual al límite inferior de la siguiente clase, ubicarlo sea donde termina o donde inicia, pero llevar siempre ese criterio para todos los intervalos. Con esto hemos logrado construir una tabla, esto es un procedimiento. Ahora usted debe ejercitar esta práctica, desarrolle los ejercicios 12, 13 y 14, que se encuentran al culminar esta parte en el texto. 2.3 DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIA RELATIVA Hasta ahora lo que hemos trabajado es encontrando las frecuencias absolutas simples, o solamente conocidas como frecuencias, sin embargo también podemos determinar las frecuencias relativas que se definen como la proporción de datos que cada intervalo contiene del total.

9 Para encontrarla, lo que hacemos es dividir cada frecuencia absoluta simple para el número total de observaciones y si queremos expresar como porcentaje a este resultado se lo multiplica por 100. frecuencia absoluta simple (f) Frecuencia relativa fr = total de observaciones (n) Número de solicitudes Frecuencia absoluta Frecuencia relativa Frecuencia relativa (en porcentaje) , , , , , ,02 2 Total Se puede prese ntar en cualquiera de las dos formas Como podemos observar la suma de las frecuencias absolutas siempre nos tiene que resultar igual a 1 o, si lo estamos presentando de manera porcentual a 100%, puesto que lo que hacemos es definir la proporción de datos que se encuentra en cada intervalo. Con lo que hemos revisado hasta ahora puede contestar a la siguiente interrogante: Cuál es la diferencia entre frecuencia absoluta simple y frecuencia relativa simple?, escríbala en su cuaderno. Bien, si usted indicó que la principal diferencia radica en que la primera se refiere a la cantidad de valores observados y que la segunda se refiere a la proporción de datos que se encuentra en cada intervalo o clase, está en lo correcto. 2.4 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS Ahora pasemos a presentar la misma información a través de un gráfico, para ello se utilizan el histograma y el polígono de frecuencias. Realice la lectura de este tema en el texto básico y luego elabore un cuadro resumen de las características de cada una.

10 Escuela de Economía UTPL HISTOGRAMA Siguiendo con el ejercicio anterior, vamos a representar gráficamente a través de un histograma, lo que nos permitirá a través de la simple observación llegar a conclusiones sobre el conjunto de datos, de la siguiente manera: Señale ahora usted las conclusiones a las que ha llegado cuando observa este gráfico, indique lo que le faltaría también:. Así mismo revise en el texto lo referente al polígono de características y todo aquello que se debería considerar frecuencias y describa las

11 Escuela de Economía UTPL POLIGONO DE FRECUENCIAS Elaboremos ahora, el gráfico conociendoo que previamente hay otros elementos que se deben preparar, como se muestra en la tabla N 5. Tabla N 5 Número de solicitudes 0 a 6 6 a a a a a 36 Total Marcas de Frecuencia clase Marcas de clase supuestas Para el ejercicio que venimos desarrollando el gráfico será el siguiente:

12 De igual manera, si usted solamente estuviera observando este gráfico sin conocer los datos, escriba en su cuaderno, qué conclusiones puede identificar? y por qué es necesario establecer las marcas de clase supuestas? Para el primer caso adicionalmente a las conclusiones a las que llegó, usted posiblemente indicó que le falta un título al gráfico lo cual es verdad porque todo gráfico debe contener un título en donde se pueda identificar la variable que se está presentando, lo mismo para el polígono de frecuencias, los títulos no pueden ser histograma y polígono de frecuencias porque ya sabemos que así se denominan los gráficos. Por otro lado cuando hablamos del polígono de frecuencias es necesario establecer marcas de clase supuestas con la finalidad de cerrar el polígono. En el caso de querer representar las frecuencias relativas, realizamos exactamente el mismo procedimiento con la diferencia que en el eje de las Y no ubicaremos una escala con las frecuencias absolutas, sino con las frecuencias relativas, en lo demás siguen los mismos procedimientos. 2.5 DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIA ACUMULADAS: El análisis de la información a veces requiere considerar la cantidad de datos que van quedando después de unos o también analizar la proporción de datos que se encuentran antes o después de determinado valor, para ello se emplea el análisis de las frecuencias acumuladas. Remítase al texto para que establezca la func las pueda resumir en un cuadro sinóptico. ión de las frecuencias acumuladas de manera que En efecto, una frecuencia acumulada nos muestra la cantidad de datos u observaciones que se encuentran antes o después de un valor de interés y de igual forma podemos llegar a establecer las frecuencias acumuladas relativas, que siguen el mismo procedimiento. Adicionalmente a lo que nos presentan los autores del texto básico, podemos explicar lo correspondiente a las frecuencias acumuladas, de la siguiente manera: Para encontrar las frecuencias acumuladas, hay que partir de la necesidad de análisis, pues podemos realizar una distribución menor que o una distribución mayor que. La frecuencia acumulada menor que, nos muestra los valores que quedan después de un determinado dato; para encontrarla lo que hacemos es ir sumando las frecuencias anteriores. La frecuencia acumulada mayor que, en cambio nos presenta los valores que se encuentran después de determinado dato, por lo que iniciamos con el total de observaciones y luego vamos restando las frecuencias absolutas simples de cada intervalo. De igual forma trabajamos con las frecuencias relativas; de manera que podemos encontrar las frecuencias acumuladas mayor que o menor que.

13 En el ejercicio anterior tendríamos de la siguiente manera: frecuencia frecuencia número de frecuencia absoluta acumulada cálculo acumulada solicitudes simple "menor qué" "mayor qué" cálculo 0 a a a a a a Total 50 En el primer caso respondemos a la pregunta cuántos datos menores que 6 hay? y la respuesta es 27, o si vemos en el siguiente caso cuántos datos menores que 12 hay?, serán los que van quedando entonces serán los 27 del primer intervalo más los 11 del segundo, así sucesivamente llegamos hasta el último en donde tendremos la totalidad de los casos. Cuando trabajamos con la frecuencia acumulada mayor que, vamos a dar respuesta a la interrogante cuántos datos mayores que 0 hay?, donde tendríamos que la respuesta será 50, o sea la totalidad de los datos, luego para el siguiente intervalo preguntamos cuántos datos mayores que 6 hay? y la respuesta vendría dada por la diferencia entre los 50 y los que van quedando en el primer intervalo que son 27. De igual forma seguimos hasta llegar al último intervalo que será igual a la frecuencia absoluta simple. Puede ahora responder a las siguientes preguntas: Cuántos datos menores a 24 existen? Cuántos datos menores a 30 existen? Cuántos datos mayores a 18 existen? Cuántos datos mayores que 6 existen? De acuerdo. Para que verifique sus respuestas observe las columnas correspondientes a las frecuencias acumuladas. 2.6 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LAS FRECUENCIAS ACUMULADAS El gráfico que nos permite observar con mayor rapidez la forma en la que se encuentran los datos, se denomina OJIVA y al igual que las tablas tendremos entonces una ojiva menor que y una ojiva mayor que. Este es un gráfico lineal en donde el eje Y contiene las frecuencias acumuladas y en el eje X seguimos representando los límites de los intervalos.

14 Escuela de Economía UTPL Presentamos cada uno de los gráficos resultantes: De igual forma podemos proceder con las frecuencias relativas acumuladas en donde el eje Y tendría como escala del 0 al 100%. Qué diferencias puede mencionar de los dos gráficos? 2.7 OTROS TIPOS DE GRÁFICOS COMÚNMENTE UTILIZADOS: Revise unas páginas anteriores en el texto (23 a 26) y usted podrá encontrar otros tipos de gráficos que le permiten representar las informaciones que se recogen de las investigaciones que se realizan:

15 Enuncie usted el uso que cada una de ellas tiene y preséntelo en un cuadro sinóptico: Barras verticales Barras horizontales Lineal Circular Otros que usted puede identificar EJERCICIOS: Realice los ejercicios 30, 33 y 36 que constan en el texto básico que constan en las páginas 46,47 y 48 después del resumen del capítulo. ACTIVIDADES RECOMENDADAS: Vamos ahora a ejercitarnos con la presentación de información y el análisis de la información que se observa en distintos medios, para ello le sugiero que haga lo siguiente: Revise los periódicos y observe la información que se muestra en la sección financiera, ubique un gráfico y extraiga sus propias conclusiones, luego de ello lea la información completa. Realice una encuesta a varias personas y pregunte la edad de las mismas, luego a esa información preséntela en una serie de frecuencias, (si es del caso, elabore una tabla de distribución de frecuencias), represéntela gráficamente.